Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học

Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp “Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trù

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giáo dục Tiểu học

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có được điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đặc

biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã định

hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này

Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học để hoàn thành khóa luận như hiện tại

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt

nghiệp “Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả,

không trùng với bất kì khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Nguyễn Thị Phương Thảo

Sinh viên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 3

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học về môn Toán 3

1.2 Vai trò và vị trí của việc giải toán trong dạy và học toán 5

1.2.1 Một số phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học 5

1.2.2 Tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán 6

1.2.3 Ưu điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải toán bậc Tiểu học 7

1.2.4 Nhược điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải toán bậc Tiểu học 7

Kết luận chương 1 9

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẬC TIỂU HỌC 10

2.1 Quy trình chung thực hiện việc giải bài toán 10

2.2 Về dạng các bài toán tính ngược từ cuối 11

2.2.1 Khái niệm phương pháp tính ngược từ cuối 11

2.2.2 Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở Tiểu học 12

2.3 Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học 15

2.3.1 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải các bài toán số học 15 2.3.2 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài toán có lời văn 19 2.3.3 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài toán tính ngược

từ cuối gộp 26 2.3.4 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài toán vui và toán

cổ 35 2.4 Một số đề xuất trong việc giải bài toán tính ngược từ cuối 42 2.4.1 Những đề xuất liên quan đến phương pháp dạy học tính ngược từ cuối 43 2.4.2 Những đề xuất giúp giáo viên và học sinh khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Bậc Tiểu học là một bậc học quan trọng, nó được coi là

một bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân, với mục tiêu nhằm giúp cho học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn, lâu dài về trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản để các em tiếp tục học Trung học cơ sở Để thực hiện được mục tiêu đó của nền giáo dục, bậc Tiểu học đã có sự đổi mới như nội dung ngày càng hiện đại, tính hệ thống ngày càng cao, vấn đề đưa ra ngày càng sâu rộng còn phương pháp dạy học ngày càng phong phú, đa dạng theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh Các kiến thức của môn Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống và rất cần thiết cho người lao động Môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển trí tuệ, tư duy lôgic, sáng tạo, bồi dưỡng trí thông minh cho học sinh Đồng thời, nó góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của người lao động: cần cù, kiên trì, có ý chí vượt khó

Ở Tiểu học, mức độ khó của bài toán được nâng cao dần cho phù hợp với trình độ của các em, giúp cho các em làm quen được với nhiều dạng bài khác nhau từ dễ đến khó Có rất nhiều phương pháp giải toán và có những bài toán được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, nhưng cũng có bài phải dùng phương pháp đặc trưng thì mới giải được

Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong những phương pháp điển hình, một công cụ có hiệu quả để giải những bài toán có lời văn ở lớp 4,5 Khi giải bằng phương pháp này đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng phong phú

và phải biết vận dụng một cách linh hoạt

Cùng với việc nâng cao chất lượng giáo dục thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi

ở Tiểu học rất quan trọng Để trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập, trí thông minh của học sinh đặc biệt là học sinh lớp 4, 5, các thầy cô giáo phải tìm cho mình các phương pháp bồi dưỡng học sinh hợp lý, trong đó không thể

không kể đến phương pháp tính ngược từ cuối Tuy nhiên, phương pháp này hiện nay chưa được quan tâm, tìm hiểu và vận dụng một cách linh hoạt trong dạy học Theo tôi, phương pháp này giúp học sinh phát huy cao độ trí tưởng tượng và tư duy lôgic Hơn nữa, là một giáo viên trong tương lai, tôi thấy việc nghiên cứu các phương pháp giải toán, đặc biệt là phương pháp tính ngược từ cuối và những dạng toán có thể giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối rất

có ý nghĩa, vì nó giúp tôi hiểu rõ phương pháp này có thể giúp cho học sinh của mình vận dụng linh hoạt trong việc giải toán Do vậy, tôi quyết định chọn

đề tài “Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học”

2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ cơ sở lý

luận của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải một số dạng toán trong nhà trường Tiểu học Qua đó, góp phần nâng cao hiệu quả của việc

dạy và học giải toán ở bậc Tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải một số dạng toán bậc Tiểu học

