1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

108 bài toán tổ hợp – phương pháp

28 49 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 28
Dung lượng 2,02 MB

Nội dung

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▲đ✐ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮✲ ◆❣ỉ ❚❤à ◆❤➣ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ◆❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ✤→♥❤ t❤ù❝ ✤❛♠ ♠➯✦ ❚❤❛② ❝❤♦ ❧í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ❝❤ó♥❣ tổ ữủ ợ t ❚❖⑩◆ ❍❆❨ ✲ ▲❮■ ●■❷■ ✣➉P✳ ✳ ✳ ❝õ❛ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ❧ü❛ ❝❤å♥ tø q✉②➸♥✿ ✏ ❜➔✐ t➟♣ t♦→♥ tê ❤đ♣ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐✑✳ ✭✈✐➳t t➢t ❧➔ ◗✶✮✳ ✶✵✽ ❚ỉ✐ ♥❣❤➽ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ① ✈ỵ✐ ✵ ❁ ① ❁ ✶✼✳ P❤↔✐ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝➙✉ ❤ä✐ ♠➔ ❝❤➾ ✤÷đ❝ ♣❤➨♣ tr↔ ❧í✐ ✤ó♥❣ ✲ s❛✐ ✤➸ ♥❣÷í✐ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ tỉ✐ ♥❣❤➽ ✤➳♥ sè ♥➔♦❄ ❇➔✐ ✺✭◗✶✮✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✿ ❈➛♥ ✹ ❝➙✉ ❤ä✐✳ ❚❛ t❤❛② ❝❤♦ ❤ä✐ ❝→❝ sè tø ✶ ✤➳♥ ✶✻ ❜➡♥❣ tø ✵ ✤➳♥ ✶✺ ✭t❤❛② ✈➻ ❤ä✐ ❝❤♦ t ọ số x ỵ ❞♦ ❦ÿ t❤✉➟t tr♦♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②✮✳ ❚❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❝→❝ ❜↕♥ ②➯✉ t✐♥ ❤å❝✳ ❈❤✉②➸♥ ❝→❝ sè tø ✵ ✤➳♥ ✶✺ ✈➲ ❞↕♥❣ ❤➺ ✤➳♠ ❝ì sè ✷✳ ◆❤÷♥❣ ✈➟② t❛ ❝â ❝→❝ sè 0, 1, 10, 11, 100, , 1111✳ ◆❤÷ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ✹ æ ✈ø❛ ✤õ ✤➸ ❜✐➸✉ t❤à ❝→❝ sè tø ✵ ✤➳♥ ✶✺✳❈→❝ ❞➣② ❦➼ tü ❝➛♥ ①➨t ✤➳♥ ❧➔ 0000, 0001, 0010, 0011, , 1110, 1111✳ ✲ ❑➼ tü ð ✈à tr➼ t❤ù ✐ ọ ữ ợ ✤➦t ✹ ❝➙✉ ❤ä✐✿ i = 1, 2, 3, 4✮✳ ❈➙✉ tr↔ ❧í✐ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❧➔ ✵ ❤♦➦❝ ✶✳ ●❤➨♣ ✹ ❝❤ú sè t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sè ❝➛♥ t➻♠✳ ❚❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ❝→❝❤ ❤ä✐ ❞↕♥❣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✿ ❈❤✐❛ ❝→❝ số t õ rỗ t ❤ä✐✿ ❙è ❝➛♥ t➻♠ ❝â tr♦♥❣ ♥❤â♠ ❆❄ ❙❛✉ ❦❤✐ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ t✐♥✱ t❛ ❧↕✐ ❝❤✐❛ ♣❤➛♥ ❝â ❝❤ù❛ sè ❝➛♥ t➻♠ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥❤â♠ ✈➔ t✐➳♣ tö❝ ọ trữợ ụ r số ❝➙✉ ❤ä✐ ❝➛♥ t❤✐➳t ❧➔ ✹ ✈➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ➼t ❤ì♥ ✹✱ ✈➻ ♠é✐ ✈à tr➼ ❝➛♥ ♠ët ❝➙✉ ❤ä✐ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤✳ ✶ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ▲í✐ ❣✐↔✐ ♥➔② ❝â t❤➸ tê♥❣ q✉→t ❤â❛✿ ♥➳✉ ❝â ♥ ✈➟t ❝➛♥ t➻♠ ✈➔ 2k−1 < n ≤ 2k t❤➻ ❝➛♥ ❦ ❝➙✉ ❤ä✐✳ ✣➙② ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✳ ❇➔✐ ✼✭◗✶✮✳ ❚æ✐ ♥❣❤➽ ❤❛✐ sè ❣✐ú❛ ✶ ✈➔ ✶✵✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝➛♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝➙✉ ❤ä✐ ✭❞↕♥❣ ✤ó♥❣ s❛✐✮ ✤➸ ❜↕♥ ❝â t❤➸ ❜✐➳t ❤❛✐ sè tỉ✐ ♥❣❤➽ ❧➔ ❣➻❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✿ ❈➛♥ ✻ ❝➙✉ ❤ä✐✳ ❙û ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❜➔✐ tr➯♥✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ①➨t ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝➦♣ sè 25 < 45 < 26 ♥➯♥ ❝➛♥ ✻ ❝➙✉ ❤ä✐✳ C10 = 45 ú ợ ữ tờ ❤đ♣ ✈➔♦ tr♦♥❣ ①➙② ❞ü♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ t÷ð♥❣ ❝❤ø♥❣ ♥❤÷ ✈ỉ ❝ò♥❣ r➢❝ rè✐ ❜é♥❣ trð t❤➔♥❤ ỡ ỗ ✈➟t ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ❣➙② ❦❤â ❦❤➠♥✱ ✈➻ ✤➣ ❝â t❤✉➟t t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ❇➔✐ ✽✭◗✶✮✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í × ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✿ C92 · C92 = 36 · 36 = 1296✳ ❈â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ✤➳♠ t❤ó ✈à✳ ❚❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ❜➡♥❣ t➼❝❤ sè ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥➡♠ ♥❣❛♥❣ C9 ✈➔ sè ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥➡♠ ❞å❝ C9 ✳ ❍♦➦❝ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ t➼❝❤ sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➡♠ ♥❣❛♥❣ ✈➔ sè ❝→❝ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➡♠ ❞å❝✳ ●❤✐ ❝❤ó✿ ❇➔✐ t♦→♥ s➩ ♣❤ù❝ t↕♣ ✈➔ t❤ó ✈à ❤ì♥ ❦❤✐ t❛ t❤❛② ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣✿ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í × ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣❄ ❈ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❜➙② ❣✐í ❧➔ ❣❤➨♣ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❝ò♥❣ ✤ë ❞➔✐ ♥➡♠ ♥❣❛♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❝ò♥❣ ✤ë ❞➔✐ ♥❤÷♥❣ ♥➡♠ ❞å❝✳ ❚❛ s➩ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✲ ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ tữợ n ì n S = 12 + 22 + · · · + 82 ❇➔✐ ✾✭◗✶✮✳ ❚r➯♥ ❣✐→ ❝â ✶✵ q✉②➸♥ s→❝❤✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✤➸ ❧➜② ①✉è♥❣ ✸ q✉②➸♥ s→❝❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ❤❛✐ q✉②➸♥ ♥➔♦ ✤➣ ✤ù♥❣ ❝↕♥❤ ♥❤❛✉❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❈â C83 ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ◆➳✉ ❞ò♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➺t ❦➯✱ ❜➔✐ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤è✐ ❦❤â✳ ❈→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ✈➜♥ ✤➲ ♠ỵ✐ s❛✉ ✤➙② ❧➔♠ ❝❤♦ ❧í✐ ❣✐↔✐ trð t❤➔♥❤ ✤➭♣ ❧✉♥❣ ❧✐♥❤✳ ❚❛ ❧ë✐ ♥❣÷đ❝ q✉② tr➻♥❤✳ ❚❤❛② ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❧➜② ①✉è♥❣ ✸ q✉②➸♥ s→❝❤✱ t❛ ❧➔♠ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤➦t s→❝❤ ❧➯♥ ❣✐→✳ ❇➔✐ t♦→♥ s➩ ❧➔✿ ❚r➯♥ ❣✐→ ❝â ✼ q✉②➸♥ s→❝❤✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✷ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✤➸ ✤➦t t❤➯♠ ✸ q✉②➸♥ s→❝❤ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ q✉②➸♥ ♠ỵ✐ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝â ❤❛✐ q✉②➸♥ ♥➔♦ ✤ù♥❣ ❝↕♥❤ ♥❤❛✉❄ ❚ø ✤➙② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ trð ♥➯♥ r➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ●✐ú❛ ❝→❝ q✉②➸♥ s→❝❤ tr➯♥ ❣✐→ ❝â tê♥❣ ❝ë♥❣ tr trố trữợ s ụ õ t❤➸ ✤➦t✮✳ ❈❤➾ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ r❛ ✸ ✈à tr➼ ✤➸ ✤➦t s→❝❤ ♠ỵ✐ ✈➔♦✳ ❑➳t q✉↔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ❧➔ C8 = 56✳ ❈→❝❤ s✉② ♥❣❤➽ ✤✐ ♥❣÷đ❝ ❝❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ❜➔✐ tr➯♥ ❣đ✐ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠ët ♣❤♦♥❣ ❝→❝❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❘❯❨ ❍➬■✳ ❇➔✐ t♦→♥ s❛✉ t❤➸ ❤✐➺♥ r➜t rã t→❝ ❞ư♥❣ ❦❤â t❤✐➳✉ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔②✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✤✐ ❧➯♥ ♠ët ❝➛✉ t❤❛♥❣ s ộ ữủ ữợ ❤♦➦❝ ✷ ❜➟❝❄ ❇➔✐ ✶✷✭◗✶✮✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❜➢t ✤➛✉ tứ tự tự ữợ ữủ ợ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✤➳♥ ❜➟❝ ✽ ✭❜➟❝ n − 1✮ ❤♦➦❝ ữợ tứ tứ n − 2✮✳ ❱➟② sè ❝→❝❤ ✤➳♥ ❜➟❝ ♥ ✭✈ỵ✐ F (n) ❜➡♥❣ tê♥❣ sè ❝→❝❤ tø ❜➟❝ (n − 1) ✈➔ tø (n − 2)✮✳ ◆➳✉ ð ❜➟❝ ✵ ❧➔ ♠ët ❝→❝❤✱ t❤➻ tø ✵ ✤➳♥ ❜➟❝ ✶ ❝â ✶ õ ữợ ởt ữợ tứ ✼ ✭❜➟❝ t❤ù ❝→❝❤✳ ❚ø ✵ ❧➯♥ ❜➟❝ ✷ ❝â ✶✰✶❂ ✷ ❝→❝❤ ✈➔ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ tr✉② ỗ F (n) = F (n 1) + F (n − 2) ✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❋✐❜♦♥❛❝✐ ♥ê✐ t é ữợ t tr t tứ ố t❤➳ ❦➾ ❳❳ ✤➛✉ t❤➳ ❦➾ ❳❳■ ♠ët tr➔♦ ❧÷✉ ❝❤↕② ✤✉❛ ♥❣➛♠ ♥❤÷♥❣ ✈ỉ ❝ò♥❣ s✐♥❤ ✤ë♥❣ ✤❛♥❣ ❞✐➵♥ r❛ ❣✐ú❛ ❝→❝ q✉è❝ ❣✐❛✿ ✣÷❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤ trữớ tổ ợ tè✐ ♠➟t✑ ❝õ❛ ❝✉ë❝ ❝↔✐ ❝→❝❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ✤❛♥❣ ❞✐➵♥ r❛ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❣➜♣ rót t↕✐ ❝→❝ ❝÷í♥❣ qố ữợ tửt tr q✉è❝ ❣✐❛ ✤â ✈➽♥❤ ✈✐➵♥ ❜à ①➳♣ ✈➔♦ ✏❤↕♥❣ s❛✉✑ ♠➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✈è♥ ✤➣ ①❛ ❝→❝❤ ♥❛② ❝➔♥❣ ♥ỵ✐ rở ữợ t ổ ữợ tr t❤ù❝✱ ✤➣ ✤➳♥ ❧ó❝ ❝♦♥ ❝❤→✉ ♠➻♥❤ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t✐➳♣ ❝➟♥ ✈ỵ✐ ❦❤♦❛ ❤å❝ t❤➳ ❣✐ỵ✐ ♠➔ ❝ư t❤➸ ✤â ❧➔ tr➔♦ ❧÷✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤ỉ♥❣ ♠✉è♥ t❤ü❝ sü ❧➔ ❧ü❝ ❧÷đ♥❣ ❤↕♥❣ ❤❛✐✦ ✸ ệ ệ ử ỗ ỵ rt ỗ tọ ỵ rt ❈→❝ ❜➔✐ ❚♦→♥ tr➯♥ ❜➔♥ ❝í✳ ✶✷ ✺ ❍➻♥❤ ❤å❝ tê ❤ñ♣ ✶✸ ✻ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ sè ❤å❝✳ ✶✺ ✼ ❚rá ❝❤ì✐ ✕ ●❛♠❡s ✶✻ ✽ ◗✉② ♥↕♣ ✶✽ ✾ ❚ê♥❣ ❤ñ♣ ✶✾ ✶✵ ❚❤➯♠ t❤➯♠ ✷✷ ✶✶ ◆❤ú♥❣ ✈✐➯♥ ♥❣å❝ ❝õ❛ ①ù sð ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ ✷✺ ✹ https://toanmath.com/ ✶ ỗ ỳ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ tø ✶ ✤➳♥ 1000 ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦✿ ❛✮ ➑t ♥❤➜t ♠ët sè ❜✮ ✣ó♥❣ ♠ët sè ❝✮ ➑t ♥❤➜t ❤❛✐ sè ❞✮ ✣ó♥❣ ❤❛✐ sè tø ❝→❝ sè 2, 3, 5✳ ✷✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ✈ỵ✐ ✶✷✵✵ ✈➔ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✶✷✵✵❄ ✸✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝â ✳✳✳✳ ❛✮ ❜❛ ❝❤ú sè ❜✮ ❜è♥ ❝❤ú sè ❜✐➳t r➡♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â ❝❤➾ ❧➔ ❝✮ ♥ ❝❤ú sè 1, 2, ♥❤÷♥❣ t➜t ❝↔ ✤➲✉ ❝â ♠➦t ➼t ♥❤➜t ♠ët ❧➛♥❄ ✹✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝â ✹ ❝❤ú sè ♠➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â ❝→❝ ❝❤ú sè ✶ ❤♦➦❝ ✷ ➼t ♥❤➜t ❝â ♠ët sè t❤❛♠ ❣✐❛❄ ✺✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❣❤✐ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ tø ✶ ✤➳♥ 10000 ❧➯♥ ❜↔♥❣✳ ❙❛✉ ✤â ♥❣÷í✐ t❛ ①â❛ ❝→❝ sè ❝â ❝❤ù❛ ❝❤ú sè ✵ ❤♦➦❝ ✶✳ ❍ä✐ ❝→❝ sè ❜à ①â❛ ✈➔ ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐ ♥❤â♠ ♥➔♦ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥❄ ✻✳ ❇➻♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ó ỵ ỗ r õ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tê♥❣ t❤➸ ❧➔ 1m2 ✤➣ ✺ ❧➛♥ ♠➭ ❜↕♥ ➜② ♣❤↔✐ ✈→ ♥➠♠ ♠✐➳♥❣ ✈↔✐ ♠é✐ ♠✐➳♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ 30dm ✱ s→✉ ❧➛♥ ♣❤↔✐ ✈→ ❝→❝ ♠✐➳♥❣ 20dm2 ọ õ tỗ t ổ ✈↔✐ ♣❤õ ✤➧ ❧➯♥ ♥❤❛✉ ➼t ♥❤➜t 3dm ❄ ✼✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❜ä ♥❤➛♠ ♥➠♠ ❧→ t❤÷ ✈➔♦ ✺ ❝❤✐➳❝ ♣❤♦♥❣ ❜➻ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ♣❤♦♥❣ ❜➻ ♥➔♦ ❝â ✤à❛ ❝❤➾ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❧→ t❤÷ ❝➛♥ ❣û✐❄ ✣→♣ sè✿ 5! − 5.4! + C 3! − C 2! + C 1! − C 0! ✺ https://toanmath.com/ ✽✳ ❙✐❣♠❛ ủ ỗ ỗ q ởt ❝❤✐➳❝ ❜➔♥ trá♥✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ①➢♣ ①➳♣ s ổ ỗ ỗ ❝→❝❤ s➢♣ ①➳♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø ♥❤❛✉ ❜ð✐ ♣❤➨♣ q✉❛② ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❧➔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✮❄ ✣→♣ sè✿ 9! − 5.2.8! + C 22.7! − C 23.6! + C 24.5! − C 25.4! ✾✳ ▼ët ✤➔♥ ❧↕❝ ✤➔ ✼ ❝♦♥ ✤❛♥❣ ✤✐ t❤❡♦ ❤➔♥❣ ❞å❝ tr➯♥ ①❛ ♠↕❝✳ ✣➸ ❝❤♦ ❤➔♥❤ tr➻♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤➔♠ ❝❤→♥ æ♥❣ ❝❤õ ❧ú ❤➔♥❤ ♠é✐ ❤æ♠ ❧↕✐ t❤❛② ✤ê✐ t❤ù tü ❝→❝ ❝♦♥ ❧↕❝ ✤➔ s❛♦ ❝❤♦ ♥❣➔② ❤æ♠ ♥❛② ❦❤æ♥❣ ❝â ❝♦♥ ♥➔♦ ♣❤↔✐ t❤➜② ❝♦♥ ❤æ♠ q trữợ õ t t ❝â t❤➸ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ s➢♣ ①➳♣ ❞✉ ❤➔♥❤ ✤♦➔♥ ✤➸ ❦❤æ♥❣ ❤æ♠ ♥➔♦ ❣✐è♥❣ ❤æ♠ ♥➔♦❄ ✣→♣ sè✿ 7! − 6.6! + C 5! − C 4! + C 3! − C 2! + C 6 1! ỵ rt ỗ tọ ◆❤✐➲✉ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ❝❤♦ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ s❛♦ ❝❤♦ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ❝ù ❜➜t ❦➻ ❜❛ sè ✤➲✉ ❝â tê♥❣ ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè❄ ✶✶✳ ❈â t❤➸ ❧➜♣ ✤➛② ❝→❝ ỉ ❝õ❛ ❜↔♥❣ × ❜➡♥❣ ❝→❝ sè ✶ ✈➔ ✭✲✶✮ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝→❝ sè ð ♠é✐ ❤➔♥❣ ✈➔ ♠é✐ ❝ët ❧➔ ❦❤→❝ sỷ r ỳ ởt số ỗ ✈➟t ❤❛✐ ❧♦↕✐ ♠➔✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❝â ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❤➻♥❤ tr ú tỗ t ỗ ✈➟t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝↔ ✈➲ ❤➻♥❤ ❞↕♥❣ ✈➔ ♠➔✉ s➢❝✳ ✣→♣ sè✿ ✤➣ ❝â ❧í✐ ❣✐↔✐ tr➯♥ ❢♦r✉♠ ❇❚❍ ✕ ▲●✣ ✳✳✳✳ ✻ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✶✸✳ ❈▼❘✿ ❛✮ ❚ø ❜❛ sè ❜➜t ❦➻ ❧✉ỉ♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ✷ sè ❝â tê♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✷✳ ❜✮ ❚ø ♥➠♠ sè ❜➜t ❦➻ ❧✉ỉ♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ✸ sè ❝â tê♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ❝✮ ❚ø ❜↔② sè ❜➜t ❦➻ ❧✉æ♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ✹ sè ❝â tê♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ r ữợ ổ ổ õ ổ ♥❤ä ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉✳ ❍ä✐ tø ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉ ♥➔② ❝â ❧✉ỉ♥ t➻♠ ✤÷đ❝ ✶✵ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ♥➔♦ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✭❦❤æ♥❣ ữợ t ữợ t ♥❤ú♥❣ ❜➔♥ ❝í × 2✳ ✣→♥❤ ✤➜✉ ❝→❝ ✈à tr➼ t÷ì♥❣ ✤è✐ t❤❡♦ ❝→❝ sè ■✱■■✱ ■■■ ✈➔ ■❱ ✳✳✳✳ ✶✺✳ ❚ø ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ ❤❛✐ sè s❛♦ ❝❤♦ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t✿ ❛✮ ❝❤♦ ✸ ✶✻✳ ❜✮ ❝❤♦ ✹ ❈▼❘ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ sè ❝✮ ❝❤♦ ✽✳ π ❝â ❜ë ❜❛ sè ❧✐➯♥ t✐➳♣ ♥❤❛✉ ✈➔ ❜ë sè ♥➔② t ỏ ũ ữợ ố ❜❛ ❝❤ú sè ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ sè s❛✉ ❞➜✉ ♣❤➞② ❝õ❛ sè π ❧➔ ✈æ ❤↕♥✳ ✶✼✳ ❈â ✷✶ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤➲✉ ♥❤ä ❤ì♥ ✼✵✳ ❈▼❘ tr♦♥❣ t➟♣ ❝→❝ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔♦ ✤â ❣✐ú❛ ✷✶ sè tr➯♥✱ ❝â ➼t ♥❤➜t ✹ sè ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ✶✽✯✳ ❈â ✼ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝â tê♥❣ ❧➔ ✶✵✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝â ✸ sè ❝â tê♥❣ tè✐ t❤✐➸✉ ❧➔ ✺✵✳ ✶✾✯✳ ❈â ✷✵ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤➲✉ ♥❤ä ❤ì♥ ✼✵✳ ❈▼❘ tr♦♥❣ t➟♣ ❝→❝ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔♦ ✤â ❣✐ú❛ ✷✵ sè tr➯♥✱ ❝â ➼t ♥❤➜t ✹ sè ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ✷✵✯✳ ❇↕♥ ◆❛♠ ❝â ✶✵✵ ❝→✐ ✤➽❛ ♥❤ä✱ ♠é✐ ❝→✐ ✤÷đ❝ ✤→♥❤ ♠ët sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tø ✶ ✤➳♥ ✶✵✵✳ ◆❛♠ ♠✉è♥ ✤➦t r❛ ❜➔♥ ❜è♥ ❝❤✐➳❝ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝→❝ sè ð ❤❛✐ ❝❤✐➳❝ ♥➔② ❜➡♥❣ tê♥❣ ❝→❝ sè ❝õ❛ ❤❛✐ ❝❤✐➳❝ ❦✐❛✳ ❱➼ ❞ö✿ (1) + (7) = (3) + (5)✳ ◆❤÷♥❣ r➜t ✤→♥❣ t✐➳❝ ✼✺ ❝❤✐➳❝ ✤➽❛ ❜à t❤➜t ❧↕❝✳ ❍ä✐ ✈ỵ✐ ✷✺ ❝❤✐➳❝ ❝á♥ ❧↕✐ ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❝á♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣❄ ✷✶✳ ❙ì♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ t ọ tỗ t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ ♠➔✉ ❝â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❧➔ ✶✳ ✼ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✷✷✳ ❙ì♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ✸ ♠➔✉✳ ❈❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝â ♠ët ♠➔✉ ♥➔♦ ✤â ❝â ✈ỉ sè ✤✐➸♠ ✤÷đ❝ sì♥✳ ✷✸✳ ❙ì♥ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ✷ ♠➛✉✳ ❈▼❘ ợ t ữỡ tỗ t ỗ õ ũ ỡ tt tỗ t ỳ t õ ỗ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♥ ♠➛✉❄ ❝✮ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❛✮ ✈➔ ❜✮ õ tr t õ t ự ữủ ợ ♠ët sè ❦ ❝è ✤à♥❤ ✭♥❤✐➲✉ ❤ú✉ ❤↕♥✮ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤÷đ❝ sì♥ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✱ ❝ò♥❣ ✤➲✉ ❝â ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝ò♥❣ ♠➛✉✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ sè tr tứ trữớ ủ số ữợ ổ ổ 3ì7 ữợ ổ ổ tữợ ✷✺✳ (n + 1)(n.C n+1 + 1)✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤ỉ✐ ♠ët ❝õ❛ t➟♣ ♥❤✐➲✉ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ơ♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ✷✻✳ ❛✮ r t ữợ ổ ổ õ t t út ữợ tr ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♥ót ữợ ụ ọ õ ợ ữợ ♣❤÷ì♥❣✳ ✷✼✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ❝↕♥❤ ✸✵✵ ✤ì♥ ✈à ❝❤♦ ✶✵ ✤✐➸♠✳ ❈▼❘ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ t➻♠ ✤÷đ❝ ✷ ✤✐➸♠ ❝â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ♥❤ä ❤ì♥ ✶✹✷ ✤ì♥ ✈à✳ ✷✽✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ✼✵ ❝♠ ❝â ✈➳t ❝õ❛ ✺✵ ♣❤→t ✤↕♥✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝â ❤❛✐ ✈➳t ✤↕♥ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✶✺ ❝♠✳ ✷✾✳ Ð ❣✐↔✐ ❜â♥❣ ✤→ ❱✲▲❛♥❞✐ s➙♥ ❜â♥❣ ❝â ❝❤✐➲✉ rë♥❣ ✸✾♠✱ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ✾✶♠✳ ❈▼❘ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤✐ ✤➜✉ ❧✉ỉ♥ ✤÷đ❝ ❤❛✐ ❝➛✉ t❤õ ❝â ✈à tr➼ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ❦❤æ♥❣ q✉→ ❛✮ ✶✾ ♠ ✸✵✳ ❜✮ ✶✺ ♠✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ ỡ t tỗ t ✸ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠ët ✈á♥❣ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✳ ✽ https://toanmath.com/ ✹ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ❈→❝ ❜➔✐ ❚♦→♥ tr➯♥ ❜➔♥ ❝í✳ ✹✾✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í ✈✉❛ ❝â t❤➸ ✤✐ q✉➙♥ ♠➣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✈➔♦ ♠é✐ æ ♠ët rỗ q tr ①↔② r❛ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❜➔♥ ❝í ✺✵✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í 5×5 × 4, × 5, × 8✳ ♠é✐ æ ❝â ♠ët ❝♦♥ ❝→♥❤ ❝❛♠✳ ❙❛✉ ❤✐➺✉ ❝á✐ ❝→❝ ❝♦♥ ❝→♥❤ ❝❛♠ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♠ët æ ❝â ❝❤✉♥❣ ❝↕♥❤ ✈ỵ✐ ỉ ✈ø❛ ✤ù♥❣✳ ▲✐➺✉ s❛✉ ❦❤✐ ✤✐ ♠é✐ æ ❝õ❛ ❜➔♥ ❝í ✈➝♥ ❝â ♠ët ❝♦♥ ❦❤æ♥❣❄ ✺✶✳ ▼ët ❜➔♥ ❝í × ð ❤❛✐ ❣â❝ ✤è✐ ❞✐➺♥ ♠é✐ ❣â❝ ♠ët q✉➙♥ ❝í✳ ❍ä✐ ❝â t❤➳ ♣❤õ ❦➼♥ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜➔♥ ❝í ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ q✉➙♥ tữợ ì ởt ð ♠ët ❣â❝ ❝â ♠ët q✉➙♥ ❝í✳ ❍ä✐ ❝â t❤➳ ♣❤õ ❦➼♥ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜➔♥ ❝í ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ q tữợ ì õ t ✤➦t ♠ët q✉➙♥ ❝í ✈➔♦ ❜➔♥ ❝í ✤➸ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ♣❤õ ❦➼♥ ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ q✉➙♥ ❞♦♠✐♥♦ ❦➼❝❤ tữợ ì õ t 10 × 10 ❜➡♥❣ ❝→❝ q✉➙♥ ❞♦♠✐♥♦ × 4❄ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ P♦❧✐♠✐♥♦ ❧➔ ❤➻♥❤ ✤÷đ❝ ❣❤➨♣ ❧✐➲♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ✤ì♥ ✈à✳ ✺✺✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ q✉➙♥ ♣♦❧✐♠✐♥♦ ❝â ❜➲ ♠➦t ✹ ✤ì♥ ✈à ✭❣❤➨♣ ❝↕♥❤ ✈ỵ✐ ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ ✹ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✮✳ ✣→♣ sè✿ ✺ ❤➻♥❤✳ ✶✷ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✺✻✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ q✉➙♥ ♣♦❧✐♠✐♥♦ ✹ ✤ì♥ ✈à ♠é✐ q✉➙♥ sû ❞ư♥❣ ♠ët ❧➛♥ ❝â t❤➸ ❣❤➨♣ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❦❤ỉ♥❣❄ ✣→♣ số ổ ữủ ú ỵ P ỳ ❝→❝❤ tỉ ♠➔✉ ❜➔♥ ❝í✳ ✺✼✳ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ q✉➙♥ ♣♦❧✐♠✐♥♦ ✺ ✤ì♥ ✈à❄ ✣→♣ sè✿ ✶✷ q✉➙♥✳ ✺✽✳❚ø t➜t ❝↔ ❝→❝ q✉➙♥ ♣♦❧✐♠✐♥♦ ✺ ✤ì♥ ✈à ♠é✐ q✉➙♥ sû ❞ư♥❣ ♠ët ❧➛♥ ❝â t❤➸ ❣❤➨♣ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✳ ▼✐♥❤ ❤å❛ ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ✈➩✳ ❍➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t õ tữợ số ữủ 10 × ❤♦➦❝ × 12 ❍➻♥❤ ❤å❝ tê ❤đ♣ ✺✾✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ♥ ✤✐➸♠ ❦❤ỉ♥❣ ❝â t ỗ t ởt ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ❦ ✤✐➸♠ r✐➯♥❣ ❜✐➺t tø ❝→❝ ỏ ỗ t ữớ trỏ ự ú ❦ ✤✐➸♠ ❜➯♥ tr♦♥❣✳ ✻✵✳ ❈❤♦ ♥ ✤✐➸♠ tê♥❣ q✉→t tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✭❦❤æ♥❣ ❝â ❜❛ ✤✐➸♠ ♥➔♦ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✮✳ tỗ t ởt ỏ trỏ q t t ❜❛ ✤✐➸♠ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ❜➯♥ tr♦♥❣✳ ✻✶✳ ❈❤♦ ✺ ✤✐➸♠ tê♥❣ q✉→t tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❈▼❘ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ r❛ ✷ ✤✐➸♠ s❛♦ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ ❜❛ ✤✐➸♠ ❝á♥ ❧↕✐ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♥â✐ tr➯♥ ✭♠ët ❜➯♥ tr♦♥❣✱ ♠ët ❜➯♥ ♥❣♦➔✐✮✳ ✶✸ https://toanmath.com/ ✻✷✳ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ❈❤♦ ✻ ✤✐➸♠ tê♥❣ q✉→t tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳◆è✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝➦♣ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✳ ❈â t❤➸ sì♥ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ✺ ♠➔✉ s❛♦ ❝❤♦ tø ♠é✐ ✤➾♥❤ ❧✉æ♥ ❝â ♥➠♠ ❝↕♥❤ ①✉➜t ♣❤→t ❤❛② ❦❤æ♥❣❄ ✻✸✳ ❈❤♦ ♥ ✤✐➸♠ tê♥❣ q✉→t tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❈▼❘ ❝â t❤➸ sì♥ ❜➡♥❣ ❦ ♠➔✉ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ ♥è✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ ♠➔✉ ❜➡♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❝â ❝❤➼♥❤ ♠➔✉ ð ✤➾♥❤ t❤➻ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❦❤→❝ ♠➔✉ ❦❤æ♥❣ ❝➢t ♥❤❛✉✳ ✻✹✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ♥ ✤✐➸♠ tê♥❣ q✉→t✳ ❍ä✐ ❝â t❤➸ ❦➫ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ tø ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔②❄ ✻✺✳ ❈❤♦ ✻ ✤✐➸♠✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ s→✉ ✤✐➸♠ tr➯♥ ❝â t❤➸ t↕♦ ♥➯♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠❄ ✻✻✳ ❈❤♦ ✺ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ❳➨t ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➔②✳ ❍ä✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♥➔② ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠❄ ✣→♣ sè✿ ✻✼✳ 40 + 60 + 10 = 110 t ởt ỗ sỷ ổ õ ữớ ỗ q ọ ữớ ❝❤➨♦ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤✐➸♠❄ ✣→♣ sè✿ C 10 ✻✽✳ ❱➩ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♥ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❍➣② sì♥ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❝→❝ ❝✉♥❣ trá♥ ❜➡♥❣ ✷ ♠➔✉ s❛♦ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝â ❝❤✉♥❣ ❝✉♥❣ trá♥ t❤➻ ❝â ♠➔✉ sì♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ✻✾✳ ▼ët ❝→✐ ❜→♥❤ ❣❛ tæ ❤➻♥❤ ❤ë♣ ❝❤ú ♥❤➟t ♠ët ❝❤✐➲✉ ❜à ❝➢t ❜➡♥❣ ✺ ♥❤→t ✈➔ ♠ët ❝❤✐➲✉ ❦❤→❝ ❜à ❝➢t ❜➡♥❣ ✽ ♥❤→t✳ P❡t❡r ✤÷đ❝ ❝➢t ♠ët ♥❤→t t❤❡♦ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ❈➟✉ t❛ ✤÷đ❝ ❧➜② t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠➔ ❞❛♦ ❝❤↕♠ ♣❤↔✐✳ ❍ä✐ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ➠♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠✐➳♥❣❄ ✼✵✳ ◆ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤✐❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t t❤➔♥❤ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♠✐➲♥❄ ✶✹ https://toanmath.com/ ✻ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ sè ❤å❝✳ ✼✶✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 10 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ♥➔② ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤➲✉ ❝❤♦ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄ ✼✷✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 10 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ♥➔② tê♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤➲✉ ❝❤♦ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄ ✼✸✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ♥➔② tê♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ✤➣ ❝❤å♥❄ ✼✹✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ♥➔② ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ❦❤æ♥❣ ❧➔ ✼❄ ✼✺✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ số s ổ õ số ữợ ❝õ❛ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐❄ ✼✻✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ õ số ởt số ữợ sè ❦✐❛❄ ✼✼✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ✷ sè ♥➔♦ ♠➔ ♠ët sè ❣➜♣ ✷ ❧➛♥ sè ❦✐❛❄ ✶✺ https://toanmath.com/ ✼✽✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 20 ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ sè s❛♦ ❝❤♦ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✶✵❄ ✼✾✳ ❇ä ♠ët sè tr♦♥❣ ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 10 s❛♦ ❝❤♦ tø ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥❤â♠✱ ♠➔ t➼❝❤ ❝→❝ sè tr♦♥❣ ♠é✐ ♥❤â♠ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❙è ❜à ❧♦↕✐ ❧➔ sè ♥➔♦❄ ✽✵✳ ❇ä ♠ët sè tr♦♥❣ ❝→❝ sè 1, 2, 3, · · · , 16 s❛♦ ❝❤♦ tø ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥❤â♠✱ ♠➔ t➼❝❤ ❝→❝ sè tr♦♥❣ ♠é✐ ♥❤â♠ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❙è ❜à ❧♦↕✐ ❧➔ sè ♥➔♦❄ ✼ ✽✶✳ rỏ ỡ s ởt ỗ ✤➾♥❤✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ❍å t❤❛② ♥❤❛✉ ♥è✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ s ỳ ữớ ợ ố ổ t ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✤➣ ❝â ð ♠✐➲♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝✳ ◆❣÷í✐ t❤✉❛ ❧➔ ♥❣÷í✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t✐➳♣ tư❝ ✈➩ t❤➯♠✳ ❍ä✐ ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ❝â ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ✤➸ ❧✉ỉ♥ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ❚↕✐ s❛♦❄ ❍÷ì♥❣ ❞➝♥✿ ❞ò♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ✽✷✳ ❈â ♠ët t❤❛♥❤ sỉ✲❝ỉ✲❧❛ ❤➻♥❤ ❜➔♥ ❝í 8×8 ✈➔ ỉ ♣❤➼❛ tr➯♥ ❜➯♥ tr→✐ ❜à ♥❤✐➵♠ ✤ë❝✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ✣➳♥ ữủt ữớ õ ởt ổ rỗ t ♣❤➛♥ sæ ✲ ❝æ ✲ ❧❛ tø æ ✤â s❛♥❣ ố ữợ ữớ t ữớ ♣❤↔✐ ❝❤å♥ æ ❜à ♥❤✐➵♠ ✤ë❝✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❧✉ỉ♥ ✤↔♠ ❜↔♦ ♥❣÷í✐ ✤✐ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤➢♥❣ tr➟♥✳ ✶✻ https://toanmath.com/ ✽✸✳ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝â ♠ët ♠➛✉ ✤❡♥ ❤♦➦❝ ✤ä✱ ❤å t❤❛② ♥❤❛✉ tæ ♠é✐ ❧➛♥ ✸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❦❤è✐ ❤ë♣ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❜➡♥❣ ♠➔✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ tr➟♥ ❧➔ ♥❣÷í✐ sì♥ ✤÷đ❝ ❝↔ ✹ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♠➦t ♥➔♦ ✤â ❜➡♥❣ ♠➔✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❍ä✐ ❛✐ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✣→♣ sè✿ ◆❣÷í✐ ✤✐ t❤ù ✷ ❝â t❤➸ ❝ù✉ ✈➣♥ t➻♥❤ t❤➳ ❜➡♥❣ t❤õ ❤á❛✳ ✽✹✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝í ữợ ổ ổ ì ữớ ỡ ộ ❧➛♥ ✤➳♥ ❧÷đt ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ✤✐✱ ♥❣÷í✐ ✤â ♣❤↔✐ ❝❤å♥ r ữợ út ữợ ổ ổ õ t❤➸ ✈➩ ✤÷đ❝ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ợ t ữớ t ữớ ✤✐ s❛✉ ❝ò♥❣✳ ❆✐ ❝â t❤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✽✺✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ❚ø ❝→❝ sè 1, 2, 3, , 101 ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❧➜② ✾ sè✳ ❙❛✉ ✶✶ ❧➛♥ ✤✐ ❝á♥ ❧↕✐ ✷ sè✳ ◆❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤➢♥❣ ♥➳✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔② ❧➔ ✺✺✳ ▲✐➺✉ ♥❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✣→♣ sè✿ ❈â t❤➸✳ ✽✻✳ ❚r➯♥ ❜➔♥ ❝â ✷✹ ✈✐➯♥ sä✐✳ ❈â t❤➸ ❧➜② ❦ ✈✐➯♥ (k > 0) ♥➳✉ ❦ ✈➔ sè sä✐ tr➯♥ ❜➔♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ◆❣÷í✐ ❧➜② ✈✐➯♥ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♥❣÷í✐ t❤➢♥❣ tr➟♥✳ ❆✐ ❝â t❤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ◆➳✉ sè sä✐ t❤❛② ✤ê✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥ ❦❤→❝ t❤➻ s❛♦❄ ✽✼✳ P❡t❡r ✈➔ P❛❧ ❝ò♥❣ ỡ rữợ t Ptr õ ởt số õ ởt ❝❤ú sè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✱ s❛✉ ✤â P❛❧ ♥❤➙♥ sè ♥➔② ✈ỵ✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝â ♠ët ❝❤ú sè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❙❛✉ ✤â P❡t❡r ❝ơ♥❣ ❧↕✐ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② ❧➜② ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ P❛❧ ♥❤➙♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❝â ♠ët ❝❤ú sè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈✉ë❝ ❝❤ì✐ ❝ù t✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❝â ♠ët ♥❣÷í✐ õ t ữủ t q ởt số ợ ❤ì♥ ✷✵✵✵✳ ❍ä✐ P❡t❡r ♣❤↔✐ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ sè ♥➔♦ ✤➸ ❧✉ỉ♥ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✽✽✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ♥❣÷í✐ ❧➛♥ ❧÷đt ❝❤✐➳♠ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ ❝✉ë❝ ❧➔ ữớ ữủ trữợ ởt õ ỳ số ❧✐➲♥ ♥❤❛✉✳ ❆✐ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✽✾✳ ❈â ❤❛✐ ♥➢♠ sä✐ tr➯♥ ❜➔♥✳ ▼ët ♥➢♠ ✽ ✈✐➯♥ ✈➔ ♥➢♠ ❦✐❛ ✶✷ ✈✐➯♥✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ❧➛♥ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝❤➾ ✤÷đ❝ ❧➜② tø ♠ët ✤è♥❣ ♥➔♦ ✤â ✈➔✐ ✈✐➯♥ ✭➼t ♥❤➜t ✶ ✈✐➯♥✮✳ ❍ä✐ ❛✐ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✶✼ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✾✵✳ ❈â ✈➔✐ ♥➢♠ sä✐ tr➯♥ ❜➔♥✳ ❱➼ ❞ö ❝→❝ ♥➢♠ ❝â 4, 6, 11, 15, 17, 18 ✈✐➯♥✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ❧➛♥ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✤÷đ❝ ❧➜② tø ♠ët sè ♥➢♠✱ ♠é✐ ♥➢♠ ❝❤➾ ✶ ✈✐➯♥✳ ❆✐ ❧➔ ♥❣÷í✐ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✾✶✳ ❱✐➳t ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤➔♥❤ ❤➔♥❣ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ✣➦t ♠ët ✈á♥❣ trá♥ ①❛♥❤ ✈➔♦ sè ✽ ✈➔ ✈á♥❣ trá♥ ✤ä ✈➔♦ sè ✶✸✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✳ ▼é✐ ♥❣÷í✐ ❝❤å♥ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝→✐ ✈á♥❣ ✈➔ t❤❛② ✤ê✐ ❝❤é s ổ t số ỡ trữợ õ ✈➔ sè ❝â ✈á♥❣ ①❛♥❤ ❧✉ỉ♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ sè ❝â ✈á♥❣ ✤ä✳ ◆❣÷í✐ t❤➢♥❣ ❧➔ ♥❣÷í✐ s❛✉ ❦❤✐ ✤✐ ❝â ✤ä ð sè ✶ ✈➔ ①❛♥❤ ð sè ✷✳ ❆✐ ❧➔ ♥❣÷í✐ t❤➢♥❣ ❝✉ë❝❄ ✽ ◗✉② ♥↕♣ ✾✷✳ ❈â t❤➸ ①➳♣ ❦❤ỉ♥❣ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♥ ♣❤➛♥ tû ❧➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝↕♥❤ ♥❤❛✉ ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ♥❤❛✉❄ ✾✸✳ ❈❤♦ H = {2, 3, , n}✱ ①➨t t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥ ❦❤ỉ♥❣ ré♥❣ ❝õ❛ ❍✱ tr♦♥❣ ♠é✐ t➟♣ ❤đ♣ ♥❤➙♥ t➜t tỷ ợ rỗ tờ ✤↔♦ ❝õ❛ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✳ ❍ä✐ ❦➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉❄ ❱➼ ❞ư✿ ♥ ❂ ✹ t❤➻✿ 1 1 1 + + + + + + = 12 24 ✾✹✳ ◆❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ♠➢❝ ♠ët r➧♠ ❝û❛ sê✳ ✣➸ ❝❤✐❛ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❝❤♦ t❤➟t ✤➲✉ ♥❤❛✉✱ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ♠➢❝ ð ❤❛✐ ✤➛✉ t➜♠ r rỗ ổ t ỳ ự t✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ t❤➳✱ ♥❣÷í✐ t❛ ♠➢❝ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ❝→❝ ✤♦↕♥ t✐➳♣ t❤❡♦✳ ❍ä✐ ❝➛♥ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→✐ ♠➢❝ ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝❄ ✶✽ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✾✺✳ ❈❤✐❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ t❤➔♥❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝❤✉♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â ❜❛ ✤➾♥❤ ♥➔♦ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ sè t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤ä ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❧➔ sè ❧➫✳ ✾✻✳ ❈â ❜è♥ ❜➔✱ ♠é✐ ❜➔ ❜✐➳t ♠ët ❝❤✉②➺♥ ♥❤÷♥❣ õ t õ ữủ ợ q t❤♦↕✐ ✤➸ tr❛♦ ✤ê✐ ✈ỵ✐ ❜↕♥ ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✭❤❛✐ ❝❤✐➲✉✮✳ ❍ä✐ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝ó ✤✐➺♥ t❤♦↕✐ ✤➸ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ❜✐➳t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝➙✉ ❝❤✉②➺♥ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ✭♠é✐ ❜➔ ❦➸ ❝❤✉②➺♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ỳ ữủ tứ trữợ ✤â✮❄ ✾✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tø ❝→❝ sè 1, 2, , 3k ❧✉æ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ 2k ❝→❝ sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ sè ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ❦❤ỉ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ✤➣ ❝❤å♥✳ ✾✽✳ ❛✮ ◆❤ú♥❣ sè ❝❤➤♥ ♥➔♦ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❝❤➤♥ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❝→❝ sè ♥➔② ❧➔ ❤ñ♣ sè✳ ❜✮ ❙è ❝❤➤♥ ♥➔♦ ❝â t❤➸ ✈✐➳t t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❜❛ sè ❞÷ì♥❣ ❧➫ ♠➔ ❝→❝ sè ♥➔② ✤➲✉ ❧➔ ❤ñ♣ sè❄ ✾ ❚ê♥❣ ❤ñ♣ ✾✾✳ ❛✮ ❍➣② ✤➦t ✶✺ ✤✐➸♠ ✤ä ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❧ö❝ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ❝↕♥❤ ❝â sè ✤✐➸♠ ✤ä ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❜✮ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✻ ✤✐➸♠✳ ❝✮ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✵✵✸ ✤✐➸♠✳ ❞✮ ✶✺ ✤✐➸♠ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët t❤➜t ❣✐→❝ ✭✼ ✤➾♥❤✮✳ ✶✵✵✳ ✣➦t ✶✵ ✤✐➸♠ ✤ä ✈➔ ✶✹ ✤✐➸♠ ①❛♥❤ ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ tr➯♥ ♠é✐ ❝↕♥❤ sè ✤✐➸♠ ✤ä ❜➡♥❣ sè ✤✐➸♠ ①❛♥❤✳ ✶✾ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✶✵✶✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤❛② ✤ê✐ ♥❤❛✉ ❤å ❣❤✐ ❝→❝ ❞➜✉ (−), (+) ✈➔♦ ❞➣② s❛✉ trữợ số ❛✮ ◆❣÷í✐ ❜➢t ✤➛✉ ❝❤ì✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ❧➔ ❦➳t t❤ó❝ ❜➡♥❣ tê♥❣ ✤↕✐ sè ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❦❤ỉ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ t❤➻ ❝è ❣➢♥❣ ✤➸ tê♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝❤ì✐ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄ ❆✐ ❝â ❧đ✐ t❤➳ ❤ì♥❄ ❜✮ ❚➻♥❤ tr↕♥❣ s➩ t❤➳ ♥➔♦ ♥➳✉ t❤❛② ✤ê✐ ✈❛✐ trá ♥❣÷í✐ ✤✐ ✤➛✉ t❤➢♥❣ ♥➳✉ tê♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ✶✵✷✳ ❑➳t t❤ó❝ ♠ët ❝✉ë❝ ❝❤ì✐ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ❜➢t t❛② ♥❤❛✉ r❛ ✈➲✳ ●✐ú❛ ❝❤ø♥❣ ❝â ♠ët ♥❣÷í✐ q✉❡♥ ❝õ❛ ♠ët ✈à ❦❤→❝❤ ✤➳♥ ✤â♥ ❜↕♥ ữớ õ t t ợ ỳ ữớ t q✉❡♥ ❜✐➳t✳ ❱➻ t❤➳ ❝â tê♥❣ ❝ë♥❣ ✻✽ ❝→✐ ❜➢t t ọ ữớ ợ q ữớ tr ❝✉ë❝ ❝❤ì✐❄ ✶✵✸✳ ❙→✉ ✤ë✐ ❜â♥❣ t❤❛♠ ❣✐❛ ♠ët ❣✐↔✐ ❜â♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤ë✐ ✤➲✉ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ♠ët ❧➛♥✳ ❑➳t t❤ó❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ✤ë✐ ✤↕t ✤÷đ❝ 12, 10, 9, 8, ✈➔ ✻ ✤✐➸♠✳ ❍ä✐ ❜➯♥ t❤➢♥❣ tr➟♥ ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤✐➸♠ ♥➳✉ ❤á❛ ✤÷đ❝ ✶ ✤✐➸♠✱ t❤✉❛ ✤÷đ❝ ✵ ✤✐➸♠❄ ✶✵✹✳ ✤➲✉ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤❛② ♥❤❛✉ ✈➩ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ 2000 ✤➾♥❤✳ ❈➜♠ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ✈➩ ♥❤ú♥❣ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝➢t ❝→❝ ữớ trữợ õ ữớ t ữớ s ữợ t t t ởt tù ❣✐→❝ ♠➔ ❝❤÷❛ ❝â ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ♥➔♦ ✤÷đ❝ ✈➩✳ ❆✐ ❝â ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ✤➸ t❤➢♥❣ tr➟♥❄ ✶✵✺✳ ❈â ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ♠ët ❜✉ê✐ ❣➦♣ ♠➦t ♠➔ ❜➜t ❝ù ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ❝ơ♥❣ ❝â ✤ó♥❣ ✻ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ ✈➔ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ✤➲✉ ❝â ✤ó♥❣ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❜↕♥ ❝❤✉♥❣❄ ✶✵✻✳ ❛✮ ▲♦tt♦ ð ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ◆❣å❝ ❆♥❤ tø ✼ sè ♥❣÷í✐ t❛ ❧➜② r❛ ✸ sè ❧➔♠ ❣✐↔✐ t❤÷ð♥❣✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ♠✉❛ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ✤➸ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ✈➨ ❝â ✷ sè tró♥❣ t❤÷ð♥❣ ✭♠é✐ ✈➨ ữủ số tũ ỵ ụ ữỡ q✉è❝ ♥➔② ❝â ♠ët trá ❝❤ì✐ ❦❤→❝ tø ❜➞② sè ♥❣÷í✐ t❛ ❝❤➾ rót r❛ ❤❛✐ sè ❧➔♠ ❣✐↔✐ t❤÷ð♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ tr➯♥ ♠é✐ ✈➨ ✤÷đ❝ ✤→♥❤ ✸ sè✳ ❍ä✐ ❝➛♥ ♠✉❛ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ✤➸ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ tró♥❣ ❣✐↔✐ ✭tró♥❣ ❝↔ ❤❛✐ sè✮❄ ✷✵ https://toanmath.com/ ✶✵✼✳ ❙✐❣♠❛ ✲ ữủ ũ ợ t ổ ổ ỗ ổ từ t ✶ ❜æ♥❣ ❧❛♥✳ ❈æ t❛ ❝â ✸ ❜➻♥❤ ✤ü♥❣ ❤♦❛✿ ♠ët ❜➻♥❤ sù ❚r✉♥❣ ◗✉è❝✱ ♠ët ❜➻♥❤ ①ù ❇→t ❚r➔♥❣✱ ♠ët ❜➼♥❤ ①ù ❻♥ ✣ë✳ ❛✮ ◆➳✉ ♠é✐ ❜➻♥❤ ❝❤➾ ❝➢♠ ♠ët ❜æ♥❣ ❤♦❛ t❤➻ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤❄ ❜✮ ◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ r➔♥❣ ❜✉ë❝ tr➯♥ t❤➻ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤❄ ✶✵✽✳ Ð ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ◆❣å❝ ❆♥❤ ♥❣÷í✐ t❛ tê ❝❤ù❝ ❚♦♠❜♦❧❛✳ ❘ót r❛ ✸ sè tø ✹✺ sè✿ 1, 2, 3, , 45✳ ❛✮ ◆❣÷í✐ t❛ t➼♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ♠é✐ ❝ỉ♥❣ ❞➙♥ ❣❤✐ ♠ët ✈➨ ♣❤✐➳✉ ♠ët ❝→❝❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚❤➻ ❝â t❤➸ ①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❛✐ tró♥❣ ❣✐↔✐ ✤ë❝ ✤➢❝✳ ❍ä✐ ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ♥➔② ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝ỉ♥❣ ❞➙♥❄ ❜✮ Ð ✈÷ì♥❣ q✉è❝ ♥➔② ❜→❝ ❏♦❤♥ ❝â t➜t ❝↔ ❝→❝ ✈➨ sè ❣❤✐ ❜❛ sè✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♣❤✐➳✉ tró♥❣ t❤÷ð♥❣ ➼t ♥❤➜t ❤❛✐ sè✳ ❝✮ ❇➙② ❣✐í ð ①ù ◆❣å❝ ❆♥❤ t❤❛② ✤ê✐ ❝→❝❤ ❝❤ì✐ ❧♦tt♦✱ tø ✹✺ sè ♣❤↔✐ rót r❛ ✹✷ sè✳ ❍ä✐ ♣❤↔✐ ❝❤ì✐ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ✤➸ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❢✉❧❧ ✭t➻♠ ✤÷đ❝ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè✮✳ ❝✮ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈➨ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝❤✉♥❣ ✹✶ sè❄ ❈❤✉♥❣ ✹✵ sè❄ ✷✶ https://toanmath.com/ t ỗ ữợ ✤➙② ❧➔ t❤❛♥❤ ♣❤è ❍❡♥r② P♦t❡r ✤❛♥❣ s✐♥❤ sè♥❣✳ ❍➺ tố ữớ tổ ữớ t ữợ æ ✈✉æ♥❣✳ ▼é✐ ❦❤è✐ ♥❤➔ ❝â ❜➲ ♠➦t ✶✵✵♠✳ ❈→❝ ❜↕♥ ❝õ❛ P♦t❡r ð ❝→❝ ✈à tr➼ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ✭tr➯♥ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍ä✐ ❤å t➟♣ tr✉♥❣ ❤ë✐ ❤å♣ ❝❤é ♥➔♦ ✤➸ tê♥❣ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ q✉➣♥❣ ✤÷í♥❣ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ♣❤↔✐ ✤✐ ❧➔ ➼t ♥❤➜t❄ ✷✷ https://toanmath.com/ ✶✵✽✳✷✳ ❙✐❣♠❛ ✲ ỗ ự ổ ổ õ t ố trỏ tr ỗ ữớ t❤ỉ♥❣ ❧➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♥è✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è✳ ❈→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝↕♥❤ ♥❤❛✉ ❝â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❧➔ ✺❦♠✳ ◆❤➔ ❱✉❛ ❝â ❤ù❛ ✈ỵ✐ ❞➙♥ ❝❤ó♥❣ ❧➔ s➩ ❝❤å♥ ♠ët sè t❤➔♥❤ ♣❤è ✈➔ ð ✤â ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ tr↕♠ ❝ù✉ ❤ä❛ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❝â t❤➔♥❤ ♣❤è ♥➔♦ ❝→❝❤ tr↕♠ ❝ù✉ ❤ä❛ ❣➛♥ ♥❤➜t q✉→ ✺❦♠✳ ❍ä✐ ❝➛♥ ❝â ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ tr↕♠ ❝ù✉ ❤ä❛ ✤➸ ✤→♣ ù♥❣ ❞ü r ỗ ỏ ✤↔♦ ❈②❜❡r❧❛♥❞ ❝â ✾ t❤➔♥❤ ♣❤è✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❝→❝ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ tø t❤➔♥❤ ♣❤è ♥➔② s❛♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤è ❦❤→❝ ✤÷đ❝ tr sỡ ỗ r ỡ t ♣❤→t tø ♠ët ✤à❛ ✤✐➸♠ ✈➔ t❤❛♠ q✉❛♥ ❝↔ ✾ t ố rỗ q ỡ t t tr ♥➔♦ ❝â ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ♥❤ä ♥❤➜t ✭ t✐➳t ❦✐➺♠ ❦♠ t https://toanmath.com/ ứ ỏ ữợ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✤❡♥ ✤↔♦ ❑❂ ✑❦❤♦ ❜→✉✑ ❝♦ t❤➸ ✤✐ ❜➡♥❣ t➔✉ t❤õ② q✉❛ ❝→❝ ✤↔♦ ❧➙♥ ❝➟♥✳ ●✐→ ộ q ữớ ữủ tr sỡ ỗ ọ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t✐➲♥ ✤➸ ❝â t❤➸ ✤✐ tø ❈ ✤➳♥ ❑❄ ✶✵✽✳✺✳ ❚ø ❧➔♥❣ ❍❡♥❝✐❞❛ ✤➳♥ ❧➔♥❣ õ t ỵt q ữủ tr sỡ ỗ ọ ❝→❝❤ ✤✐ r➫ ♥❤➜t ✤➸ ✤➳♥ ✤÷đ❝ tø ❍ ✤➳♥ ❇❄ ✷✹ https://toanmath.com/ ✶✶ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ◆❤ú♥❣ ✈✐➯♥ ♥❣å❝ ❝õ❛ ①ù sð ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ ✶✵✽✳✻✳ ❈ỉ♥❣ ❝❤ó❛ ◆❣å❝ ❆♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜à ❝❤♦ ♥❣➔② trå♥❣ ✤↕✐✳ ◆➔♥❣ ❝➜t tr♦♥❣ ❦➨t ỗ sữ t ỏ ữỡ qỵ ỡ r ộ ✈á♥❣ ❝â sè ❧÷đ♥❣ ❝→❝ ✈✐➯♥ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳ ◆➳✉ t❛ ❜✐➳t ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈✐➯♥ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ ❝â tr♦♥❣ ❦➨t ♥❣å❝✱ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ ❜✐➳t ❝ỉ♥❣ ❝❤ó❛ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈á♥❣ ❝ê❄ ❱➔ t➜t ♥❤✐➯♥ ♠é✐ ✈á♥❣ ❝ê ✤÷đ❝ ❧➔♠ tø ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✈✐➯♥ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣❄ ❚❛ ❝á♥ ❜✐➳t sè ✈✐➯♥ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ tr♦♥❣ tõ ❝â tø ✷✵✵ ✤➳♥ ✸✵✵ ✈✐➯♥✳ ❍ä✐ ❝ỉ♥❣ ❝❤ó❛ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ỏ trữợ sỹ ố ọ ♠➭✱ ♥❤ú♥❣ sè ♥➔♦ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♠➭ t❤➼❝❤❄ ▼➭ ❝❤♦ ❙è ❍å❝ ❜✐➳t ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♠❛② ♠➢♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❦❤→❝ ♥❤❛✉✮✳ ❑❤✐ ❣➦♣✱ ❙è ❍å❝ ♥â✐ t❤➛♠ ✈➔♦ t❛✐ ❛♥❤ ♠➻♥❤ ✲ ✣↕✐ ❙è tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔②✳ ❙❛✉ ✤â✱ ♥â✐ t❤➛♠ ✈➔♦ t❛✐ ❡♠ ♠➻♥❤ ✲ ❍➻♥❤ ❍å❝ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥➔②✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❦✐❛ ❦❤ỉ♥❣ ❛✐ ♥❣❤❡ ✤÷đ❝ sè ❝õ❛ ♥❤❛✉✳ ❑❤✐ ❜❛ ❛♥❤ ❡♠ ❣➦♣ ♥❤❛✉✱ ✣↕✐ ❙è ♥â✐✿ ✲ ❚ỉ✐ ❦❤ỉ♥❣ t➻♠ r❛ ❝→❝ sè✳ ▲ó❝ ✤â ❍➻♥❤ ❍å❝ ❝ơ♥❣ ♥â✐✿ ✷✺ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ✲ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t➻♠ r❛✳ ✣↕✐ ❙è s❛✉ ♠ët ❧→t s✉② ♥❣❤➽ t❤➻ ❦➯✉ ❧➯♥✿ ✲ ❱➟② tæ✐ ✤➣ ❜✐➳t ✤â ❧➔ ❤❛✐ sè ♥➔♦✳ ❱➟② ❤❛✐ sè ♠❛② ♠➢♥ ❝õ❛ ▼➭ ❧➔ sè ♥➔♦❄ ✣↕✐ ❙è ❝â t➻♠ r❛ ❝→❝ sè ♥➔② ❦❤ỉ♥❣❄ ✶✵✽✳✽✳ ❈ỉ♥❣ ❝❤ó❛ ◆❣å❝ ❆♥❤ ❝â ✽ ✈✐➯♥ ❦✐♠ ❝÷ì♥❣ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❍➣② ❣✐ó♣ ❝ỉ♥❣ ❝❤ó❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈✐➯♥ ♥➦♥❣ ♥❤➜t ✈➔ ✈✐➯♥ ♥❤➭ ♥❤➜t ỗ tớ ợ số t t t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝✦ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ∗∗ ∗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❍➌❚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ∗∗ ∗ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ... ▼❆❚❍❙ https://toanmath.com/ ❙✐❣♠❛ ✲ ▼❆❚❍❙ ◆❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ✤→♥❤ t❤ù❝ ✤❛♠ ♠➯✦ ❚❤❛② ❝❤♦ ❧í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ú tổ ữủ ợ t ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❍❆❨ ✲ ▲❮■ ●■❷■ ✣➉P✳ ✳ ✳ ❝õ❛ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ❧ü❛ ❝❤å♥ tø q✉②➸♥✿ ✏ ❜➔✐ t➟♣ t♦→♥... ❝❤↕② ✤✉❛ ♥❣➛♠ ♥❤÷♥❣ ✈ỉ ❝ò♥❣ s✐♥❤ ✤ë♥❣ ✤❛♥❣ ❞✐➵♥ r❛ ❣✐ú❛ ❝→❝ q✉è❝ ❣✐❛✿ ✣÷❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t trữớ tổ ợ ❧➺♥❤ tè✐ ♠➟t✑ ❝õ❛ ❝✉ë❝ ❝↔✐ ❝→❝❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ✤❛♥❣ ❞✐➵♥ r❛ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❣➜♣ rót t↕✐ ❝→❝... sè❄ ✷✶ https://toanmath.com/ t ỗ ữợ ✤➙② ❧➔ t❤❛♥❤ ♣❤è ❍❡♥r② P♦t❡r ✤❛♥❣ s✐♥❤ sè♥❣✳ ❍➺ tố ữớ tổ ữớ t ữợ æ ✈✉æ♥❣✳ ▼é✐ ❦❤è✐ ♥❤➔ ❝â ❜➲ ♠➦t ✶✵✵♠✳ ❈→❝ ❜↕♥ ❝õ❛ P♦t❡r ð ❝→❝ ✈à tr➼ ❆✱ ❇✱ ❈✱ ❉ ✭tr➯♥

Ngày đăng: 23/01/2019, 16:52

w