Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ TRONG SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Hệ thống hóa kiến thức liên quan 1.1 Một số tính chất dãy số 1.1.1 Các khái niệm dãy số 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3 Dãy tuần hoàn 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.3 Một số tính chất số học 1.3.1 Số nguyên phép chia hết 1.3.2 Ước số chung lớn bội số chung 1.3.3 Số nguyên tố 1.3.4 Đồng dư 1.3.5 Một số định lí số học nhỏ 4 4 13 13 13 14 14 14 Khảo sát tính chất số học dãy số nguyên 16 2.1 Phương pháp xét tính chia hết dãy số 16 2.1.1 Phương pháp quy nạp 17 2.1.2 Phương pháp đồng dư 19 2.1.3 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn dãy số dư 25 2.2 Một số toán phân tích dãy số thành nhân tử tính nguyên dãy số 29 2.3 Một số toán tính phương dãy số 35 Một số toán dãy số nguyên kì thi Olympic 51 3.1 Một số đề thi tính phương dãy số 51 3.2 Một số đề thi tính chia hết dãy số 64 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Chuyên đề dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích toán học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng toán học, không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc, giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Dãy số lĩnh vực khó rộng Để giải toán dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề Tuy nhiên, tài liệu chủ yếu quan tâm đến tính chất giải tích dãy số giới hạn dãy số, số hạng tổng quát, đơn điệu dãy số, tính bị chặn Trong vấn đề liên quan đến tính chất số học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương chưa quan tâm nhiều Các toán dãy số nguyên toán hay khó Dãy số nguyên thường xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh – thành phố, cấp quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế gây không khó khăn cho thí sinh Sự kết hợp dãy số tính chất số học có lẽ lí mà gây khó khăn Trong viết này, muốn trình bày số vấn đề phương pháp thường sử dụng dãy số nguyên Luận văn với đề tài: "Một số dạng toán liên quan đến dãy số số học" có mục đích trình bày cách hệ thống, chi tiết tính chất số học dãy số Đồng thời cho phân loại số dạng toán thường gặp dãy số số học Luận văn trình bày gồm phần mở đầu ba chương Chương Hệ thống hóa kiến thức liên quan Nội dung chương nhằm hệ thống lại kiến thức dãy số, số học, phương pháp sai phân dùng để giải toán chương sau Chương Khảo sát tính chất số học dãy số nguyên Chương nhằm giới thiệu số vấn đề tính chất số học dãy số tính chia hết, tính chất số nguyên, tính phương Đồng thời nêu phương pháp giải toán phân tích toán cụ thể Chương Một số toán dãy số nguyên kì thi Olimpic Mặc dù thân có cố gắng vượt bậc, không tránh khỏi khiếm khuyết, mong góp ý quý thầy cô bạn đọc quan tâm để luận văn hoàn thiện Trong thời gian thực luận văn này, nhận dẫn tận tình, chu đáo Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giúp hoàn thành luận văn Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp Trường THPT Trung Giã, thầy cô trường Đại học Khoa học nhiệt tình giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả Chương Hệ thống hóa kiến thức liên quan Hệ thống hóa kiến thức dãy số, số học, phương pháp sai phân dùng để giải toán chương sau Nội dung chương chủ yếu lấy từ tài liệu [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Một số tính chất dãy số Các khái niệm dãy số Định nghĩa 1.1 ([2]-[4]) Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N∗ → R n → u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , , un , un = u(n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, , m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Để