Bài toán trên là một trong các bài toán tôi được nêu tên xong lời giải của tác giả lại sử dụng tới hàng điểm điều hoà.. Mặc dầu sẽ kéo ngắn lời giải xong sử dụng hàng điểm ở đây có lẽ cũ[r]
(1)Bàn chút hai lời giải mở rộng cho
một toán hay báo THTT
Bài toán(T8/466-Hồ Quang Vinh-THTT): Cho tam giác ABC có đường cao AH Đường trịn tâmI đường kínhAH cắt AB, AC S, T BT cắtCS K Gọi tiếp tuyến S vàT (I) cắt ởM M Agiao BC N IM cắt ST J Chứng minh rằngN J qua trung điểm AK
Bài toán toán nêu tên xong lời giải tác giả lại sử dụng tới hàng điểm điều hoà Mặc dầu kéo ngắn lời giải xong sử dụng hàng điểm có lẽ chưa thật cần thiết Sau xin giới thiệu lời giải mà gởi soạn sử dụng kiến thức lớp 9, qua thấy rõ chất tốn cấu hình
Lời giải 1(Nguyễn Duy Khương):
(2)kính của(I) Tiếp tuyến (I)tại M cắtDF, DE Gvà H Gọi ADcắt GH K Khi đóK trung điểm GH."
Chứng minh: Gọi GH cắt AB, AC J, N Gọi AM cắt BC P Ta dễ thấy rằng: P C = BD Theo định lí Tháles ta lại có rằng: GJ
DB = F J F B =
F J BD ⇒ GJ = J F = J M Hồn tồn tương tự ta có: N M = N H = N E Lại theo định lí Tháles ta có: J K
BD = M N
P C (= AK
(3)T HCS hồn tồn có khả tự chứng minh định lí M enelaus: "Cho tứ giácABCD Giả sửAB∩CD =E, AD∩BC =F Gọi H, I, J trung điểm AC, BD, EF Khi H, I, J thẳng hàng người ta gọi đường thẳng Gauss."
Lời giải 2(Lời giải gốc): Điểm khác biệt hai lời giải nằm đoạn chứng N trung điểmBC Gọi A2 giao điểm M A với (I)(A2 6=A) Khi ta thấy rằng: AT A2S tứ giác điều hoà Kẻ tiếp tuyếnAt đường trịn(I) có: (At, AA2, AT, AS) = −1 Do AH ⊥ BC nên AtkBC Vậy áp dụng tính chất chùm điều hồ ta có: N trung điểm BC Đến ta tiếp tục giải lời giải thứ
Nhận xét: Ở lời giải thứ hai ta thấy việc sử dụng định lí hàng chùm điều hồ kéo ngắn lại đoạn biến đổi lời giải thứ Điểm hay lời giải dùng cho toán mở rộng
Bây xin bàn vấn đề thứ hai mở rộng toán Trong lời giải tổng quát ý tưởng lời giải thứ hai phát huy công hiệu tối đa
(4)Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Bài toán thực chất mở rộng xong khơng thực khó cho QuaP kẻ tiếp tuyến với(AEF)cắtAB, AC hai điểm X, Y Áp dụng tốn ban đầu ta có: AS qua trung điểm XY Áp dụng bổ đề hình thang ta có: AS qua trung điểm BC Do thu M trung điểm BC Đến lại áp dụng đường thẳng Gauss cho tứ giác AEKF J trung điểm EF, M lại trung điểm BC nên ta có đpcm
Cuối để bạn nghiệm lại toán từ đầu, sau mời bạn thưởng thức lời giải cho mở rộng bạn Nguyễn Xuân Anh Quân, 11 Toán, chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam đề nghị báo THTT:
(5)Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Bài toán tổng quát thực chất ghép hai tốn sau Khi có kết luận phụ ta áp đường thẳngGauss cho tứ giácAF HE với HE∩AF =B HF ∩AE =C có đpcm
Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có F, E AB, AC cho tứ giác BF EC nội tiếp Tiếp tuyến E, F (AEF)cắt T Khi AT chia đôiBC
Chứng minh: GọiAT cắt lại(AEF)tại điểm Ldĩ nhiên có tứ giác AF LE điều hồ Kẻ tiếp tuyến Ax (AEF) Ta có: (Ax, AT, AE, AF) =−1 = (Ax, AT, AB, AC) mà ta có: ∠xAE =∠AEF =∠ACB nên AxkBC Do theo tính chất chùm điều hồ ta có AT chia đơi BC(đpcm)
(6)Chứng minh(Trần Quang Hùng-GV THPT chuyên KHTN): Gọi Dlà hình chiếu K lên AH Lấy N đối xứng F qua DK Thế N thuộc (K) Vì ∠BCP =
∠BAP =∠BF N =∠BCN nên C, P, N thẳng hàng Gọi AH cắt BC điểm L lấy Q đối xứng P qua D Ta có: ∠F QA = ∠QF N = ∠F N C = ∠AP C = ∠ABC nên BF QL nội tiếp Tương tự CEQL nội tiếp nên AEQF nội tiếp Mặt khác 4EF B ∼ 4EQD nên thu hai tam giác N F B EQP đồng dạng Vậy ∠F BI = ∠EP Q =∠ABR thu BR qua trung điểm EF Vậy ta có đpcm