XÁC ĐỊNH tải TRỌNG GIỚI hạn TRONG bài TOÁN PRANDTL BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN hữu hạn THÔNG QUA MATLAB và FLAC2D

XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN PRANDTL BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN THÔNG QUA MATLAB VÀ FLAC2D NGÔ THỊ THANH HƢƠNG*, VŨ BÁ THAO** Determining ultimate bearing capacity of soils by the finite defference method using Matlab and Flac 3D sofwares in the solution Prandtl Abstract: The the Prandlt problem has determined the value of the soil-bearing capacity of earth foundation which affected by a vertical strip load on a half plane The author proposes a new solution to determine the soil-bearing capacity based on the finite difference method This problem was solved by computation program which coded by author on Matlab software Besides, the FLAC 2D, a finite difference software, is also used for simulation to solve the Prandtl problem The results shows that the value of the soil-bearing capacity which determined by proposed method is compatible with results from Prandlt problem and FLAC 2D software XÂY DỰNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN CỦA NỀN ĐẤT* Xét toán phẳng, phân tố đất chịu tác dụng ứng suất z , x , xz trọng lƣợng thân  nhƣ Hình Dƣới tác dụng tải trọng tĩnh, phân tố đất trạng thái cân bằng, ổn định đủ sức chịu tải thỏa mãn điều kiện dƣới  Phƣơng trình cân tĩnh học:  x  zx  0 (1) x z  z  xz    (2) z x đó: x,  z , xz - ứng suất có hiệu tƣơng ứng với phƣơng trục tọa độ * ** * Khoa Cơng trình, Tr ng Đ i h c Cơng nghệ Giao thơng Vận tải Phòng Nghiên cứu Địa kỹ thuật, Viện Thủy Công, Viện Khoa h c Thủy lợi Việt Nam Email: vubathao@gmail.com ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018 o dx x z z xz x dz z x zx x   x dx x xz xz x zx    zx dz z z    z dz z  Hình 1: Phân t đất chịu tác dụng ứng suất  Điều kiện ứng suất đất: đất phải luôn chịu nén, hay:  x   z  (3)  Điều kiện cân bền ổn định: Nếu đất nằm trạng thái cân bền ổn định ứng suất tiếp lớn đất max phải có giá trị nhỏ (max min), điều kiện suy từ nguyên lý Castiliano (18471884), đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Trong tất tr ng thái cân lực tr ng thái cân thực xảy biến d ng cực tiểu” Nguyên lý đƣợc viết dƣới 11 dạng cơng thức nhƣ sau: 3 1 Z    max dV  , 2V G điều kiện bền f(k) Mohr-Coulomb: f(k)     tg  c  (4) (5) Nhƣ vậy, biểu thức (4) Hàm mục tiêu tốn xác định tải tr ng giới h n đất với ràng buộc (1), (2), (3) điều kiện bền Mohr-Coulomb (5) Bài toán toán quy hoạch phi tuyến (do điều kiện bền Mohr-Coulomb phi tuyến), giải đƣợc nó, ta xác định đƣợc tải trọng giới hạn đất ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN PLANDTL DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 2.1 Đề xuất phƣơng pháp đó: Z - biến dạng ứng suất tiếp  gây ra; max- ứng suất tiếp lớn điểm xét; G - môđun trƣợt đất;  max - biến dạng trƣợt; G V - miền lấy tích phân - thể tích khối đất đƣợc xét  Điều kiện bền Mohr-Coulomb: Ngồi thỏa mãn phƣơng trình cân bằng, điều