Nghiên cứu các dạng bài tập có thể áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối

Đề xuất một số phương hướng nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong quá trình giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối

4 Khách thể nghiên cứu Một số phương pháp giải toán ở bậc Tiểu học

5 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng toán giải bằng phương pháp tính

ngược từ cuối bậc Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp quan sát

Phương pháp tổng hợp

Phương pháp phân tích

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp xử lý thông tin

về thế giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt động khác một cách có hiệu quả

Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính Nhìn chung ở học sinh Tiểu học, hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên ngoài Tuy nhiên ở giai đoạn cuối bậc tiều học thì hệ thống tín hiệu thứ hai đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính không chủ định, tính xúc cảm và tính chất đại thể Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối tượng, cái trực quan,cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những hình ảnh tượng trưng sơ lược Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức sâu sắc ở các em còn non yếu Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em thường gắn với hành động và hoạt động thực tiễn Tri giác không gian và thời gian của các em còn hạn chế Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong suốt quá trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác hơn, đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được hướng dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác

Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ thể sang trừu tượng khái quát Đó là kết quả của quá trình học sinh tiếp xúc

với thực tế, trao đổi với xã hội và học tập mà đặc biệt là hoạt động học tập trong trường Các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa của học sinh được hình thành và phát triển

Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt động học tập và các hoạt động khác của các em Khuynh hướng tưởng tưởng

ở học sinh là tiến dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực khách quan trên cơ sở những tri thức tương ứng Hình ảnh tưởng tượng trở nên trọn vẹn hơn, phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp chúng càng chặt chẽ hơn, có lí hơn

Chú ý không chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học Chú ý của học sinh tiểu học chưa bền vững, nhất là học sinh lớp đầu tiểu học Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả năng phân tích nên dễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan gợi cảm

Sự chú ý của học sinh thường hướng ra hoạt động bên ngoài chứ không có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy và hoạt động trí óc Chú ý có chủ định được phát triển cùng với sự phát triển của động cơ học tập mang tính chất xã hội cao và sự phát triển của ý thức với kết quả học tập

Như vậy khả năng nhận thức của học sinh tiểu học luôn hình thành, biến đổi

và phát triển qua từng lớp của cấp học Vì vậy trong dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, để đạt được kết quả giáo dục tối ưu nhất ta cần căn cứ vào đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu và con đường chân lí mà Lê-nin đã nêu: “Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng quay trở lại thực tiễn” Quá trình hướng dẫn học sinh gải toán cần sử dụng phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp học sinh tiểu được bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh

1.2 Vai trò và vị trí của việc giải toán trong dạy và học toán Trong dạy

học toán bậc Tiểu học, giải toán có một vị trí quan trọng Khi giải toán học sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt huy động thích hợp các kiến thức đã có vào các bài tập khác nhau, giúp cho học sinh suy nghĩ năng động sáng tạo trong các trường hợp cần phát hiện ra dữ kiện chưa được nêu ra một cách tường minh Do đó việc giải toán là trung tâm của việc dạy và học toán

Vai trò của việc giải toán trong dạy và học toán

)

i Dạy học giải toán ở tiểu học giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng những kiến thức và thao tác thực hành đã học, rèn luyện kĩ năng tính toán, tập dượt vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng thực hành vào thực tiễn

)

ii Quan việc học giải toán, giáo viên giúp học sinh từng bước phát triển

năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kĩ năng suy luận, tập dượt khả năng phỏng đoán, quan sát, tìm tòi

)

iii Qua giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc

của người lao động mới như thói quen xét đoán có căn cứ, phân tích tư duy logic, tính cẩn thận, kiên trì và khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, xây dựng lòng ham thích, sáng tạo ở nhiều mức độ khác nhau

1.2.1 Một số phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học Trong hoạt

động giải toán, học sinh Tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp Các bài toán khác nhau ở bậc Tiểu học thì được lựa chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau Thông thường, phương pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất

trong hệ thống phương pháp giải toán ở Tiểu học

Một số phương pháp giải các bài toán có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng cao ở Tiểu học như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp rút về đơn vị, phương pháp chia tỉ lệ, phương pháp thử chọn, phương pháp khử, phương pháp giải thiết tạm, phương pháp thay thế, phương pháp

tính ngược từ cuối, phương pháp diện tích, phương pháp suy luận đơn giản, phương pháp ứng dụng nguyên lí Dirichlet, phương pháp dùng chữ thay số, phương pháp lập bảng, phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp lựa chọn tình huống

