SKKN một số phương pháp giải bài toán chia hết lớp 6

Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Một số ph ơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 A. Đặt vấn đề I Lời mở đầu Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng. Các nhà trờng càng chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. II -Thực trạng nghiên cứu Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển t duy Toán học. Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chơng trình lớp 6 cũ và mới tôi nhận thấy phép chi hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6. Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 1 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 B. Giải quyết vấn đề I - .Các giảipháp thực hiện - Trớc tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra một vài phơng pháp thơng dùng để giải các bài toán chia hết: Khi học sinh đã nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết. II - .Các biện pháp thực hiện nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết. 1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 2 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x. 2. Các dấu hiệu chia hết: a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9): Một số chia hết cho 3(hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9). Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3(hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại. c. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. d. Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25): Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4(hoặc 25). e. Dấu hiệu chia hết cho 8(hoặc 125): Một số chia hết cho 8(hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8(hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11: Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 3 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Tính chất của quan hệ chia hết: + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0. + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c). + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên. +Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n). + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 4 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 + Nếu a chia hết cho m thì n a chia hết cho m với n là số tự nhiên. + Nếu a chia hết cho b thì n a chia hết cho n b với n là số tự nhiên. II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra một vài phơng pháp thơngf dùng để giải các bài toán chia hết: Ph ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết. Để chứng minh a chia hết cho b( b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b). Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n) 100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n. Giải: Ta có (3n) 100 = 3 1000 . n 1000 = 3 4 .3 996 .n 1000 = 81.3 996 .n 1000 . Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3 996 .n 1000 chia hết cho 81. (3n) 1000 chia hết cho 81. Ph ơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết. * Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu: - Để chứng minh a chia hết cho b(b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đeèu chia hết cho b. Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 5 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Ví dụ 2 : Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao? Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên). Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên). Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85. 170 chia hết cho 85. (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng). Do vậy a chia hết cho 85. Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2. Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng). Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 6 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Từ bài tập, này giáo viên có thể đa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không? Qua đó gợi trí tò mò, đa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau: Ví dụ 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n. * Dùng tính chất chia hết của một tích: Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 7 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 + Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n. + Biểu diễn a = a 1 .a 2 , b = b 1 .b 2 , rồi chứng minh a 1 chia hết cho b 1 ; a 2 chia hết cho b 2 . Ví dụ 5: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên. Giải: Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a. Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b. Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9. Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b. Mà (9, 5) = 1. (495a + 1035b) chia hết cho 45. Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2. Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2. Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2) Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 8 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 4n.(n + 1) chia hết cho 8. 2n.(2n + 2) chia hết cho 8. Ph ơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d. Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p. Ví dụ: Chứng minh rằng: a. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Giải: a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2). Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2. - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3. - Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên). n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3. n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3. - Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên). n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3. n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3. Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 9 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b. Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. III. Khi học sinh đã nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết. Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số yx534 chia hết cho 36. Giải: Vì (4, 9) = 1 nên yx534 chia hết cho 36 yx534 chia hết cho 9 và yx534 chia hết cho 4. Ta có: yx534 chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y { } 6;2 . yx534 chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9. (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. (3 + x + y) chia hết cho 9 Vì x, y N và 0 x; y 9 Nên x + y thuộc { } 15;6 Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ). Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 10 - [...]... Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Giải: Để n + 15 n+3 là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3) [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) 12 chia hết cho (n +3) (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} n {0; 1; 3; 9} n + 15 n+3 Vậy với n {0; 1; 3; 9}thì là số tự nhiên Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5; 7; 9 Giải: Giả sử ba số. . .Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 Vậy các số phải tìm là: 34452; 340 56; 349 56 Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211 Giải: Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: a 0b ; ab0 ; ba0 ; b0a T ổng của các số đó là: a 0b + ab0... 579abc chia Mặt khác: 579abc = 579000 + hết cho 5.7.9 = 315 abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315 Mà 315.1838 chia hết cho 315 abc (30 + abc ) chia hết cho 315 30 + (315) Do 100 30 + abc abc 999 130 30 + abc 1029 {315; 63 0; 945} abc { 285 ; 60 0 ; 915} Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 12 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 60 0;... + b) chia hết cho 211 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) Giải: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4 Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 2) (n 4 chia hết cho (n + + 2) là ớc của 4 +2) {1 ; 2 ; 4} n { 0 ; 2} Vậy với n {0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n +2) (n Bài 4: Tìm số tự nhiên n để Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng n + 15 n+3 - 11 - là số tự... tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hớng giải quyết nào đó để khi gặp bài tơng tự, học sinh có thể tự liên hệ đợc Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 13 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần phép chia hết trong N Trong quá trình giảng dạy chắc chắn cha thể hoàn hảo đợc Rất mong... bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, bản thân thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng đợc các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết giải đợc các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát Qua đó rèn luyện... tip hoc mail cho tụi: Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 18 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Dng Vn Dng Email ngi gii thiu: dungtam2010@ymail.com Mó s ngi gii thiu: 00022077 Quý thy cụ v cỏc bn cú th coppy Link gii thiu trc tip: http://satavina.com/Register.aspx? hrYmail=dungtam2010@ymail.com&hrID=22077 Di ng: 0 168 8507 4 56 \ 2/ Cỏch thc satavina tớnh im quy ra tin cho thy cụ v cỏc bn:... ngi gii thiu: dungtam2010@ymail.com Mó s ngi gii thiu: 00022077 Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 20 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Quý thy cụ v cỏc bn cú th coppy Link gii thiu trc tip: http://satavina.com/Register.aspx? hrYmail=dungtam2010@ymail.com&hrID=22077 Di ng: 0 168 8507 4 56 Website: vandung80.violet.vn Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 21 - ... phi cú chỏo m n ch, khụng thỡ ai di gỡ m lm vic cho h Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 15 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Vy chỳng ta s lm nh th no õy Thy cụ v cỏc bn lm nh ny nhộ: 1/ Satavina.com l cụng ty nh th no: ú l cụng ty c phn hot ng trong nhiu lnh vc, tr s ti tũa nh Femixco, Tng 6, 231-233 Lờ Thỏnh Tụn, P.Bn Thnh, Q.1, TP H Chớ Minh GPKD s 0310332710 - do S K Hoch v u T TP.HCM... bn cú th kim c: 10x60x5= 3000 im, nh vy bn s kim c 300ng - Bn gii thiu 10 ngi bn xem qung cỏo (gi l Mc 1 ca bn), 10 ngi ny cng dnh 5 phỳt xem qung cỏo mi ngy, cụng ty cng chi tr cho bn 300ng/ngi.ngy - Cng tng t nh vy 10 Mc 1 ca bn gii thiu mi ngi 10 ngi thỡ bn cú 100 ngi (gi l mc 2 ca bn), cụng ty Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 19 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 cng chi tr cho bn . 2 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x. 2. Các dấu hiệu chia hết: a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết. Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Một số ph ơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 A. Đặt vấn đề I Lời mở đầu Cùng với sự phát triển. ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8(hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11: Giáo viên trờng THCS Thiệu Dơng - 3 - Một số phơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Một số chia hết cho