skkn một số bài TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT đồ THỊ của đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ CỦA ĐẠO HÀM Người thực hiện: Nguyễn Thị Bé Chức vụ: Giáo viên SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ CỦA

ĐẠO HÀM

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bé Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

Nội dung Tran

g

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm 6

2.3.1,Đồ thị hàm số y = f’(x) và tính đồng biến nghịch biến của

2.3.2, Đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x) 10

2.3.3, Đồ thị của hàm số y = f’(x) và bài toán liên quan đến kiến

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 14

Danh mục các đề tài SKKN được xếp loại cấp tỉnh 16

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị của f’(x) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x) đưa đến cho chúng ta những điều thú vị cũng như những bài toán hay

Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số f’(x) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính chất khác của hàm số f(x) Một yêu cầu mặc dù không phải mới mẻ nhưng giống như hầu hết các bài toán khác nếu học sinh không nắm vững các kiến thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trở thành một yêu cầu khó

Trong quá trình tự học, tự tìm tòi nghiên cứu các dạng bài tập để ôn tập cho học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia sắp tới, tôi rất

thích dạng bài tập đọc đồ thị hàm số Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm” nhằm góp một phần nhỏ

kinh nghiệm của mình trong quá trình nâng cao trình độ chuyên môn cùng các bạn bè đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nhìn nhận rõ bản chất của hình thức thi trắc nghiệm môn Toán

- Làm cơ sở lý luận, cơ sở đánh giá cho các đề ôn tập

- Vận dụng vào thực tế nhà trường trên cơ sở đối tượng học sinh, phương

tiện dạy học hiện có.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

* Đề tài nghiên cứu về các bài tập khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm

* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở trường THPT, các định hướng và quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Yên Định II

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu một số tài liệu về cách ra đề trắc nghiệm, đổi mới PPDH môn toán, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh… để xây dựng lý luận cho đề tài

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Giảng dạy trực tiếp, ra đề kiểm tra từ đó đánh giá nhận xét cách làm, chất lượng đề Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra bài học

- Phương pháp thống kê, xử lý dữ liệu

Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá trước và sau khi học theo hệ thống bài tập được khai thác

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Không ngừng tìm tòi, phát hiện vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều khía cạnh để từ đó tăng khả năng tư duy nhạy bén là một điều mà môn học nào cũng đều hướng tới Đặc biệt Toán học vốn đã mang trong nó rất nhiều

vẻ đẹp tiềm ẩn, là công cụ sắc bén cho nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như trong các môn học khác Để làm được điều đó, để truyền lại cho học sinh cái nhìn tổng thể, sâu sắc bản chất của vấn đề thì việc rèn luyện kĩ năng khai thác bài toán là vô cùng quan trọng Lý thuyết phải có thực hành để kiểm chứng và vận dụng

Trước đây trong các đề thi tự luận luôn luôn có câu khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số Đây là một bài toán tổng hợp bao gồm: xét tính đơn điệu,

cự trị, tiệm cận… khi chuyển sang đề thi dạng trắc nghiệm bài toán này được phân chia thành nhiều câu nhỏ, mỗi loại lại là một đề tài vô cùng đa dạng và phong phú, trong đó bài toán đọc đồ thị hàm số là một bài toán rất hay và thú vị

2.2 Thực trạng vấn đề

2.2.1, Đối với giáo viên

Như chúng ta đã biết bất kì vấn đề nào mới được đưa ra cũng cần phải có thời gian để thích ứng cũng như kiểm nghiệm Chính vì thế Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có lộ trình rõ ràng trong việc chuyển từ hình thức thi tự luận môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm, thể hiện rõ nhất là nội dung trong đề thi: năm đầu tiên hoàn toàn là nội dung chương trình lớp 12, năm thứ hai có cả lớp 11 và cuối cùng là có toàn bộ nội dung chương trình phổ thông Điều đó cũng có mục đích là tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thời gian thích ứng

Đối với giáo viên cũng cần có thời gian để làm quen và cập nhật theo hình thức thi mới Cách rèn luyện kĩ năng cho học sinh cũng cần phải tư duy và nhìn nhận lại Tuy vậy, không phải giáo viên nào cũng có đủ điều kiện, đủ tư duy để nắm bắt kịp thời Chưa kể cách giảng dạy, cách rèn kĩ năng theo kiểu cũ đối với một số giáo viên lâu năm đã ăn sâu vào tiềm thức, không phải nói đổi là đổi ngay được

Để có thể nắm bắt theo kịp được sự đổi mới này thì bản thân mỗi giáo viên phải không ngừng học hỏi, có ý chí phấn đấu vươn lên, tự trau dồi kiến thức và đặt địa vị mình vào mỗi học sinh

2.2.2, Đối với học sinh

Tuy rằng đã qua một năm thực hiện nhưng các em học sinh vẫn còn chưa tiếp cận hết được với các dạng bài tập toán được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm Tài liệu trên mạng tuy rất nhiều nhưng không phải em nào cũng có điều kiện để nghiên cứu Cộng thêm với cách tư duy cũng có ít nhiều sự thay đổi khiến các em bước đầu vẫn còn nhất thời chưa thích nghi tốt với đề thi trắc nghiệm toán

