Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học

35 3 Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olympic 51 3.1 Một số đề thi về tính chính phương trong dãy số... Trong khi đó các vấn đề liên quanđến tính chất số học của dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ

TRONG SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ

TRONG SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 4

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số 4

1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt 4

1.1.3 Dãy tuần hoàn 6

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 7

1.3 Một số tính chất cơ bản của số học 13

1.3.1 Số nguyên và phép chia hết 13

1.3.2 Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất 13

1.3.3 Số nguyên tố 14

1.3.4 Đồng dư 14

1.3.5 Một số định lí cơ bản của số học 14

2 Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên 16 2.1 Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số 16

2.1.1 Phương pháp quy nạp 17

2.1.2 Phương pháp đồng dư 19

2.1.3 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn của dãy số dư 25 2.2 Một số bài toán về phân tích dãy số thành nhân tử và tính nguyên của dãy số 29

2.3 Một số bài toán về tính chính phương trong dãy số 35

3 Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olympic 51 3.1 Một số đề thi về tính chính phương trong dãy số 51

3.2 Một số đề thi về tính chia hết trong dãy số 64

Mở đầu

Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quantrọng của đại số và giải tích toán học Dãy số có một vị trí đặc biệt quantrọng trong toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà cònđóng một vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc, của giảitích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn .Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng Để giải được các bài toán vềdãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số

và giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng cónhiều tài liệu viết về vấn đề này Tuy nhiên, các tài liệu chủ yếu quan tâmđến các tính chất giải tích của dãy số như giới hạn dãy số, số hạng tổng quát,

sự đơn điệu của dãy số, tính bị chặn Trong khi đó các vấn đề liên quanđến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chínhphương thì chưa được quan tâm nhiều

Các bài toán về dãy số nguyên là những bài toán hay và khó Dãy sốnguyên thường xuất hiện trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh – thànhphố, cấp quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế và gây không ít khó khăn chocác thí sinh Sự kết hợp giữa dãy số và tính chất số học có lẽ là lí do mà gây

ra khó khăn đó Trong bài viết này, tôi muốn trình bày một số vấn đề cơ bản

và các phương pháp thường sử dụng về dãy số nguyên

Luận văn với đề tài: "Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong sốhọc" có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học củadãy số Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán thường gặp về dãy

số trong số học

Luận văn được trình bày gồm phần mở đầu và ba chương

Chương 1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan

Nội dung chương này nhằm hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy

số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toántrong các chương sau

Chương 2 Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên

Chương này nhằm giới thiệu một số vấn đề về tính chất số học của dãy

số như tính chia hết, tính chất số nguyên, tính chính phương Đồng thời nêu

ra các phương pháp giải toán và phân tích các bài toán cụ thể

Chương 3 Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olimpic.Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng sẽ không tránhkhỏi những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý thầy cô và những bạnđọc quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn

Trong thời gian thực hiện luận văn này, tôi đã nhận được sự chỉ dẫn tậntình, chu đáo của Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn.Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp TrườngTHPT Trung Giã, các thầy cô trường Đại học Khoa học đã nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tác giả

Chương 1

Hệ thống hóa các kiến thức liên quan

Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân

sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau Nội dungchương chủ yếu được lấy từ các tài liệu [2], [3], [4]

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số

Định nghĩa 1.1 ([2]-[4]) Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyêndương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

u : N∗ →R

n 7→ u(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, , un,

trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là sốhạng tổng quát của dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m} với m ∈N∗ đượcgọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó làu1, u2, u3, , um , trong đóu1 là số hạng đầu,

um là số hạng cuối

Để xác định một dãy số người ta có thể tiến hành theo các cách sau đây.a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt

a) Cấp số cộng

Định nghĩa 1.2 Dãy số (un) thỏa mãn điều kiện

Định nghĩa 1.3 Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân với công bội q, (q 6=

0, q 6= 1) nếu như ta có un = un−1.q với mọi n = 2, 3,

• Một số tính chất của cấp số nhân

i) un = u1.qn−1 với mọi n = 1, 2, 3,

ii) u2k = uk−1.uk+1 với mọi k = 2, 3,

• Cho cấp số nhânu1, u2, u3, với công bội q Đặt Sn = u1+ u2+ · · · + un

là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Khi đó ta có

Sn = u1(q

n − 1)

được gọi là dãy số Fibonacci.

Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát củadãy số Fibonacci là

un = √1

5

52

!n

− √15

52

!n

(Công thức Binet)

Tính chất 1.1 (Một số tính chất số học của dãy Fibonacci)

1 (Fn, Fn+1) = 1 với mọi n

2 Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm

3 Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m > 2

4 (Fn, Fm) = Fd với d = (m, n)

5 Nếu n ≥ 5 và Fn là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố

6 F5n = 5Fn.qn với qn không chia hết cho 5

7 Fn 5k ⇔ n k

8 Fn có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n 15

9 Fn có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n 150

Tính chất 1.2 ( Một số hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci)

1.1.3 Dãy tuần hoàn

Trong phần này, ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là dãytuần hoàn cộng tính và dãy tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.5 Dãy (un) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại

số nguyên dương k sao cho

Số nguyên dương k bé nhất để dãy (un) thỏa mãn điều kiện (??) được gọi làchu kì cơ sở của dãy.

Định nghĩa 1.6 Dãy số (un) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếutồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy (un) thoả mãn (??) được gọi là chu

kỳ cơ sở của dãy

Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân tuyến tính

cơ bản với hệ số hằng số, có nghiệm là các số thực và cách giải chúng.Định nghĩa 1.7 Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ tuyến tính chứasai phân các cấp tới k

f yn; ∆yn; ∆2yn; ; ∆kyn
= 0 (1.3)

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên(??) có dạng

a0yn+k + a1yn+k−1+ · · · + akyn = f (n) (1.4)trong đóa0; a1; ; ak; f (n) đã biết, cònyn, yn+1, , yn+k là các giá trị chưabiết

• Phương trình (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k

• Nếu f (n) = 0 thì phương trình (??) có dạng

a0yn+k + a1yn+k−1+ · · · + akyn = 0 (1.5)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k

•Nếu f (n) 6= 0 thì (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất

• Nghiệm của phương trình sai phân

+) Hàm số yn biến n thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm của phương trìnhsai phân tuyến tính (??)

+) Hàm số ybn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm tổngquát của (??)

+) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (??) được gọi là một nghiệm riêng của (??)

a) Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

Bài toán 1.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất (cấp một)

Bước 1 Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

+) Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ

+) Tìm nhiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tươngứng aun+1 + bun = 0 dưới dạng ubn = cλn (c là hằng số)

Bước 2 Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình không thuần nhất.Bước 3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) là un = u∗n +ubn

Sau đây ta trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng

Trường hợp 1 Nếu f (n) = Pm(n) là đa thức bậc m đối với n Khi đó

+) Nếu λ 6= 1 thì ta chọn u∗n = Qm(n) cũng là đa thức bậc m đối với n.+) Nếu λ = 1 thì ta chọn u∗n = nQm(n), trong đó Qm(n) cũng là đathức bậc m đối với n

Trường hợp 2 Nếu f (n) = p.βn (p; β 6= 0) Khi đó

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.15n+ n.

Ví dụ 1.2 Giải phương trình sai phân



x0 = 99

Lời giải

Ta có f (n) = −2n − 1 là đa thức bậc nhất, λ = 1 nên chọn x∗n = n(an + b)

Thay vào phương trình (??) ta được

(n + 1)[a(n + 1) + b] = n(an + b) − 2n − 1

Suy ra a = −1; b = 0 Khi đó x∗n = −n2, bxn = C.1n = C và nghiệm tổngquát là xn = C − n2 Mà x0 = 99 nên C = 99

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 99 − n2

Ví dụ 1.3 Giải phương trình sai phân

Nghiệm tổng quát là xn = C.2n+ 3n Mà x0 = 8 nên C = 7

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.2n + 3n

Ví dụ 1.4 Giải phương trình sai phân



x0 = 101

Lời giải

Ta có f (n) = 7n+1, λ = 7 = β nên chọn x∗n = d.n.7n.

