Một số dạng toán tổ hợp luận văn toán hockj

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* LƠ THỊ NGÂN MỘT SỐ DẠNG TỐN TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN THỊ BÌNH HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo tổ Đại số khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Nguyễn Thị Bình nhiệt tình hướng dẫn em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Mặc dù cố gắng q trình làm khóa luận hạn chế thời gian trình độ kiến thức nên khóa luận khơng tránh thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Lơ Thị Ngân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn giáo ThS Nguyễn Thị Bình với cố gắng thân Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên thực Lô Thị Ngân BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Các ký hiệu khóa luận ký hiệu thơng dụng dùng sách giáo khoa: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Pn số hoán vị n phần tử CMR: Chứng minh Đpcm: Điều phải chứng minh Trong khóa luận khơng có điều kiện n, m, p, k , x, y ta hiểu chúng thuộc  MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Tập hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Tập hợp thứ tự 1.1.3 Số phần tử số tập hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.2.1 Quy tắc cộng 1.2.2 Quy tắc nhân 1.3 Hoán vị, Chỉnh hợp Tổ hợp 1.3.1 Hoán vị 1.3.2 Chỉnh hợp 1.3.3 Tổ hợp 1.4 Nhị thức Newton 1.4.1 Nhị thức Newton 1.4.2 Tam giác Pascal CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP 2.1 Rút gọn biểu thức tổ hợp 2.2 Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp 2.3 Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp 14 2.3.1 Giải phương trình 14 2.3.2 Giải bất phương trình 18 2.3.3 Giải hệ phương trình 20 2.4 Các toán liên quan đến nhị thức 24 2.4.1 Tính tổng tổ hợp 24 2.4.2 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 28 2.4.3 Tìm giá trị hệ số khai triển nhị thức NewTon (a  b)n 30 2.5 Các toán đếm số phương án 35 2.5.1 Bài toán lập số 36 2.5.2 Bài toán chọn vật, chọn người, cách xếp 41 2.5.3 Các toán khác 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tổ hợp lĩnh vực toán học nghiên cứu từ sớm ngày quan tâm nhờ vai trò quan trọng nội toán học ngành khoa học khác Trong tốn học kết đóng vai trò kiến thức tảng giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục việc dạy học tốn tổ hợp quan trọng học tốt toán tổ hợp người học có lực sáng tạo tư nhạy bén để học tốt môn học khác lĩnh vực khác sống Các toán tổ hợp nội dung quan trọng đề thi đại học cao đẳng, mức độ khơng khó thí sinh thường gặp khó khăn giải tốn Là người u thích tốn tổ hợp nhờ hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Bình, em lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán tổ hợp” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tổ hợp từ xây dựng cách có hệ thống, có sáng tạo tốn tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Một số dạng toán tổ hợp chương trình tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng kết phân dạng tập tổ hợp Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có: Chương 1: Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2: Một số dạng toán tổ hợp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Tập hợp 1.1.1 Tập hợp Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói tập hợp B tập hợp tập hợp A ký hiệu B  A A  B B  A  x  B  x  A Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập  A - Tập A có n phần tử số tập A n 1.1.2 Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến m , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự  a1 , a2 , , am   b1 , b2 , , bm  phần tử tương ứng  a , a , , a    b , b , , b   a m