Nghiên cứu bài toán polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương – Bài toán Polaron khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 1.1 Khái niệm Polaron …… ……………………………………………… 1.1.1 Polaron bán kính lớn 1.1.2 Polaron bán kính nhỏ 1.2 Hamiltonian electron mạng tinh thể ………………… …… 11 1.3 Bài toán Polaron lý thuyết nhiễu loạn thông thường ……… … 15 1.3.1 Tính số nhiễu loạn bậc …………………… …… 17 1.3.1 Tính số nhiễu loạn bậc hai … ………………… …… 17 1.3.3 Năng lượng trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron …………………………………………………………………………… 19 Chương – Bài toán Polaron khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương – Năng lượng trạng thái bổ bậc Khối lượng hiệu dụng Polaron 30 3.1 Giá trị trung bình hàm Green trạng thái chân không ……… … 30 3.2 Năng lương trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron … 35 3.3 Gần bậc cho phổ lượng ……………………………… 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Khái niệm polaron L.D Landau giới thiệu báo ngắn /16/, sau phát triển S.I Pekar/20/, ông nghiên cứu tính chất polaron tĩnh trường hợp giới hạn tương tác electronphonon mạnh, để hành vi polaron phân tích gần đoạn nhiệt Nhiều nhà nghiên cứu tiếng khác, có H Fro¨hlich/14/, R Feynman/11/ N.N Bogolyubov /8/, đóng góp cho phát triển lý thuyết polaron sau Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều quan tâm thực nghiệm lý thuyết: mô tả tính chất vật lý hạt mang điện tinh thể có cực bán dẫn ion và, lúc đó, biểu mô hình đơn giản hiệu mô hình lý thuyết trường hạt tương tác với trường boson vô hướng Mô hình Polaron mô tả tương tác hạt phi tương đối tính với trường lượng tử vô hướng mô hình đơn giản, quan trọng việc vận dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/ Có nhiều phương pháp phát triển để nghiên cứu mô hình Polaron Bằng phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính lượng trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron/12, 14, 16/, nhiên việc tính toán bổ bậc cao gặp khó khăn Trong nhiều phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ phương pháp hữu hiệu Einstein Smolykhovski người đưa khái niệm tích phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi tích phân đường hay tích phân theo quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động hạt Brown, song sở toán học chặt chẽ khái niệm lại dựa vào công trình nghiên cứu Weiner (trong toán học người ta gọi tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/ Khái niệm tích phân qũy đạo công cụ hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề vật lý lý thuyết Feynman người sử dụng để xây dựng cách phát biểu cho học lượng tử /3, 9/ Nền tảng chủ yếu phương pháp dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất phép dời chuyển lượng tử hệ từ trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f xác định tổng hay tích phân) theo tất quỹ đạo không gian pha biểu thức exp  S[ x(t )] i   S[ x(t )] hàm tác dụng cổ điển” Feynman người áp dụng phương pháp vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính Thành tựu to lớn phương pháp tích phân phiếm hàm phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman sử dụng Điện động lực học lượng tử (QED) trước việc lượng tử hóa lý thuyết trường chuẩn sau Bài toán Polaron Feynman nghiên cứu /11/ phương pháp biến phân, mức lượng trạng thái đánh giá cho trường hợp liên kết yếu Mục đích luận văn phát triển nghiên cứu Feynman, tính lượng trạng thái bản, bổ lượng bậc nó, khối lượng hiệu dụng Polaron phương pháp tích phân phiến hàm Các tích phân phiếm hàm tính toán nhờ phương pháp gần quỹ đạo thẳng hay gọi gần eikonal lý thuyết tán xạ lượng tử Nội dung luận văn bao gồm ba chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Bài toán Polaron khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thƣờng Mô hình Polaron mạng tinh thể trình bày mục (1.1) Từ mô hình xây dựng biểu thức cho Hamiltonian hệ electron - phonon mạng tinh thể (1.2) Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính lượng bản, bổ nó, khối lượng hiệu dụng Polaron trường hợp liên kết yếu (1.3) Chương 2: Bài toán Polaron khuôn khổ phƣơng pháp tích phân phiếm hàm Tích phân phiếm hàm luận văn đưa vào giải toán Polaron tuyến tính hóa toán tử Laplace : 1 = − = −𝑖 ∆ ∇ 𝜏 ∞ 𝑑𝑠 ∇2𝑠 𝑑𝜏 𝑒𝑥𝑝 𝑖 0 Biến số s hàm mũ, coi số trật tự ( thời gian T – tích ) Thừa số mũ exp 𝑖 𝜏 𝑑𝑠 ∇2𝑠 coi T – tích hay Ts exponent Việc chuyển từ T- tích sang N - tích thực nêu không khai triển thành chuỗi lý thuyết nhiễu loạn, lý thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến ∇2𝑠 Ta thực phép biến đổi exp 𝑖 𝜏 𝑑𝑠 ∇2𝑠 = 𝐶𝑠 𝑥 𝐷𝑥(𝑠) 𝑒 −𝑖 =𝑟 𝜏∗ 𝑥 𝑑𝑠 … Phương trình cho hàm Green tổng quát mô hình Polaron (cụ thể xét mô hình tương tác hạt vô hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường – (nếu trường lượng tử hóa, tập hợp phonon) dẫn chương Chương 3: Năng lƣợng bổ bậc cho trạng thái bản, khối lƣợng hiệu dụng Polaron Sử dụng hàm Green thu chương 2, ta tìm giá trị trung bình hàm