MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN tổ hợp

g SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HÓA, NĂM 2018 MỤC LỤC Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chon đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Nội dung sáng kiến Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh 2.3 Phương pháp nguyên tắc cực hạn sử dụng ánh xạ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 1 2 2 2 5 10 16 24 24 25 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Toán tổ hợp chuyên đề toán học, dạng tốn quan trọng trương trình phổ thơng Mặt khác kì thi đại học, đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp ta hay gặp tốn khó tổ hợp Để giúp học sinh phổ thơng, giáo viên ngồi phương pháp giải tốn tổ hợp quen thuộc ra, ta nắm thêm số kĩ thuật để giải số dạng tốn tổ hợp, với mục đích giúp em có thêm cơng cụ giải tốn tổ hợp hay khó Chính lý trên, chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giải toán tổ hợp” Mặc dù phương pháp nêu đề tài, lạ học sinh Trung học phổ thông, mạnh dạn đưa Đề tài vào để em có thêm cách nhìn tốn tổ hợp, thấy đa dạng cách giải tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đề tài trình bày số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số cách xây dựng giải toán tổ hợp nâng cao lạ học sinh Trung học phổ thông để em có thêm nhiều hướng để giải vấn đề toán tổ hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu toán tổ hợp, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu hội thảo toán học, … NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống hóa đưa số phương pháp giải tốn tổ hợp Đề tài đóng góp thiết thực cho việc giạy học chuyên đề toán trường trung học phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho giáo viên học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm đưa số phương pháp toán học rời rạc, đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ, kết hợp với toán thực tiễn gắn liền với toán Trung Học Phổ Thông nhằm giúp em dễ dàng tiếp cận với phương pháp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2017-2018 chưa đưa phương phải giải toán tổ hợp nâng cao trên, học sinh tiếp cận đề thi học sinh giỏi thường gặp nhiều khó khăn Một phần chương trình tốn học phổ thơng phương pháp lạ, nên việc đưa e thường ban đầu bỡ ngỡ, đơi khó hiểu, dẫn đến nhiều khó khăn q trình giảng dạy 2.3 Nội dung sáng kiến Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1 ([5]) Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho k A n Kí hiệu: số chỉnh hợp chập k n phần tử Công thức: Ank  n!  n. n  1 � n  k  1     (n  k )! (với �k �n ) Chú ý Một chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử Ann  Pn  n! 1.1.2 Tổ hợp Định nghĩa 1.2 ([5]) Giả sử tập A có n phần tử ( n �1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (0 �k �n) Kí hiệu: k C n (0 �k �n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức: k Cn = n! k !