2.3 Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm

Hàm số là một phần đơn vị kiến thức được xuất hiện khá nhiều trong các

đề thi, chiếm nội dung tương đối lớn trong giải tích 12 Vì thế bài tập cũng rất phong phú và đa dạng Sau đây tôi xin đưa ra một số phân dạng bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm

2.3.1, Đồ thị hàm số y = f’(x) và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

y = f(x)

a, Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau [1]

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

* Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K

* Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) ta nhận thấy:

* f’(x) > 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên trục hoành

* f’(x) < 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới trục hoành

Từ đó ta có kết luận:

* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng)

* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm)

b, Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; e] Đồ thị

hàm số y = f’(x) như hình vẽ sau đây

Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; e)

Hướng dẫn

a b Oc d

e x

y

Trên các khoảng (a; b) và (c; d) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía dưới trục hoành, tức là f’(x) < 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) nghịch biến Trên các khoảng (b; c) và (d; e) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trên trục hoành, tức là f’(x) > 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) đồng biến

Nói một cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có thể biết được dấu của f’(x) để từ đó kết luận được sự biến thiên của hàm số y = f(x)

Trên đoạn [a; e], f’(x) = 0  x = a, x = b, x = c, x = d, x = e Ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; e] như sau:

f (x)

Nhận xét: Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có thể biết được dấu của f’(x) và những điểm mà tại đó f’(x) = 0 Điều này giúp ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x) Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta cái nhìn trực quan hơn về hàm số y = f(x)

Ví dụ 2 (Đề thi tham khảo THPT Quốc gia 2018 – Bộ GD và ĐT) [2] Cho

hàm số y = f(x) Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình sau

Hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên khoảng

A (1; 3) B (2; +) C (-2; 1) D (-; -2) Hướng dẫn

Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta suy ra f’(x) < 0  x < -1 hoặc 1 < x < 4 Đặt g(x) = f(2 - x), ta có: g’(x) = (2 - x)’f’(2 - x) = -f’(2 - x)

Để hàm số g(x) = f(2 - x) đồng biến thì g’(x) > 0  f’(2- x) < 0  x > 3 hoặc -2 < x < 1

y

−

4

Vậy hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên các khoảng (-2; 1) và (3; +) Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số y

= f’(x) cho ở hình sau:

Xét hàm số g(x) = f(x2 - 2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g(x) đồng biến trên (2; +)

B Hàm số g(x) nghịch biến trên (-1; 0)

C Hàm số g(x) nghịch biến trên (-; -2)

D Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2)

Hướng dẫn

Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có:

* f’(x) > 0  x > 2 * f’(x) < 0  x < 2 và x 1

* f’(x) = 0  x = 2 hoặc x = -1 Ta có g’(x) = 2xf’(x2-2)

Ta thấy g’(x) > 0 2

0 '( 2) 0

x

f x





 

 

0 '( 2) 0

x

f x







 



2

1

x x x







   



 



g’(x) < 0 2

0 '( 2) 0

x

f x





 

 

0 '( 2) 0

x

f x







 



2

1

x x x

 





   



 

 Từ đó suy ra đáp án B

Ví dụ 4: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm là hàm số y = f’(x), đồ thị hàm

số y = f’(x) được cho như hình vẽ dưới đây và f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3) Hỏi trong các giá trị f(0), f(1), f(4) giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 4]

− 1

1 2

− 2

− 4

0

y

x

O

y

Hướng dẫn

Trước hết, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có:

* Trên khoảng (0; 2) hàm số y = f(x) đồng biến nên f(0) < f(2) và f(2) > f(1)

* Trên khoảng (2; 4) hàm số nghịc biến nên f(2) > f(4) và f(2) > f(3)

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) chỉ có thể là f(0) hoặc f(4) Mặt khác, từ giả thiết: f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3) suy ra f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) = [f(2) – f(1)] + [f(2) – f(3)] > 0 suy ra f(0) > f(4)

Vậy trên đoạn [0; 4] thì f(4) là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị của hàm số y = f’(x) như hình vẽ Đặt

g(x) = f(x) + 1

2x2 + x + 2018 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3)

B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-3; 0)

C Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; 3)

D Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 3)

Hướng dẫn

Vẽ đường thẳng d: y = - x – 1 đi qua các điểm có tọa độ (-3; 2), (1; -2), (3; -3)

Ta có g’(x) = f’(x) + x + 1 = f’(x) – (- x - 1)

* Trên khoảng (-3; 1), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới đường thẳng y = -x – 1 nên f’(x) < - x – 1 suy ra g’(x) < 0 Vậy trên khoảng (-3; 1) hàm số g(x) nghịch biến

* Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên đường thẳng y = - x – 1 nên f’(x) > - x – 1 suy ra g’(x) > 0

