Khai thác một số bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học

T TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI LỜI CẢMTỐN ƠN KHOA =====***===== ự ự ự ự T ố ự ĐỖ THỊ HUỆ V T –T S N ể ặ V B ệ ố c quý báu cho ỏ TS N KHAI THÁC MỘT SỐ ốBÀI TỐN ệ CỰC TRỊ CĨ ĐIỀUố KIỆN TỪ ự ể ĩ ự KHÍA CẠNH HÌNH HỌC D ỏ ữ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ữ ể Chuyên ngành: Toán giải tích ệ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Hà Nội, tháng năm 2014 TS NGUYỄN VĂN HÀO Sinh viên Đỗ Thị Huệ HÀ NỘI, 2014 LỜI CAM ĐOAN T ự ố TS N V ệ “Khai thác số tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học” ỳ khác N ị ệ ! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Huệ MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Rn 11 C Rn ệ 1.1.1 K a vector không gian Rn ẩ 1.1.3 Ánh .6 1.2 Không gian metric 1 ị ĩ ố ụ 1.2.2 T e 1.2.3 Sự ụ e 1.2.4 T 11 14 không gian metric 21 1.3 G ự 1.3.1 K ụ ệ ố ố ố 26 ố 26 1.3.2.G 27 ụ 1.3.3.T .30 ố 1.4 1.4.1 32 32 1.4.2 T e .35 1.4.3 Q 38 e 1.4.4 40 T 1.5 Công 41 151 ặ 41 T 1.5.2 Công Cự ị 46 161 K ệ 16 ệ Cự P ự ị 1.7.1 Bài toán cự 17 .44 ị ố ể ố ố 46 ự ị .47 ệ 48 ị ệ 48 L e 50 C K AI T ÁC MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ IỀU KIỆN TỪ K ÍA CẠNH .53 2.1.H 54 11 K ể ẳ 55 2.1.2 K ể ng tròn 60 2.1.3 K ể elip 62 .64 11 K ể ặ ẳ 64 11 K ể ặ .72 11 K ể ặ e K T 74 .77 ệ 78 MỞ Đ U L chọn đề tài G T G ệ T ĩ Ne – Le ố ự T ố ệ ữ ố C ẳ ị e “ ệ in i ị T ệ C P VII T ữ ố ĩ ặ ị ữ ể ữ ự ự ể T ĩ ố T ự ỏ T ụ V ệ P T ự ệ ” G T T ụ ự ể ố ố ụ ỳ ị T ể L T e V e Khai thác số tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học ể ố ệ ệ S T M c đích nghiên c u nhiệm v nghiên c u N ự ị ệ Đối tƣ ng phạm vi nghiên c u N ự ị ệ Phƣơng pháp nghiên c u T ệ ị Dự ki n đóng góp c a đề tài T ệ ố ệ T L ự T ị e ệ ố ự ị ệ ệ Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ n 1.1 Không gian 1.1.1 Khái niệm kh ng gian n ố x n Trên n ệ ự ự (x1, x 2, , xn ) : xi ;i 1,2, , n ị n ( ) P x x y (x1 y1, x n (x1, x 2, , xn ) y2, , xn y yn ), n (y1, y2, , yn ) n ( ) P x x ể gian vector n M Trong không gian không gian vector e1 n ể i ố n n Trên không gian vector ể (0, 0, , 0) ố (0,1, 0, , 0); ;en C (0, , 0,1) n e (x1, x 2, , xn ) y ị (y1, y2, , yn ) ặ ể e (1, 0, , 0);e2 x n n ố xi e ( x1, x 2, , xn ) , (x1, x 2, , xn ) K ố n x x y T x1.y1 x 2.y2 n e x.y x n yn y.x; n x, y x (y.z ) (x.y).z; (x y) ( x )y; ố n x, y, z n x, y x x x.x x.