m i  bi (i  1, m) 1.1.3 Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu là: | A | n  a  A, B, C tập hợp hữu hạn, đó: | A  B || A |  | B |  | A  B | | A  B  C || A |  | B |  | C |  | A  B |  | B  C |  | A  C |  | A  B  C | Tổng quát: Cho A1, A2 , , An n tập hợp hữu hạn ( n  1) Khi đó: n | A1   An |  | Ai |  i 1 n   1 i  k  l  n n  1 i  k  n | A  Ak | i | Ai  Ak  Al |   ( 1) n 1 | A1  A2   An | 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.2.1 Quy tắc cộng Giả sử có hai cơng việc: Việc thứ làm n cách, Việc thứ hai làm m cách Và hai việc làm đồng thời, có n  m cách làm hai việc Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử công việc T1 , T2 , , Tm làm tương ứng n1, n2 , , nm cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời Khi số cách làm việc là: n1  n2   nm 1.2.2 Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực hai công việc nhỏ H1 H , đó: H1 làm n1 cách, H làm n2 cách, sau hồn thành cơng việc H1 Khi để thực cơng việc H có n1.n2 cách Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực k công việc nhỏ H1 , H ,…, H k đó: H1 làm n1 cách, H làm n2 cách, sau hồn thành cơng việc H1 , … H k làm nk cách, sau hoàn thành cơng việc H k 1 Khi để thực cơng việc H có n1.n2 nk cách Gọi số cần lập n  a1a2 a3a4 a5 ,  X , a1  a) Vì n số chẵn nên a5 0,2,4,6 Trường hợp 1: Nếu a5   a5 có cách chọn Khi đó: a1 , a2 , a3 , a4 phân biệt có thứ tự chọn từ X \ {0} chỉnh hợp chập  Có A74 cách chọn  Có A74  840 số Trường hợp 2:Nếu a5 chọn từ 2,4,6  Có cách chọn a1 chọn từ tập X \ {0, a5 }  a1 có cách chọn a2 , a3 , a4 phân biệt thứ tự chọn từ X \ { a1 , a5 } chỉnh hợp chập  Có A63 cách chọn  Vậy có 3.6 A63  2160 số Vậy số số chẵn gồm chữ số phân biệt hình thành từ X là: 840  2160  3000 số b) Vì n số tiến nên a1  a2   a5 a1    a1  a2   a5 Mỗi cách chọn chữ số có cách xếp từ nhỏ đến lớn Vậy số số cần tìm số cách chọn chữ số từ tập X \ {0} Vậy có C75  21 số thỏa mãn điều kiện Bài Cho tập hợp chữ số X  0, 1, 2,,7 Từ tập hợp X lập số có chữ số chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt khơng q lần Bài giải 37 * Xét trường hợp a1  Chọn vị trí để xếp hai số có C52 cách Chọn số X \ {1} xếp vào vị trí lại có A73 cách Vậy có C52 A73  2100 số * Chỉ xét a1  Chọn vị trí để xếp hai số có C42 cách Chọn số X \ {0,1} xếp vào vị trí lại có A62 cách Vậy có C42 A62  180 số Vậy có 2100-180=1920 số thỏa mãn điều kiện Bài X  0, 1, , 9 , từ tập X lập được: a) Bao nhiêu số lẻ gồm chữ số chia hết cho b) Bao nhiêu số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Bài giải a) Các số gồm chữ số chia hết cho 100008,100017, 100026, 100035, …, 999999 Trong số lẻ 100017, 100035, …, 999999 lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 100017, cơng sai d  18, u n  999999 Ta có: un  u1  (n  1)d  Số số hạng: n  un  u1 999999  10017 1    50000 d 18 Vậy có 50000 số thỏa mãn điều kiện b) Xét số có chữ số tùy ý a1a2 a3a4 Để  số lẻ ta có khả i 1 năng: Nếu tổng (a1  a2  a3  a4 ) số chẵn ta có thểchọn: a5 1,3,5,7,9 38 Nếu tổng (a1  a2  a3  a4 ) số lẻ ta chọn: a5 0,2,4,6,8 Mà a1 có cách chọn (a1  0) có 10 cách chọn (i  2,3,4) Mỗi số có chữ số lại sinh số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ Vậy có tất 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện Bài Cho A  0, 1, , 5 , có số có chữ số chữ số xuất nhiều lần Tính tổng tất số Bài giải Xét trường hợp số lập từ A có chữ số (cả trường hợp số đứng đầu)  Có P6  6!  720 số Ta thấy số tập A xuất 120 lần hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục hàng đơn vị Vậy tổng tất số lập trường hợp là: T  120(0      5)105  120(0      5)104 106   120(0      5)  120.15 10  Xét trường hợp số đứng đầu 0a2 a3 a4 a5 a6 ,  A \ {0}, i  2,  Có P5  5!  