Nghiên cứu bài toán động lực học của hệ thanh bằng phương pháp nguyên lý cực trị gauss

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN MẠNH CƯỜNG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ THANH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH HÀ HUY CƯƠNG Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tên tơi là: Nguyễn Mạnh Cường Sinh ngày: 31/01/1985 Nơi công tác: Thành phố Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Hải Phòng, ngày 19 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Mạnh Cường ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Hà Huy Cương ý tưởng khoa học độc đáo, bảo sâu sắc nghiên cứu toán động lực học hệ phương pháp nguyên lý cực trị Gauss chia sẻ kiến thức học, toán học uyên bác Giáo sư Giáo sư tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hồn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hồn thành luận văn Hải Phòng, ngày 19 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Mạnh Cường iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu đề tài: Giới hạn nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: CHƯƠNG - BÀI TỐN ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH 1.1 Đặc trưng toán động lực học: 1.1.1 Lực cản: 1.1.2 Đặc trưng động hệ dao động tuyến tính: 1.2 Dao động tuần hoàn - Dao động điểu hòa: 1.2.1 Dao động tuần hoàn: 1.2.2 Dao động điều hòa 1.3 Các phương pháp để xây dựng phương trình chuyển động: 1.3.1 Phương pháp tĩnh động học: 1.3.2 Phương pháp lượng: 1.3.3 Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo: 1.3.4 Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2): 1.3.5 Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamiỉton: 1.4 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do: 10 1.4.1 Dao động tự do: 10 1.4.1.1 Các tần số riêng dạng dao động riêng: 10 1.4.1.2 Giải toán riêng (eigen problem): 12 1.4.1.3 Tính chất trực giao dạng - Dạng chuẩn: 13 iv 1.4.2 Dao động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự do: 14 1.4.2.1 Phương pháp khai triển theo dạng riêng: 14 1.4.2.2 Trình tự tính tốn hệ dao động cưỡng bức: 15 1.4.2.3 Dao đơng hệ chiu tải trons điềĩUiồ 16 1.5 Các phương pháp tính gần động lực học cơng trình: 17 1.5.1 Phương pháp lượng (phương pháp Rayleigh): 18 1.5.2 Phương pháp Bupnop - Galoockin: 18 1.5.3 Phương pháp Lagrange - Ritz: 19 1.5.4 Phương pháp thay khối lượng: 20 1.5.5 Phương phấp khối lượng tương đương: 20 1.5.6 Các phương pháp sô'trong động ỉực học công trình: 20 1.5.6.1 Phương pháp sai phân: 20 5.6.2 Phương pháp phần tử hữu hạn: 20 1.5.6.3 Phương pháp tích phân trực tiếp: 21 1.6 Một số nhận xét: 22 CHƯƠNG - NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS (NGUYÊN LÝ CƯỠNG BỨC NHỎ NHẤT) - ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHO CÁC BÀI TỐN ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH 23 2.1.Nguyên lý cực trị Gauss (nguyên lý cưỡng nhỏ nhất): 23 2.2 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán học kết cấu: 24 2.2.1 Bài toán dầm chịu uốn tuý: 24 2.2.2 Bài toán dầm phẳng: 26 CHƯƠNG TÍNH TỐN DAO ĐỘNG CỦA KHUNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 27 3.1 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán động lực học: 27 3.1.1 Bài toán dầm chịu uốn túy: 27 v 3.1.2 Bài toán dầm phẳng: 28 3.2 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân dao động cho thẳng: 28 3.3 Các bước thực tìm tần số dao dộng riêng dạng dao động riêng phương pháp nguyên lýcực trị Gauss 29 3.4 Xác định tần số dao động riêng thông qua dạng dao động riêng: 32 3.5 Một số kết luận nhận xét: 32 3.6 Các ví dụ tính tốn 33 3.6.1 Ví dụ 34 3.6.2 Ví dụ 37 3.6.3 Ví dụ 40 3.7 Tìm tần số dao động riêng từ dạng dao động riêng: 41 3.7.1 Ví dụ 41 3.7.2 Ví dụ 44 3.8 Bài toán dao động cướng hệ hữu hạn bậc tự do: 48 3.8.1 Ví dụ: 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong thực tế, phần lớn cơng trình xây dựng chịu tác dụng tải trọng động (đặc biệt cơng trình qn sự).Việc tính tốn thiết kế cơng trình nói chung (nhất cơng trình cao tầng) khơng phải đảm bảo điều kiện bền, cứng, ổn định mà không phần quan trọng phải phân tích phản ứng cơng trình chịu ngun nhân tác dụng động (gió bão, động đất ) Ví dụ cơng trình biển thường xun chịu tác động sóng gió, tải trọng gây nên kết cấu ứng suất thay đổi theo thời gian Việc nghiên cứu động lực học cơng trình nghiên cứu phản ứng cơng trình chịu tải trọng động Bài tốn động lực học cơng trình xác định tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, chuyển vị động, nội lực động cơng trình Từ đó, kiểm tra điều kiện bền, điều kiện cứng khả xảy cộng hưởng, nghiên cứu biện pháp giảm chấn biện pháp tránh cộng hưởng Ngồi ra, tốn động lực học cơng trình sở cho việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực chuyên sâu khác như: + Đánh giá chất lượng công trình phương pháp động lực học (ngay cơng trình chịu tải trọng tĩnh) + Bài tốn đánh giá tuổi thọ cơng trình + Bài tốn đánh giá khả chịu mỏi cơng trình + Bài tốn ổn định động cơng trình Có nhiều phương pháp giải tốn động lực học cơng trình Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải phương pháp có ưu điểm là: tìm lời giải tốn sở so sánh cách có điều kiện với lòi giải tốn khác nên cách nhìn tốn đơn giản Đặc biệt, ngun lý cực trị Gauss tỏ thuận tiện giải toán động lực học vật rắn biến dạng nguyên lý đề cập đến động thái Mặt khác, giáo viên môn học cơng trình nên việc tác giả luận văn tìm hiểu nguyên lý cực trị Gauss vận dụng phương pháp hồn tồn mói việc tìm lòi giải toán động lực học điều cần thiết Mục đích nghiên cứu đề tài: - Tìm hiểu phương pháp giải toán động lực học biết - Tìm hiểu sở lý luận, đặc điểm phương pháp nguyên lý cực trị Gauss - ứng dụng phương pháp cho toán động lực học cơng trình Giới hạn nghiên cứu: áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải số tốn động lực học cơng trình (bài tốn đàn hồi tuyến tính, tải trọng tác động tải trọng điều hoà) Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu mặt lý thuyết - Sử dụng kiến thức lý thuyết phần mềm tin học để tính tốn ví dụ CHƯƠNG - BÀI TỐN ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH Thuật ngữ "động” hiểu đơn giản biến đổi theo thời gian [19, tr.l] Vậy tải trọng động tải trọng mà độ lớn, hướng vị trí thay đổi theo thời gian Trong q trình đó, khối lượng cơng trình truyền gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt khối lượng Lực qn tính tác dụng lên cơng trình gây tượng dao động Dao động biểu thị dạng chuyển vị kết cấu Việc tính tốn cơng trình có xét đến lực qn tính xuất trình dao động gọi giải tốn dao động cơng trình [10, tr.7] Phản ứng kết cấu tải trọng động, nghĩa ứng suất độ võng xuất đó, động (biến thiên theo thời gian) Nói chung, phản ứng kết cấu đối vói tải trọng động biểu diễn thông qua chuyển vị kết cấu Các đại lượng phản ứng khác có liên quan nội lực, ứng suất, biến dạng xác định sau có phân bố chuyển vị hệ Đơi khi, việc giải tốn động lực học cơng trình tiến hành việc đưa vào hệ số động Khi đó, nội lực, chuyển vị tham số hệ tính tốn thơng qua hệ số động với kết tính tốn tĩnh Tất đại lượng giá trị cực đại ứng với thời điểm xác định, khơng phải hàm theo biến thòi gian 1.1 Đặc trưng toán động lực học: Tải trọng thay đổi theo thời gian nên trạng thái ứng suất - biến dạng hệ thay đổi theo thời gian Do đó, tốn động khơng có nghiệm chung tốn tĩnh Vì vậy, tốn động phức tạp khó khăn nhiều so với toán tĩnh Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính điểm khác biệt toán động lực học so với tốn tĩnh Ngồi ra, việc xét đến ảnh hưởng lực cản đặc trưng phân biệt hai toán 1.1.1 Lực cản: Trong tính tốn, đơi khơng xét đến ảnh hưởng lực cản lực cản ln ln có mặt tham gia vào trình chuyển động hệ Lực cản xuất nhiều nguyên nhân khác ảnh hưởng chúng đến trình dao động phức tạp Trong tính tốn, đưa giả thiết khác lực cản, phù hợp với điều kiện thực tế định Trong đa số tốn dao động cơng trình, ta thường sử dụng mơ hình vật liệu biến dạng đàn nhớt (ma sát nhớt) nhà học người Đức W.Voigt kiến nghị: xem lực cản tỷ lệ bậc vái vận tốc dao động Công thức lực cản: Pc = Cy với c hệ số tắt dần Ngoài đưa số giả thiết sau: * Lực cản theo giả thiết Xôrôkin: giả thiết lực cản phi đàn hồi Lực cản phi đàn hồi lực cản tính đến tiêu hao lượng hệ, biểu thị việc làm tổn thất trễ lượng biến dạng trình dao động Nó khơng phụ thuộc vào tốc độ biến dạng mà phụ thuộc vào giá trị biến dạng.Trong đó, quan hệ biến dạng chung (độ võng, góc xoay) với tải trọng ngồi quan hệ phi tuyến Công thức lực cản: Pc= i  Pđ 2 Pđ lực đàn hồi; P hệ số tiêu hao lượng [Lực đàn hồi (hay lực phục hồi) xuất tách hệ khỏi vị trí cân có xu hướng đưa hệ vị trí cân ban đầu, tương ứng phụ thuộc vào chuyển vị động hệ: Pđ = P(y) Ở hệ đàn hồi tuyến