Mỗi phương pháp trên đều có những đặc điểm riêng, phạm vi áp dụng và ưu điểm, nhược điểm riêng Cho nên trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới thiệu đầy đủ cho học sinh về các phương pháp này để các em có thể vận dụng vào giải toán một cách linh hoạt, hợp lí và có hiệu quả hơn Đồng thời, những phương pháp này được coi là những công cụ để giải toán rất hữu hiệu, đặc biệt là phương pháp tính ngược từ cuối

1.2.2 Tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán Dạy giải toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng

những kiến thức về toán, được rèn luyện khả năng thực hành với những yêu cầu được thể hiện một cách đa dạng, phong phú Nhờ việc dạy học toán mà học sinh có điều kiện rèn luyện phương pháp suy luận và những phẩm chất

cần thiết của người lao động mới

Vấn đề chủ yếu của việc dạy học giải toán là giúp học sinh tự mình tìm hiểu được mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm trong điều kiện của bài toán

mà thiết lập được các phép tính số học tương ứng phù hợp Chính vì thế việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán nói chung và giải toán ở

tiểu học nói riêng là rất quan trọng

Trong việc dạy học giải toán, giáo viên phải giải quyết hai vấn đề sau

)

i Làm cho học sinh nắm được các bước cần thiết của quá trình giải toán và

rèn luyện khả năng thực hiện các bước đó một cách thành thạo

)

ii Làm cho học sinh nắm được và có khả năng vận dụng các phương pháp chung cũng như thủ thuật thích hợp với từng loại bài toán thường gặp để đạt được kết quả mong muốn

Như vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán tức là đã giải quyết vấn đề thứ hai trên đây Chính là khi đứng trước một bài toán học sinh phải nhận dạng được bài toán Từ đó mới có thể lựa chọn được phương pháp giải thích hợp và tối ưu nhất Đây cũng chính là điều mà nhà sư phạm mong muốn đạt tới khi dạy toán cho học sinh

1.2.3 Ưu điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải toán bậc Tiểu học

( )i Giáo viên được cung cấp đầy đủ đồ dùng dạy học như sách giáo khoa, sách hướng dẫn, các tài liệu tham khảo khác,…Đó là hành trang cần thiết cho mỗi giáo viên đứng lớp Học sinh có đủ tài liệu học tập như sách giáo khoa,

vở bài tập và đồ dùng học tập

( )ii Giáo viên các trường tiểu học đã biết giới thiệu và hướng dẫn cho học sinh phương pháp tính ngược từ cuối, đồng thời học sinh cũng đã biết tiếp thu

và vận dụng phương pháp này trong giải toán

( )iii Giáo viên đã biết kết hợp phương pháp tính ngược từ cuối với một số

phương pháp khác như: phương pháp giảng giải, trực quan, vấn đáp,… trong dạy học giải toán

1.2.4 Nhược điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải toán bậc Tiểu học Một số sai lầm thường mắc phải của giáo viên

khi sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong dạy học toán

( )i Giáo viên còn chưa thực sự thấy được ưu điểm của phương pháp tính ngược từ cuối, chưa tìm hiểu kĩ, chưa sáng tạo trong sử dụng phương pháp

tính ngược từ cuối để hướng dẫn học sinh vận dụng

( )ii Giáo viên mới chỉ yêu cầu học sinh tới mức giải từng bài toán cụ thể,

chưa liên hệ bài toán đang giải với bài toán đã giải chưa phát triển các đề toán tương tự với các bài toán đó qua việc học sinh tự đặt đề toán tương tự và giải

theo đề toán mới

( )iii Khi dạy giáo viên ít chú ý cung cấp ngôn ngữ toán cho học sinh dẫn đến các em thường gặp khó khăn khi xác định dữ kiện của bài toán Đặc biệt các

em không tự mình đặt được các đề toán phù hợp với thực tế cuộc sống

( )iv Giáo viên còn sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối một cách máy móc, khuôn mẫu trong dạy học toán Chưa có sự trao đổi, thống nhất giữa các giáo viên khi sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối, dẫn đến sử dụng sai phương pháp tính ngược từ cuối