120 số Ta thấy số 1, 2, 3, 4, xuất 24 lần hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục hàng đơn vị Vậy tổng số lập trường hợp là: 105  K  24.15 10  39  Tổng số lập có chữ số là: P6  P5  600 số Tổng tất số là: 10  105  S  T  K  120.15   24.15  195999840 10  10  Bài Có số tự nhiên có chữ số lớn 685000 lập từ A  0, 1, , 9 Bài giải Gọi số cần tìm là: n  a1a2 a7 , n  685000, , a1  0, i  1,7 Trường hợp 1: Số có dạng 68a3 a4 a7 ( a3  5, a3  6,8 ) a3 nhận giá trị 5, 7,  có cách chọn a4 , a5 , a6 , a7 số có thứ tự lập từ A \ {6,8,a 3}  Có A74 cách chọn số có kể thứ tự  Có A74 số Trường hợp 2: Số có dạng 69a3a4 a7 a3 , a4 , a5 , a6 , a7 phần tử từ A \ {6,9} có kể thứ tự phần tử  Có A85 số Trường hợp 3: Số có dạng a1a2 a7 với a1  a1 có cách chọn 7, 8, a2, a3 , a4 , a5 , a6 , a7 phần tử từ A \ {a1} có kể thứ tự phần tử  Có A96 số  Vậy có A74  A85  A96  69720 số 40 Bài tập áp dụng Bài Có số tự nhiên 1, 2, 3, 4, Hỏi có số có chữ số đơi khác tạo thành từ số cho? Bài Tìm tất số tự nhiên gồm chữ số chữ số đứng sau bé chữ số đứng trước Bài Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn a) Là số đối xứng b) Chữ số xuất lần, chữ số xuất lần chữ số khác xuất không lần Bài Từ A  {1, 2, ,9} số chẵn có chữ số khác không lớn 789 2.5.2 Bài toán chọn vật, chọn người, cách xếp Bài Một thầy giáo có 20 sách đơi khác Trong có sách văn học, sách âm nhạc sách hội họa Ông muốn lấy đem tặng cho học sinh A, B, C , D, E , F em cho sau tặng sách xong, ba thể loại văn học, âm nhạc hội họa lại Hỏi có cách tặng ? Bài giải Có C126 cách chọn sách 12 Có C55C71 cách chọn có văn học Có C44C82 cách chọn có âm nhạc Có C33C93 cách chọn có hội họa Vậy có C126  (C55C71  C44C82  C33C93 )  805 cách chọn thỏa mãn điều kiện Với cách chọn ta có 6! cách tặng  Số cách tặng thỏa mãn 805.6!=579600 cách 41 Bài Đội niên xung kích trường A có 12 học sinh, gồm học sinh khối lớp 10, học sinh khối lớp 11 học sinh khối lớp 12 a) Có cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không khối lớp b) Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh khối lớp 12 có hai học sinh khối lớp 10 Bài giải a) Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh C124  495 Số cách chọn học sinh mà khối lớp có em tính sau: - Khối lớp 10 có học sinh, khối lớp 11, 12 có học sinh có C52C41C31  120 cách - Khối lớp 11 có học sinh, khối lớp 10, 12 có học sinh có C51C42C31  90 cách - Khối lớp 12 có học sinh, khối lớp 10, 11 có học sinh có C51C43C32  60 cách Vậy số cách chọn học sinh mà khối lớp có học sinh 120+90+60=270  Số cách chọn thỏa mãn 495-270=225 b) Ta chọn học sinh thỏa mãn đề vào tổ 1, học sinh lại tạo thành tổ Có C52C43C31 cách chọn tổ có học sinh khối lớp 10, học sinh khối lớp 11, học sinh khối lớp 12 Có C52C42C32 cách chọn tổ có học sinh khối lớp 10, học sinh khối lớp 11, học sinh khối lớp 12 42 Có C53C42C31 cách chọn tổ có học sinh khối lớp 10, học sinh khối lớp 11, học sinh khối lớp 12 Có C53C41C32 cách chọn tổ có học sinh khối lớp 10, học sinh khối lớp 11, học sinh khối lớp 12  Vậy có C52C43C51  C52C42C32  C53C42C31  C53C41C32  600 cách chia tổ thỏa mãn đề Bài Có n nam, n nữ Có cách xếp cho: a) 2n người ngồi quanh bàn tròn b) 2n người ngồi vào hai dãy ghế đối diện cho nam nữ ngồi đối diện Bài giải a) Người thứ có cách chọn chỗ ngồi chỗ ngồi khơng phân biệt so với bàn tròn Sau có chuẩn người thứ n  người lại có  n  1! cách xếp chỗ ngồi  Vậy có  n  1! cách b) Xếp n nam vào dãy ghế có n! cách Xếp n nữ vào dãy ghế có n! cách Đổi chỗ n cặp nam nữ đối diện có 2.2…2= n n n  2n cách n  Vậy có ( n!) 2n cách xếp nam nữ ngồi đối diện Bài Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy không đủ màu, biết viên bi khác Bài giải  Có C54 cách chọn viên có màu vàng 43  Có C54 cách chọn viên khơng có màu vàng  Có C74 cách chọn viên khơng có màu trắng  Có C84 cách chọn viên khơng có màu đỏ Trong C74 cách chọn viên bi bi trắng có chứa C54 cách chọn viên có màu vàng Trong C84 cách chọn viên khơng có bi đỏ có chứa C54 cách chọn viên có màu vàng  Vậy có C54  C54  C74  C84  C54  C54  105 cách chọn Bài tập áp dụng Bài Có 20 học sinh (8 nữ có Lan, 12 nam có Nam Tí ) a) Có cách chọn tổ người có nhiều bạn Tí, Nam Lan b) Có cách xếp thành hàng dọc cho Lan đứng đầu bạn nam ln đứng cạnh Tí Nam khơng đứng cạnh Bài Một hộp đựng cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng đánh số từ đến a) Có cách lấy cầu màu? cầu số b) Có cách lấy cầu khác màu? cầu khác màu khác số? Bài Trong kỳ thi kết thúc mơn tốn học rời rạc có 10 câu hỏi Có cách gán điểm cho câu hỏi tổng số điểm 100 câu hỏi điểm 44 Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn chỗ ngồi cho học sinh nam học sinh nữ vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: a) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện không giới tính b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện khơng giới tính 2.5.3 Các tốn khác Bài Cho p điểm khơng gian có q điểm đồng phẳng Số lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm a) Có mặt phẳng khác nhau? b) Có tứ diện Bài giải a) Mỗi mặt phẳng xác định điểm không đồng phẳng Trong p điểm có C p3 mặt phẳng (nếu p điểm khơng có điểm đồng phẳng) Do p điểm có q điểm đồng phẳng tức q điểm xác định mặt phẳng  Số mặt phẳng cần tìm C 3p  Cq3  b) Một tứ diện có đỉnh tương ứng với điểm không đồng phẳng p điểm Chọn điểm p điểm có C p4 cách Trong C p4 có chứa Cq4 không tứ diện  Số tứ diện cần tìm C p4  Cq4 Bài Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C Từ A dựng m đường thẳng, từ B dựng n đường thẳng, từ C dựng p đường thẳng Trong 45 đường thẳng vừa dựng khơng có đường thẳng đồng quy khơng có cặp đường thẳng song song Tìm số tam giác tạo giao điểm đường thẳng trừ điểm A, B, C Bài giải Số giao điểm nằm đương thẳng xuất phát từ A n  p Số giao điểm nằm đương thẳng xuất phát từ B m  p Số giao điểm nằm đương thẳng xuất phát từ C n  m  Tổng số giao điểm là:  m(n  p)  n(m  p)  p(m  n)  mn  np  pm Mỗi giao điểm không thẳng hàng tạo tam giác 3 3  Số tam giác tạo Cmnnp  pm  mCn p  nCm p  pCmn Bài Cho tập X có n phần tử, tập Y có m phần tử Có bao nhiêu: a) Ánh xạ f : X  Y b) Đơn ánh f : X  Y m  n c) Toàn ánh f : X  Y m  n Bài giải a) Mỗi phần tử X có m cách chọn phần tử tương ứng Y làm ảnh Do X có n phần tử  số ánh xạ f : X  Y m m  m  mn cách    n b) Để f đơn ánh phần tử khác X tương ứng ảnh phần tử khác thuộc Y Do ban đầu ta chọn n phần tử từ m phần tử từ Y làm ảnh cho phần tử X có Cmn cách Sắp xếp n phần tử X vào n phần tử Y chọn có n! cách 46  Số đơn ánh Cmn n!  Amn c) Khi m  n f tồn ánh f song ánh  Số song ánh Ann  Pn  n! Tổng qt: Với n  m số tồn ánh từ X vào Y tìm sau: Ta chọn m phần tử có thứ tự X làm tạo ảnh cho m phần tử Y có Anm cách chọn Khi X  n  m  phần tử, phần tử có m cách chọn ảnh  Có Anm m m  m  Anm n n m số toàn ánh    n m Bài Tìm số đa thức bất khả quy bậc 5 Bài giải     0,1,2,3,4 Xét đa thức đơn hệ bậc có dạng: f ( x )  x  bx  cx  d (b, c, d  )  Có 5.5.5=125 đa thức Nếu f ( x ) khả quy f ( x ) có dạng: * f ( x)  ( x  m)( x  n)( x  k ),(m, n, k  )  có C53 đa thức * f ( x)  ( x  m)2 ( x  n),(m, n   )  có C52 đa thức * f ( x)  ( x  m)3 ,(m   )  có đa thức * f ( x)  ( x  m)( x  nx  p) , ( m   , x  mx  p đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy 5 ) Ta tìm số đa thức g ( x)  x  mx  p bất khả quy 5 Số đa thức dạng