xác định dãy số người ta tiến hành theo cách sau a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát b) Dãy số cho phương pháp truy hồi c) Dãy số cho phương pháp mô tả 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt a) Cấp số cộng Định nghĩa 1.2 Dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un = gọi cấp số cộng Khi dãy số (un ) lập thành cấp số cộng hiệu d = u1 − u0 gọi công sai cấp số cộng cho • Một số tính chất cấp số cộng i) un = u1 + (n − 1)d, với n = 1, 2, 3, uk−1 + uk+1 ii) uk = , với k = 2, 3, iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , , un−1 , un Khi ta có u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = Một cách tổng quát u1 + un = uk + un−k với k = 2, 3, , n − • Tổng cấp số cộng +) Cho cấp cố cộng u1 , u2 , với công sai d Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un tổng n số đầu cấp số cộng Khi ta có (u1 + un )n [2u1 + (n − 1)d]n Sn = = 2 +) Vài tổng đặc biệt n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) S2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n2 (n + 1)2 3 3 S3 = + + + · · · + n = b) Cấp số nhân S1 = + + + · · · + n = Định nghĩa 1.3 Dãy số (un ) gọi cấp số nhân với công bội q , (q = 0, q = 1) ta có un = un−1 q với n = 2, 3, • Một số tính chất cấp số nhân i) un = u1 q n−1 với n = 1, 2, 3, ii) u2k = uk−1 uk+1 với k = 2, 3, • Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , với công bội q Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un tổng n số hạng đầu cấp số nhân Khi ta có u1 (q n − 1) Sn = q−1 c) Dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.4 Dãy số (Fn ) cho hệ thức truy hồi F1 = F2 = Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ∈ N∗ gọi dãy số Fibonacci Bằng phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát dãy số Fibonacci √ n √ n 1+ 1− un = √ −√ (Công thức Binet) 2 5 Tính chất 1.1 (Một số tính chất số học dãy Fibonacci) (Fn , Fn+1 ) = với n Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m với m > (Fn , Fm ) = Fd với d = (m, n) Nếu n ≥ Fn số nguyên tố n số nguyên tố F5n = 5Fn qn với qn không chia hết cho Fn 5k ⇔ n k Fn có tận n 15 Fn có tận hai chữ số n 150 Tính chất 1.2 ( Một số hệ thức dãy Fibonacci) F1 + F2 + + Fn = Fn+2 − F1 + F3 + + F2n−1 = F2n F2 + F4 + + F2n = F2n+1 − Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n F12 + F22 + + Fn2 = Fn Fn+1 F0 − F1 + F2 − F3 + − F2n−1 + F2 n = F2n−1 − F1 F2 + F2 F3 + + F2n−1 F2n = F2n 1.1.3 Dãy tuần hoàn Trong phần này, ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn dãy tuần hoàn cộng tính dãy tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.5 Dãy (un ) gọi dãy tuần hoàn cộng tính tồn số nguyên dương k cho un+k = un , ∀ ∈ N (1.1) Số nguyên dương k bé để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện (??) gọi chu kì sở dãy Định nghĩa 1.6 Dãy số (un ) gọi dãy tuần hoàn nhân tính tồn số nguyên dương s(s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương s nhỏ để dãy (un ) thoả mãn (??) gọi chu kỳ sở dãy 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính Trong phần ta trình bày số phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số, có nghiệm số thực cách giải chúng Định nghĩa 1.7 Phương trình sai phân (cấp k ) hệ tuyến tính chứa sai phân cấp tới k f yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; ; ∆k yn = (1.3) Vì sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số nên (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n) (1.4) a0 ; a1 ; ; ak ; f (n) biết, yn , yn+1 , , yn+k giá trị chưa biết • Phương trình (??) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k • Nếu f (n) = phương trình (??) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = (1.5) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k • Nếu f (n) = (??) gọi phương trình sai phân tuyến tính không • Nghiệm phương trình sai phân +) Hàm số yn biến n thỏa mãn (??) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (??) +) Hàm số yn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (??) gọi nghiệm tổng quát (??) +) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (??) gọi nghiệm riêng (??) a) Phương trình sai phân tuyến tính bậc Bài toán 1.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính bậc (cấp một) u1 = α, aun+1 + bun = f (n), n ∈ N∗ , (1.6) a, b, α số (a, b = 0) f (n) biểu thức n cho trước Nhận xét cấp số dạng đặc biệt phương trình sai phân tuyến tính Lời giải Bước Giải phương trình sai phân tương ứng +) Giải phương trình đặc trưng aλ + b = để tìm λ +) Tìm nhiệm phương trình sai phân tuyến tính tương ứng aun+1 + bun = dạng un = cλn (c số) Bước Tìm nghiệm riêng u∗n phương trình không Bước Tìm nghiệm tổng quát phương trình (??) un = u∗n + un Sau ta trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng Trường hợp Nếu f (n) = Pm (n) đa thức bậc m n Khi +) Nếu λ = ta chọn u∗n = Qm (n) đa thức bậc m n +) Nếu λ = ta chọn u∗n = nQm (n), Qm (n) đa thức bậc m n Trường hợp Nếu f (n) = p.β n (p; β = 0) Khi +) Nếu λ = β ta chọn u∗n = d.β n (d ∈ R) +) Nếu λ = β ta chọn u∗n = d.n.β n (d ∈ R) m Trường hợp Nếu f (n) = dạng u∗n = m k=1 fk (n) Khi đó, ta chọn nghiệm riêng u∗n k=1 x∗nk , x∗nk tương ứng nghiệm riêng phương trình sai phân (??) với V P = fk (n) Ví dụ 1.1 Giải phương trình sai phân x0 = xn+1 = 15xn − 14n + Lời giải (1.7) 63 An + (**), ta dễ dàng chứng minh quy nạp An số phương với n Từ (??) suy An+1 = 4An Cuối cùng, ta chứng minh An có n ước nguyên tố đôi khác phương pháp quy nạp (***) - Với n = 1, rõ ràng (***) - Giả sử (***) với n = k , tức Ak có k ước nguyên tố khác Ta xét hai trường hợp: + Nếu k có k + ước nguyên tố khác rõ ràng (***) + Nếu k có k ước nguyên tố đôi khác nhau, giả sử p1 , p2 , p3 , , pk Khi (Ak , pi ), i = 1, k Giả sử Ak+1 có k ước nguyên tố đôi khác giá trị cần phải có Ak + = 3m , m ∈ N∗ , m ≥ Nhưng Ak ≡ −3 (mod 9) số phương, mâu thuẫn Từ dẫn đến Ak+1 phải có ước nguyên tố khác k ước có, tức có k + ước nguyên tố đôi khác hay (***) với n = k + Do (***) chứng minh Vậy với n nguyên dương, số An = số phương 3an − có n ước nguyên tố phân biệt Bài toán 3.9 (Kì thi HSG lớp 12 THPT chuyên, Nam Định, năm học 2011 - 2012) Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, u2 = un+1 = un (un − 1) + 2; n = 2, 3, Lập dãy số (sn ) sau Sn = u21 + u22 + u2n + − 1; n = 1, 2, Chứng minh số hạng dãy (sn ) số phương Lời giải Ta có u1 = 1; u2 = 2; u3 = 4; u5 = 184 S1 = = S2 = = 64 S3 = 169 = 132 S4 = 33489 = 1832 Ta có u1 = 1; u2 = số nguyên, giả sử uk nguyên, theo giả thiết ta có uk+1 = uk (uk − 1) + suy uk+1 số nguyên Theo nguyên lý qui nạp suy un số nguyên với n ∈ N∗ Ta chứng minh Sn = (un+1 − 1)2 (3.3) Thật với n = S1 = u21 + − = 12 = (u2 − 1)2 Như (??) với n = Giả sử (??) đến n = k , tức Sk = (uk+1 − 1)2 Xét với n = k + 1, ta có Sk+1 = u21 + u22 + u2k + u2k+1 + − = (Sk + 1) u2k+1 + − = (uk+1 − 1)2 + = u2k+1 + − u2k+1 + − 2uk+1 + = u2k+1 + u2k+1 + − − 2uk+1 u2k+1 + + u2k+1 = u2k+1 + − uk+1 Theo cách xác định u2k+1 + − uk+1 = uk+1 (uk+1 − 1) + − = uk+2 − Suy Sk+1 = (uk+2 − 1)2 Vậy (??) n = k + Theo nguyên lí quy nạp suy (??) với n = 1, 2, Vậy số hạng dãy (sn ) số phương 3.2 Một số đề thi tính chia hết dãy số Bài toán 3.10 (IMO 1964) a) Tìm