tính: Pđ - ky với k hệ sổ cứng (lực gây chuyển vị đơn vị)] *Lực cản ma sát khô Couiomb (Fms): tỷ lệ vói áp lực vng góc N có phương ngược với chiều chuyển động 4   nt  nt  = EJ x sin t    n an sin dz  dz  sin t  f qt   an sin 1    n 1 n 1   (3.20) Ta thấy:  sin  sin nt dz  với n = 1,2,3 ) m sin n cos m sin m  = nt mz sin dz  1 n2  m2   (Với n≠m) (3.21) Khai triển (3.19) dựa vào kết (3.20), (3.21), nhận biểu thức sau: 4    nz  Z= EJ x sin t  n4an2  sin t.  f qt  an sin dz n 1  i 1 0 Cho Z -> min, hay: z  với n= (1-  ) nhận hệ gồm n phương a n trình Ứng với giá trị n, ta có phương trình: nz   EJ x sin t 2n4 an  sin t.  f qt sin dz  0 4 (3.22) Thay fqt vào (3.42): EJ x EJ x 4 4 1 sin t 2n4a n 2m sin t  an sin 2 nz dz  1 t 2n a n 2m sin t an  n 2 -> n  12 EJ m 3.7 Tìm tần số dao động riêng từ dạng dao động riêng: 3.7.1 Ví dụ Cho dầm đơn giản có độ cứng EJ=const, hai khối lượng m1=m2 =m đặt vị trí hình vẽ (3.15) Bỏ qua khối lượng dầm Tìm tần số dao động riêng dầm 41 Hình 3.15 Lời giải: Viết biểu thức đường độ vòng cho đoạn dạng đa thức sau:       y1=   z i  sin t ; y2=   bi z i  sin t ; y3 =   cn z n  sin t  i 1   j 1  n0   (Với  z  ) (3.23) Từ tốn tính ta thấy: + Trường hợp (a): Dạng động riêng thứ thể hình vẽ (3.8) Các khối lượng m1 m2 có chuyển vị chiều có trị số Vậy tỉ số chuyển vị Tần số dao động riêng 1 Hình 3.8 Chọn dầm so sánh giống dầm cho khơng có liên kết Từ có điều kiện ràng buộc: g1= y 3( z  )  ; g2 = y 1( z  )  y ( z  )  ; g3 = y1 z z  y =0 z z  g4=y  1 2 z    3  y3 z    0; g  y3 z z  y z z 0 0 ( 3.24) Các điều kiện ràng buộc ( 3.24) điều kiện biên ( 3.23) Ngoài ra, ta biết khối lượng m1 có chuyển vị khối lượng m2 có chuyển vị 42  y    g  y     1 z    1 z     3    y2 z   1  g  y2 z      3   3  Lượng cưỡng viết sau: 3 Y Z=   EJ   V2 dz  F1qt y1(1 / 3,t )   k g k  Z  v 1 (3.25) k 1 Cho Z -> min, ta có hệ phương trình: z z z  0;  0;  0; ai cn b j z Z  0; 0 cn  k (i=1÷4; j = ÷ 4; n = ÷ 4; k = ÷ 7) (3.26) Sau tìm cực trị phím hàm Z theo hệ số bj, ta thay: F1qt  m12 y 1( z  ) ; F2qt  m12 y 2( z  ) vào phương trình (3.26) Giải hệ phương trình (3.26) Từ kết tính tốn có được: 6  7   5m1213  162 EJ 5l3 6 =0 => 1   (3.27) 162EJ 5ml + Trường hợp (b): Dạng động riêng thứ hai thể hình vẽ (3.9) Các khối lượng m1 m2 chuyển vị ngược chiều có trị số -1 Tần số dao động riêng 2 Hình 3.9 Với bước làm tương tự trường hợp (a) điều kiện ràng buộc viết lại sau: y 1 g6  y 1  y  1 g7  y 1  1( z  ) 1( z  ) 1( z  ) 2( z  ) 43 Từ kết tính tốn ta có được: 2.