Green trạng thái chân không gần quỹ đạo thẳng mục (3.1) Sử dụng kết để tìm lượng trạng thái tính khối lượng hiệu dụng Polaron mục (3.2) Các bổ bậc cho lượng trạng thái trình bày mục (3.3) Phần kết luận dành cho việc tổng hợp kết chung thu luận văn thảo luận Chƣơng BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG 1.1 Khái niệm Polaron Electron vật rắn chuẩn hạt chiế m tr ạng thái đơn electron mô hình vùng lượng Phonon chuẩn hạt mô tả dao động  mạng Số Phonon trạng thái riêng biệt đặc trưng véctơ sóng q  nhánh j phổ tán sắc  j q  Tương tác electron – Phonon thể qua việc sinh (phát) huỷ (hấp thụ) Phonon với biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử k  q,  k , sang trạng thái Trong mạng tinh thể phức tạp, nguyên tử sở có điện tích khác tinh thể Ion phân cực liên kết với dao động quang mạng phân cực dẫn đến tương tác mạnh electron với Phonon quang Trong tinh thể Ion sự tương tác Coulomb mà electron phân cực môi trường xung quanh Sự phân cực làm biến dạng mạng, nghĩa kích thích Phonon quang Trong tinh thể Ion, số nguyên tử mang điện tích dương số khác lại mang điện tích âm Một Phonon quang có Ion khác dao động khác pha Khi Ion âm Ion dương dao động theo hướng ngược nhau, chúng thiết lập trường lưỡng cực phân cực Sự phân cực hoá gây trường điện làm tán xạ electron Trường điện nguồn liên kết có cực, electron phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với tạo thành chuẩn hạt gọi Polaron Mô hình mô tả Polaron phụ thuộc vào biến dạng mạng truyền môi trường trực tiếp bao quanh electron với khoảng vài số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay số lớn số mạng (Polaron bán kính lớn) Khi có electron chen thêm vào nút mạng Ion nằm nút mạng bị lệch khỏi vị trí cân lực hút lực đẩy tĩnh điện Từ thấy electron thêm vào chuyển động Ion nằm nút mạng phải dao động theo cách tương ứng làm xuất Phonon Polaron khái niệm để electron nằm nút mạng cộng với đám mây phonon (có thể gồm 1,2,3 nhiều Phonon) bao bọc xung quanh Như nói cách đơn giản Polaron electron “Mặc áo” Phonon tính chất electron khoác thêm áo nhiều trường hợp khác hẳn với tính chất electron “Trần trụi” cụ thể là: (1) Polaron sinh tương tác tĩnh điện electron mạng tinh thể, tinh thể phải tinh thể Ion thì Polaron khác nhiều so với electron tương tác lúc ma ̣nh nhi ều so với tinh thể đồng hoá trị loại tinh thể khác (2) Polaron xảy chủ yếu tinh thể Ion mà tinh thể Ion chất cách điện, Polaron có mặt tinh thể cách điện (3) Polaron xảy với electron mà xảy với lỗ trống (4) Để có Polaron xuất Ion mạng tinh thể phải bị dịch chuyển, so với electron Polaron có độ ì (quán tính) hay nói cách khác khối lượng hiệu dụng lớn nhiều Polaron chí nặng đến mức bị bắt giữ (định xứ vị trí tinh thể) không chuyển động Về bắt giữ Polaron nói thêm sau: - Sự bắt giữ Polaron thường xảy tinh thể Ion phân cực mạnh, ví dụ tinh thể kiềm – halogen, bạc – halogen - Lỗ trống hay bị bắt giữ electron, tất tinh thể kiềm - halogen bạc - halogen lỗ trống bị bắt giữ ÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Quang Báu (2004), Vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các giảng tích phân quỹ đạo lý thuyết trường lượng tử Nguyễn Văn Hiệu (2000), Phương pháp lý thuyết trường lượng tử vật lý chất rắn vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Văn Hùng (2002), Lý thuyết chất rắn, ĐHQG Hà Nội Nguyễn Như Xuân (2008), Một số vấn đề tái chuẩn hóa, tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử phương pháp tích phân phiếm hàm, Luận văn thạc sỹ toán lý ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Bogoliubov H.H.(1957), Introduction to Quantized Field Theory, Moscow Bogolubov N.N (1950), Ukrainian Math J., 10 Charles Kittel, “ Introduction to Solid State Physics” ; pp.99-112, 198-200, pp.393-412.(xuất lần thứ 8) 11 Feynman R.P.(1948), “ Space – time Approach to non – relativistic Quantum Mechanics” 12 Feynman R.P.(1951), “ An Operato Calculus Having Applications in Quantum” 13 Feynman R.P.(1955), “ Slow Electron in a Polar Crystal”, Phys.Rev.,97(3),pp 660-665 14 Feynman R.P.(1972), “ Statistical Mechannics”, (Aset of lestures), pp 252-267 15 Fro¨hlich H., Pelzer H., Zienau S., Philos Mag (1950), 41, 419 16 Kuleshov S.P and Smondyres M A.(1977) “ Quantum Fluctuations and Structure of Paticles”, Preprint, Dubna R2-10467 17 Landau L.D., Phys Z Sowietunion (1933), 3, 664 [English translation: Collected Papers Gordon and Breach, New York, p 67- 68, 1965] 18 Lee T.D., Low F.E., and Pines D.(1953), “ Interation of a Nonrelativistic Praticle with a Scalar Field with Application to slow Electron in Polar Crystal”, Phys Res., 92(4), pp.883-889 19 Lee T.D, Low FE ,and Pines D.(1953), “ Ther Motion of Slow Electron in a Polar Crystal”, Phys Rev., 90(2), pp(297-302) 20 Pekar S.I., Sov Phys JETP (1946), 16, 341; Pekar S.I Research in Electron Theory of Crystals.Gostekhizdat, Moscow, 1951 [English translation: Research in Electron Theory of Crystals US AECReport AEC-tr-5575]