Thay vào phương trình (??) ta được

d.(n + 1).7n+1 = 7.d.n.7n + 7n+1

Suy ra d = 1 ⇒ x∗n = n.7n, bxn = C.7n

Nghiệm tổng quát là xn = C.7n+ n.7n Mà x0 = 101 nên C = 101

Vậy phương trình có nghiệm là xn = (101 + n).7n

b) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

Bài toán 1.2 Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1+ cun = f (n), n ∈ N∗ (1.11)trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c 6= 0) và f (n) là biểu thức của n chotrước

Lời giải

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất tương ứng

Bước 2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Bước 3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) dưới dạng

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1+ cun = f (n), n ∈ N∗

trong đó (a 6= 0) và f (n) là đa thức theo n cho trước

Lời giải.

Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ

Nghiệm của phương trình có dạng un = ubn + u∗n , trong đó

+) ubn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

aun+2 + bun+1 + cun = 0

(với các hệ số A, B chưa được xác định.)

+) u∗n là nghiệm riêng của phương trình aun+2+ bun+1 + cun = f (n), trong

đó f (n) 6= 0

Nghiệm u∗n được xác định như sau

a) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n)

b) Nếu λ = 1 thì u∗n = n.g(n), trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với f (n).c) Nếu λ = 1 là nghiệm bội thì u∗n = n2.g(n), trong đó g(n) là đa thức cùngbậc với f (n)

Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được u∗n Từ hệthức un = ubn + u∗n và các giá trị u1, u2 ta tìm được các hệ số A, B

Ví dụ 1.5 Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là x∗n = n2

Bài toán 1.5 Cho dãy số (un) xác định bởi

u1 = α, u2 = β, aun+2+ bun+1 + cun = γ.ηn, n ∈ N∗

Tìm nghiệm tổng quát của dãy số trên

Lời giải

Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ

Nghiệm của phương trình có dạng un = ubn + u∗n , với ubn là nghiệm củaphương trình thuần nhất aun+2+ bun+1 + cun = 0 theo bài toán 1.2 với các

hệ số A, B chưa được xác định Còn u∗n được xác định như sau

a) Nếu λ 6= η thì u∗n = k.ηn

b) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = kn.ηn.

c) Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì u∗n = kn2.ηn

Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k, tức làtìm được u∗n Từ hệ thức un = ubn + u∗n và các giá trị u1, u2 ta tìm được các

hệ số A, B

c) Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba

Bài toán 1.6 Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp ba

Phương trình đặc trưng aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0

(i) Phương trình có ba nghiệm thực λ1, λ2, λ3 phân biệt Khi đó

+) Nếu λ 6= 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n)

+) Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = n.g(n) trong đó g(n) là đa thứccùng bậc với đa thức f (n)

+) Nếu λ = 1 là nghiệm bội hai thì u∗n = n2.g(n) trong đó g(n) là đathức cùng bậc với đa thức f (n)

+) Nếu λ = 1 là nghiệm bội ba thì u∗n = n3.g(n) trong đó g(n) là đathức cùng bậc với đa thức f (n).

b) Trường hợp f (n) = γ.ηn Ta có

+) Nếu λ 6= η thì u∗n = k.n.ηn

+) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = k.ηn

+) Nếu phương trình có nghiệm bội hai λ = η thì u∗n = k.n2.ηn

+) Nếu phương trình có nghiệm bội ba λ = η thì u∗n = k.n3.ηn

Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k, tức làtìm được u∗n Từ hệ thức un = ubn + u∗n và các giá trị u1, u2, u3 ta tìm đượccác hệ số A, B, C

1.3.1 Số nguyên và phép chia hết

Định nghĩa 1.8 Với hai số nguyêna và b, ta nói rằng a chia hết cho b (hay

a là bội của b, hay b là ước của a), nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = k.b.Lúc ấy kí hiệu là a b