(m22l  486 EJ) 6  7  l3 6   2  (3.28) 486EJ ml * Nhận xét: biểu thức (3.48) (3.49) phương trình bậc  Trong biểu thức (3.7) ví dụ (3.1.1) lại phương trình bậc  Vậy, phương pháp có cách nhìn cách làm đơn giản 3.7.2 Ví dụ Cho dầm đơn giản có độ cứng EJ = const, khối lượng m1 = m2 = m3 = m đặt vị trí hình vẽ (3.18) Bỏ qua khối lượng dầm Tìm tần số giao động riêng dầm Hình 3.10 Lời giải: * Xét toán tĩnh: Viết biểu thức đàn hồi cho đoạn dạng đa thức sau: y1  ( z i ); i 1 4 y2  ( b j z j ); y3  ( cn z n ); n 0 j 0 y4  ( d m z m ); (3.29) m 1 Trong đó, đoạn 1,2 đoạn có gốc toạ độ A,C D Còn đoạn có gốc toạ độ B Với việc chọn gốc toạ độ trên, đường độ võng đoạn thoả mãn điều kiện biên gối liên kết: gối A B khơng có chuyển vị đứng Chọn hệ so sánh giống dầm cho khơng có liên kết Điều kiện biên viết cho đoạn điều kiện ràng buộc sau: g1  y 1( z  ) g2  y 2( z  )  y2 ( z 2 )  ;  y3 ( z 0 )  ; g2  g4  dy1 dz dy2 dz  z  z dy2 dz z 0 dy3 dz z 0 0 0 44 g3  y 3( z  ) y 4( z  ) 0 ; g6  dy3 dz  z dy4 dz 0 (3.30) z 0 - Trường hợp (a): Dạng dao động hệ hình (3.11) Vậy, lực tập trung P = đặt vị trí có khối lượng hình vẽ Hình 3.11 Lượng cưỡng viết sau: Z=  i 1  d yi    EJ dz  y  y  y  k gk  x 1     0  dz  3( z  ) 1 z   2 z   k 1  4  4 n 1/ (3.31) Cho Z -> min, ta có hệ phương trình: Z Z Z Z 0 ; 0 ; 0 ;  0; cn ai d m b j Z 0  k (3.32) i   4; j   4; n   4; m   4; k   6 Từ nhận kết quả: a1  5l  9l  7l ; a2  0; a3  ; a4  0; b0  ; b1  32 EJ EJ 256 EJ 64 EJ b2  3l  19l ; b3  ; b4  0; c0  ; c1  0; c2  ; 16 EJ 12 EJ 384 EJ EJ c3  1 ; c4  12 EJ Phương trình đường đàn hồi dầm: y1 z    5l z z 32 EJ EJ y2  z    9l 7l 3l  z z  z3 256 EJ 64 EJ 16 EJ 12 EJ y3 z    19l  z  z3 384 EJ EJ 12 EJ Chuyển vị điểm C, D, E: 45 yc  y  1 1 z    4  9l 19l  9l  ; yD  y3 z 0    ;y  256EJ 384 EJ 3 z  14  256 EJ Vậy ta có tỉ số chuyển vị vị trí đặt khối lượng Nếu m1 m3 có chuyển vị = m2 có chuyển vị = 1,41 Ta có dạng dao động riêng thứ ứng với tần số dao động riêng ω1 - Trường hợp (b) Dạng dao động hệ hình (3.12) Các lực tập trung P = đặt vị trí có khối lượng hình vẽ Như chuyển vị khối lượng m1 m3 Hình 3.12 Còn khối lượng m2 khơng có chuyển vị - Trường hợp (c) Dạng dao động hệ hình (3.13) Như vậy, lực tập trung P đặt hình vẽ Hình 3.13 Khi khơng kể đến ảnh hưởng lực cắt, lượng cưỡng viết sau:    d yi   y   2y   E J dz  y   k g k   1  1 0 x  dz   2 z    1 z   3 z   k  4        n 1/ Z  i 1 (3.33) Biểu thức (3.33) hoàn toàn giống (3.31) nên ta có tỉ số chuyển vị khối lượng hình (3.13) * Xét tốn động: Viết biểu thức đường độ võng cho đoạn dạng đa thức sau:   y1    z i  sin t ;  i1    y3    cn z n  sin t ;  n 0    y2    b j z j  sin t;  j 0    y4    d m z m  sin t ; (3.34)  m1  46 Chọn hệ so sánh giống dầm cho khơng có liên kết Điều kiện biên viết cho đoạn điều kiện ràng buộc sau: g1  y1 z 1/   y2 z 0   0; g  g  y2 z 1/   y3 z 0   0; g  y1 z  z y2 z y2 z  z g  y3 z 1/   y4 z 0   0; g  y3 z y3 z  0; z 0  0; z 0  z y4 z  0; (3.35) z 0 Khi không kể ảnh hưởng đến lực cắt, lượng cưỡng viết sau:  2 y  Z    EJ x  2v  dz  F1qt y   2 F2qt y    F3qt y     k g k 1 ' t  2 ' t  3 ' t  v1 k 1  Z  4  4  4  1/ (3.36) Các điều kiện ràng buộc (3.35) điều kiện biên (3.34) Ngoài ra, ta biết tỉ lệ chuyển vị khối lượng m1, m2, m3 Từ đó, có thêm ba điều kiện ràng buộc: * Trường hợp (a): g7  y 1( z  )   ; g8  