kiện bền ổn định nói trên, đất đủ sức chịu tải ứng suất phát sinh đất dƣới tác dụng tải trọng phải đáp ứng c Mặt thoáng đất nằm ngang p p x 1 i (a) i,j x i,j n0 j i+1,j Z m z i,j+1 (c) (b) i+1,j+1 Hình Sơ đồ sai phân a - Mơ hình kh i đất tính tốn; b c - L ới sai phân kích th ớc l ới Sơ đồ tính dƣới dạng đối xứng sơ đồ lƣới sai phân có dạng nhƣ hình Số thứ tự nút lƣới sai phân theo trục oz thay đổi khoảng 1m theo trục ox 1n ( n0 - nút khoảng  n ) Điều kiện biên toán trạng thái ứng suất nút cạnh dƣới, cạnh hai bên lƣới, cụ thể nhƣ sau: + Tại mặt khối đất: nút không chịu tác dụng tải trọng: có ẩn số x z=0 xz=zx=0 12 + Các nút chịu tác dụng tải trọng: có ẩn số x z= p xz=zx = + Ứng suất nút biên lại chƣa biết Nhƣ vậy, để giải đƣợc tốn phải xác định sơ đồ sai phân cho ứng suất nút biên nằm phƣơng trình cân hàm mục tiêu Trên nguyên tắc đó, ô lƣới ta viết phƣơng trình cân cho điểm ô lƣới (điểm nằm ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018 nút ô lƣới) sơ đồ sai phân đƣợc sử dụng toán sai phân trung tâm Do điều kiện biên toán ứng suất nút biên với cách chọn sơ đồ sai phân nhƣ trên, ta mở rộng khối đất theo phƣơng ngang theo chiều sâu đến vô hạn   x(i 1, j 1)   x(i , j 1)  x(i 1, j )   x(i , j )    2  Phƣơng trình cân hàm mục tiêu: Xét ô lƣới đƣợc xác định nút: (i,j), (i,j+1), (i+1,j), (i+1,j+1) Phƣơng trình cân đƣợc viết cho điểm nằm nút lƣới nên phƣơng trình (1) (2) có dạng:   xz   z  (6)   xz(i 1, j 1)   xz(i 1, j )  xz(i , j 1)   xz(i , j )    xz  0;    x 2   ( i 1, j 1) ( i 1, j ) ( i , j 1) (i , j )  z  z   z    xz   z 2   z   xz(i 1, j 1)   xz(i , j 1)  xz(i 1, j )   xz(i , j )    xz  xz     x 2   Điều kiện đất chịu nén (3) nút lƣới là:  x(i , j )   zi , j  (7) (8) Để có hàm mục tiêu (4) dƣới dạng sai phân, ta lƣu ý ứng suất tiếp  max ứng suất pháp  tƣơng ứng điểm xét đƣợc xác định toán phẳng nhƣ sau:  3  3 ; (9)  max  2  z  1,3   x    z    x    xz    (10) Khi đó, biểu thức hàm mục tiêu (4) đƣợc biểu diễn theo sai phân có dạng:    x(i, j)   z(i, j)  (i , j )     xz   dx dz    (11)  max xz S G    i j G     Mô đun trƣợt G có hàm mục tiêu (11) (khơng có điều kiện ràng buộc) Về mặt toán học G hệ số bình quân gia quyền Về mặt học, tính tốn, tác giả xét hai trƣờng hợp G=const Với điều kiện bền Mohr-Coulomb (5), thay (10) vào (9), sau vào (5), ta đƣợc: f (k )  ( x   z ) (   z )   xz2  x sin   c cos   Nhƣ vậy, theo sai phân hữu hạn, tốn tìm tải trọng giới hạn đất toán quy hoạch phi tuyến với hàm mục tiêu (11), ràng buộc (6), (7), (8) điều kiện bền MohrCoulomb (12) Để giải tốn trên, sử dụng phƣơng pháp giải toán quy hoạch ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018 (12) phi tuyến khác Ở đây, tác giả sử dụng hàm fmincon có sẵn phần mềm MATLAB chọn phƣơng pháp thử dần 2.2 Lập trình xác định tải trọng giới hạn MATLAB Sử dụng toán đặt trên, xét trƣờng 13 hợp c≠0; =0, =0, tác giả tiến hành giải với lƣới sai phân có kích thƣớc m=8, n=15 nhận đƣợc kết ứng với trƣờng hợp tác dụng tải khác đất nhƣ dƣới  Với giá trị áp lực tải trọng p