Tính chất 1.3 (Các tính chất cơ bản của tính chia hết)

i) Nếu a, b nguyên dương mà a b thì a ≥ b

ii) Nếu ai b với mọi i = 1, 2, , n thì (a1 + a2 + · · · + an) b

iii) Với hai số nguyên không âm bất kỳ a và b, trong đó b 6= 0, luônluôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho a = bq + r, trong

đó 0 ≤ r < b

1.3.2 Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.9 Cho n số nguyên a1, a2, , an

i) Số nguyên dương d gọi là ƯCLN của a1, a2, , an nếu như thỏa mãnđồng thời hai điều kiện sau

+) Nếu b0 là số nguyên dương mà b0 ai,với mọi i = 1, 2, , n thì b0 b,khi đó ta thường dùng kí hiệu sau b = [a1, a2, , an].

1.3.3 Số nguyên tố

Định nghĩa 1.10 Một số nguyên dươngp > 1 được gọi là số nguyên tố nếu

nó chỉ có hai ước số là 1 và p

Định lý 1.1 (Định lí Euclid) Tồn tại vô hạn số nguyên tố

Định lý 1.2 (Định lí về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố) Giả

sử a, b là hai số nguyên dương, còn p là số nguyên tố sao cho ab p Khi đó

ta phải có hoặc là a p, hoặc là b p

1.3.4 Đồng dư

Định nghĩa 1.11 Nếu hai số nguyêna và bchia cho số tự nhiên m (m 6= 0)

có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m và viết a ≡ b(mod m)

Tính chất 1.4 (Các tính chất cơ bản của đồng dư)

a) Hai số nguyên a và b đồng dư với nhau theo modulo m (m là số nguyêndương) khi và chỉ khi (a − b) m

b) Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp số nguyên Z.c) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì

Định lý 1.3 (Định lí Euler) Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một

số nguyên tố với m Khi đó ta có aµ(m) ≡ 1 (mod m), ở đây µ (m) là các sốnguyên dương nhỏ hơn m nguyên tố cùng nhau với m

Định lý 1.4 (Định lí Fermat nhỏ) Nếu p là một số nguyên tố thì với sốnguyên a bất kỳ, ap− a sẽ chia hết cho p Nghĩa là

ap ≡ a (mod p)

Nói riêng khi p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với

p, thì ap−1− 1 sẽ chia hết cho p Bằng ký hiệu đồng dư ta có

được xác định một cách duy nhất (hiểu theo nghĩa modulo rs)

số học.

Trong số học thì tính chia hết giữ một vị trí quan trọng trong lý thuyết

số Nó là cơ sở để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số,ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư , với hai sốnguyên a, b bất kỳ nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq khi đó ta nói a

chia hết cho b, nếu a không chia hết cho b thì ta có phép chia có dư Trongphần này ta xét đến tính chia hết của các phần tử trong một dãy số Chomột dãy số thì các phần tử của nó có thể cùng chia hết cho cùng một số nào

đó hoặc các phần tử chia hết cho số thứ tự của số đó, hoặc là chỉ có một sốphần tử cùng chia hết cho một số cho trước Sau đây ta xét một số dãy số

mà các phần tử của nó cùng chia hết cho một số Đối với những dãy số đượccho bởi công thức số hạng tổng quát, ta thường dùng phương pháp quy nạphoặc sử dụng các tính chất của phép chia hết để chứng minh Chúng ta xétbài toán sau

Với n = 0 ta có A0 = 0 169 Vậy mệnh đề đúng với n = 0.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k nghĩa là Ak = 33k+3− 26k − 27 169

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Vậy Ak+1 169 Bài toán được chứng minh

Nhận xét 2.1 Trong dãy số khi xét đến tính chia hết của các phần tử trongdãy số có nhiều cặp dãy số đan xen nhau về tính chia hết và không chia hếtcho cùng một số Ta xét bài toán sau

Bài toán 2.2 Cho 2 dãy số

= 24n+2+ 1 = 4.16n + 1.