y 2( z  )  1,41  ; g  y 3( z  ) 1  (3.37) Thay (3.34), (3.35), (3.37) vào (3.36), nhận biểu thức lượng cưỡng Z Cho Z -> , ta có hệ phương trình: Z Z Z Z Z 0 ; 0 ; 0 ; 0 0 ; ai cn d m  k b j (i   ; j   ; n   ; m  1 ; k  1 9) (3.38) Sau tìm cực trị phím hàm Z theo thành phần bản, ta thay: F1qt  m y   1 , t    ; F2qt  m y 1  2 , t  4  ; F3qt  m y   3 , t  4  vào phương trình (3.38) Giải hệ phương trình tuyến (3.38) Từ kết tính tốn, nhận được: 6  7  8 47 6     1  4,94 EJ ml * Trường hợp (b): g7  y  1 1 z    4   ; g8  y  1 2 z    4  ; g9  y  1 3 z    4 1  (3.39) Thay (3.34), (3.35), (3.39) vào (3.37) nhận biểu thức lực cưỡng Z Các bước tiến hành giống trường hợp (a) , Từ kết tính tốn nhận được: 7  9 ; 8  7     2  19,6 EJ ml * Trường hợp (c): g7  y 1( z  )   ; g8  y 2( z  )  1,41  ; g  y 3( z  ) 1  (3.40) Thay (3.34), (3.35), (3.39) vào (3.36), nhận biểu thức lượng cưỡng Z Từ kết qủa tính tốn, nhận được: 7  8  9 7     3  41,6 EJ ml 3.8 Bài toán dao động cướng hệ hữu hạn bậc tự do: 3.8.1 Ví dụ: Cho dầm đàn hồi mang hai khối lượng tập trung m1 = m = 1800kg ; m2 = 2m (bỏ qua khối lượng dầm) Dầm có EJ = 150.106 Nm2, chiều dài l = 12(m) Tác dụng lên khối lượng m1 lực điều hồ có biên độ P=18KN, tần số vòng r=108 (s-1) Hãy xác định chuyển vị nội lực động dầm Lời giải: * Xác định tần số riêng dạng dao động riêng: Viết biểu thức đường độ vòng cho đoạn dạng đa thức sau: 48       y1    z i  sin t ; y2    b j z j  sin t ; y3    an z n  sin t  i1   n1   j 1  (3.41) Các điều kiện ràng buộc: g1  y 3( z  ) g4  y 2( z  )  : g2  y 1( z  )  y3( z 0)   y2( z 0)  ; g  ; g5  y2 z  z y3 z y1 z  z y2 z ; g6  y z 0 ; z 0 1( z  ) 1  (3.42) Chọn hệ so sánh giống dầm cho khơng có liên kết Lượng cưỡng viết sau: 2 1/ 1/  2 y    y1    y2  Z=  EJ x   dz   EJ x   dz   EJ x  23  dz + F1qt y1(1/ 4't ) 2 F2qt y 2(1/ 2't )  k g k (3.43) k 1  z   z   z  0 1/ Cho Z -> , ta có hệ phương trình: Z Z Z Z 0 ; 0 ; 0 0 ; ai cn  k b j (3.44) (i   ; j   ; n   ; k  1 6) Sau tìm cực trị phím Z theo hệ số bj, ta thay: F1qt  m1 y1(1/ 4, y )  m y1(1/ 4,t ) ; F2qt  m2 y2(1/ 2,t )  2m y2(1/ 2,t ) vào phương trình (3.35) Giải hệ phương trình tuyến tính (3.35), xác định hệ số chưa biết ai, bj, cn phân tử Lagrange k Từ kết tính tốn ta có được, cho 6  , có kết sau: 1  6mlEJ(27 - 473) EJ  5,613 ml ml 1  6mlEJ(27  473) EJ  17,102 ml ml Thay giá trị ai, bj, cn tìm vào (3.41) ta có: khối lượng m1 dao động với biên độ khối lượng m2 dao động với biên độ 49  24EJ - m 2l  1     - 108EJ  m l  Thay giá trị EJ, m l cho, ta có: 38,98 Vecto tần số dao động riêng:   118 (s-1) , 76  Ma trận dạng chính: 1    1,099  0,455 Chuẩn hoá dạng dao động riêng theo (1.11): + Tính hệ số a1: m 0 a1 = 1T M1  1 1,099   2m  1  1,099 = 3,4156m    a1  1,8481 m a02   2T M  = 1  m  1   0,455     = 1,41405m 0 2m   0,455  a2  1,891 m + Dạng chuẩn xác định: 1, ch  1  0,5411 1 1,099  0,5946 1,8481 m     m 2, ch  1  0,8946  1  