(n  k )! Chú ý C n  1; k nk k k 1 Cn  Cn (0 �k �n); k 1 C n + C n = C n1 1.2 (1 �k �n ) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.3 ([3]) Một cách xếp có thứ tự r phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Ngoài ra, chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr r Định lý 1.1 ([3]) Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử n Chứng minh Rõ ràng có n cách chọn phần tử từ tập n phần tử cho r vị trí chỉnh hợp cho phép lặp Vì theo quy tắc nhân, r có n chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử 1.2.2 Hoán vị lặp Trong tốn đếm, số phần tử giống Khi cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng lần Định lý 1.2 ([3]) Số hoán vị n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, có n2 phần tử thuộc loại 2, … có nk phần tử n! thuộc loại k n1 !n2 ! nk ! n Chứng minh Để xác định số hốn vị trước tiên nhận thấy có Cn cách giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, lại n – n1 chỗ trống Sau có Cnn2 n1 cách đặt n2 phần tử loại vào hốn vị, lại n – n1 – n2 chỗ trống Tiếp tục đặt phần tử loại 3, loại , … , loại k – vào chỗ trống hốn vị Cuối có Cnnk n1 n2  nk 1 cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị Theo quy tắc nhân tất hốn vị là: Cnn1 Cnn2 n1 Cnnk n1   nk 1  n! n1 !n2 ! nk ! 1.2.3 Tổ hợp lặp Một tổ hợp lặp chập k tập hợp cách chọn khơng có thứ tự k phần tử lặp lại tập cho Như tổ hợp lặp kiểu dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do k  n k Định lý 1.3 ([3]) Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử Cn  k 1 Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử biểu diễn dãy n1 đứng k Ta dùng n  đứng để phân cách ngăn Ngăn thứ i chứa thêm lần phần tử thứ i tập xuất tổ hợp Mỗi dãy n - k ứng với tổ hợp lặp chập k n phần tử Do dãy ứng với cách chọn k chỗ cho k từ n  k  chỗ chứa n – k ngơi Đó điều cần chứng minh Chú ý Số tổ hợp có lặp chập k n là: k n 1 C n  k 1 = C n  k 1 Tổ hợp có lặp lại phần tử xuất nhiều lần thứ tự phần tử không cần để ý 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm 1.3.1 Nguyên lý cộng Mệnh đề 1.1 ([3]) Cho A B hai tập hữu hạn Nếu A  B =  AB= A+ B 1.3.2 Nguyên lý nhân Mệnh đề 1.2 ([3]) Nếu A B tập hữu hạn, A �B  A �B Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.1.1 Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến([2]) Nhiều toán cho biết thực số thao tác hệ đối tượng số, quân bài, quân cờ biến cho Tuy tốn có phức tạp ẩn chứa đại lượng bất biến tính chẵn lẻ tổng, tích biến khơng thay đổi, Nhờ phát ra, xây dựng biến cố có tính chất bất biến tốn, ta dựa vào bất biến để đến lời giải Phương pháp gọi phương pháp sử dụng bất biến, thường dùng toán tổ hợp Những toán liên quan đến bất biến chia làm hai loại: Những tốn lấy bất biến làm kết luận phải tìm Những toán lấy bất biến làm phương pháp giải Thực khơng có lý thuyết chung cho tốn mà có đại lượng bất biến Phương pháp hình thành cách phân loại tập có ý tưởng chung lời giải Vì tốt tìm hiểu phương pháp bất biến thông qua số tập cụ thể Những tập lựa chọn phù hợp với trình độ THPT, đặc biệt học sinh giỏi Mặt khác, lựa chọn Bài tốn điển hình, tơi cố gắng làm bật thao tác thường dùng sử dụng phương pháp bất biến tình khác 2.1.2 Một số toán Dạng 1: Phát bất biến toán Bài toán 2.1 Trên bảng ta viết 10 dấu cộng (+) 15 dấu trừ (-) vị trí Thực xóa hai dấu viết vào dấu cộng (+) hai dấu vừa xóa giống dấu trừ (-) hai dấu vừa xóa khác Làm bảng dấu Hỏi bảng lại dấu gì? Lời giải Cách Ta thay dấu cộng số 1, dấu trừ số -l Thao tác thực xóa hai số viết lại số tích chúng Vì tích tất số viết bảng không thay đổi, thời điểm xuất phát, tích số bảng -1, nên cuối lại số -1, nghĩa bảng lại dấu trừ Cách Ta thay dấu cộng số 0, dấu