Với n = 0 thì a0.b0 = 5 5

Với n > 0 thì an.bn = 4.16n + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

Vậy với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an, bn chia hếtcho 5

Nhận xét 2.2

Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường đượcgiải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số Việc xác định số hạngtổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặcthông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất

Bài toán 2.3 Cho dãy số (un) xác định bởi

Vậy un chia hết cho 133 với mọi n ∈ N.

Nhận xét 2.4 Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy sốthường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đódựa vào các định lý về đồng dư hay sử dụng định lí Fermat nhỏ để chứngminh sự chia hết Bài toán sau giải quyết vấn đề nêu ra

Bài toán 2.5 Cho dãy số (un) xác định bởi

Theo nguyên lí quy nạp suy ra un là số lẻ với mọi n ∈ N.

Do đó un không chia hết cho 10 với mọi n ∈ N.

Bài toán 2.6 Cho dãy số (un) xác định bởi

⇔ 2n3−9n2+9n−3 = −2an3+(9a−2b)n2+(6b−9a−2c)n+(3a+3c−3b−2d)

⇔ a = −1, b = c = d = 0

Suy ra f (n) = −n3

Đặt vn = un − f (n) = un + n3

Thay vào công thức xác định dãy, ta có vn = 3vn−1, v1 = 3

Khi đó dãy (vn) là một cấp số nhân và ta có vn = 3n−1v1 = 3n

2

Suy ra 2000(u1 + u2 + · · · + up−1) = 1000(3p − 3) − 500p2(p − 1)2

Theo định lí Fermat nhỏ thì (3p− 3) p

Từ đó ta có được điều phải chứng minh

Nhận xét 2.6 Ta có thể mở rộng bài toán không chỉ với 2000 mà 2002

hay 2006 thì bài toán vẫn đúng

Cho dãy số nguyên (un) xác định bởi

Thay vào công thức xác định dãy, ta có vn = 3vn−1, v1 = 3

Khi đó dãy (vn) là một cấp số nhân và ta có vn = 3n−1v1 = 3n

2

với mọi số nguyên tố p.

Từ đó suy ra nếu s là bội của p − 1, thì (4s − 2s) p

Giả sử n là số nguyên dương tùy ý và n có dạng triển khai sau

k hay un n (Điều phải chứng minh).

Nhận xét 2.7 Lại đặc biệt hóa, ta có thể xét xem một phần tử nào đótrong dãy số đã cho có chia hết cho một số cho trước hay không? hoặc cóthể xét xem các phần tử của dãy số có chia hết cho một số cho trước nào đóhay không?

Bài toán 2.9 Cho dãy số (un) xác định bởi

a) Chứng minh rằng un là số nguyên với mọi n = 1, 2,

b) Tìm mọi số hạng của dãy chia hết cho 3

Bằng cách tính trực tiếp ta thấy 7 số hạng đầu tiên của dãy u0, u1, , u6

khi chia cho 3 có các số dư tương ứng là 0, 1, 1, 0, 2, 2, 0 Vậy theo (??) suy

ra un+6 ≡ un (mod 3)

Từ đó ta thấy trong dãy số nói trên mọi số hạng có dạng u3k, k = 0, 1, 2,

chia hết cho 3, và chỉ những số hạng ấy mà thôi

2.1.3 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn của dãy số dư

Bài toán 2.10 Cho dãy số (un) xác định bởi

Vì vậy nếu gọi rn là phần dư của un trong phép chia cho 11, n = 1, 2, thì

từ trên suy ra r1 = 5, r2 = 0, r3 = 7, r4 = 3, r5 = 7

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi k = 0, 1, 2, thì

r5k+1 = 5, r5k+2 = 0, r5k+3 = 7, r5k+4 = 3, r5k+5 = 7 (2.11)

Để làm điều này ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học

Theo trên nhận xét này đã đúng khi k = 0

u6 = 2u5 − 3u4 ≡ 2.7 − 3.3 ≡ 5 (mod 11)

u7 = 2u6 − 3u5 ≡ 2.5 − 3.7 ≡ 0 (mod 11)