g ( x ) 5 5.5=25 47 Nếu g ( x) khả quy g ( x) có dạng:  g ( x)  ( x  m)( x  n), (m, n  )  có C52 đa thức  g ( x)  ( x  m)2 ,(m   )  có đa thức  Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy 5 25  (C52  5)  10 đa thức  Số đa thức f ( x)  ( x  m)( x  nx  p) 5.10=50 Vậy số đa thức đơn hệ bậc bất khả quy 5 là: 125  (C53  C52   50)  50 Số đa thức bất khả quy bậc 5 là: 4.50=200 đa thức Tổng quát: Tìm số đa thức bất khả quy bậc  p ( p số nguyên tố) Bài giải  Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy  p là: p  (C p2  C1p )  Số đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba  p là: p  (C 3p  C p2  C 1p  p  (C p2  C1p ))  p  (C p3  p )  Số đa thức bất khả quy bậc ba  p  p  1  p  (C p3  p )  Bài tập áp dụng Bài Cho tập hợp X ={1, 2, …, 2012} a) Có số chia hết cho số 2, 3, 5, b) Có cách chọn m số mà có số liên tiếp Bài Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác H a) Có tất tam giác có cạnh cạnh đa giác 48 b) Có tất tam giác có cạnh cạnh đa giác, khơng có cạnh cạnh đa giác c) Giả sử khơng có đường chéo đồng quy Hỏi có giao điểm đường chéo Bài 3: Trong thi cờ vua có 2n người tham dự người chơi bàn cờ với người khác Chứng minh có 1.3 (2n  1) cách đặt Bài 4: Một đoàn người gồm 21000 người xuất phát từ điểm O, nửa hướng Đông, nửa hướng Tây Mỗi nhóm gặp giao lộ lại tách làm đơi Cứ tiếp tục Hỏi có người đến giao lộ hàng thứ 1000 49 KẾT LUẬN Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên trường đại học cao đẳng toán tổ hợp xuất thử thách lớn cho thí sinh Rất nhiều tốn hay khó giải cách gọn hay cách sử dụng kiến thức tổ hợp Trong khóa luận em hệ thống sở lý thuyết để giải toán tổ hợp bao gồm lý thuyết tập hợp lý thuyết tổ hợp, đưa số dạng tốn tổ hợp cách giải Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu khoa học học tập môn tốn Từ khóa luận giúp bạn đọc biết thêm số kiến thức tổ hợp bổ sung thêm số dạng tập tổ hợp Mặc dù cố gắng trình làm khóa luận lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hạn chế thời gian trình độ kiến thức nên khóa luận khơng tránh thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận em hoàn chỉnh 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia mơn tốn, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2010) Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Lam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11,Nhà xuất giáo dục (2008) Trần Văn Hạo (Chủ biên), Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích – Đại số tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (2009) Ngơ Thúc Lanh, Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất giáo dục (1998) Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hồng Danh, Trần Minh Quang, Bài tập toán đại số tổ hợp, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Ngô Thế Phiệt, 250 tốn Giải Tích Tổ Hợp, Nhà xuất Đồng Nai (1994) Vũ Trí, Trần Hà, Tuyển tập 39 đề thi thử thi tuyển sinh vào trường đại học – cao đẳng mơn tốn, Nhà xuất Hà Nội (2011) 51 ... so sánh, tổng hợp Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có: Chương 1: Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2: Một số dạng toán tổ hợp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Tập hợp 1.1.1 Tập hợp Định nghĩa:... tốn tổ hợp Đối tượng nghiên cứu Một số dạng toán tổ hợp chương trình tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng kết phân dạng tập tổ hợp Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng... CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP 2.1 Rút gọn biểu thức tổ hợp 2.2 Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp 2.3 Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp 14 2.3.1 Giải