*Một số sai sót thường mắc phải của học sinh khi sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải toán

( )i Khi giải toán học sinh còn thụ động, thực hiện máy móc theo yêu cầu của

giáo viên Học sinh chỉ hoạt động giải các bài toán cụ thể chứ không biết cách

so sánh liên hệ với các bài toán khác Vì vậy học sinh gặp khó khăn trong việc nhận thức cái chung trong các bài toán có nội dung bề ngoài khác nhau nhưng lại cùng thuộc một dạng toán

( )ii Khi vẽ sơ đồ biểu diễn bài toán học sinh chứ biết cách biểu diễn cho trực quan dễ hiểu

( )iii Do khả năng phân tích đề kém nên học sinh lúng túng khi gặp bài toán

có dữ liệu ở dạng gián tiếp Sau khi giải xong một bài toán, học sinh chưa kiểm tra lại kết quả của bài toán

Kết luận chương 1

Trong chương 1, khóa luận đã trình bày được vai trò và vị trí của giải toán trong dạy và học toán Đồng thời đã hệ thống hóa được các phương pháp giải toán thường dùng ở tiểu học và nêu được tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán

Ngoài ra, khóa luận đã trình bày được những ưu điểm và nhược điểm trong việc giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối ở tiểu học Bên cạnh những ưu điểm, tích cực cần phát huy thì vẫn tồn tại những hạn chế cần khắc phục nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giải toán ở trường Tiểu học

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI TRONG VIỆC GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN BẬC TIỂU HỌC 2.1 Quy trình chung thực hiện việc giải bài toán Muốn cho học sinh giải

một bài toán có lời văn giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các bước

hoạt động giải toán sau

Bước thứ nhất (Phân tích yêu cầu bài toán) Ở bước này, giáo viên hướng

dẫn học sinh tìm hiểu bài toán và yêu cầu các em trình bày về hai vấn đề như sau

( )i Bài toán cho biết những điều gì

( )ii Bài toán đòi hỏi phải giải quyết việc gì

Bước thứ hai (Phân tích đề bài để tìm ra cách giải) Yêu cầu các em học sinh

suy nghĩ từ những gì bài toán đã cho và cần giải quyết điều gì ở bước trên

(cần thiết giáo viên có thể đưa ra sự gợi ý tùy theo từng bài toán cụ thể hoặc

phân tích theo mỗi ý tưởng khác nhau của học sinh) để hướng các em tìm ra

lời giải

Trên sự thống nhất các ý kiến của học sinh, giáo viên tổng hợp và hướng dẫn học sinh lập quy trình về ý tưởng giải quyết bài toán

Bước thứ ba (Hướng dẫn tình bày giải bài toán) Trên cơ sở đã hướng dẫn ở

bước hai giáo viên có thể chọn một số học sinh (sự lựa chọn này phụ thuộc sự

nhận thức của từng đối tượng và mục đích của bài giảng để đáp ứng với hầu hết đối tượng trong lớp)

Bước thứ tư Đánh giá kết quả và phân tích sự hiệu dụng trong mỗi lời giải

(nếu có nhiều học sinh giải theo các cách khác nhau) Tiếp theo giáo viên đưa

ra những cách giải khác tốt hơn nếu có thể

2.2 Về dạng các bài toán tính ngược từ cuối

2.2.1 Khái niệm phương pháp tính ngược từ cuối Mô hình chung của việc

giải một bài toán tính ngược tính ngược từ cuối ở bậc tiểu học được chúng tôi giới thiệu ở đây, thực hiện theo sơ đồ như sau

…

Khái niệm về phương pháp tính ngược từ cuối là phương pháp thực hiện liên

tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong

đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm

Kĩ năng giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối cho học sinh tiểu học Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong số các phương pháp dùng để giải một số bài toán có văn ở tiểu học Đây là phương pháp mà khi ta giải ta phải đi ngược từ các dữ liệu ở cuối của đề bài toán để tìm ra đại lượng ban đầu Cơ sở của phương pháp này chính là việc đi tìm các thành phần chưa biết

trong một phép tính (Chẳng hạn: Tìm một số biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 5

ta sẽ được kết quả là 10 Ở đây số phải tìm chính là số bị trừ chưa biết trong phép trừ x 5 10) Những bài toán dạng này rất đa dạng và phong phú, ta