Vậy trên khoảng (1; 3) hàm số g(x) đồng biến Chọn đáp án A

2.3.2 Đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x)

a, Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau [1]

* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0 Từ đó suy ra nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0

thì đồ thị của hàm số y = f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x0; 0) Ngược lại, nếu hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm tại x0 và đồ thị hàm số y = f’(x) cắt

y

-2 -4

x

y

-2 -4

x (C)

trục hoành tại điểm (x0; 0) và đồng thời f’(x) đổi dấu khi qua x0 thì x0 là điểm cự trị của hàm số y = f(x)

Ngoài ra nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại và nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu

b, Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình

vẽ Trong các mệnh sau, mệnh đề nào sai?

y

A f đạt cực tiểu tại x = 0

B f đạt cực tiểu tại x = -2

C f đạt cự đại tại x = -2

D Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại

Hướng dẫn

Theo giả thiết f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua -2 nên x = -2 là điểm cực đại của hàm số f(x) và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

f (0)

Từ đó ta thấy cực tiểu của f(x) nhỏ hơn cực đại của nó Chọn B

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị của hàm số y = f’(x)

là đường cong ở hình vẽ Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu cực trị?

y

O

x

1 2

-4 -3 -2 -1

1 2 -1

y

Hướng dẫn

Ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hoành tại 4 điểm nhưng chỉ có 3 điểm mà khi đi qua đó f’(x) đổi dấu nên hàm số y = f(x) có ba cực trị Chọn đáp

án A

Ví dụ 3: Cho hàm sô f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f’(x) như hình

vẽ

Đặt g(x) = f(x) - 2

2

x

Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Hướng dẫn

Trước hết ta có g’(x) = f’(x) – x Vẽ đường thẳng y = x đi qua các điểm (-1; 1), (1; 1), (2; 2) Quan sát đồ thị ta thấy:

* Trên khoảng 1;1

2

 

  đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trên đường thẳng y

= x nên g’(x) = f’(x) – x > 0

* Trên khoảng (1; 2) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía dưới đường thẳng y =

x nên g’(x) = f’(x) – x < 0

Như vậy g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1 nên tại đó hàm số g(x) đạt cực đại Chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, hàm số y = f’(x) có đồ thị như

hình vẽ sau:

2 1

−

1Oa 1 2x

− 1

y

2 1

−

1Oa 1 2x

− 1

y

Hàm số y = f(x) + 2017 2018

2017

x



có số điểm cực trị là:

Hướng dẫn

Ta có: y’ = f’(x) - 2018

2017 Khi đó y’ = 0  f’(x)

- 2018

2017 = 0  f’(x) = 2018

2017 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y’ = 0 có 4

nghiệm phân biệt Do đó hàm số đã cho có 4 điểm

cực trị Chọn đáp án A

2.3.3 Bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm có sử dụng đến kiến thức tích phân

Cho hàm số y f x   có đồ thị y f ' x   như hình bên Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x   trên 0;9

2

 

 

  Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A M f 9 , m f 4 

2

 

   

  B M f 0 , m f 4      

C M f 2 , m f 1       D M f 9 , m f 1 

2

 

   

 

Đáp án B

Bảng biến thiên của hàm số trên 0;9

2

 

 

  có dạng như hình vẽ dưới đây

2

y

5

O x

1

x2

x3

x

1 2

y

Do đó GTLN của hàm số là f 0 ;f 2    hoặc f 9

2

 

 

 ; GTNN của hàm số là f 1 

hoặc f 4 

Mặt khác            

f 1  f 2  f ' x dx;f 4  f 2  f ' x dx

Dựa vào hình vẽ ta có:        

f ' x dx  f ' x dx  f 4  f 1

9

1 2

9

f f 4 f ' x dx;f 0 f 1 f ' x dx dx

2

 

 

Dựa vào hình vẽ ta có:    

   

 

9

9

f ' x dx f ' x dx f 0 f

2

f 1 f 4



 







2.3.4 Một số bài toán khác

Bài 1: [3] Cho các hàm số f(x), f’(x), f’’(x) có đồ thị như hình vẽ sau

Khi đó (C1), (C2), (C3) thứ tự là đồ thị của các hàm số

A f’’(x), f(x), f’(x) B f(x), f’(x), f’’(x)

C f’(x), f(x), f’’(x) D f’(x), f’’(x), f(x)

Hướng dẫn: Ta nhận thấy tại các vị trí (C1) cắt trục hoành thì (C2) và (C3) đạt cực trị Tại các khoảng mà đồ thị của (C1)

nằm trên Ox thì (C3) đồng biến và ngược lại

Xét đường cong (C2) ta thấy: tại các vị trí

(C2) cắt Ox thì (C1) đạt cực trị Tại các

khoảng mà đồ thị của (C2) nằm trên Ox thì

(C1) đồng biến và ngược lại

Chọn đáp án D

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm

cấp một f’(x) và đạo hàm cấp hai f’’(x) trên

(C 1 ) (C3 )

O

(C2 )x

y

(

C

1 )

C

2 )

x

(

C

3 )

O

y