trừ số Thao tác thực là: Nếu tổng hai số xóa số chẵn ta viết lại số 0, tổng lẻ ta viết số Như tổng số bảng sau thực thao tác không thay đổi giảm Đầu tiên tổng số bảng số lẻ, nên số cuối bảng lại số lẻ, số 1, nghĩa bảng dấu trừ Cách Sau thực thao tác, ta thấy số dấu trừ không đổi, giảm đơn vị Như tính chẵn lẻ số dấu trừ bất biến Tại trạng thái ban đầu số dấu trừ số lẻ, nên lại dấu, phải dấu trừ Phân tích ba cách giải ta thấy: Trong cách ta thay dấu số, lợi dụng tính bất biến tích số viết bảng; cách sử dụng bất biến tính chẵn lẻ tổng số cách bất biến tính chẵn lẻ số dấu trừ Như cách giải ta sử dụng tính bất biến tích, tổng, tính chẵn lẻ số Qua cách giải ta thấy gặp lớp toán mà thao tác lặp đi, lặp lại, ta phải biến đổi tìm đại lượng bất biến thao tác ta thực Chú ý thao tác ta thực không phụ thuộc vào thứ tự đối tượng chọn Bài toán 2.2 Trên bảng ta viết tâp hợp số gồm số 0; Cho phép xóa hai số khác điền vào số lại số ( nghĩa thay cho 1; thay cho 2; thay cho 1) Chứng minh sau số lần thực thao tác trên, bảng lại số số khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác Lời giải Ta thực lần thao tác số lượng loại ba loại số tăng lên giảm 1, suy số lượng số thay đổi tính chẵn lẻ Khi bảng lại số, nghĩa hai số 0, có số lượng số thứ ba Như từ đầu số lượng hai số ba số bảng phải có tính chẵn lẻ số lượng loại số lại có tính chẵn lẻ khác Vì khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác, cuối số 0, 1, 2, số số thuộc loại mà số lượng loại số khác tính chẵn lẻ với số lượng hai loại số Nhận xét Trong chứng minh toán trên, số lượng ba loại số bảng có tính chẵn lẻ dù có thực thao tác nữa, cuối khơng thể số bảng Bài toán 2.3 Một hình vng có cạnh cm chia thành 16 ô vuông, ô vuông có cạnh cm Tại 15 ta đánh dấu cộng (+), ô A x   x  x3  x5    x   x  x    x4 1 — x  b, Ta có số cách chọn kẹo thỏa mãn điều kiện số kẹo loại chia hết cho là: cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo Hàm sinh cho số cách chọn mội loại kẹo thỏa mãn điều kiện là:  x  x  x9  Vậy hàm sinh cho số cách chọn n kẹo từ loại kẹo thỏa mãn điều kiện là: B ( x)    x3  x  x9    1 — x  d, Hàm sinh cho số cách chọn kẹo socola : 1; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo chanh : 1+ x ; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo dâu là:  x  x  x3   1 — x  ; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo sữa là:  x  x  x3   1 — x  ; 13 Vậy hàm sinh cho số cách chọn n kẹo từ loại kẹo thỏa mãn điều kiện là: C ( x)  1 x (1  x )2 2.2.2 Các dạng toán dùng hàm sinh * Bài toán chọn phần tử riêng biệt Bài toán 2.8 Có cách chọn n phần tử phân biệt từ tập hợp k phần tử Lời giải Bài tốn giải dễ dàng cơng thức tổ hợp Nhưng lần sử dụng hàm sinh Cụ thể a Đầu tiên ta xét tập hợp có phần tử  1 Ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử; cách chọn phần tử trở lên a Suy hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập  1  x a �i �k  Tương tự vậy, hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập  i    x (không phụ thuộc vào khác biệt   ) a ,a Tiếp tục xét tập phần tử   ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử; cách chọn phần tử; cách chọn phần tử trở lên a ,a Suy hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập   là:  x  x2    x     x    x  Tiếp tục áp dụng quy tắc ta hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập k phần tử:   x    x    x     x  14 k Ta có Ck0  Ck1  Ck2   Ckk    x  k n n Như hệ số x   x  Ck k số cách chọn n phần tử phân biệt từ tập k phần tử * Bài tốn chọn phần tử có lặp Để hiểu cách giải toán trước tiên ta phải mở rộng, ta có quy tắc xoắn Gọi A  x  hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp A B  x  hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp B Nếu A B rời hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập A �B A  x  B  x  Quy tắc cho trường hợp chọn phần tử phân biệt, cho trường hợp chọn nhiều lần phần tử Bài toán 2.9 Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử, cho phép phần tử chọn nhiều lần Lời giải Chia tập n phần tử thành hợp n tập Ai ,1 �i �n ; tập gồm phần tử thuộc tập n phần tử Với tập Ai ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử ; cách chọn phần tử; Suy hàm sinh cách chọn có lặp từ tập Ai  x  x  x3   1 x Áp dụng quy tắc xoắn suy hàm sinh cách chọn có lặp phần tử từ tập hợp n phần tử : 1 1   x  x  x   x n Bây ta cần tính hệ số x k   x  15 n Áp dụng khai triển Taylor f  x   1 x n f ' 0 f ''   f  k   0 k  f  0  x x   x  1! 2! k! k Suy hệ số x f  k  Cnk k 1 k! k Như số cách chọn k phần tử có lặp từ tập hợp có n phần tử Cn  k 1 Bài tốn 2.10 Có loại kẹo : kẹo sữa, kẹo chanh, kẹo socola, kẹo dâu kẹo cà phê Hỏi có cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo 12 Lời giải Theo tập số cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo C16 Bài toán 2.11 Bài tốn chọn Có cách xếp giỏ n trái thỏa mãn điều kiện sau : Số táo phải chẵn Số chuối phải chia hết cho Chỉ có nhiều cam Chỉ có nhiều đào Bài tốn có điều kiện ràng buộc phức tạp ta có cảm giác việc giải tốn vơ vọng Nhưng hàm sinh lại cho ta cách giải nhanh gọn Lời giải Trước tiên ta tìm hàm sinh cho loại Chọn táo cách chọn táo ; cách chọn táo ; cách chọn táo ; cách chọn táo ; ……………………… Như ta có hàm sinh A  x    x  x   1  x2 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn chuối : B  x    x5  x10    x5 16 Hàm sinh cho cách chọn cam đào khác chút Chọn cam cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam Như ta có hàm sinh C  x    x  x  x3  x   x5 1 x Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn đào : D  x   x   x2 1 x Áp dụng Quy tắc xoắn suy hàm sinh cho cách chọn từ loại là: A  x  B  x  C  x  D  x   1  x5  x    x  x  x   x  x  x  x   x2  Như cách xếp giỏ trái gồm n trái đơn giản n  cách 2.3 Phương pháp nguyên tắc cực hạn sử dụng ánh xạ 2.3.1 Khái niệm điểm cực hạn Một lời khuyên người làm toán là: "Hãy ý xét trường hợp đặc biệt" Khái niệm trường hợp đặc biệt hiểu theo nhiều góc độ: - Đối với đa giác, điểm đặc biệt điểm thuộc cạnh (điểm biên), đỉnh ( điểm cực biên) điểm mà có đặc trưng hình đạt giá trị đặc biệt(  0;  �; không xác định; đạt min; đạt max; ), Bài toán điểm trọng tâm hình - Đối với tập hợp thứ tự, điểm đặc biệt phần tử lớn phần tử nhỏ tập hợp - Trên trục số có ba điểm đặc biệt 0;  �; � - Đối với tốn có điều kiện, trường hợp đặc biệt xảy 17 biến có mặt xảy dấu đánh giá điều kiện - Đối với hàm số, điểm đặc biệt điểm mà hàm số khơng xác định, 0, đạt cực trị, - Đối với đường cong, điểm gián đoạn, điểm cực trị, điểm uốn, điểm biên, Các điểm, trường hợp đặc biệt nói gọi chung điểm cực hạn Tóm lại, điểm cực hạn điểm mà đặc trưng đối