tất số nguyên dương n cho 2n − chia hết cho b) Chứng minh số tự nhiên n để 2n + chia hết cho Lời giải 65 a) Vì n số nguyên dương nên ta xét trường hợp n sau: • Với n = 3k, k ∈ Z ta có 2n − = 23 k − ≡ 1k − ≡ (mod 7) Do đó, với n bội thỏa yêu cầu toán • Với n = 3k + r, k ∈ Z, r = 1, ta có 2n − = 23k 2r − ≡ 2r − ≡ (mod 7), (mod 7), r=1 r=2 Từ suy ra, n = 3k, k ∈ Z ta có 2n − chia hết cho b) Theo ta có 2n ≡ 1, 2, (mod 7) với số tự nhiên n Do 2n + ≡ (mod 7) với số nguyên dương n Bài toán 3.11 (VMO 1997) Cho dãy số (un ) xác định u1 = 7, u2 = 50 un+1 = 4un + 5un−1 − 1975; n≥2 Chứng minh u1996 chia hết cho 1997 Lời giải Vì −1975 ≡ 22 (mod 1997) nên ta cần chứng minh dãy un+1 = 4un + 5un−1 + 22 1997 Đặt yn+1 = aun+1 + b Ta có yn+1 = a(4un + 5un−1 + 22) + b = 4(aun + b) + 5(aun−1 + b) + 22a − 8b = 4yn + 5yn−1 + 22a − 8b Ta chọn a, b cho 22a − 8b = 0,ta chọn a = ⇒ b = 11 ⇒ yn+1 = 4un+1 + 11 ⇒ y1 = 39, y2 = 211; yn+1 = 4yn + 5yn−1 Từ ta có 8(−1)n + 25.5n yn = + 25.51996 ⇒ y1996 = Vì + 25.51996 ≡ −1 + = (mod 3) ⇒ y1996 ∈ Z Theo định lí Fermat 51996 ≡ (mod 1997) ⇒ y1996 ≡ 11 (mod 1997) ⇒ 4x1996 + 11 ≡ 11 (mod 1997) ⇒ x1996 ≡ (mod 1997) 66 Bài toán 3.12 (VMO 1998 - Bảng A) Cho dãy số (un ) xác định u0 = 20; u1 = 100 un+1 = 4un + 5an−1 + 20; ∀n ≥ (3.4) Tìm số nguyên dương h bé cho un+h − uh 1998; ∀n ∈ N∗ Lời giải Đặt an = 2un + 5, từ (??) ta có dãy số (an ) xác định a0 = 45; a1 = 205 an+1 = 4an + 5an−1 ; ∀n ≥ Bằng phương pháp sai phân, ta tìm công thức tổng quát dãy số (an ) 10 125 n an = (−1)n + 3 125 n 5 Suy un = + (−1)n − Vì an+h − an = (un+h − un ) nên un+h − un 1998 ⇔ an+h − an 2.1998 = 22 33 37 (−1)n 10 125.5n h Mà an+h − an = −1 (−1)h − + 3 • Nếu h chẵn   5h −  n 125.5 an+h − an = 5h − 4.27.37 ⇔ 5h − 81 (3.5)   h − 37 Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn 5k − 37 Vì 536 − 37 nên 36 k Suy k ∈ {1, 2, 3, 4, 12, 18, 36} thử trực tiếp ta thấy có k = 36 thỏa mãn Vậy 5h − 37 ⇒ h 36 (3.6) Chứng minh tương tự, ta có 5h − 81 ⇒ h ϕ(81) = 54 Từ (??) (??) ta suy (??) ⇔ h [36, 54] = 108 ⇒ h 108 (3.7) 67 • Nếu h lẻ Vì un+h ≡ un (mod 1998) nên ta có uh ≡ u0 ≡ 20 (mod 1998) uh+1 ≡ u1 ≡ 100 (mod 1998) ⇒ 5uh−1 ≡ uh+1 − 4uh − 20 ≡ (mod 1998) ⇒ uh−1 (mod 1998) 125 h 25 125 h−1 Vì h lẻ nên h − chẵn ⇒ uh = − uh−1 = − 6 6 ⇒ uh ≡ 5uh−1 ≡ (mod 1998) mâu thuẫn với uh ≡ 20 (mod 1998) Với h = 108 ta dễ dàng chứng minh un+h ≡ un (mod 1998); ∀n ≥ Vậy h = 108 giá trị cần tìm Bài toán 3.13 (VMO 1998 - Bảng B) Cho dãy số (xn ), (yn ) xác định x1 = 1; y1 = xn+1 = 22yn − 15xn + 20; (∀n ≥ 1) yn+1 = 17yn − 12xn a) Chứng minh số hạng hai dãy (xn ), (yn ) khác 0, có vô hạn số hạng dương vô hạn số hạng âm b) Hỏi số hạng thứ 19991945 dãy có chia hết cho không? Giải thích Lời giải a) Ta có xn+2 = 22yn+1 − 15xn+1 = 22(17yn − 12xn ) − 15xn+1 = 17(xn+1 + 15xn ) − 22.12xn − 15xn+1 = 2xn+1 − 9xn Do xn+2 ≡ 2xn+1 (mod 3) Hơn ta có x1 = 1, x2 = 29 suy xn không chia hết cho 3, hay xn = 0, ∀n Tiếp theo, ta chứng minh xn có vô hạn số hạng dương vô hạn số hạng âm Thật vậy, từ ta có xn+3 = 2xn+2 − 9xn+1 = −5xn+1 − 18xn hay xn+3 + 5xn+1 + 18xn = 0, ∀n (3.8) Do đó, giả sử dãy xn có hữu hạn số hạng dương (hữu hạn số hạng âm), ta gọi xnj số hạng dương lớn dãy Khi đó, với n ≥ nj ta có xn < 0, điều mâu thuẫn với (??) 