Từ các bước trung

gian ngược, đến

đây đi đến giả

thiết của bài toán

Từ yêu cầu của bài toán

Ngược lại từ yêu cầu đó, ta cần phải

có điều gì? Bước này có thể phải thực hiện một số giai đoạn trung gian tùy theo từng bài toán

có thể áp dụng dạy cho học sinh từ lớp một đến lớp năm ở bậc Tiểu học Các bài toán được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của các em và được chia ra làm nhiều dạng nhỏ với những cách giải khác

nhau như: dạng biến đổi các phép tính đơn giản dưới dạng tìm x , những bài

toán liên quan đến phân số, dạng những bài thêm bớt, dạng bài biến đổi liên tiếp phức tạp,… Việc hướng dẫn học sinh nắm được phương pháp giải các bài toán dạng này là một việc làm hết sức cần thiết đối với mỗi giáo viên Tiểu học, đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi

Những bài toán giải được bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằng phương pháp đại số hoặc phương pháp ứng dụng đồ thị.Tuy nhiên, có bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối sẽ ngắn gọn hơn,

dễ hiểu hơn (bài toán vui và toán cổ, bài toán tính ngược từ cuối gộp,…)

* Để giải dạng toán tính ngược từ cuối có rất nhiều phương pháp khác nhau như

Phương pháp giải bằng “tìm x ” (lập phương trình)

Phương pháp giải bằng dùng lược đồ

Phương pháp giải bằng dùng sơ đồ đoạn thẳng

Phương pháp giải bằng cách lập bảng biến đổi

Do đó giáo viên cần lựa chọn phương pháp giải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

2.2.2 Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở Tiểu học Môn Toán

ở bậc Tiểu học là một môn học thống nhất không chia thành các phân môn Gồm 4 mạch kiến thức: số học, đại lượng và đo lường, yếu tố hình học và giải toán có lời văn Trong đó giải toán có lời văn là một trong những nội dung quan trọng chiếm tỷ lệ khá nhiều trong nội dung môn Toán ở Tiểu học

Nó góp phần củng cố, luyện tập các kiến thức như số học, đại lượng và hình học Giải toán có lời văn được xây dựng xuyên suốt từ lớp một đến lớp năm

nhưng được giới thiệu ở các mức độ khác nhau Thông qua việc giải toán có lời văn, giáo viên giới thiệu học sinh các phương pháp giải toán

Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong những phương pháp giải toán hữu hiệu, một công cụ, một thuật toán để giải các bài toán điển hình, bài toán nâng cao Để biết rõ việc sử dụng phương pháp này ở các lớp Tiểu học ta đi

tìm hiểu cụ thể từng lớp

( )i Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở lớp 1,2,3

Lớp 1 Đây là lớp đầu Tiểu học cũng là lớp đầu của giai đoạn thứ nhất của

các lớp 1, 2, 3 Các em mới được làm quen với các kiến thức cơ bản nền tảng của môn Toán ở Tiểu học Nội dung dạy học giải Toán có lời văn được đưa vào trong Toán 1 và nó chia thành hai giai đoạn

Giai đoạn 1 “Chuẩn bị” ( học giải toán có lời văn) Học sinh được làm quen

với các tình huống qua tranh vẽ Từ đó nêu thành “bài toán có lời văn” (nêu

miệng đề toán) bước đầu có hướng giải bài toán (ở mức độ nêu phép tính giải

thích hợp)

Giai đoạn 2 “Chính thức” (học bài toán có lời văn) Học sinh được biết thế

nào là giải toán có lời văn, biết cách giải và trình bày bài giải toán có lời văn(ở mức độ tương đối hoàn chỉnh gồm câu lời giải, phép tính và đáp số)

Ví dụ Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 10 được bao nhiêu

đem cộng với 1 ta sẽ được kết quả là 91

Nhận xét Như vậy, để giải quyết bài toán trên, ta cần đi từ kết quả cuối cùng

là 91 để tìm được số đó sau khi trừ đi 10 91 – 1 90 và từ đó tìm được

số đó 90 10 100

Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán như sau

( )i Cho học sinh đọc kĩ đề toán và đặt câu hỏi gợi ý

Số nào đem cộng với 1 sẽ được kết quả là 91 ? (Số 90 )