⇒ u2+5m ≡ u2 (mod 11), ∀m ∈ N (Ta có thể chứng minh công thức này

bằng phương pháp quy nạp toán học)

Với m = 402 ⇒ u2012 ≡ u2 ≡ 0 (mod 11)

Tức là số dư khi chia u2012 cho 11 là 0

Vậy u2012 11

Nhận xét 2.8 Trong bài toán về tính chia hết của các phần tử trong dãy

số cho số a khi đó số các số dư khác nhau là a Như vậy, chúng ta có thể áp

dụng nguyên lí Dirichlet đối với a+1 bộ hữu hạn các số dư có được trong

phép chia đó và khi đó phải tồn tại ít nhất hai bộ số dư trùng nhau Từ đó

làm cơ sở cho việc chứng minh nhiều bài toán

Bài toán 2.11 Cho dãy số (un) xác định bởi

Vì dãy này vô hạn, mà các sốri là hữu hạn do đó phải tồn tại hai số tự nhiên

l, m (giả sử m > l) sao cho (rl, rl+1) = (rm, rm+1) hiểu theo nghĩa



rl = rm

rl+1 = rm+1

Ta sẽ chứng minh rằng khi đó rl−1 = rm−1 Thật vậy, ta có

5(um−1−ul−1) = (um+1−4um+1976)−(ul+1−4ul+1976) = (um+1−ul+1)−4(um−ul)

Vì uk = 1996.αk + rk nên ta có

5(um−1−ul−1) = [1996 (αm+1 − αl+1) + (rm+1 − rl+1]−4 [1996 (αm− αl) + (rm− rl]

= 1996 [1996 (αm+1 − αl+1) − 4 (αm− αl)]

Mà (5, 1996) = 1 nên um−1 1996 (Điều phải chứng minh).

Nhận xét 2.9 Các bài toán chứng minh dãy số có vô hạn số hạng chia hếtcho một số cho trước thường được chứng minh số dư trong phép chia là hữuhạn và do đó tuần hoàn dẫn đến có vô hạn số hạng chia hết cho số đã cho.Bài toán 2.12 (China 1991) Cho dãy số nguyên (un) xác định bởi

Gọi rn là số dư của un khi chia cho 1986 ứng với mỗi n Ta chứng minhdãy (rn) tuần hoàn.

Xét dãy gồm các bộ số dư (r1, r2); (r2, r3); ; (rm, rm+1);

Dãy trên có vô số số hạng mà số bộ khác nhau là hữu hạn vì

ri ∈ {0, 1, 2, , 1985} Như vậy theo nguyên lí Dirichlet, sẽ tồn tại hai bộtrùng nhau Tức là tồn tại k, m nguyên dương sao cho

nguyên của dãy số

Các bài toán chứng minh dãy số gồm toàn các số nguyên được đưa vềcông thức truy hồi tuyến tính sau đó chứng minh bằng phương pháp quynạp với một vài số hạng đầu là số nguyên

Bài toán 2.13 (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2006)

Hãy tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n; k) với n là số nguyên không âm

và k là số nguyên lớn hơn 1 sao cho số A = 172006n+ 4.172n + 7.195n có thểphân tích được thành tích của k số nguyên dương liên tiếp

Lời giải

Trước hết ta thấy rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp phải chia hết cho

8 vì trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 4 và một số chia 4 dư 2

Suy ra A ≡ 10 ≡ 2 (mod 8), tức là A cũng không chia hết cho 8.

