Một số dạng toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHÙNG THẾ TÚ MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHÙNG THẾ TÚ MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Vũ Lương Hà Nội – Năm 2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………… Chương Một số kiến thức ……………………………………… 1.1 Một số quy tắc phép đếm ……………………………… 1.2 Nguyên lý Dirichlet ………………………………………………… 10 1.3 Hoán vị …………………………………………………………… 12 1.4 Chỉnh hợp ………………………………………………………… 17 1.5 Tổ hợp ……………………………………………………………… 20 1.6 Nhị thức Newton …………………………………………………… 24 Chương Một số cách tiếp cận tới toán tổ hợp …………………… 29 2.1 Sử dụng phương pháp liệt kê ……………………………………… 29 2.2 Đếm phần tử phần bù ……………………………………… 34 2.3 Sử dụng nguyên lý bao gồm loại trừ …………………………… 36 2.4 Sử dụng cách xây dựng phần tử đếm ……………………………… 44 2.5 Sử dụng công thức tổ hợp …………………………………… 45 2.6 Sử dụng nguyên lý phân phối đồ vật vào hộp ………………… 48 2.7 Sử dụng công thức truy hồi ………………………………………… 52 2.8 Sử dụng phương pháp đánh số …………………………………… 54 2.9 Phương pháp xây dựng song ánh ………………………………… 57 2.10 Sử dụng phương pháp đếm hai cách ……………………… 61 Chương Kỹ giải toán phương pháp bất biến …………… 66 3.1 Một số toán mở đầu …………………………………………… 66 3.2 Tìm đại lượng không thay đổi sau phép biến đổi …………… 71 3.3 Tìm tính chất đại lượng không thay đổi sau phép biến đổi …………………………………………………………………… 73 3.4 Nguyên lý bất biến ……………………………………………… 74 3.5 Một số tập vận dụng ……………………………………… 80 KẾT LUẬN ……………………………………………………………… 88 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 89 LỜI NÓI ĐẦU Toán tổ hợp – ngành toán học nghiên cứu tổ hợp, hoán vị phần tử Trong thời gian dài, mảng khoa học nằm hướng phát triển toán học ứng dụng Trong thời gian khoảng hai kỷ rưỡi, ngành giải tích đóng vai trò chủ yếu việc nghiên cứu chất tự nhiên Hiện trạng thay đổi sau máy tính máy tính cá nhân đời Nhờ chúng người ta thực việc xếp, phân loại mà trước cần hàng trăm đến hàng ngàn năm Ở thời buổi sơ khai toán học rời rạc, vai trò lĩnh vực cổ xưa toán học rời rạc toán học tổ hợp thay đổi Từ lĩnh vực mà phần lớn người biên soạn toán thú vị quan tâm đến phát ứng dụng việc mã hóa giải mã văn tự cổ, chuyển thành lĩnh vực nằm trục đường phát triển khoa học Ở nước ta nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác suất thống kê chương trình toán học phổ thông Trước hết cần khẳng định hướng Bộ Giáo dục Đào tạo đòi hỏi phát triển kiểu tư chuyên biệt tổ hợp xác suất thống kê, vốn cần thiết hệ Bởi thế, nhiều kì thi tuyển sinh vào đại học, thi học sinh giỏi, toán tổ hợp hay đề cập thường thuộc loại khó Bằng nhìn tổng quan, luận văn nêu số ví dụ điển hình kì thi tuyển sinh vào đại học, thi học sinh giỏi thời gian qua Cụ thể, luận văn chia thành chương: Chương Một số kiến thức Chương trình bày kiến thức tổ hợp gồm: Các quy tắc đếm bản, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức Newton Ngoài ra, nguyên lý Dirichlet đề cập tới công cụ đắc lực việc giải toán tổ hợp chương sau Chương Một số cách tiếp cận tới toán tổ hợp Chương ta tiếp cận tới toán tổ hợp nhờ số phương pháp như: Phương pháp liệt kê, phương pháp đếm phần tử phần bù, sử dụng nguyên lý bao gồm loại trừ, sử dụng công thức tổ hợp, sử dụng nguyên lý phân phối đồ vật vào hộp, sử dụng công thức truy hồi, phương pháp đánh số, phương pháp xây dựng song ánh phương pháp đếm hai cách Chương Kỹ giải toán phương pháp bất biến Chương trình bày ba toán gồm: Bài toán tính chất hữu hạn vô hạn dãy lặp, toán tính chất tuần hoàn dãy lặp, toán tồn dãy lặp mà trạng thái cuối thỏa mãn số tính chất cho trước Ngoài ra, rèn luyện kỹ phát đại lượng, tính chất đại lượng không đổi sau phép biến đổi Cuối cùng, trình bày nguyên lý bất biến số tập vận dụng Để hoàn thành luận văn này, trước xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Vũ Lương dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài hoàn thiện khóa luận Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đầy đủ hơn, phong phú Cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 15 tháng 01 năm 2015 Học viên Phùng Thế Tú Chương Một số kiến thức 1.1 Một số quy tắc phép đếm Phép đếm có vai trò quan trọng đời sống khoa học Trong đời sống, hàng ngày ta thường xuyên phải đếm đối tượng phép đếm dường quen thuộc phải bàn đến Tuy nhiên, kì thi đại học thi học sinh giỏi, toán đếm gây không khó khăn cho thí sinh Trong mục này, trình bày quy tắc đếm bản, nhờ tính xác nhanh chóng số phần tử tập hợp mà không cần đếm trực tiếp cách liệt kệ 1.1.1 Quy tắc cộng Nếu A1, A2 , , A k tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, tức Ai  Aj   i  j Khi A1  A2   Ak  A1  A2   Ak , (1.1) với Ai số phần tử tập hợp Ai , i  1, 2, 3, , k 1.1.2 Quy tắc nhân Nếu A1, A2 , , A k tập hợp hữu hạn A1  A2   A k tích Descartes tập A1  A2   Ak  A1 A2 Ak (1.2) Quy tắc cộng quy tắc nhân thường phát biểu dạng tương ứng đây: Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo k phương án A1, A2 , , Ak Phương án Ai có ni cách thực i     1, 2, 3, , k  Khi công việc thực theo n1   n    n k cách Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm k công đoạn A1, A2 , , Ak Nếu công đoạn A1 làm theo n cách Với i  với cách thực công đoạn A1, A2 , , Ai1 công đoạn Ai thực theo ni cách Khi công việc thực theo n n  n k cách 1.1.3 Quy tắc bù trừ Cho X tập hữu hạn A  X Gọi A  X \ A Khi đó, ta có A  X A (1.3) 1.1.4 Số phần tử hợp hai ba tập hợp hữu hạn Định lí 1.1.1 (Công thức tính số phần tử hợp hai tập hợp bất kì) Cho A B hai tập hợp hữu hạn Khi đó, ta có AB  A  B  AB (1.4) Chứng minh Ta có B A \ B hai tập hợp không giao A  B  B  A \ B  nên AB  B  A\B Mặt khác A  B A \ B  (1.5) hai tập hợp không giao A  A  B   A \ B  nên A  A  B  A \ B , đó: A\B  A  AB (1.6) Thay (1.6) vào (1.5) ta (1.4) Định lí 1.1.2 (Công thức tính số phần tử hợp ba tập hợp bất kì) Cho A, B ,C ba tập hợp hữu hạn Khi đó, ta có A  B  C  A  B  C  A  B  B  C  C  A  A  B  C (1.7) Chứng minh Theo định lí 1.1.1 ta có A  B  C  A  B C   A  B C  A  B C  (1.8) Mặt khác theo định lí 1.1.1 B C  B  C  B C (1.9) A  B  C   A  B   A  C   A  B  A  C  A  B   A  C   A  B  A C  A  B C (1.10) Thay (1.9) (1.10) vào (1.8) ta công thức (1.7) 1.1.5 Ví dụ áp dụng số quy tắc đếm Ví dụ 1.1.1 Từ ba chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm năm chữ số, có đủ ba chữ số nói trên? Lời giải Gọi số cần tìm có dạng a1a 2a 3a 4a Bởi số tạo thành phải có đủ ba chữ số 2, 3, nên ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tạo thành gồm ba chữ số 2, chữ số chữ số Ta xếp chữ số có cách chọn ví trí a 1, a , a , a a Xếp chữ số vào bốn vị trí lại có cách Ba vị trí lại xếp ba chữ số có cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.1 = 20 số Trường hợp 2: Số tạo thành gồm ba chữ số 4, chữ số chữ số Tương tự trường hợp có 20 số Trường hợp 3: Số tạo thành gồm ba chữ số 3, chữ số chữ số Tương tự, ta có 20 số Trường hợp 4: Số tạo thành gồm hai chữ số 2, hai chữ số chữ số Chọn năm vị trí để xếp chữ số có cách Lấy hai vị trí từ bốn vị trí lại xếp hai chữ số có cách Hai chữ số xếp vào hai vị trí lại có cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.6.1 = 30 số Trường hợp 5: Số tạo thành gồm hai chữ số 2, hai chữ số chữ số Tương tự trường hợp có 30 số Trường hợp 6: Số tạo thành gồm hai chữ số 3, hai chữ số chữ số Tương tự, ta có 30 số Vậy theo quy tắc cộng có tất 20 + 20 + 20 +30 + 30 +30 = 150 số Ví dụ 1.1.2 (Đề thi tuyển sinh ĐHQG TP HCM – 1999) Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau: (i) Bất kì hai học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường; (ii) Bất kì hai học sinh ngồi đối diện khác trường Lời giải Đánh số ghế theo hình vẽ (i) Theo yêu cầu toán, ta có số cách chọn sau: Ghế Số cách xếp chỗ ngồi 10 11 12 12 5 4 3 2 1 Theo quy tắc nhân, ta có 12.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 1036800 cách (ii) Theo yêu cầu toán, ta có số cách chọn sau: Ghế Số cách xếp chỗ ngồi 12 11 10 12 10 2 Theo quy tắc nhân, ta có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 33177600 cách Ví dụ 1.1.3 Xét tập hợp X  1, 2, 3, , 2009 Đặt   A  x  X : x  1mod29 Tài liệu tham khảo [1] Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2014), Tài liệu chuyên toán Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục, Việt Nam [2] Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo Dục, Việt Nam [3] Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2003), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo Dục, Việt Nam [4] “Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên Trường THPT Chuyên môn Toán”, Hà Nội 7/2012 [5] Arthur Engel (1998), Problem – Solving Strategies, Springer-Verlag New York, Inc [6] Website: www.htttp://mathscope.org 89 [...]... liệu chuyên toán Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo Dục, Việt Nam [2] Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc, NXB Giáo Dục, Việt Nam [3] Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2003), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo Dục, Việt Nam [4] “Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên Trường THPT Chuyên môn Toán , Hà