Số phải tìm sau khi trừ đi 10 sẽ là bao nhiêu? 90

( )ii Ghi lời giải thứ nhất của bài toán, gọi học sinh nêu phép tính

Số phải tìm sau khi trừ đi 10 là: 91 – 1 90

Số nào trừ đi 10 sẽ được 90 ? (Số100 )

Vậy số phải tìm sẽ là bao nhiêu? 100

( )iii Ghi lời giải thứ hai của bài toán, gọi học sinh nêu phép tính

Số phải tìm là: 90 10 100 Vậy số phải tìm là 100

Như vậy ở lớp 1 học sinh chủ yếu làm quen với bài toán có lời văn, biết giải các bài toán đơn giản một phép tính bằng phép tính cộng, trừ Học sinh chưa gặp phải các bài toán phức tạp để phải sử dụng đến các phương pháp giải mà chỉ hướng dẫn học sinh qua bốn bước giải thông thường

Lớp 2, Lớp 3 Học sinh tiếp tục được học giải toán có lời văn, tiếp tục ôn tập

các bài toán đã được học ở lớp 1 và có những bài toán phức tạp hơn nội dung phong phú hơn thêm phần bài toán có nội dung hình học Do các em đã học phép nhân, chia nên ta có thể đi từ một sô bài toán mà trong dãy tính của lời giải có 2 phép nhân hoặc phép chia, từ đó đi đến bài toán sau đây

Ví dụ Tìm một số tự nhiên, biết rằng nếu lấy số đó chia cho 3 , được bao

nhiêu đem cộng với 5 ta sẽ được kết quả là 15

Phân tích Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy

các phép tính dưới đây: : 3 , 5 cho kết quả cuối cùng bằng 15

Ta có thể xác định được số trước khi cộng với 5 được kết quả là 15 (Tìm số

hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số)

Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi chia cho 3 ,

chính là số cần tìm (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số) Từ phân

tích trên ta đi đến lời giải như sau

Số trước khi cộng với 5 là

15 – 5 10

Số trước khi chia cho 3 là

10 3 30 Vậy số cần tìm là 30

( )ii Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở lớp 4,5 Đây là giai đoạn

thứ hai Nếu giai đoạn lớp 1, 2, 3 là giai đoạn học tập cơ bản và đơn giản thì giai đoạn này là giai đoạn học tập sâu các kiến thức, kỹ năng bắt đầu trừu tượng hơn Tư duy trừu tượng cũng bắt đầu phát triển Trình độ nhận thức của học sinh cũng bắt đầu được nâng cao

Tuy nhiên, phương pháp tính ngược từ cuối là phương pháp khó, đòi hỏi phải

có óc sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú Do vậy trong thực tế giảng dạy, việc áp dụng phương pháp này vào giải toán có lời văn ở Tiểu học là rất hạn chế, chủ yếu giới thiệu cho học sinh khá giỏi

2.3 Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học

2.3.1 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải các bài toán số học

Bài toán 1 ([3]- trang 49, ví dụ 1) Tìm một số biết rằng khi bớt số đó đi 2 ,

sau đó chia cho 6 , được bao nhiêu cộng với 2 , cuối cùng nhân với 4 được kết quả bằng 20

Phân tích đề toán Bước thứ nhất Từ đề toán ta có thể xác định được số

trước khi nhân với 4 được kết quả là 20

Bước thứ hai Dựa vào số tìm được ở bước thứ nhất, ta sẽ tìm được số trước khi cộng với 2

Bước thứ ba Dựa vào số tìm được ở bước thứ hai, ta sẽ tìm được số trước khi chia cho 6

Bước thứ tư Dựa vào số tìm được ở bước thứ ba, ta sẽ xác định được số cần

tìm (là số trước khi trừ đi 2 )