68 Tương tự, ta chứng minh dãy yn+2 = 2yn+1 − 9yn , ∀n thỏa yêu cầu toán b) Từ trên, ta có xn+4 = −28xn+1 − 45xn , nên xn ≡ (mod 7) ⇔ xn+4 ≡ (mod 7) ⇔ xn+4k ≡ (mod 7) Ngoài ra, từ 19991945 ≡ (−1)1945 (mod 4) ≡ (mod 4) x3 = 49 nên ta suy x19991945 ≡ (mod 7) Tương tự, ta có yn ≡ (mod 7) ⇔ yn+4k ≡ (mod 7) Nhưng y3 = 26 ≡ (mod 7) nên y19991945 ≡ (mod 7) Bài toán 3.14 (Đề chọn HSG TP Hà Nội vòng năm học 2011 - 2012) Cho dãy số nguyên dương (un ) xác định u1 = 1, u2 = 2, u4 = 5; với số n nguyên dương khác ta có un+1 un−1 = un + a a2 = 1) Xác định số hạng tổng quát un dãy số 2) Tìm số tự nhiên n không vượt 2012 cho un chia hết cho 10 Lời giải 1) Ta có u2 u4 = u3 + a ⇒ u3 = u2 u4 − a = 10 − a ⇒ u3 = (vì dãy số nguyên dương) Ta có (un ) dãy tăng un > với n ≥ un + a un+1 un−1 = un + a ⇔ un+1 = un−1 Giả sử un − un−1 un + un−1 Suy un−1 vô lý Vậy un − un + chia hết cho un−1 nên tồn nhiều dãy thỏa mãn đầu Xét dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = vn+1 + Chứng minh quy nạp ta vn+1 vn−1 = − (−1)n Nên dãy (vn ) dãy thỏa mãn đầu u = 1; u = Vậy u1 = u + u n+2 n+1 n √ n √ n 1+ 1− ⇒ un = √ − 2 69 2) Ta có un+2 = un+1 + un = 2un + un−1 ≡ un−1 (mod 2) Mà u2 = nên ≡ u2 ≡ u5 ≡ · · · ≡ u3k+2 (mod 2) Vậy un ⇔ n = 3k + Ta lại có un+2 = un+1 + un = 2un + un−1 = 3un−1 + 2un−2 = 5un−2 + 3un−3 ≡ 3un−3 (mod 5); (n 4) Mà u4 = nên u4 ⇒ u9 ≡ 3u4 (mod 5) ⇒ u9 Suy un ⇔ n = 5k + n = 3k + Vậy un 10 ⇔ n = 5k + ⇔ n = 15m − Vì ≤ n ≤ 2012 ⇒ ≤ 15m − ≤ 2012 ⇒ m ≤ 134 Vậy có 134 số thỏa mãn đầu n = 15m−1 với m ∈ N, m ∈ [1; 134] Bài toán 3.15 (Đề chọn HSG TP Hà Nội vòng năm học 2014 − 2015) Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện u1 = un+1 = 2un + 3u2n + 1, n = 1, 2, (3.9) a) Chứng minh với số nguyên dương n ta có un+2 = 4un+1 − un b) Chứng minh u2015 chia hết cho Lời giải a) Từ (??) ta có (un+1 − 2un )2 = 3u2n + ⇔ u2n+1 − 4un+1 un + u2n − = (3.10) Từ (??) thay n n + ta u2n+2 − 4un+2 un+1 + u2n+1 − = Như un , un+2 hai nghiệm phương trình x2 −4xun+1 +u2n+1 −1 = Theo định lí Vi-et ta có un+2 + un = 4un+1 ⇒ un+2 = 4un+1 − un Vậy với số nguyên dương n ta có un+2 = 4un+1 − un b) Chứng minh u2015 chia hết cho 70 Ta có u1 = 4, u2 = 15 nên từ câu a suy dãy số (un ) dãy số nguyên dương un+3 − un = 4un+2 − un+1 − un = 4(4un+1 − un ) − un+1 − un = 5(3un+1 − un ) Suy un+3 − un ≡ (mod 5) Hay un+3 ≡ un (mod 5) Mà u2 = 15 nên ≡ u2 ≡ u5 ≡ · · · ≡ u3k+2 (mod 5) Như u3k+2 5, k ∈ N Với k = 671, ta có u2015 Vậy ta có điều phải chứng minh Cách khác Ta chứng minh quy nạp với n = 3k − 1,k nguyên dương un Với k = đúng,giả sử đến k , tức u3k−1 Ta chứng minh k + Thật ta có u3k+2 = 4u3k+1 − u3k = 4(4u3k − u3k−1 ) − u3k = 15u3k − 4u3k−1 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.16 (VMO 2011) Cho dãy số nguyên (un ) xác định u0 = 1, u1 = −1 un+2 = 6un+1 + 5un (n ≥ 0) (3.11) Chứng minh u2012 − 2010 chia hết cho 2011 Lời giải Cách +) Xét phương trình đặc trưng dãy x2 − 6x − = Phương √ trình có hai nghiệm x = ± 14 Khi √ √ n n un = a + 14 + b − 14 Sử dụng giả thiết u0 = 1, u1 = −1 ta √ √ √ √ n 14 − 14 + un = √ + 14 + √ − 14 14 14 +) Đặt p = 2011 ta √ √ 14 − up+1 = √ + 14 14 √ p+1 + √ 14 + √ − 14 14 n p+1 71 Chú ý: 3+ 3− √ √ p+1 √ = Ap+1 + Bp+1 14, p+1 √ = Ap+1 − Bp+1 14, 14 14 Ap+1 = Cp+1 3p+1 + Cp+1 3p−1 Bp+1 = Cp+1 3p + Cp+1 3p−2 √ √ 14 14 √ p+1 + · · · + Cp+1 + ··· + p Cp+1 √ p+1 14 (3.12) p−1 14 (3.13) Dễ dàng chứng minh up+1 = Ap+1 − 4Bp+1 (3.14) Ta có k k−1 k−2 k (k − 1) Cp+1 = p (k − 1) Cp−1 + kCp−1 ≡0 (mod p) k ≡ (mod p) với k = 2, 3, , p − Suy Cp+1 Do theo công thức (??) (??) ta   p+1 Ap+1 = 14 + 3p+1  (mod p)  p−1 = 3.14 + 3p  (mod p) Từ kết hợp với (??) ta thu   p−1 up+1 ≡ 2.14 − 3p  (mod p)  Bp+1 (3.15) Ta có 452 = 2025 ≡ 14 (mod p) nên theo định lí Fecmat nhỏ (??) ta up+1 ≡ −3 + 2.45p − ≡ −3 + ≡ −1 (mod p) Hay ta u2012 − 2010 chia hết cho 2011 Cách Xét dãy số nguyên (bn ) xác định b0 = 1, b1 = −1, bn+2 = 6bn+1 + 2016bn , (n ≥ 0) 72 Dễ thấy với n ≥ 0, ta có un ≡ bn (mod 2011) Phương trình đặc trưng dãy (bn ) x2 − 6x − 2016 = 0, có hai nghiệm x1 = −42, x2 = 48 Suy số hạng tổng quát dãy (bn ) có dạng: bn = C1 (−42)n + C2 48n 49 41 Mà b0 = 1, b1 = −1 nên ta tìm C1 = , C2 = 90 90 Vì 49.