(y z) x y x z; Hai vector x y ị x y x1.y1 ố x x 2.y2 xn yn ố ẩ (i ) (ii ) x (x1, x 2, , xn ) ị x Mệnh đề 1.1 x e x ệ n 1.1.2 Chuẩn c a vector kh ng gian Định ngh a 1.1 C n x, y, z x12 x x i x x 22 x n2 n ector x, y x y x y Ch ng minh (i ) T x 2 ( x ).( x ) T (ii ) T (x x ) 2 x t n (x T ị x ĩ y y).(x y) ẩ x x x 2x y ẳ 2x y y y.y S x 2x y y x y L x B đề 1.1 S V y x e x, y x y x Ch ng minh V x y ).(xt ể y) ố t t ụ x 2t T e ẳ ĩ (xt Á n x y th ị y 2xyt y2 ị (x y )2 L x 2y ẳ D ẳ ể n i n x i yi i x i2 n i yi2 1.1.3 Ánh n tính A: Định ngh a 1.2 P ỏ (i ) A(x y) n m ệ sau A(x ) A(y); x, y n ; T (ii ) A( x ) x G A(x ); n x (x1, x 2, , xn ) n e K x ể e x x1(1, 0, , 0) x1e1 x 2e2 ệ (i ) T A x 2(0,1, , 0) xnen (ii ) x ể A(x ) x1A(e1) x 2A(e2 ) ố (ai1, 2, , aim ); i ệ m x nA(en ) (1.1) m A(ei ) M xn (0, , 0,1) m 1,2, , n T ữ n A a11 a21 a12 a22 an an a1m a2m anm A N M A(x ) e A(x ) A(x ) (1.1) ể x1(a11, a12, , a1m ) a11x1 a12x1 a21x a22x a1mx1 a2mx x 2(a21, a22, , a2m ) an1x n an 2x n anmx n x n (an1, an 2, , anm ) a11 a21 a12 a22 an an a1m a2m anm x1 x xn (h Mặ x ể y z k2 l ỏ k, k k2 l2 V h h2 u ố h2 h, ị ự ể l x2 y2 ể 3 ể y z ể ặ ẳ O(0, 0, 0) ặ ẳ ự by0 cz b c d ặ 1.0 1.0 2 nên d 2(O,(P )) uCT (x, y, z ) ị ặ ể ể ax ệ M (x, y, z ) Dĩ ự ự N a Bài toán T O(0, 0, 0) ể d(O,(P )) V ố ặ (P ) : x l ể ể z k z2 M (x, y, z ) không gian y h Tƣơng tự nhƣ kh ng gian (P ) : x ệ ố uCT (x, y, z ) u(x, y, z ) l2 D l) k ố 67 ẳ T 1.0 1 , x2 u(x, y, z ) y2 z2 (P ) ệ ax L by L cz b2 y2 z2 ể ự x2 ị ệ (x, y, z ) ị ố ể u ự da a2 b2 da a2 b2 c2 h2 ỏ k2 h, l2 a2 ệ b2 b2 c ự a2 , c , c2 ax b h, dc a2 k, a2 b2 68 a2 (ah c bk db by b2 cz c2 dc db c a2 b2 ố c2 2d d ) ị b2 b2 a d 0 0 db da ể a2 da a2 cz a b c cz db ể u Mặ c by ị , ể u (CQ) ệ 2x 2y 2z ax by ) ) ) ) ể ể (P ) 0) (ax ệ Lx (x , y, z, Ly (x , y, z, Lz (x , y, z, L (x , y, z, G c2 e L(x, y, ) C d,(a c2 d b2 , c2 l dc a2 b2 c2 cl ) k, dc a2 b2 c2 l a da a2 b2 h c2 db b a2 b2 c2 ah h2 u D ố ị ự k2 l2 bk c cl V ể dc a2 b2 l c2 d 0 ể ể ự ể ố da uCT (x, y, z ) k a2 b2 db c2 a2 b2 dc c2 a2 b2 c2 d2 a2 b2 c2 Tƣơng tự B ể ặ O(0, 0, 0) ể ặ ẳ (P ) : ax by cz d Dĩ ự ể ặ ax d(O,(P )) ẳ T by0 a cz b d c d a b c , nên uCT (x, y, z ) d (O,(P )) (P ) T (P ) : ax by cz d2 ể a2 b2 c2 ố O(0, 0, 0) d ể ặ ẳ H (m, n, p) ẳ Bài toán T ự u(x, y, z ) ị (x ố m)2 (y ệ 69 n)2 (z p)2; (P ) x L L m)2 (x ể ự (y ị n)2 (z p)2 ệ Lx (x , y, z, Ly (x , y, z, Lz (x , y, z, L (x , y, z, G (P ) z (CQ) e L(x, y, ) C y (x y z n 2p 1) ệ 2(x m ) 2(y n ) 2(z p) x y z ) ) ) ) 0 0 ệ 2m (x, y, z ) ể ị ố ể u u 2m h2 , m n p 2m k2 l2 2n p ự ị 2n p ể h, n p m m m , 1 ố 2n n p m , p (h k, k , m n 2p 2p m n l l) ể 2m n p ỏ 2m ể u Mặ n p h, m