Luận văn một số dạng toán trong giải tích hàm

Nguyễn Trung Kiên 2008 Trang 1 Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 2 Lời nói đầu Đề tài này, với đặc trưng là có số lượng bài tập phong phú, đa dạng và có kết cấu chặt chẽ, chính là thành quả làm việc hơn ba tháng của em. Ngoài ra, nó cũng chính là kết tinh của những kết quả mẫu mực, là sự liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết và còn nhiều, nhiều nữa mà những điều này không thể không nhắc đến những thầy, cô đã đưa em đi trên con đường chinh phục tri thức. Vì lý do đó, em xin trân trọng gửi lời cám ơn đến Bộ Môn Toán- Khoa Sư Phạm- Trường Đại Học Cần Thơ, đặc biệt là bộ môn Giải tích: thầy Đỗ Quang Huy, thầy Lê Hồng Đức, cô Trần Thị Thanh Thúy, thầy Phạm Gia Khánh, cô Dương Thị Xuân An đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này. Trong đó, thầy Lê Hồng Đức là giảng viên giảng dạy môn Giải tích hàm và cũng là giáo viên hướng dẫn đề tài đã giúp em vượt qua một số khó khăn, trở ngạy về vấn đề chuyên môn cũng như về phương pháp nghiên cứu. Bên cạnh đó, thầy Phạm Gia Khánh và cô Dương Thị Xuân An, là cán bộ giảng dạy môn Giải tích, đã cung cấp cho em những kiến thức nền tảng về Giải tích thông qua những giờ mà thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy ở lớp Sư Phạm Toán K30. Ngoài ra, cô Trần Thị Thanh Thúy và thầy Đỗ Quang Huy cũng là những người có ảnh hưởng rất lớn đến thành tựu về tư duy toán học mà em đã đạt được trong những năm học ỏ bậc Đại học. Điều đó chính là niềm khích lệ để em hoàn thành đề tài. Sinh viên thực hiện đề tài Nguyễn Trung Kiên Nguyễn Trung Kiên 2008 Trang 3 A.PHẦN MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là một ngành toán học được giảng dạy và học tập ở bậc cử nhân cũng như sau đại học. Đối với sinh viên đây là một môn học khó bởi vì nó có tính trừu tượng khá cao. Vì vậy, không ít sinh viên cảm thấy e sợ và có cảm giác xa lạ đối với môn học. Là một sinh viên, cũng như những sinh viên khác, em đã hiểu được những khó khăn, trở ngại khi học môn giải tích hàm. Nhìn chung sự khó khăn đó bắt nguồn từ những lý do sau đây: + Thứ nhất, sinh viên chưa nắm rõ được mối liên hệ giữa cái tổng quát và cái cụ thể. + Thứ hai, sinh viên chưa tổng hợp được các tính chất, định lý trong một mắc xích chặt chẽ. + Thứ ba, sinh viên chưa khai thác được vấn đề mấu chốt trong các tính chất, định lý. Cho nên việc ghi nhớ các định lý, tính chất này trở nên khó khăn. Mà việc khai thác này chủ yếu nằm ở khâu giải bài tập của sinh viên. Chính vì vậy, việc khắc phục những khó khăn trên là hết sức cần thiết. Với lý do đó, em quyết định chọn đề tài: Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2) Lịch sử vấn đề Giải tích hàm là một ngành toán học ra đời cách đây một khoảng thời gian khoảng trên dưới 80 năm. Vì vậy, giải tích hàm đã tích lũy được một số kết quả hết sức mẫu mực và đặc thù. Những kết quả đó ảnh hưởng ít nhiều đến các ngành toán học lý thuyết và ứng dụng khác. Do đó, nó mở ra chân trời mới để nghiên cứu và học tập toán học. Tuy nhiên, dù có phát triển đến mức độ nào đi chăng nữa thì những kết quả ban đầu vẫn đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng. Nói