Tức là trong mọi trường hợp luôn có A không chia hết cho 8

Suy ra nếu k thỏa mãn đề bài thì k < 4, suy ra k ∈ {2, 3}

Xét từng trường hợp

- Nếu k = 2 thì tồn tại x tự nhiên sao cho A = x(x + 1)

+ Nếu n = 0 thì A = 12, x = 3, thỏa mãn đề bài

+ Nếu n > 0 thì rõ ràng 171003n > 4.172n + 7.195n Ta thấy

A = x(x + 1) = 172006n+ 4.172n + 7.195n > 172006n

Suy ra x > 171003n

Nhưng x(x + 1) > 172006n + 171003n > A, mâu thuẫn

Do đó, trong trường hợp này không có n thỏa mãn đề bài

- Nếu k = 3: tồn tại x tự nhiên sao cho A = x(x − 1)(x + 1), x ≥ 1; dễ thấy

x phải là số chẵn (vì nếu ngược lại thì A chia hết cho 8, mâu thuẫn)

Ta thấy

A ≡ 12.(−1)n ≡ 2.(−1)n (mod 5)

trong khi x(x − 1)(x + 1) = x(x2 − 1) ≡ {0; ±1} (mod 5), mâu thuẫn

Do đó trong trường hợp này không có n thỏa mãn đề bài

Vậy tất cả các cặp số thỏa mãn đề bài là (n; k) = 0; 2)

Bài toán 2.14 Cho dãy số (an) xác định bởi



a1 = 1; a2 = 2

an+2 = 2an+1 − an + 2, n = 1, 2,

Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số.Lời giải.

Từ đó giải ra được a = 1, b = −2, c = 2

Vậy an = n2 − 2n + 2 = (n − 1)2 + 1

Do đó

amam+1 = [(m − 1)2 + 1](m2 + 1) = (m2 − m + 1)2 + 1 = am2 −m+2

Suy ra amam+1 cũng là một số hạng của dãy số

Bài toán 2.15 Cho ba số nguyêna, b, c thỏa mãn điều kiện a2 = b + 1 Dãy

Với giả thiết a2 = b + 1 thì từ (??) suy ra

Vậy từ (??) suy ra un ∈ Z với mọi n ∈ N.

Nhận xét Ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau

Từ (??) suy ra un+2 = un hoặc un+2 = 2aun+1− un

Từ đó do u0, u1 ∈ Z nên un ∈ Z với mọi n = 1, 2,

Bài toán 2.16 Cho dãy số (un) xác định bởi

5(u2n+ 8) có thể biểu diễn thành tổng của ba

số nguyên dương liên tiếp với mọi n ∈ N∗

Lời giải

Ta có u1 = 8 và dễ thấy ngay dãy (un) tăng ngặt

Từ giả thiết ta có un+1− 4un = p15u2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.17 Cho dãy số (un) xác định bởi

Như vậy an, an+2 là hai nghiệm của phương trình x2 − 4xan+1+ a2n+1 − 1.

Theo định lí Viet ta có an+2 + an = 4an + 1 ⇒ an+2 = 4an+1− an

Xét phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 1 = 0 Phương trình có hai nghiệm

√3

6 (2 −

√3)n

Đây là điều cần chứng minh.

Bài toán 2.18 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số(un) xác định bởi

Trong phần này, chúng ta đề cập tới một số bài toán về tính chínhphương của các phần tử trong một dãy số nguyên Nội dung chính của cácbài toán này như sau: Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, bài toányêu cầu chứng minh phần tử nào đó của dãy số là số chính phương hoặc phảitìm số chính phương trong dãy đã cho

Nhận xét 2.10

Trong các bài toán về tính chính phương của các phần tử trong dãy số,việc xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số được cho bởicông thức truy hồi giúp ta giải quyết được bài toán đã cho Trong một số

trường hợp, ta có thể sử dụng phương pháp sai phân để tìm số hạng tổngquát, sau đó đưa biểu thức cần chứng minh về bình phương đủ của một sốnguyên Với một số bài toán tổng quát ta có thể đặc biệt hóa để có bài toánmới, ngược lại với một bài toán cụ thể ta có thể tổng quát hóa để được mộtdạng toán.

Bài toán 2.19 Cho dãy số (un) xác định bởi

2 (Điều phải chứng minh).

Bài toán 2.20 Cho dãy số (un) xác định bởi

Suy ra u2n− 1

2 n+1 là một số chính phương với mọi n tự nhiên Ta cóđiều phải chứng minh

Bài toán 2.21 Cho dãy số (un) xác định bởi