0,455   0,3826 1,1891 m     m Ma trận dạng chuẩn: 0,5411 ch   0,5946 0,8409   0,3826  m * Xác định tải trọng khai triển theo dạng riêng : Dựa vào ( 1.14), ta có: P1= 1T,ch PM1,ch = 0,5411 0,5946 m   P   m  0,5411 0,707    P    0  0 2m  0,5946 m 0,644 P2= 2T,ch PM2,ch 50 = 0,5411 0,5946 m 0,293 0,644 Vậy Pkh=    P  m  0,8409  0,707  =     P  0  0 2m   0,3826 m  0,644 0,707  P  0,644 Tải trọng khai triển theo dạng riêng thể hình (3.23) * Xác định chuyển vị động hệ; Các phần tử ma trận hệ số ảnh hưởng động học tính theo (1.17): Kai (t) = i t  sin r sin  sin  (t   )d  i i sin rt i2 Hình 3.23 Ma trận hệ số ảnh hưởng động học sau:  9,8575 10 5 sin rt Kai (t) =   40,9846  Chuyển vị hệ tính theo (1.18): 1 Y(t)=M PkhKai(t) = m  0 0 0,293 0,707    P 0,644  0,644 2 26,0879  8,453  -1  9,8575 5 40,9846 10 sin rt   5 =   mP.10 sin rt   5,304 sin rt (mm)  16 , 3712     * Xác định lực đàn hồi: t Theo (1.20) ta có: Ki(t) = i  sin r sin  i (t   )d   i2 sin rt ( 3.45)  i2  r Thay giá trị  i r vào ( 3.45) nhận ma trận:  14,98 Ki(t) =  10 2 sin rt  578,04   Lực đàn hồi ước tính theo (1.21): 0,293 Pd = PkhKi(t) =  0,644 0,707   14,98 4,043  P 10 2 sin rt =     P sin rt  0,644 578,04   3,819 51 * Xác định nội lực động: Từ biểu đồ hình ( 3.24), MA P = đặt A B gây là: MA,1 = 31/16 MA,2 = 1/16 Mômen uốn A: 31  4,043  MA(t) =    P sin rt 16 16   3,819 = 112,185 sin rt (KNm) Mômen uốn B: MB(t) =  31  16 16  4,043   3,819 P sin rt   = - 100,089 sin rt ( KNm) Biểu đồ mơnmen động hình (3.25) 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ * Kết luận: Tác giả xây dựng bước tiến hành để xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng hệ dao động Khi sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss vào toán động lực học, tìm tần số riêng dạng dao động riêng hệ Bằng việc tìm hiểu áp dụng tính tốn cho tốn cụ thể hệ dầm, khung có số bậc tự vơ số bậc tự có liên kết khác nhau, tác giả chứng tỏ đắn hiệu phương pháp Các kết nhận phù hợp với kết có giải phương pháp khác Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng đưa lời giải cho toán động tốn tĩnh, có cách nhìn đơn giản tỏ có hiệu tốn động lực học * Kiến nghị: Có thể sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss phương pháp giảng dạy học tập, nghiên cứu Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss mở hướng thực nghiệm, thay thí nghiệm cấu kiện (hệ cho) tiến hành thí nghiệm cấu kiện khác (hệ so sánh) Việc cực tiểu hoá lượng cưỡng cho phép đến kết thí nghiệm cấu kiện phải xét 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Đình Ba, Nguyễn Văn Hội, G i o t r ì n h đ ộ n g l ự c h ọ c c n g trình, Học viện kỹ thuật quân sự, Hà nội, 1994 [2] Hà Huy Cương, Phương pháp nguyên lý cực Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/2005 Tr 112-118 [3] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyếtNhà xuất Xây dựng, Hà nội, 1999 [4] Trần Thị Kim Huế, Phương