tượng xét đạt khủng hoảng, có thay đổi chất Tùy theo trường hợp mà điểm cực hạn có tên gọi khác Chẳng hạn : "Điểm kì dị " lí thuyết hàm phức, "Điểm tới hạn" xét biến thiên hàm số, "Điểm gián đoạn" xét tính liên tục hàm số Các điểm cực hạn hệ thống có vai trò quan trọng việc khảo sát hệ thống Ta xét số trường hợp đặc biệt, riêng điểm cực hạn Muốn vậy, trước hết phải tồn Định lí 2.1 ([2]) (Về tồn điểm cực hạn tập hợp) Trong tập hợp gồm hữu hạn phần tử số, tồn phần tử lớn phần tử nhỏ Định lí trường hợp đặc biệt định lí sau đây: Định lí 2.2 ([2]) Xét tập A gồm hữu hạn phần tử Mỗi phần tử x �A đạt tương ứng với trạng thái f (x) Khi đó, trạng thái f (x) có đặc trưng P(f(x)) tập đặc trưng: thể thứ tự tồn tại: Hệ 2.1: ([2]) minP  f x�A    x  maxP  f x�A   {P ( f  x  ) | x � A} có  x  Nếu vai trò số tập gồm n số: x1; x2 ; ; xn ln giả sử: x1  x2   xn Một ứng dụng điểm cực hạn nguyên lí tiếng 18  f ( x); max f ( x ) Pontriagin: Nếu x�A   x�A   giá trị min; max thường đạt điểm cực hạn A * Mô tả nội dung phương pháp Khi khảo sát tính chất phần tử tập A, ta xét tính chất điểm cực hạn x � A Do x điểm cực hạn nên ta có thêm thơng tin( điều kiện) phụ x Từ kết việc khảo sát điểm cực hạn ta dự đốn kết chung cho phần tử thuộc A Bài toán 2.12 Cho 1985 tập hợp, tập hợp số gồm 45 phần tử, hợp hai tập hợp gồm 89 phần tử Có phần tử chứa tất 1985 tập hợp Lời giải Ta chứng minh có tồn số a �A1 mà a thuộc 45 tập hợp khác A2 , A3 , , A46 Giả sử ngược lại: Mọi phần tử A thuộc nhiều 44 tập hợp nên phần tử A thuộc nhiều 44.45   1981 tập hợp Vì hợp hai tập hợp có số phần tử 89 nên giao hai tập hợp phần tử Suy A giao với 1984 tập hợp khác Suy phần tử thuộc A thuộc 1984 tập hợp khác (mâu thuẫn) Vậy tập hợp A1 , A2 , , A46 giao phần tử a nhất.(a tồn b thuộc vào tập hợp A1 , A2 , , A46 giao hai tập hợp có hai phần tử) * Giả sử A không chứa a Suy A* giao với A1 , A2 , , A46 46 phần tử khác Do A* có 46 phần tử (mâu thuẫn với giả thiết) Bài tốn 2.13 Có trường học, trường có n học sinh Mỗi học sinh quen với n+1 học sinh từ hai trường khác Chứng minh người ta chọn từ trường bạn cho ba học sinh chọn đôi quen 19 Lời giải Rõ ràng cần quan tâm đến phần tử "cực hạn" người có nhiều bạn nhất, muốn tìm người quen đơi Gọi A học sinh có nhiều bạn trường khác Gọi số bạn nhiều k Giả sử A trường thứ tập bạn quen A là M  {B1 , B2 , , Bk } trường thứ Theo giả thiết, có học sinh C trường thứ quen với A Vì C quen khơng q k học sinh thường thứ nên theo giả thiết C quen với n+1-k học sinh trường thứ hai, đặt N  {D1 , D2 , , Dm } người quen C trường thứ hai m  n   k Vì M, N thuộc tập hợp gồm n học sinh M  N  k  n 1 k  n 1 nên ta có M �N   Chọn B thuộc M �N ta có A, B, C đơi quen Bài tốn 2.14 Trên bảng có 2010 câu khẳng định: Câu Trên bảng có câu khẳng định sai ; Câu Trên bảng có hai câu khẳng định sai ; Câu 2010 Trên bảng có 2010 câu khẳng định sai Hỏi câu đúng? Lời giải Gọi A tập hợp số k cho câu khẳng định thứ k câu Vì câu thứ 2010 khơng thể câu nên câu câu đúng, A �  Vì A có hữu hạn phần tử nên tồn phần tử k lớn Do k �A nên1, 2,3, , k  �A Do k phần tử lớn A nên k  1, 2010 �A Suy A  k Gọi B tập hợp số k cho câu khẳng định thứ k câu sai Do câu khẳng định thứ k câu sai nên B  k Do câu khẳng định thứ k+1 nên B  k Suy B  k Mặt khác A  B  2010 Vậy câu khẳng định 1, 2, ,1005 20 nên k=1005 2.3.2 Phương pháp sử dụng ánh xạ 2.3.2.1 Ánh xạ: Định nghĩa 2.3 : ([8]) Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với phần tử y Y Phần tử y gọi tạo ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f  x  (i) Tập X gọi tập xác định f Tập Y gọi tập giá trị f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y ký hiệu f : X � Y 2.3.