Khai thác một số bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học

Khái niệm về kh ng gian n... Tập đóng và tập mở trong kh ng gian metric Định ngh a 1.5... Khái niệm về hàm số nhiều bi n số... Chương 2 KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN TỪ

LỜI CẢM ƠN

T ự ự ô ự

ự T ố

ự

V

T – T S N

ể ố c quý báu cho chúng tôi ặ ệ ỏ TS N

V ố

ố ệ

B ự ể ĩ ự

D

ỏ ữ

ữ

ể ệ

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Đỗ Thị Huệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

=====***=====

ĐỖ THỊ HUỆ

KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN TỪ KHÍA CẠNH HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2014

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian Rn 3

1.1.1 K ệ Rn 3

1 1 C ẩ a vector trong không gian Rn .4

1.1.3 Ánh .6

1.2 Không gian metric 8

1 1 ị ĩ ố ụ 8

1.2.2 T e 11

1.2.3 Sự ụ e 14

1.2.4 T trong không gian metric 21

1.3 G ự ụ ố ố 26

1.3.1 K ệ ố ố 26

1.3.2.G .27

1.3.3.T ụ .30

1.4 ố .32

1.4.1 32

1.4.2 T e .35

1.4.3 Q .38

1.4.4 e .40

1.5 Công T 41

1 5 1 ặ 41

1.5.2 Công T 44

1 6 Cự ị .46

1 6 1 K ệ ự ị ố ố 46

1 6 ệ ể ố ự ị 47

1 7 Cự ị ệ 48

1.7.1 Bài toán cự ị ệ 48

1 7 P L e 50

C K AI T ÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ IỀU

KIỆN TỪ K ÍA CẠNH 53

2.1.H .54

1 1 K ể ẳ .55

2.1.2 K ể ng tròn 60

2.1.3 K ể elip 62

.64

1 1 K ể ặ ẳ .64

1 1 K ể ặ 72

1 1 K ể ặ e .74

K .77

T ệ .78

MỞ Đ U

1 L do chọn đề tài G T

G

ệ

T ĩ Ne – Le ố ự

T ố

ệ ữ ố T

C ẳ ị ệ ệ

ị e “ in i ”

ệ T P ệ

G C

T P ữ

T ự ể VII

ữ T

ữ ố ĩ ự ể

ặ T ĩ

ự ị ố

T ự ỏ T ố

ụ ụ ể ố ụ ỳ

V ự ị T

ể L e V T e

Khai thác một số bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình

học ể ố ệ ệ S

T

2 M c đích nghiên c u và nhiệm v nghiên c u

N ự ị ệ

3 Đối tư ng và phạm vi nghiên c u

N ự ị ệ

4 Phương pháp nghiên c u

T ệ ị

5 Dự ki n đóng góp c a đề tài

T ệ ố ệ

T L e ệ

ự ị ệ

T ố ự ị ệ

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian n

1.1.1 Khái niệm về kh ng gian n ệ n

(x y x).( y) x x 2 x y y y .

T ị ĩ ẩ ẳ S

n n

T e ệ (1.1) ể

( )

A x Ax (1.2)

N A m n ể

n m e (1.2) V ể

;

Ch ng minh ể ẳ x 0 V 0

x y ị

( , )x y x y

Không gian metric ( , ) ệ 1

Ví d 1.2 C ỳ X ữ

1 khi ( , )