pháp nguyên lí cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Hà nội, 2005 [5] Nguyên Văn Khang, Dao động kỹ thuật, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội, 1998 [6] Nguyễn Xn Hùng, Động lực học cơng trình biển, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà nội, 1999 [7] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi, Sức bền vật Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà nội, 2002 [8] Nguyễn Văn Liên, Đinh Trọng Bằng, Nguyễn Phương Thành, Sức bền vật liệu, Nhà xuất Xây dựng, Hà nội, 2003 [9] Nguyên Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, xử lý động để xác định dao động cơng trình, Tạp chí Xây dựng, 11/2001 Tr 48 56 [10] Nguyễn Văn Phượng, Động lực học công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Hồng Như Sáu, Tính tốn kết cấu xây dựng phương pháp sai phân hữu hạn, biến phân hỗn hợp sai phân hữu hạn biến phân, Nhà xuất Xây dựng, Hà nội, 1982 [12] Nguyễn Phương Thành, Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sĩ khoa học, Hà nội, 2002 54 [13] Nguyễn Phương Thành, Nghiên cứu phản ứng động nhiều lớp có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Trung tâm Khoa học tự nhiên Công nghệ Quốc gia, Tập XXXI - 2001 - 2, Tr 48 - 56 [14] Lều Thọ Trình, Cơ học kết cấu, Tập I-hệ tĩnh định, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội, 2003 [15] Lều Thọ Trình, Cơ học kết cấu, Tập II- Hệ siêu tĩnh, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội, 2003 [16] Lều Thọ Trình, ổn đinh động lực học cơng trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [17] Nguyễn Văn Vượng, Lý thuyết đàn hồi ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội, 1999 [18] Bath K.J, Numerical methods in finite elements analysis, Prentice Hall, INC, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976 [19] William T.Thomson, Theory of Vibratỉon with Applications, Stanley Thornes [20] Ray W.Clough, Joseph Penzien, Dynamics of structures [21] Ha Huy Cuong, Nguyen Phuong Thanh, Application du principe d’ obligation minimale dans la résolution des problèmes de la mécanique des fluỉds, Structures and Interactions, Nha Trang, Vietnam August 14 - 18 2000, p 693 - 702 55 ... lý luận, đặc điểm phương pháp nguyên lý cực trị Gauss - ứng dụng phương pháp cho tốn động lực học cơng trình Giới hạn nghiên cứu: áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải số toán động. .. 2.2.2 Bài toán dầm phẳng: 26 CHƯƠNG TÍNH TỐN DAO ĐỘNG CỦA KHUNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 27 3.1 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải toán động lực học: ... NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS (NGUYÊN LÝ CƯỠNG BỨC NHỎ NHẤT) - ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHO CÁC BÀI TỐN ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH 2.1 .Nguyên lý cực trị Gauss (nguyên lý cưỡng nhỏ nhất): Nguyên lý nhà toán học