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh (i) Ánh xạ f : X �Y gọi đơn ánh với a �ιX , b X , a b f  a  �f  b  Hay với a �X , b �X mà f  a   f  b  a  b (ii)Ánh xạ f : X � Y gọi toàn ánh với y �Y tồn phần tử x �X cho y  f  x  (iii) Ánh xạ f : X � Y gọi song ánh vừa toàn ánh, vừa đơn ánh Nguyên lý ánh xạ ([8]) Cho A B tập hữu hạn khác rỗng f : A � B ánh xạ Khi đó: a) Nếu f đơn ánh A �B ; b) Nếu f tồn ánh A �B ; c) Nếu f song ánh A  B 2.3.2.3 Một số toán Dạng 1: Sử dụng song ánh vào toán đếm nâng cao Phương pháp song ánh dựa vào ý tưởng đơn giản: Nếu tồn song ánh từ A vào B A  B Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có 21 số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm Bài tốn 2.15 [Olympic tốn châu Á- Thái Bình Dương lần thứ 10 năm 1997] Giả sử F tập hợp tất (A1,A2,…,Ak), Ai(i = 1,2, …,k) tập hợp tập (1,2,3,…,1998) Ký hiệu số phần tử tập A S Hãy tính � ( A ,A , ,AK )�F A1 �A2 �Ak (1) Lời giải Để tránh nhầm lẫn, ta gọi F F k S Sk Gọi T (i, k) số cặp  A , A ,�, A  �F k cho Ta tính Sk thơng qua việc tính T (i, k) Với i k phần tử n1, n2 ,…, ni thuộc {1, 2, …, n} ta đếm xem có (A 1, A2, …,Ak) thỏa mãn điều kiện A1 �A2 �� �Ak   n , n ,�, n  i (2), từ tính T (i, k) Sk Ta cho phần tử n1, n2,…, ni “đăng ký” có mặt tập Ai theo quy tắc: nếu, chẳng hạn n1 đăng ký có mặt A1, A2 khơng có mặt tập lại phiếu đăng ký ghi (1, 1, 0,…,0), n có mặt Ak ghi phiếu (0, 0, ,1) Phiếu đăng ký hợp lệ có số   Ak (nếu khơng phần tử tương ứng khơng có mặt A1 �A2 ��� Dễ thấy với hai phiếu đăng ký khác nhau, ta có hai tập hợp (A 1,A2,…,Ak) khác số (A1, A2,…,Ak) thỏa mãn (2) số phiếu đăng ký hợp lệ Vì phiếu đăng ký np, p = 1,2, , i gồm k và – 1 có  k phải có số nên np i phiếu đăng ký hợp lệ khác Cuối cùng, ý có cách chọn i phần tử từ n phần tử nên ta có T(i, k) = từ suy 22 Ở thực tế xây dựng song ánh từ tập F k vào tập hợp G = {(r , r2,…,rn)}, ri xâu nhị phân độ dài k tổng cần tính d(r ,r , ,r ), � n (r ,r , ,r )�G 12 n Với d (r1, r2,…,rn) số xâu ri khác (0, 0,…,0) Bài toán 2.16 Có cách chọn k số từ n số ngun dương cho khơng có số số liên tiếp (ở không quan tâm thứ tự chọn số này) Lời giải Cần tìm số phần tử tập Xét tập A    a1; a2 ; ; ak  |  1  1,1 �ai �n B    b1 ; b2 ; ; bk  | bi �bi 1 ; �bi �n  k  1 Thiết lập ánh xạ f : A � B  a ; a ; a ; ; a  �  a ; a k  1; a3  2; ; ak  k  1 Ta chứng minh song ánh Với hai  a ; a ; a ; ; a  ,  a ; a ; a ; ; a  �A ' k ' ' ' k khác nhau, nghĩa chúng khác vị trí đó, giả sử vị trí thứ i, tức �ai' �  i  �ai'  i  ,  a ;a hay hai  1; a3  2; ; ak  k  1 ;  a1' ; a2'  1; a3'  2; ; ak'  k  1 khác Suy f đơn ánh Với  a1 ; a2  1; a3  2; ; ak  k  1 �B rõ ràng cho  a ; a ; a ; ; a  �A , hay f k toàn ánh Vậy f song ánh � A  B  số cách chọn k số từ n  k  số mà không quan tâm thứ tự 23 Dạng 2: Sử dụng song ánh vào toán chứng minh tính biểu thức tổ hợp Ý tưởng áp dụng tốn đếm để tính biểu thức tổ hợp biểu diễn biểu thức tổ hợp số cách xây dựng cấu hình tổ hợp thích