1.2.2 Tập đóng và tập mở trong kh ng gian metric

Định ngh a 1.5 Cho không gian metric ( , )X ể a X ố

Ví d 1.5 K ( , )a b trong không gian metric 1

( )iv i o một h h h n á t p m à t p m

Ch ng minh P ( )i ể

nên n P ( )ii

X ĩ X

ỳ ể P ( )iii

T

G G i i ( 1,2, , )N ữ ỳ N

( )i T

ể 1 N i i x G G

x r T G i x G ( i i 1,2, , )N

( , )i B x r tâm x r i G L i r min{ , , , }r r1 2 r N

B x r( , ) B x r( , )i G ( i i 1,2, , )N D

1 ( , ) N i i B x r G ĩ G Định ngh a 1.7 T F trong không gian metric X

X F \

Định 1.2 Trong không gian metric X t t n

( )i oàn ộ h ng gi n à t p ng

( )ii p à t p ng

( )iii i o một h t á t p t p ng à ng

( )iv H p một h h h n á t p ng à t p ng

n k

n k

i i i

k i x x

N ự ụ e n ự ụ e

Định 1.3 Trong không gi n met i , một dã hội tụ hỉ một gi i

Định ngh a 1.10 G x n ể e (1)n n(2) n k( ) ố ặ

Định ngh a 1.14 T K trong không gian mtric X

ữ

B X e

ệ ể ụ X Không gian metric X

B đề 1.2 i t p ng t ong một h ng gi n met i omp t à một

( )iii i dã t ong X dã on hội tụ t ong ; X

( )iv X à à hoàn toàn gi i nội

Ch ng minh ( )i ( )ii G S X N S

ể ụ x X r 0 ( , )

1.3 Giới hạn và sự iên t c c a hàm số nhiều bi n số

1.3.1 Khái niệm về hàm số nhiều bi n số

Định ngh a 1.17 Cho S n Á f S:

ố ị S hay f ố n ố ị trên S

0 x S mà 0 x x0 thì ta có ( )

0

x y

x y

x y ẳ

2 2

12

x y

0

lim

x y

n N

x ệ i

x i(0);i 1,n e ự ể ệ

ệ ố

x y

K

1 1

k f x M Do K dãy con

1 1

( ) ( )

Định 1.14 (Cantor) N : f K à hàm iên tụ t ên t p omp t

K trong n thì f iên tụ t ên

h i t ên ho ng I sao cho vector x t x t1( ), ( ), , ( )2 x t n U i

2 3 3 2 2

grad ( )u M (y z ,2xyz , 3xy z ) ( 4, 4,12)

B ụ ,h k 0 ta

á o hàm iêng iên tụ n p m 1 t ên mi n m U n ho

i m a U à h à e to t ong n sao cho a t h U i m i .[0,1]

(0,1) B (1)F f a( h (0)) F f a ( )

ẳ

Hệ quả 1.3 ị ị Cho f à một hàm á nh

à á o hàm iêng iên tụ t ên mi n m U i a à b à á

i m t ong U sao ho o n th ng n i h i i m nà n m hoàn toàn t ong

U hi , t n t i i m c ( , )a b sao cho

( ) ( ) grad ( ).( )

Ch ng minh ( )F t f a t b a( ) ;t [0,1] D

m m

m k m k k

f a a

1.6.2 Điều kiện cần đ hàm số có cực trị

Định 1.20 (Fecmat) i hàm f xá nh t ên t p m U n và hàm h i t i i m x0 U N f t t phương t i x thì 0

grad ( , )f x y (sin , cos )y x y (0,0)

G ể ố

ể (0, )k k 1,2, N ữ ể

ể ể ự ị ị ố T 1,2,

1 2

1 2

min ( , , , )( )

( , , , ) 0

n n

N ệ ( , , , , )x x1 2 x n ệ ể nghi

ự ị ( , , , , )x x1 2 x n

2

Chương 2 KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN TỪ KHÍA CẠNH HÌNH HỌC

( , , ) 2 0

x y

Bài toán 4 T ự ị ố

u x y x m y n ( ) P

2.1.2 Khoảng cách từ một đi m tới đường tròn

Bài toán 5 T ự ị ố

x y

nên

x y z

ặ ể O(0, 0, 0) ặ ẳ ( ) :P x y z 1 Dĩ ự

x y z

x y z

2 2

2( , , , ) 2 0

2( , , , ) 2 0

b z

D ự ỏ ữ

V ữ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I,

Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000

[2] W Rudin, Principle of Mathematical Analysis, McGraw - Hill Book

Company, New York, 1964