x ệ n p 2n h m p y k, n 2p l 2n p k h k l 70 m m n 2p l h2 u D ố ị ự uCT (x, y, z ) k2 l2 V ể ể ể ự ể ố 2m n p m m 2n m n p 2p (m n p 1)2 Tƣơng tự B n p ể ể H (m, n, p) ặ ặ ẳ (P ) : x y Dĩ z ự ể ặ ax d(H ,(P )) ẳ by0 a Ta có cz b c d 1.m 1.n 1.p 1 (m n m n p nên uCT (x, y, z ) d(H ,(P )) p 1)2 T gian ba Bài toán 10 T ự u(x, y, z ) ị ố (x m)2 (y d,(a b2 n)2 (z p)2 (P ) ệ ax L L by cz e 71 c2 ) (P ) (CQ) , L(x, y, ) C m)2 (x ể ự ị p)2 (z ệ Lx (x , y, z, Ly (x , y, z, Lz (x , y, z, L (x , y, z, G n)2 (y (ax by d) ệ 2(x m ) a 2(y n ) b 2(z p) c ax by cz d ) ) ) ) cz 0 0 ệ mb mc nab a2 b2 da na , pac c2 pa nc mab a2 pb a2 ể ị ố ể u u ể mb mc a ể nab b pac c ự da mc a nab b pac c c2 mac ncb b2 h, Mặ k2 l2 a2 b2 c2 na nc a pb 2 b nc pa pb ể 72 d dc mab b mac da na , ( nc , c2 a a2 h2 db ố a mb b2 ị pa u pbc ma 2 pbc c mac b2 dc mab b c ncb c pbc db l db ncb , dc c2 pc)(ha kb lc) k, mb mc pac a2 b2 nab da h, c2 na nc2 pa mab a2 b2 pb mac a2 ỏ mb a ax ệ mc pac a2 pa c nab b2 pb a b da c2 mac by ncb c h2 u D ố ị ự l2 d bk db mc b2 b2 ncb dc c2 nab b2 pbc nb a2 na nc mab a2 pbc b2 db c2 k cl ể pac ự ể b2 m pa n d )2 pc da c2 db pb mac a2 b2 nbc c2 ể ặ H (m, n, p) ặ ẳ (P ) : ax by cz c.p d d Dĩ ự ể ặ ax ẳ by0 a Ta có cz b dc c2 Tƣơng tự B d(H ,(P ) l d ể c2 (ma ể k, c2 ố mab a2 l V a2 nc b dc ể mb uCT (x, y, z ) na k2 h ah cz pbc c d nên 73 a.m b.n a b c , p (ma uCT (x, y, z ) d (H ,(P )) nb a2 d )2 pc b2 c2 2.2.2 Khoảng cách từ m đ n m t cầu Bài toán 11 T ự ị ố x2 u(x, y, z ) y2 z 2; (P ) ệ a )2 (x L L x2 c)2 R2 (S ) a )2 (y y2 z2 ((x ự ị ệ ể (CQ) b)2 c)2 (z R2 ) ệ Lx (x , y, z, ) 2x (x a) Ly (x , y, z, ) 2y (y b) Lz (x , y, z, ) 2z (z c) b)2 (z L (x , y, z, ) T + (z e L(x, y, ) C b)2 (y (x a )2 ể a2 (x1, y1, z1) + (x 2, y2, z ) b2 R a a2 b2 R a c2 ể c2 b2 c2 R2 ị bR ,b a2 b2 c2 ,c cR a2 b2 c2 ta suy aR a2 ự c)2 ta suy aR a2 (y b2 c2 bR ,b a2 74 b2 c2 ,c cR a2 b2 c2 d 2L T Lxx , Lyy ể , Lzz 2 , Lxy 0, Lxz 0, Lyz 0; d 2L (2 a2 b2 R V )dx c2 a2 d L )dy (2 b2 R c2 dx a2 b2 R b2 R c2 a2 (x1, y1, z1) V ể )dz (2 ể ể ự c2 dy dz ể ố ị ự ố uCT (x, y, z ) a2 V d L b2 R u(x1, y1, z1) c2 a2 b2 a b c c2 R a2 dx b2 ể c2 R b2 c2 R ể R a2 (x 2, y2, z ) V ự dy dz ố ị ự ố uCÐ (x, y, z ) u(x 2, y2, z ) 75 a b c 2 R Tƣơng tự ệ M (x, y ) ể I (a,b, c) , bán kính R N ặ ể ểm O(0, 0, 0) ặ ặ V ể O(0, 0, 0) ặ O ể O ể ể ặ A ể O B Ta có ể d (O, A) d (O, I ) d (I , A) a2 b2 c2 R d (O, B ) d (O, I ) a2 b2 c2 R d (I , B ) nên uCT (x , y, z ) d (O, A) uCÐ (x , y, z ) d (O, B ) a a b b c c 2 R R 2.2.3 Khoảng cách từ m đ n m t