(−42)n + 41.48n bn = , (n ≥ 0) 90 Vì 2011 số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có (3.16) (−42)2010 ≡ 482010 ≡ (mod 2011) Do 90b2012 ≡ 49.(−42)2012 + 41.482012 ≡ 49.(−42)2 + 41.482 ≡ 90b2 (mod 2011) Suy b2012 ≡ b2 (mod 2011) (vì (90, 2011) = 1) Mà b2 = 6b1 + 2016b0 = 2010 nên b2012 ≡ 2010 (mod 2011) Vì u2012 ≡ 2010 (mod 2011) Vậy u2012 − 2010 chia hết cho 2011 Nhận xét 3.1 Trong công thức (??), ta thay n = 2011 ta 90b2011 = 49.(−42)2011 + 41.482011 ≡ 49.(−42) + 41.48 ≡ −90 (mod 2011) Suy b2011 + 2011 ⇒ a2011 + 2011 Từ ta có toán sau Cho dãy số nguyên (un ) xác định u0 = 1, u1 = −1, un+2 = 6un+1 + 5un , n ≥ Chứng minh u2011 − 2010 chia hết cho 2011 Nhận xét 3.2 Nếu (??) thay n số nguyên tố p > ta được: 90bp = 49.(−42)p + 41.48p ≡ 49.(−42) + 41.48 (mod p) ≡ −90 (mod p) Suy bp + chia hết cho p Từ ta có toan sau Cho dãy số nguyên (un ) xác định u0 = 1, u1 = −1, un+2 = 6un+1 + 2016un , n ≥ Chứng minh up + chia hết cho p, p số nguyên tố lớn 73 Nhận xét 3.3 Nếu (??) thay n p + 1, p số nguyên tố lớn ta thu 90bp+1 = 49.(−42)p+1 +41.48p+1 ≡ 49.(−42)2 +41.482 (mod p) ≡ 180900 Suy 90(bp+1 − 2010) p ⇒ (bp+1 − 2010) p Từ ta có toán sau Cho dãy số nguyên (un ) xác định u0 = 1, u1 = −1, un+2 = 6un+1 + 2016un , n ≥ Chứng minh up+1 − 2010 chia hết cho p, p số nguyên tố lớn Nhận xét 3.4 Bây ta ta tiếp tục suy nghĩ toán 3.16 xem phụ thuộc vào giá trị ban đầu u0 , u1 nào? Tại người ta lại lấy u0 = 1, u1 = −1 ta tìm điều kiện u0 , u1 để kết toán không thay đổi không? Sau nghiên cứu vấn đề thu toán sau Cho a, b số nguyên cho trước Dãy số nguyên (un ) xác định u0 = a, u1 = b un+2 = 6un+1 + 5un ; n ∈ N Tìm tất số nguyên a, b cho a2012 − 2010 chia hết cho 2011 Lời giải Ta xây dựng dãy (bn ) xác định sau b0 = a, b1 = b bn+2 = 6bn+1 + 2016bn ; n ∈ N Phương trình đặc trưng x2 − 6x − 2016 = có hai nghiệm phân biệt x1 = −48; x2 = −42 Khi bn = c1 48n + c2 (−42)n Kết hợp với b0 = a, b1 = b suy bn = 42a + b n 48a − b 48 + (−42)n 90 90 ⇔ 90bn = (42a + b).48n + (48a − b).(−42)n Suy 90b2012 = (42a + b).482012 + (48a − b).422012 (mod p) 74 Do 2011 số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ ta có 482011 ≡ 48 (mod 2011); 422011 ≡ 42 (mod 2011) Do ta có 90(b2012 + 1) ≡ (42a + b).482 + (48a − b).422 + 90 ⇒ 90(b2012 + 1) ≡ 90(5a + 6b + 1) (mod 2011) (mod 2011) hay b2012 −2010 chia hết cho 2011 5a+6b+1 ≡ (mod 2011) Từ phương trình đồng dư ta tìm a = −m + + 6t, b = −5t − + 371m, m, t số nguyên tùy ý Bài toán 3.17 (Chọn đội tuyển HSG Đại học khoa học tự nhiên năm 2009-2010) Cho dãy số nguyên (an ) xác định a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an (n ≥ 0) a)Chứng minh an chia hết cho n với n ≥ an ∞ chưa vô số số hạng chia hết cho 2009 b) Chứng minh dãy số n n=1 Lời giải Phương trình đặc trưng dãy (an ) có dạng x4 − 2x3 − x2 + 2x + = tương đương với x2 − x − = Từ số hạng tổng quát an có dạng an = c1 αn + c2 β n + n (c3 αn + c4 β n ) , √ √ 1+ 1− α= ;β = nghiệm phương trình x2 − x − = 2 Từ đây, từ điều kiện ban đầu, ta tìm 1 c1 = c2 = 0, c3 = √ , c4 = − √ 5 Suy 1 an = n √ α n − √ β n 5 75 an = Fn , vứi F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 với n n = 1, 2, tức dãy số Fibonacci Kết luận câu (a) đến hiển nhiên Từ ta Để giải phần (b), ta theo hướng sau Cách Dùng quy nạp chứng minh Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn−1 Sau tiếp tục dùng quy nạp chứng