hợp mà số cấu hình tổ hợp dễ dàng tính thơng qua cơng thức tổ hợp Bài tốn 2.17 [ (VMO – 200] Cho trước số nguyên dương m, n Tính Ckn  k n Cmk  k T  � n k  � mk k 0 k 0 m Lời giải Ta chứng minh tổng cần tính 2, tức là: m n k 0 k 0 �Ckn k 2mk  �Ckmk 2n k  2mn 1 Các luỹ thừa gợi ta liên tưởng đến số tập tập hợp k mk Trong tập tập S   1, 2, , m  n  1 , dễ thấy có Cn  k tập dạng  a , a , , a  , (1  n i i �m 1) a1  a2   ani an1  n  k  với n �k �m (do có C n k cách chọn n phần tử (a1, a2, , an) từ tập {1, 2, , n+k}, cách chọn an1  n  k  1, 2m-k cách chọn tập tập m Cn k  n k  1, , n m 1 ) Như � k 0 k mk số tập S có nhiều n phần tử n Tương tự �C k 0 k mk 2n  k số tập S có nhiều m phần tử, tức số tập S có khơng q n phần tử m Vậy �C k 0 k n k n m k + �C k 0 k m k 2n  k số tất tập S, tức m+n+1 Đó điều phải chứng minh 24 Bài tốn 2.18 [Olimpic 30.4.2000] Hãy tính trung bình cộng tất số N gồm 2002 chữ số thỏa mãn N chia hết cho 99 chữ số N thuộc  1, 2,3, 4,5,6,7,8 Lời giải Gọi M tập số N thoả điều kiện đề Ta xây dựng ánh xạ f : M � M sau : Nếu N  a1a a 2002 f  N   b1b b 2002 , với bi   a i Do N  f  N   99 (2002 số 9) chia hết 9, nên f song ánh Từ suy �N   N�M � N  f (N) N�M = 99 (2002 số 9) 102002  99 {  Cuối ta nhận trung bình cộng số N 2002cs9 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Hệ thống hóa đưa số phương pháp giải tốn tổ hợp Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường trung học phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho giáo viên học sinh KẾT LUẬN Đề tài trình bày số yếu tố sau: Nghiên cứu toán tổ hợp, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu hội thảo tốn học, … Hệ thống hóa đưa số phương pháp xây dựng giải toán tổ hợp, số sai lầm học sinh giải toán tổ hợp Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chun đề tốn trường trung học phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho giáo viên Hy vọng rằng, Đề tài giúp ích cho học sinh việc tìm hiểu 25 phương pháp hiệu để giải nhiều toán tổ hợp Việc sưu tầm phân loại đòi hỏi nhiều cơng sức thời gian Bản Đề tài kết bước đầu, mong quan tâm giúp đỡ thầy cô nhà trường, để tác giả cố gắng hồn chỉnh cho có chuyên đề với nội dung phong phú XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa ngày 05 tháng 06 năm 2018 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Đào Anh Tuấn Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt Nguyễn Hữu Điển (2005), Giải toán phương pháp đại lượng cực biên, Nxb Giáo Dục .2 Nguyễn Hữu Điển (2004), Giải toán đại lượng bất biến, Nxb Giáo Dục Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu Đại số Tổ hợp phổ thơng, Nxb Giáo Dục,1998 Kim Đình Sơn, Hàm Sinh, Nxb Giáo Dục SGK Đại số giải tích 11(2007), Nxb Giáo Dục Chương trình bồi dưỡng chun đề tốn “Hội Toán Học Và Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội”(2009) [B] Tiếng Anh D Faddéev et I Sominski, Recueil D’Exercices D’Algèbre Supérieure, Editions Mir-Moscou 1977 Titu Andresscu, Zuming Feng, undergranduates, Birkhauser, 2007 26 A path to combinatorics for 27 ... vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh 2.3 Phương pháp nguyên... đưa số phương pháp toán học rời rạc, đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ, kết hợp. .. Một số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ 1.4 Phương