Ellipsoid Bài toán 12 T ự ị ố x2 u(x, y, z ) y2 z 2; (P ) ệ L L x2 y2 z2 a2 b2 c2 ể (CQ) 0,) (E ) e L(x, y, ) C 1,(a,b, c x ự ị y z ệ x2 y2 z2 a2 b2 c2 ệ 76 Lx (x , y, z, ) 2x Ly (x , y, z, ) 2y Lz (x , y, z, ) 2z x L (x , y, z, ) b2 Ly (x , y, z, ) 2y Lz (x , y, z, ) 2z z2 c2 a 0 b2 x2 y2 c2 z2 a2 b2 c2 ể ự ị a ta suy (x1, y1, z1) (a, 0, 0),(x 2, y2, z2 ) ( a, 0, 0); b ta suy (x 3, y3, z ) (0,b, 0),(x 4, y4, z ) (0, b, 0); c ta suy (x 5, y5, z ) (0, 0, c),(x 6, y6, z ) (0, 0, c) d 2L T c 2x ể b2 z Lx (x , y, z, ) T a2 y y a2 L (x , y, z, ) Lxx 2 x a2 , Lyy ể b2 , Lzz c2 , Lxy 0, Lxz 0, Lyz d 2L V 21 a dx 21 a 77 b dy 21 c dz 0; d L 21 a2 ể a b2 (do b2 (-a ) a2 dy b2 0, c2 dx 2 a2 21 c2 a2 dz c2 ố uCÐ (x, y, z ) b dy 2 21 c dz ị ự u(x1, y1, z1) (-a ) (x1, y1, z1),(x 2, y2, z2 ) V ự (-a ) ể ố u(x 2, y2, z ) u(a, 0, 0) u( a, 0, 0) ( b2 ) a b V d L ( b2 ) 21 a a2 b2 b dx dy 2 ( b2 ) 21 b c2 b2 c ể ự c dz d 2L ị b d 2L ị ể ố 21 dz 2 (x 3, y3 ),(x 4, y4 ) T N dy ị c V d L 21 (do a ể uCT (x, y, z ) a2 a2 c2 a2 c2 ự ( c2 ) 0,b2 ể dx dx 2 c2 ố u(x 5, y5, z ) 21 ( c2 ) b2 b2 c2 b2 dy dy ( c2 ) 21 c2 dz (x 5, y5, z ),(x 6, y6, z ) V ị ự u(x 6, y6, z ) 78 ể ể ố u(0, 0, c) u(0, 0, c) c Tƣơng tự V ặ ể ặ (E ) : x2 y2 z2 a2 b2 c2 ể O C1 ể ặ Ellipsoid (E ) O ặ C2 ể ặ Ellipsoid (E ) d(O,C1) ặ Ellipsoid V ể ể O(0, 0, 0) ể d(O,C ) O c d(O, A1) ể A1 d(O, A2 ) nên uCT (x, y) d 2(O,C1) d 2(O,C ) c 2; uCÐ (x, y ) d 2(O, A1) d 2(O, A2 ) a2 79 O ặ A2 Ta có a KẾT LUẬN T “Khai thác số tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học” K ệ n ố ụ ự ự K ị ự ị ệ ố ự ị ệ ể ẳ ặ ẳ ỏ ữ Ellip D ự V ữ 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ti ng việt [1] T L -N gi i t h t p N [2] T hàm nhi Lụ – P S - Q ố T Q ố ể –T D i n N N P Q ố iáo t nh i it h N Ti ng anh [1] W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 [2] W Rudin, Principle of Mathematical Analysis, McGraw - Hill Book Company, New York, 1964 81 ... T ự ố TS N V ệ Khai thác số tốn cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học ỳ khác N ị ệ ! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Huệ MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN... ể T ĩ ố T ự ỏ T ụ V ệ P T ự ệ ” G T T ụ ự ể ố ố ụ ỳ ị T ể L T e V e Khai thác số toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học ể ố ệ ệ S T M c đích nghiên c u nhiệm v nghiên c u N ự ị ệ Đối... 16 ệ Cự P ự ị 1.7.1 Bài toán cự 17 .44 ị ố ể ố ố 46 ự ị .47 ệ 48 ị ệ 48 L e 50 C K AI T ÁC MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ IỀU KIỆN TỪ K ÍA CẠNH .53 2.1.H