chủ đề bài toán chia hết môn toán lớp 6 một số phương pháp giải bài toán chia hết

g Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn từ trái sang phải chia hết cho 11... Dùng tính chất chia

Trang 1

Ngày soạn : 03/12/10

Ngày dạy : 08/12/10

Buổi 1 một số phơng pháp giải bài toán chia hết

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :

 Kiến thức

- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán chia hết

 Kĩ năng

- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết

 Thái độ

- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b  0 Khi nào ta nói a

chia hết cho b ?

- HS2: Nêu các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 ?

III Bài mới

3 Các dấu hiệu chia hết:

a) Dấu hiệu chia hết cho 2:

Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2

Ch

ú ý : Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k Z)

b) Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 5

c) Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 9

d) Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 3

Ch

ú ý : Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại.

e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25):

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số

đó hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).

Trang 2

f) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125):

Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của

số đó hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125).

g) Dấu hiệu chia hết cho 11:

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ

và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.

4 Tính chất của quan hệ chia hết:

+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.

+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.

+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).

+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì a chia hết cho BCNN(a ; b) + Nếu a.b chia hết cho c và (b, c) = 1 thì a chia hết cho c.

+ Nếu a và b đều chia hết cho m thì a.b cũng chia hết cho m

+ Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m với n là số tự nhiên.

+ Nếu a n chia hết cho m trong đó m là số nguyên tố thì a chia hết cho m + Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên.

a d b a

- Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

- Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4

- Tổng của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k khi và chỉ khi k lẻ

Trang 3

II – các phơng pháp và bài tập vận dụng

Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.

Để chứng minh a chia hết cho b (b  0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).

Vỡ 33 chia hết cho 33  215 33 chia hết cho 33

Vậy 165 + 215 chia hết cho 33

Phơng pháp 2: Dựa vào định tính chất của quan hệ chia hết

1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:

 Để chứng minh a chia hết cho b (b  0) ta biểu diễn số a dới dạng

một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó

đều chia hết cho b.

 Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng

của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.

Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên)

Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85

170 chia hết cho 85

 (255.k + 170) chia hết cho 85 (tính chất chia hết của một tổng)

Do vậy a chia hết cho 85

V

í d ụ 2 : Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

Gi

ả i: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)

= (3a + 3) chia hết cho 3 (tính chất chia hết của một tổng)

V

í d ụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?

Gi

ả i: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6)

Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4nên (4a + 6) không chia hết cho 4

 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Kết luận: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n.

2 Dùng tính chất chia hết của một tích:

Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằngmột trong các cách sau:

 Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1 Sau đó chứng minh a chia hết cho

Trang 4

Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).

a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4

Gi ả i:

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2)

Một số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2

- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3  n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3

ó m l ạ i: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên

b) Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n

- Xem lại các phơng pháp và các bài tập đã chữa

- Giải tiếp các bài tập sau:

Ta có: 34x5 y chia hết cho 4  5y chia hết cho 4  y   2 ; 6 

34x5 y chia hết cho 9  (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9

 (3 + 9 + x + y) chia hết cho 9  (3 + x + y) chia hết cho 9

à i 2: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số

trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211

Trang 5

Ngày soạn : 06/12/10

Ngày dạy : 10/12/10

Buổi 2 bài toán chia hết – ớc và bội

- GV:

- HS:

I Tổ chức

- HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc

Trang 6

Xỏc định số lượng cỏc ước của một số m ( m > 1) ta phõn tớch số m ra thừa số nguyờn tố

Nếu m = a b cx .y z thớ m cú ( x+1).(y+1).(z+1) ước

II – Luyện tập chungB

à i 1 : Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2)

Giả sử ba số viết thêm là abc

Ta có: 579abc 5 ; 7 ; 9  579abcchia hết cho 5.7.9 = 315 vì (5, 7, 9) = 1Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc) chia hết cho315

Mà 315.1838 chia hết cho 315  (30 + abc) chia hết cho 315  30 + abc B(315)