Lời giải Số trước khi nhân với 4 là

Bài toán 2 ([3]- trang 50, ví dụ 2 ) Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp hai

lần, sau đó cộng với 2,5 rồi trừ đi 5, cuối cùng đem chia cho 4 được kết quả

là 1,25

Phân tích đề toán Bước thứ nhất Từ đề toán ta có thể xác định được số trước

khi chia cho được kết quả là 1,25

Bước thứ hai Dựa vào số tìm được ở bước thứ nhất, ta sẽ tìm được số trước khi trừ đi 5

Bước thứ ba Dựa vào số tìm được ở bước thứ hai, ta sẽ tìm được số trước khi cộng với 2,5

Bước thứ tư Dựa vào số tìm được ở bước thứ ba, ta sẽ xác định được số cần tìm (là số trước khi nhân với 2 )

Lời giải Số trước khi chia cho 4 là

10 2,5 7,5

Số cần tìm là

7,5 : 2 3,75 Vậy số phải tìm là 3,75

Bài tập 3 ([4] - trang 126 , ví dụ 7.1) Tìm một số, biết rằng khi nhân số đó với 5, rồi bớt đi 3 sau đó cộng với 4,5 cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 6

Phân tích Theo đề bài ta đã thực hiện liên tiếp các phép tính sau đây với số

cần tìm: 5, 3 , 4,5 , : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 6

Bước thứ nhất: Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả

Bước thứ tư: Dựa vào kết quả ở bước thứ ba, ta xác định được số cần tìm

Từ phân tích trên, ta đi đến lời giải của bài toán như sau

Số trước khi chia cho 3 là

Bài tập 4 Tìm một số biết rằng số đó nhân với 5 rồi cộng với 45 , được bao nhiêu nhân với 4 rồi chia cho 2 và cuối cùng trừ đi 17 thì được kết quả là

Bài tập tham khảo

Bài 1 Hồng nghĩ ra một số Nếu nhân số đó với 3, rồi cộng với 22 , sau đó

chia cho 5 được kết quả bằng 8 Hỏi Hồng đã nghĩ ra số nào?

Đáp số: Số 6

Bài 2 Hùng nói với Minh “Bạn hãy nghĩ ra một số Sau đó bạn lấy số vừa

nghĩ ra cộng với 5 rồi trừ đi 5 Tiếp đó lấy kết quả vừa tìm được nhân với 5 rồi lại đem chia cho 5” Minh cho biết kết quả bằng 10 Hùng nói luôn: “Số bạn nghĩ ra lúc đầu là 10 ” Minh đồng ý là đúng Bạn hãy giải thích tại sao?

Bài 3 Tìm một số, biết rằng nhân số đó với 4 rồi cộng vớiv5 sau đó bớt đi

25 và cuối cùng chia cho 8 thì được một số nhỏ nhất có hai chữ số giống nhau

Đáp số: Số 27

Bài 4 Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5 rồi nhân

với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 2,5

Đáp số: Số 15

Bài 5 Tìm một số biết số đó gấp lên 2 lần rồi cộng với 10 được bao nhiêu

chia cho 4 thì được kết quả là 20

Đáp số: 35

Bài 6 Tìm một số, biết rằng khi nhân số đó với 5, rồi bớt đi 3 sau đó cộng với 4,5, cuối cùng chia cho 3 ta được kêt quả bằng 6

Đáp số: 3,3

Bài 7 Tìm một số biết rằng lấy số đó cộng với 6

7 rồi chia cho

3

5 lấy thương

vừa tìm được trừ đi 1

2 được bao nhiêu nhân với

3 số gà còn lại sau hai lần bán trước Cuối cùng nhà Vân còn 4 đôi gà Hỏi đàn gà nhà Vân lúc đầu có bao nhiêu con?

Phân tích Ta có thể biểu diễn số gà còn lại sau lần bán thứ hai bằng sơ đồ

như sau ? con

8 con

Từ sơ đồ trên ta có thể tính được số gà còn lại sau lần bán thứ hai

Ta có thể biểu diễn số gà còn lại sau lần bán thứ nhất

? con

còn sau lần 2

Từ sơ đồ trên ta tính được số gà còn lại sau lần bán thứ nhất

Số gà ban đầu có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau

? con

còn sau lần 1

Từ đây ta tính được số gà của cả đàn gà

Lời giải 4 đôi gà = 8 con gà

Lời giải Số trứng còn lại sau hai lần bán là

1

2 quả 1