Đang tải... (xem toàn văn)
Lời nói đầu: Bài viết nói về việc khai thác một chùm bài toán hay bắt nguồn từ một bài toán rất hay trên Aops, qua đó chỉ ra vẻ đẹp của những lời giải cùng những điều gợi mở.. Bài toán 1[r]
(1)Khai thác cho chùm toán hay về
đường thẳng Euler và mở rộng nó
Lời nói đầu: Bài viết nói việc khai thác chùm toán hay bắt nguồn từ tốn hay Aops, qua vẻ đẹp lời giải điều gợi mở
Bài toán 1(Aops): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy P đối xứng A qua BC
(2)điểm BC Ta có: OE
OA = N E
N D Gọi OK ∩BC = J, ta có: ∠N OJ = ∠OKA =
∠OAK = ∠EON suy OJ E tam giác cân O N trung điểm J E Vậy N E
N D = N J
N D Lại theo định lí T hales thì: N J ON = DJ KD = N D HA
2 +KD
suy
N J N D =
ON HA
2 +KD
= HA
HA+ 2HD = HA AK =
HA AD+HD =
HA DP +HD =
HA HP Thế
nên: OA
OM = HA
HP nên theo định lí T hales đảo thì: OHkP M hay điều phải chứng
minh
Khai thác toán cho ta lời giải đẹp cho tốn sau bạn Nguyễn Tiến Hồng-PTNK TPHCMkhác với lời giải tác giảTrần Quang Hùng phép nghịch đảo(tại https://l.facebook.com/l.php?u=https)
Bài tốn 2(Nguyễn Tiến Hồng): Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp (O) trực tâm H Lấy X đối xứng A qua BC AO∩(OBC) = O, Y Chứng minh rằng:
Y H, OX, BC đồng quy D AD qua tâm đường tròn Euler tam giác
(3)Lời giải: Theo tốn 1ta có: OHkXY Gọi I chân đường cao hạ từA xuống
BC AO∩BC =J vàM trung điểmBC Theo định lí T halesthì: DO
DX = HO XY = AH AX = AH
2AI =
2OM
2AI = OM
AI = J O
J A Do J A J O
DO DX
IX IA =
J A J O
J O
J A = theo
định lí M enelausđảo ta có: D, I, J thẳng hàng Áp dụng bổ đề hình thang thì: AD
chia đôi HO nên AD qua tâm Euler tam giác ABC Tiếp tục, đảo thành mơ hình tâm nội tiếp tơi có tốn hay sau:
(4)của tam giácDEF
Ta nhận thấy yếu tố tiếp tuyến thu gọn lại hơn, rút gọn bớt hai tiếp tuyến ta toán mới, vai trị điểm S tương đương với Avà J có vai trị tương đương điểm đồng quy củaKA, BC đường thẳng Eulercủa tam giác DEF Lời giải: Ta chuyển toán sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâmH Tiếp tuyến tạiB, C của(O)cắt S Lấy K đối xứngA quaBC
(5)Bổ đề: Cho hình thang ABCD Lấy X, Y BC, AD cho AXkCY Khi
BYkDX
Chứng minh bổ đề(Bạn đọc tự vẽ hình): Gọi AD∩BC = K Ta có: KA
KD = KB KC, KA
KY = KX
KC chia vế cho ta có: KY KD =
KB
KX nên theo định lí T hales
đảo thì: BYkDX
Quay trở lại toán, gọi tiếp tuyến tạiAcủa(O)cắtSKtạiJ0, gọiAO∩(OBC) =P
(6)Sử dụng ý tưởng giống tốn 2, tơi đề xuất lời giải sau cho toán mở rộng xuất chuyên mụcMỗi Tuần Một Bài Toán-Tuần 2-Tháng 6của thầy Trần Quang Hùng Thay điểm O, H điểm đẳng giác ta có tốn
Bài tốn 6(Mở rộng tốn tốn 2)(Ngơ Quang Dương-Trần Quang Huy): Cho tam giác ABC, P Q điểm liên hợp đẳng giác tam giác ABC AP ∩(P BC) = A, X AQ∩(BQC) = A, Y Chứng minh rằng:
(7)Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Ta có: ∠BAY =∠P AC mà ∠BY Q =∠BCQ= ∠P CA 4BAY ∼ 4P AC(g.g) suy AB
AP = AY
AC Chứng minh tương tự thì: AQ
AC = AB
AX AQ.AX = AP.AY hay là: AP AQ =
AX
AY nên theo định lí T hales
đảo thì: P QkXY Gọi P Y cắt QX D theo bổ đề hình thang ta có: AD chia đơi P Q Ta chứng minh D ∈ BC Gọi AP ∩BC =I, AQ∩BC =J Theo định lí
T hales ta có: DQ
DX = P Q XY =
AP
AX Theo định lí hàm số sin thì: QB QC =
sin∠QCB
sin∠P BA
(8)Tài liệu tham khảo
1 Aops.com