minh Fkn chia hết cho Fn Từ đây, để chứng minh kết luận toán, ta cần giá trị nguyên dương n cho Fn chia hết cho 2009 xong Có thể tính toán F56 chia hết cho 49, F20 chia hết co 41, từ F280 chia hết cho 2009 Cách Ta chứng minh mệnh đề tổng quát: Với số nguyên dương N , tồn vô số số hạng dãy số Fibonacci chia hết cho N Để thực hiệu điều này, ta bổ sung thêm số hạng F0 = cho dãy Fibonacci Chú ý ta có hệ thức Fn+1 = Fn + Fn−1 với n = 0, 1, 2, Gọi ri số dư phép chia Fi cho N Xét N + cặp số dư (r0 , r1 ); (r1 , r2 ); ; (rN , rN +1 ) Do ≤ ri ≤ N − nên có N cặp giá trị (ri , ri+1 ) khác Theo nguyên lý Dirichlet, tồn cặp số i < j cho (ri , ri+1 ) ≡ (rj , rj+1 ) Từ đây, rk−1 số dư phép chia rk+1 − rk cho N nên suy ri−1 = rj−1 , ri−2 = rj−2 , , r0 = rj−i Suy dãy số dư tuần hoàn với chu kì j − i Vì r0 = nên rk(j−i) = với k = 1, 2, ta có rk(j−i) chia hết cho N với k = 1, 2, (Điều phải chứng minh) 76 Kết luận Các toán dãy số đề cập hầu hết tài liệu giải tích, đại số, tác giả giới thiệu phần mở đầu, luận văn đề cập đến tính chất số học phần tử dãy số Luận văn trình bày hệ thống số toán thỏa mãn tính chất số học đặt tính phương, tính nguyên tố, tính chia hết phần tử dãy số Để làm điều người ta kết hợp cách khéo léo phương pháp lí thuyết dãy với nguyên lí số học làm cho việc chứng minh toán thêm phần hấp dẫn, tạo nên đa dạng, phong phú kho tàng toán học nhân loại Luận văn "Một số dạng toán liên quan đến dãy số số học" giải vấn đề sau: Chương hệ thống kiến thức dãy số, phương trình sai phân tuyến tính, số tính chất số học Chương hệ thống số dạng toán liên quan đến dãy số số học Đối với dạng toán, chọn lọc số tập tiêu biểu làm bật dạng toán tính chia hết, tính phương, phân tích dãy số thành nhân tử Chương trình bày dạng toán dãy số nguyên tính chia hết, tính phương, toán lấy từ đề thi học sinh giỏi tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế Tôi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh Trung học phổ thông đồng nghiệp quan tâm đến vấn đề Cho dù cố gắng thật khó để tránh khỏi thiếu xót kinh nghiệm hạn chế, tác giả mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 77 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Hải Châu (2005), Các thi Olimpic toán trung học phổ thông Việt Nam (1990 - 2004), NXB Giáo dục [2] Hà Huy Khoái (Chủ biên) (2004), Số học, NXB Giáo dục [3] Hà Huy Khoái (Chủ biên) (2008), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Số học, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (1997), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2009), Chuyên đề số học toán liên quan, NXB Giáo dục Tiếng Anh [6] Nathanson M.B (1999), Elementary methods in number theory, Springer [7] Library Mathematics and Youth, The Vietnamese Mathematical Olympiad (1990 - 2006), Education Pub House, 2007 [...]... chất số học của dãy số nguyên Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong nhiều trường hợp dãy. .. có dư Trong phần này ta xét đến tính chia hết của các phần tử trong một dãy số Cho một dãy số thì các phần tử của nó có thể cùng chia hết cho cùng một số nào đó hoặc các phần tử chia hết cho số thứ tự của số đó, hoặc là chỉ có một số phần tử cùng chia hết cho một số cho trước Sau đây ta xét một số dãy số mà các phần tử của nó cùng chia hết cho một số Đối với những dãy số được cho bởi công thức số hạng... 1) Vậy Ak+1 169 Bài toán được chứng minh Nhận xét 2.1 Trong dãy số khi xét đến tính chia hết của các phần tử trong dãy số có nhiều cặp dãy số đan xen nhau về tính chia hết và không chia hết cho cùng một số Ta xét bài toán sau Bài toán 2.2 Cho 2 dãy số an = 22n+1 + 2n+1 + 1 bn = 22n+1 − 2n+1 + 1, n = 0, 1, 2, Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an , bn chia hết cho... nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học 2.1 Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số Trong số học thì tính chia hết giữ một vị trí quan trọng trong lý thuyết số Nó là cơ sở để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư , với hai số nguyên a, b bất kỳ nếu tồn tại số nguyên q sao cho... Các bài toán chứng minh dãy số có vô hạn số hạng chia hết cho một số cho trước thường được chứng minh số dư trong phép chia là hữu hạn và do đó tuần hoàn dẫn đến có vô hạn số hạng chia hết cho số đã cho Bài toán 2.12 (China 1991) Cho dãy số nguyên (un ) xác định bởi u0 = 39, u1 = 45 un+2 = u2n+1 − un (n ∈ N) Chứng minh rằng có vô hạn số hạng của dãy (un ) chia hết cho 1986 Lời giải 29 Gọi rn là số dư... xác định dãy, ta thu được rn = rn+k , ∀n = 0, 1, 2, Hơn nữa ta có u2 = 452 − 39 = 1986 nên sẽ tồn tại vô hạn số hạng của dãy (un ) chia hết cho 1986 2.2 Một số bài toán về phân tích dãy số thành nhân tử và tính nguyên của dãy số Các bài toán chứng minh dãy số gồm toàn các số nguyên được đưa về công thức truy hồi tuyến tính sau đó chứng minh bằng phương pháp quy nạp với một vài số hạng đầu là số nguyên... biệt hóa, ta có thể xét xem một phần tử nào đó trong dãy số đã cho có chia hết cho một số cho trước hay không? hoặc có thể xét xem các phần tử của dãy số có chia hết cho một số cho trước nào đó hay không? Bài toán 2.9 Cho dãy số (un ) xác định bởi √ n √ n 2+ 3 − 2− 3 √ ; n = 0, 1, 2, un = 2 3 a) Chứng minh rằng un là số nguyên với mọi n = 1, 2, b) Tìm mọi số hạng của dãy chia hết cho 3 Lời giải... phương pháp quy nạp toán học) Với m = 402 ⇒ u2012 ≡ u2 ≡ 0 (mod 11) Tức là số dư khi chia u2012 cho 11 là 0 Vậy u2012 11 Nhận xét 2.8 Trong bài toán về tính chia hết của các phần tử trong dãy số cho số a khi đó số các số dư khác nhau là a Như vậy, chúng ta có thể áp dụng nguyên lí Dirichlet đối với a+1 bộ hữu hạn các số dư có được trong phép chia đó và khi đó phải tồn tại ít nhất hai bộ số dư trùng nhau... Bài toán 2.13 (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2006) Hãy tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n; k) với n là số nguyên không âm và k là số nguyên lớn hơn 1 sao cho số A = 172006n + 4.172n + 7.195n có thể phân tích được thành tích của k số nguyên dương liên tiếp Lời giải Trước hết ta thấy rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp phải chia hết cho 8 vì trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 4 và một số. .. chứng minh nhiều bài toán Bài toán 2.11 Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 20, u2 = 100 un+1 = 4un + 5un−1 ; n = 2, 3, Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số hạng của dãy số chia hết cho 1996 Lời giải Đặt un = 1996.αn + rn , n = 1, 2, , trong đó αn , rn là các số nguyên và 0 ≤ rn ≤ 1995 Xét dãy các cặp sau đây (r1 , r2 ); (r2 , r3 ); ; (rn , rn+1 ); Vì dãy này vô hạn, mà các số ri là hữu hạn ... LIấN QUAN N DY S TRONG S HC LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s 60.46.01.13 Ngi hng dn khoa hc GS TSKH NGUYN VN MU THI NGUYấN - NM 2015 Mc lc M u H thng húa cỏc kin thc liờn quan. .. lun 76 Ti liu tham kho 77 M u Chuyờn dóy s v cỏc liờn quan n dóy s l mt phn quan trng ca i s v gii tớch toỏn hc Dóy s cú mt v trớ c bit quan trng toỏn hc, khụng ch nh l mt i tng nghiờn cu m... hng tng quỏt, s n iu ca dóy s, tớnh b chn Trong ú cỏc liờn quan n tớnh cht s hc ca dóy s nh tớnh chia ht, tớnh nguyờn, tớnh chớnh phng thỡ cha c quan tõm nhiu Cỏc bi toỏn v dóy s nguyờn l