Trang 7

Hướng dẫn:

abcd  ab cd  ab ab cd   ab ab cd

Suy ra: + Nếu abcd 99 thì ab cd  99

+ Ngược lại, nếu ab cd  99 thì abcd 99

Bài 7: Cho biểu thức A = 1494.1495.1496

Không thực hiện phép tính, hãy giải thích vì sao ?

a) A180 ; b) A495Hướng dẫn:

Trang 8

Buổi 3 Bài toán chia hết - Ưcln, bcnn

- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập

- Tăng cờng khả năng t duy, sáng tạo, logic

 Thái độ

- GV:

- HS:

I Tổ chức

- HS1: Giải bài tập đã cho ở buổi học trớc phần a

- HS2: Giải bài tập đã cho ở buổi học trớc phần b

I – Lí thuyết chungTrong chương trỡnh số học lớp 6, sau khi học cỏc khỏi niệm ước chunglớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), chúng ta sẽ gặp dạngtoỏn tỡm hai số nguyờn dương khi biết một số yếu tố trong úđú cú cỏc dữkiện về ƯCLN và BCNN

Phươ ng ph ỏ p chung đúể gi ả i :

1/ Dựa vào đúịnh nghĩa ƯCLN đúể biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ vớicỏc yếu tố óđú cho đúể tỡm hai số

Trang 9

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đóặc biệt giữaƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b óĐó là :

ab = (a, b).[a, b]

Trong óđó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b

*) Ch ứ ng minh : Theo đóịnh nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b)

Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 Theo đóịnh nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80 Ch

ú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) đóể giải bài toán này : ab = (a,

b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15 Từ óđó tìm đóược a, b ?

Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6

Lờ i gi ả i : Lập luận như bài 1, do vai trò của a, b là như nhau, khôngmất tính tổng quát, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n

ú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ đóịnh nghĩa ƯCLN,

BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3

Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5

Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140

Lờ i gi ả i : Đóặt (a, b) = d Vì a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b =5d

 m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80

Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72

Lờ i gi ả i : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n

Do óđó : a + b = d(m + n) = 42 (1)

Trang 10

[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d {1 ; 2 ; 3 ; 6}

Lần lượt thay cỏc giỏ trị của d vào (1) và (2) đúể tớnh m, n ta thấychỉ cú trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n =

4 (thỏa món cỏc đúiều kiện của m, n) Vậy d = 6 => a = 3.6 = 18 , b =4.6 = 24

Bài toỏn 8 : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140

Lờ i gi ả i : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1

Do úđú : a - b = d(m - n) = 7 (1)

[a, b] = mnd = 140 (2)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d {1 ; 7}

Thay lần lượt cỏc giỏ trị của d vào (1) và (2) đúể tớnh m, n ta đúược kếtquả duy nhất : d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4

Vậy a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28

IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài tập đ chữa và giải các bài tập sau:ã

1/ Tỡm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45

2/ Tỡm hai số biết tổng của chỳng bằng 448, ƯCLN của chỳng bằng 16 vàchỳng cú cỏc chữ số hàng đúơn vị giống nhau

3/ Cho hai số tự nhiờn a và b Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn c sao cho trong ba

số, tớch của hai số luụn chia hết cho số cũn lại

D/Bổ sung

*******************************

Ngày soạn : 10/12/10

Ngày dạy : 14/12/10

- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn

Trang 11

Bài 1:Ch ng minh r ng tớch cỏc ứ ằ ước c a 50 là 50ủ 3

Hướng d n:ẫn:

50 = 2.52 => 50 cú 6 ước là:1, 2, 5, 10, 25, 50

Tớch cỏc ước c a 50 là:1.2.5.10.25.50 = (1.50).(2.25).(5.10) = 50ủ 3

Bài 2: Cho a là m t h p s , khi phõn tớch ra th a s nguyờn t chộ ợ ố ừ ố ố ỉ

ch a hai th a s nguyờn t khỏc nhau là ứ ừ ố ố p1 và p2 Bi t aế 3 cú t t c 40ấ ả

Hướng d n:ẫn:

Gi s a ả ử  b Vỡ CLN(a,b)=27 nờn a = 27m; b=27nƯ

Trong ú (m, n) = 1 và m đú  n

Ta cú a.b = 27m.27n = 8748 => m.n =12 Ch n c p s m, n nguyờn tọ ặ ố ố

Trang 12

- Xem l¹i c¸c bµi ® ch÷a vµ gi¶i bµi tËp sau·

Bài 11: Cho bi t a + 4b là b i c a 13 (a, bế ộ ủ N)

Trang 13

- HS1: Nhắc lại định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên ?