một cách khác, những kết quả “thô sơ” này là những viên gạch đầu tiên để xây dựng nên một lâu đài toán học nguy nga, đồ sộ. Với lý do đó, những quyển sách về giải tích hàm vẫn tiếp tục được biên soạn và ra mắt bạn đọc, nhưng với Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 4 mức độ hiện đại ngày càng cao. Dựa trên tinh thần này, sinh viên cũng nên nắm bắt môn học giải tích hàm theo hướng tinh giản hóa và hiện đại hóa. Cho nên, em nghĩ rằng đề tài này một mặt giúp cho em làm quen với việc nghiên cứu toán học theo hướng hiện đại, mặt khác nó có thể làm một tài liệu tham khảo cho các bạn yêu thích môn giải tích hàm. 3) Mục đích nghiên cứu Em nghiên cứu đề tài này với mục đích: + Tổng hợp các tính chất, định lý của giải tích hàm một cách có hệ thống. + Phân dạng bài tập cho phù hợp với mỗi định lý, tính chất. + Cụ thể hóa các không gian trừu tượng để nhấn mạnh mối liên hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng. 4) Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài của em, em chỉ nghiên cứu những vấn đề về không gian định chuẩn và ánh xạ tuyến tính liên tục. 5) Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp tài liệu để có được nguồn kiến thức cần thiết. + Phân tích những mặt mạnh và những mặt chưa phù hợp (trong phạm vi mục đích và yêu cầu của đề tài) của những tài liệu hiện có để rút ra những kinh nghiệm nghiên cứu cần thiết. + Tiếp thu những thông tin mới về các vấn đề có liên quan đến đề tài, chủ yếu từ Internet. Nguyễn Trung Kiên 2008 Trang 5 Chương 0. Không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương Chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương để làm nền tảng cho việc nghiên cứu các chương sau một cách có hệ thống. Trong toàn bộ đề tài này, K là trường số thực hay trường số phức. 0.1 Không gian vectơ tôpô 0.1.0 Định nghĩa Cho tập E ≠ ø. E được gọi là không gian vectơ tôpô nếu: i) E là không gian vectơ trên trường K. ii) E là không gian tôpô. iii) Các phép toán: yxyx EEE + → × + a ),( : và xx EE .),( : λλ a → × ⋅ K là liên tục đối với tôpô trong E. 0.1.1 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính E. i) A được gọi là lồi nếu:    =+≥∀ ∈∀ 1:0, , µλµλ Ayx ta đều có Ayx ∈ + µ λ . ii) A được gọi là cân nếu:    ≤∈∀ ∈∀ 1: λλ K Ax ta đều có Ax ∈ λ . iii) A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A lồi và cân. iv) A được gọi là hút x E ∈ nếu: ):(:0 λµµµλ ≥∈∀∈>∃ KAx Hay ):(:0 λµµµλ ≤∈∀∈>∃ KAx A được gọi là hút nếu A hút mọi x E ∈ . Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 6 0.1.2 Các tập lồi, cân, tuyệt đối lồi và hút cụ thể Ta có thể xem R 2 là không gian vectơ trên R. + Tập lồi: Ta xét tập S(0,1)= { } 1),( 222 <+∈ yxyx R    =+≥∀ ∈∀ 1,0, )1,0(),(),,( µλµλ Stzyx Ta có: ),(),(),( tyzxtzyx µ λ µ λ µ λ + + = + mà 12)(2)()()()( 2222222222 =++<+++++=+++ λµµλλµµλµλµλ ytxzyxyxtyzx (Vì 11))(()( 22222 <+⇒<++≤+ ztxytzyxytxz ). Vậy S(0,1) là tập lồi. + Tập cân: Ta xét tập S’(0,1)= { } 1),( 2 <+∈ yxyx R .    ≤∀ ∈∀ 1: )1,0('),( λλ Syx Ta có: ),(),( yxyx λ λ λ = mà ( ) 1<+=+ yxyx λλλ . Vậy S’(0,1) là tập cân. + Tập tuyệt đối lồi: Dễ dàng chứng minh được tập S(0,1) và S’(0,1) là tập tuyệt đối lồi. + Tập hút: Ta xét tập S[0,r]= { } 2222 ),( ryxyx ≤+∈R . Với mỗi ))0,0(),((),( 2 ≠∈ vuvu R ta có: 0 22 > + =∃ r vu λ để λµµ ≥∀ : thì { } 2222 ),(],0[ ryxRyxrS ≤+∈= µµ chứa (u,v) vì: ( ) ),(, µµ µ vu vu = mà 2 2 22 2 22 22 r vuvuvu = + ≤ + =         +         λµµµ . Nếu (u,v)=0 thì rõ ràng ],0[),( rSvu ∈ . Vậy S[0,r] là tập hút. Nguyễn Trung Kiên 2008 Trang 7 0.1.3 Một số tính chất của không gian vectơ tôpô 0.1.3.1. Giả sử E là không gian vectơ tôpô và U là cơ sở lân cận của gốc. Khi đó họ U có các tính chất sau: i) Mỗi ∈ U U là tập hút. ii) Với mỗi ∈ U U tồn tại V ∈ U :V+V ∈ U. iii) Với mỗi ∈ U U tồn tại lân cận cân W của gốc sao cho W ⊂ U. Chứng minh i) Với x 0 ∈ X, ta xét: 0 : x Ef λλ a → K Hiển nhiên f liên tục tại λ =0 vì phép nhân liên tục. Do đó tồn tại một lận cận { } ελλ ε <=N của 0 K sao cho UNf ⊂)( ε , có nghĩa là: Ux ∈ 0 λ khi ελ ≤ . Ux µ∈⇒ 0 khi 1− ≥ εµ . Ø Nhận xét 0.1.1 Mỗi tập mở trong không gian vectơ tôpô là một tập hút. Chứng minh Bổ đề: Cho E và F là hai không gian vectơ tôpô trên cùng trường K và toàn ánh tuyến tính liên tục FEf → : . Khi đó f biến tập hút trong E thành tập hút trong F. Thật vậy: Xét U là tập hút trong E. Ta chứng minh f(U) là tập hút trong F. Fy ∈ ∀ thì )(: xfyEx = ∈ ∃ (Vì f là toàn ánh). Vì U là tập hút nên ):(:0 λµµµλ >∈∀∈>∃ KUx Ta có: )()()( UfUfxfyUx µ µ µ = ∈ = ⇒ ∈ (Vì f tuyến tính). Hay ):()(:0 λµµµλ >∀∈>∃ Ufy . Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 8 Do đó f(U) là tập hút. Bây giờ, xét V là tập mở trong E. Vì V là tập mở nên V là lân cận của y trong V. Lúc đó tồn tại lân cận U của gốc sao cho y+U ⊂ V. Vì U là tập hút và phép cộng là song ánh tuyến tính liên tục nên y+U cũng là tập hút. Do đó V cũng là tập hút. ii) Đặt g(x,y)=x+y. Khi đó g liên tục tại x=0, y=0. Do đó tồn tại các lân cận gốc V 1 , V 2 sao cho: x+y ∈ U khi x ∈ V 1 , y ∈ V 2 UVV ⊂+⇒ 21 Do tính chất cơ sở U , tồn tại ∈ V U: 21 VVV ∩⊂ UVV ⊂ + ⇒ . iii) Xét ánh xạ: xx EEh λλ a ),( : → × K . Khi đó h liên tục tại 0,0 = = x λ vì phép nhân liên tục. Do đó tồn tại lân cận V và 0 > ε sao cho: Ux ∈ λ khi ελ ≤ và Vx ∈ UV ⊂ ⇒ λ khi ελ ≤ . Với UVUV µε µ ε ε µ ε µ ⊂⇒⊂⇒≤⇒≥1 . UV µ ε ⊂ ⇒ khi 1≥µ . Ta đặt I 1≥ = µ µUW . Khi đó WV ⊂ ε Vì V ε là lân cận của gốc nên W cũng là một lân cận của gốc. Ta chứng minh W là lận cận cân. Nếu Wx ∈ và 10 ≤< λ , với 1≥µ ta có: Ux λ µ ∈ (do 1≥ λ µ ). Ux µ λ ∈ ⇒ Wx ∈ ⇒ λ W ⇒ là lân cận cân và UW ⊂ . Nguyễn Trung Kiên 2008 Trang 9 0.1.3.2. Giả sử E là không gian vectơ tôpô và A là tập đóng trong E. Chứng minh rằng nếu Ax ∉ thì tồn tại lân cận U của x và lân cận V của A sao cho = ∩ VU ø. (Ở đây ta hiểu tập V là lân cận của tập A nếu V là lân cận của mọi điểm trong A) Chứng minh Vì A đóng nên tồn tại lân cận V của x sao cho AV ∩ = ø. Ta lại có tồn tại lân cận W của gốc sao cho: x+W ⊂ V. AWx ∩ + ⇒ )( = ø. Vì E là không gian vectơ tôpô nên tồn tại lân cận cân Ω của gốc sao cho W ⊂ Ω + Ω . Khi đó đặt: U=x+ Ω và V=A+ Ω . Ta có U, V lần lượt là lân cận của x và A mà = ∩ VU ø. Thật vậy nếu có )()( Ω + ∩ Ω + = ∩ ∈ AxVUy thì y=x+u=a+v với Ω ∈ vu, và Aa ∈ . avux = − + ⇒ )( Mà Wvu ⊂ Ω + Ω ∈ − AWxvux ∩ + ∈ − + ⇒ )()( (vô lý) Vậy = ∩ VU ø. Ø Nhận xét: Không gian vectơ tôpô là không gian tách. Thật vậy yx, ∀ thuộc không gian vectơ tôpô mà x ≠ y thì { } yx ∉ . Nên theo tính chất trên ta có đpcm. 0.1.3.3. Giả sử E là không gian vectơ tôpô và A, B là các tập con của E. Hãy chứng minh: i) Nếu A mở, B tùy ý thì A+B là tập mở. ii) Nếu A là tập đóng, B là tập compact thì A+B là tập đóng. Chứng minh i) Giả sử x+y ∈ A+B, ở đó ByAx ∈ ∈ , . Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 10 Do A mở nên tồn tại lân cận U x của x sao cho AU x ⊂ . ⇒ tồn tại lân cận U của gốc sao cho x+U=U x . Lúc đó x+y+U là lân cận của x+y và x+y+U ⊂ A+B. Vậy A+B là tập mở. ii) Ta sẽ chứng minh )(\ BAE + là tập mở. Thật vậy: Lấy BAx + ∉ thì với mỗi Bb ∈ ta có { } =∩− Abx ø. Từ giả thiết A đóng nên tồn tại lân cận U b của gốc sao cho =∩+− AUbx b )( ø. Chọn lân cận cân V b của gốc sao cho bbb UVV ⊂+ . Ta có )( U Bb b VbB ∈ +⊂ trong đó b+V b là các tập mở. Vì B compact nên tồn tại { } niVb i bi ≤≤+ 1 phủ B. (1) Đặt I n i b i VV 1= = . Khi đó V là lân cận cân của gốc. Ta chứng minh = + ∩ + )()( BAVx ø. Giả sử ≠ + ∩ + )()( BAVx ø. Lúc đó tồn tại VbaxBbAa + ∈ − ∈ ∈ :, . Vì Bb ∈ nên từ (1) suy ra b-b i ∈ i b V ( ni 1 = ∀ ) Do đó: x-(a+b i )=[x-(a+b)]+(b-b i ) iiii bbbb UVVVV ⊂+⊂+∈ ≠∩+−⇒ AUbx i bi )( ø. (Vô lý) Vậy E\(A+B) là tập mở nên A+B là tập đóng. Nhận xét: Nếu A, B là các tập đóng thì A+B chưa chắc là tập đóng. Chứng minh Xét không gian vectơ tôpô R với tôpô thông thường. Ta lấy A={1,2,…,n,…} [...]... trên E Trang 13 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm 0.2 Không gian lồi địa phương Trong các không gian vectơ tôpô thì không gian lồi địa phương đóng một vai trò quan trọng 0.2.1 Định nghĩa 0.2.1 Không gian vectơ tôpô E được gọi là không gian lồi địa phương nếu trong E có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn các tập lồi Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi, do đó trong không gian lồi... không gian lồi địa phương đều có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi, cân và hút Trang 15 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm Chương 1 Không gian định chuẩn Trong chương 0, chúng ta đã được làm quen với không gian vectơ tôpô Không gian định chuẩn là một lớp quan trọng trong không gian vectơ tôpô Chính vì vậy, việc nghiên cứu không gian định chuẩn sẽ cho ta một số kết quả quan trọng giúp ta tìm... Quá trình giới hạn chính là nội dung nghiên cứu của giải tích, quá trình giới hạn trong không gian định chuẩn là như thế nào? Ta nghiên cứu định nghĩa sau: 1.1.5 Định nghĩa 1.2 - Dãy {x n } là dãy hội tụ về x trong E nếu: ∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n ≥ N ta có: xn − x < ε Trang 19 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm - Dãy {x n } là một dãy Cauchy trong E nếu ∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n, m ≥ N ta có:... + ε ⇒ x+y ≤ x + y Trang 27 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm Vậy  E F , E  là không gian định chuẩn    F  Ta gọi E F là không gian định chuẩn thương Trang 28 Nguyễn Trung Kiên 2008 1.2 Một số tính chất của không gian định chuẩn 1.2.1 Chứng minh trong không gian định chuẩn (E , ) thì hình cầu đóng đơn vị { } B(0,1) = x ∈ X x ≤ 1 là tập lồi Ngược lại nếu trong không gian tuyến tính E ta... mật trong E Thật vậy: Trang 31 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm ∀x ∈ E ta có: Nếu x=0 thì rõ ràng x ∈ M x r r x ∈U ⇒ x∈M ⇒ x∈ M =M x x r Nếu x ≠ 0 thì (Vì M là không gian con của E) Vậy E = M hay M trù mật trong E 1.2.4 Cho A là tập cân trong không gian định chuẩn E Giả sử ∃r > 0 sao cho B (0, r ) ⊂ A Cho x ∈ B (0, r ) Chứng minh: i) ∀ε > 0 , ∃ y ∈ r −1 x A sao cho x − y < ε ii) Có một dãy... Nhận xét: Nếu U là tập lồi và λ , µ là các số dương thì λU + µU = (λ + µ )U Chứng minh tương tự như 0.1.4.5 0.1.3.6 Nếu một không gian vectơ tôpô E có một không gian con tuyến tính M là tập mở thì M=E Chứng minh Do M là tập mở nên M là tập hút (theo nhận xét 0.1.1) Với mỗi x ∈ E ta có ∃λ > 0 sao cho x ∈ µM ∀ µ > λ Trang 11 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm ⇒ x x ∈ M ⇒ µ ∈ M hay x ∈ M µ µ Vậy... mọi λ ∈ K ta đặt: x + y = {x n + y n } , λx = {λx n } và x = max{ xn } n∈N Trang 23 ∀t ∈ A ∞ 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm Chứng minh (F , ) là một không gian định chuẩn Chứng minh Ta dễ dàng kiểm tra được với hai phép toán cộng và nhân như trên thì F là không gian vectơ Ta chứng minh là một chuẩn Thật vậy: ∀x = {x n }∈ F ta có: x = max{ xn } ≥ 0 vì x n ≥ 0 ∀n ∈ N n∈N Và x = 0 ⇔ max{xn... là không gian định chuẩn và A ⊂ E Chứng minh ánh xạ f : A → F liên tục trên A nếu và chỉ nếu với mọi tập V mở trong F có một tập mở W trong E sao cho f −1 (V ) = A ∩ W Chứng minh - Nếu ánh xạ f liên tục trên A Khi đó: ∀x ∈ f −1 (V ) ta có: Trang 35 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm f ( x ) ∈ V mà V là tập mở nên ∃ε > 0 : B ( f ( x), ε ) ⊂ V Mặt khác, do f liên tục trên A nên ∃δ x > 0 sao... 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm Mặt khác V j là tập mở nên ∃ε > 0 : B ( x0 , ε ) ⊂ V j 0 0 Vì lim xn = x0 nên ∃ n k > k →∞ k 2 1 ε hay > sao cho ε nk 2 x nk − x 0 < ε 2 Ta chứng tỏ rằng B ( x nk , ∀y ∈ B ( x n k , 1 ) ⊂ B ( x 0 , ε ) ⊂ V j0 Thật vậy: nk 1 ) ta có: nk y − x 0 ≤ y − x nk + x nk − x 0 < ε ε + =ε 2 2 ⇒ y ∈ B ( x0 , ε ) Nên B ( x n , k 1 ) ⊂ V j0 (Vô lý do (1)) nk Vậy có một số. .. B( y, ) ⊂ B( x + y, r ) ⊂ W Vậy phép cộng trong E là liên tục - Lấy λ ∈ K , x ∈ E và V là lân cận của λx ⇒ tồn tại quả cầu mở B (λx, r ) sao cho B (λx, r ) ⊂ V Khi đó, với mọi µ thoả µ − λ < r r thì µB ( x, ) ⊂ B( λx, r ) 2 x +1 2 µ +1 Thật vậy: Lấy t ∈ µB ( x, r r ) thì t = µu với u ∈ B ( x, ) 2 µ +1 2 µ +1 Trang 17 2008 Một số dạng toán trong Giải tích hàm Ta được: t − λx = µu − λx = (µu − µx) . hàm. 2) Lịch sử vấn đề Giải tích hàm là một ngành toán học ra đời cách đây một khoảng thời gian khoảng trên dưới 80 năm. Vì vậy, giải tích hàm đã tích lũy được một số kết quả hết sức mẫu mực. một lâu đài toán học nguy nga, đồ sộ. Với lý do đó, những quyển sách về giải tích hàm vẫn tiếp tục được biên soạn và ra mắt bạn đọc, nhưng với Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 . Vậy trong mỗi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi, cân và hút. Một số dạng toán trong Giải tích hàm. 2008 Trang 16 Chương 1. Không gian định chuẩn Trong