- HS2: Viết các công thức về lũy thừa ?

1 ễn tập và bổ tỳc về lũy thừa với số mũ tự nhiờn :

Lũy thừa một tớch : (a.b)n = an bn

Lũy thừa của một lũy thừa: (am)n = am.n

Lũy thừa tầng : am n = a(m )n

2 Tỡm một chữ số tận cựng của một lũy thừa:

a) Tớnh chất 1:

- Cỏc số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là 0;1;5;6 khi nõng lờn lũy thừa bất kỡ ( 0)

thỡ giữ nguyờn chữ số tận cựng của nú GV cho HS tớnh cỏc lũy thừa sau (sử dụng mỏy tớnh để kiểm nghiệm)

Trang 14

- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tậncùng vẫn không thay đổi

- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì chữ số tậncùng là 1 hoặc 6

- Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n  N*) thì

chữ số tận cùng là 1 (Cho học sinh tính để kiểm nghiệm)

34 =…1 ; 38 = …1; 3 12 = …1

74 = …1; 78 = …1 ; 7 12 = …1

94 = …1 ; 9 8 = …1 ; 9 12 = …1

- Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n  N*) thì

chữ số tận cùng là 6 (Cho học sinh tính để kiểm nghiệm)

c) Theo câu a) và b)  Chữ số tận cùng của :156 7 + 1061 9 là 7

d) Theo kết quả câu a) và b)  Chữ số tận cùng của :156 7 .1061 9 là 6

*) Bài 2: Tìm các chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:

a) 34557 b)78941

c) 8732 d) 8732 + 78941

Trang 16

- Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

- Chú ý: Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

*) Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy

thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411

có chữ số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng :

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8+ 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019

2 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có tận cùng bằng 76 +) Số n

26 ( n  1) có tận cùng bằng 76

Trang 18

cựng của một lũy thừa với những số tự nhiờn cú chữ số tận cựng từ 0 đến 9; tỡm hai chữ số tận cựng; tỡm ba chữ số tận cựng trở lờn

- HS1: Giải bài tập 1a đã cho ở buổi học trớc

- HS2: Giải bài tập 1d đã cho ở buổi học trớc

*) Bài 1: Chứng minh rằng 102 102

8  2 chia hết cho 10Hướng dẫn: Sử dụng tớnh chất, một số cú tận cựng bằng 6 khi nõng lờn lũy thừanào (khỏc 0) cũng cú tận cựng bằng 6

IV Hớng dẫn về nhà

*******************************

Trang 20

- Hệ thống cho học sinh định nghĩa và tính chất về số chính phơng

- Học sinh biết cách chứng minh một số là số chính phơng hoặc một số không là số chính phơng

 Kĩ năng

- Rèn kĩ năng áp dụng kiến thức giải bài tập;khả năng t duy, sáng tạo

- Kĩ năng nhận dạng một số là số chính phơng

 Thái độ

- Học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức

- GV:

- HS:

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

Phương phỏp 1: Dựa vào định nghĩa

- Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương của một số tự nhiờn (hoặc số nguyờn)

- VD: Mười số chớnh phương đầu tiờn là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

Bài toỏn 1 : Chứng minh với mọi số tự nhiờn n thỡ an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +

Bài toỏn 2 : Chứng minh số : là số chớnh phương

Chỳ ý: Khi biến đổi một số trong đú cú nhiều chữ số giống nhau thành mộtchớnh phương ta nờn đặt 

n

n 99 9 1     10  9a 1 

Lời giải :

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,33 MB