PH NG PHÁP H S B T Đ NHƯƠ Ệ Ố Ấ Ị Trong th i c p hai khi đ c l i gi i c a khá nhi u bài toán đ c bi t là b t đ ng th c tôiờ ấ ọ ờ ả ủ ề ặ ệ ấ ẳ ứ không th hi u n i t i sao l i có th nghĩ ra nó nên hay cho r ng đ y là nh ng l i gi iể ể ổ ạ ạ ể ằ ấ ữ ờ ả không đ p thi u t nhiên.Đ n c p ba khi đ c h c nh ng ki n th c m i tôi m i b t đ u cóẹ ế ự ế ấ ượ ọ ữ ế ứ ớ ớ ắ ầ t t ng đi sâu vào b n ch t m i bài toán và l i gi i c a chúng.Nh anh ư ưở ả ấ ỗ ờ ả ủ ư Hatucdao đã nói :khi g p m t bài toán thì đi u quan tr ng là "nh n ra đâu là kĩ thu t chính,qua đó gi i thíchặ ộ ề ọ ậ ậ ả đ c vi sao l i gi i nh v y và cao h n c là vì sao l i nghĩ ra bài toán"Trong quá trình h cượ ạ ả ư ậ ơ ả ạ ọ toán v i l i suy nghĩ đó tôi đã rút ra và hi u đ c khá nhi u cái hay trong m i bài toán và l iớ ố ể ượ ề ỗ ờ gi i c a chúng.Và cũng t đó c ng thêm m t s t ng h p nh t đ nh tôi đã rút ra đ c m tả ủ ừ ộ ộ ự ổ ợ ấ ị ượ ộ ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c:ươ ứ ấ ẳ ứ "Ph ng pháp h s b t đ nh"ươ ệ ố ấ ị . Đây là m tộ ph ng pháp khá hay và m nh đi kèm v i nh ng l i gi i đ p,ng n và n t ng.ươ ạ ớ ữ ờ ả ẹ ắ ấ ượ Bây gi ta đi xét m t vài ví dờ ộ ụ Ví d 1ụ Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Nháp Nh n th y d u b ng x y ra ậ ấ ấ ằ ả Gi s ả ử thì b t đ ng th c c n ch ng minh tr thành:ấ ẳ ứ ầ ứ ở Nhi m v c a chúng ta bây gi là ph i tìm các s th c ệ ụ ủ ờ ả ố ự sao cho b t đ ng th c :ấ ẳ ứ Đúng v i m i ớ ọ Gi s t n t i ả ử ồ ạ đ ể đúng v i m i ớ ọ .Ta có: Đăt Vì v i m i ớ ọ và nên ttheo đ nh lí ị Fermat ta có V i các b n ớ ạ THCS ch a đ c h c đ o hàm thì ph i phát bi u nhi m v trên nh sau:ư ượ ọ ạ ả ể ệ ụ ư Tìm các s th c ố ự sao cho ph ng trình:ươ Có nghi m kép ệ . (T ng t v i nh ng ph n bên d i.)ươ ự ớ ữ ầ ở ướ Bây gi ta ch còn ph i ch ng minh :ờ ỉ ả ứ Th t v y ậ ậ V y ậ là s duy nh t sao cho ố ấ đúng v i m i ớ ọ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự Quá trình trên đã giúp ta bi t r ng ch t n t i duy nh t m t s ế ằ ỉ ồ ạ ấ ộ ố sao cho đúng v i m iớ ọ và đi u đó v t qua c đi u ta mong mu n la ch c n tìm m t giá tr c a ề ượ ả ề ố ỉ ầ ộ ị ủ sao đúng v i m i ớ ọ .Riêng trong bài này còn có m t cách xác đ nh ộ ị c c nhanh là :ự Nh ng đ ng l i này không th t ng quát đ c.Đ kh ng đ nh đi u đó hãy th ch ng minhư ườ ố ể ổ ượ ể ẳ ị ề ử ứ b t đ ng th c:ấ ẳ ứ V i các s d ng ớ ố ươ th a mãn ỏ phía trên ta đã ch ng minh b t đ ng th c này sau khi đã chu n hóa và t Ở ứ ấ ẳ ứ ẩ ừ ta th y ngayấ r ng b t đ ng th c :ằ ấ ẳ ứ Đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ .Ta th y r ng ấ ằ là b t đ ng th c thu n nh t con ấ ẳ ứ ầ ấ thì không nên cũng có cách khác tìm ra mà không c n chuy n v ầ ể ề (qua chu n hóa). Bâyẩ gi chúng ta ph i tìm ờ ả sao cho b t đ ng th c :ấ ẳ ứ Đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ Ta bi t r ng b t đ ng th c ế ằ ấ ẳ ứ Côsi là m t b t đ ng th c thu n nh t v i đi u ki n x y ra d uộ ấ ẳ ứ ầ ấ ớ ề ệ ả ấ b ng nghiêm ng t.Do đó khi áp d ng ằ ặ ụ Côsi có tr ng s ta s tìm ra nh ng h sô thích h p v iọ ố ẽ ữ ệ ợ ớ m t b t đ ng th c m i xác đ nh đ c m t v .ộ ấ ẳ ứ ớ ị ượ ộ ế Áp d ng ụ Côsi ta có: Đ ng nh t h s ta có: ồ ấ ệ ố .Chú ý r ng vi c áp d ng ằ ệ ụ Côsi trên d n đ n vi cở ẫ ế ệ tìm các h s thành công có đ c là t nh n xét v d u b ng,qua đó ta áp d ng ệ ố ượ ừ ậ ề ấ ằ ụ Côsi có tr ng s nh trên.ọ ố ư ở Bây gi ta ch c n ch ng minh :ờ ỉ ầ ứ Th t v y ta có:ậ ậ Mà: V y ậ đúng hay là m t b s sao cho ộ ộ ố đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ .Theo ki u này thì không th kh ng đ nh đây là b s duy nh t đ c.ể ể ẳ ị ộ ố ấ ượ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự Ví d 2ụ Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Nháp Đây là m t bài toán hay và khá khó v i không d i ba cách gi i. đây ch xin trình bày cáchộ ớ ướ ả Ở ỉ làm phù h p v i bài vi t.ợ ớ ế Nh n th y d u b ng x y ra ậ ấ ấ ằ ả Nhi m v bây gi là ph i đi tìm s th c ệ ụ ờ ả ố ự sao cho b t đ ng th c :ấ ẳ ứ Đúng v i m i s th c d ng ớ ọ ố ự ươ Gi s t n t i ả ử ồ ạ sap cho đúng v i m i s th c d ng ớ ọ ố ự ươ Cho thì v i m i ớ ọ d ng ta có:ươ Đ t ặ Vì v i m i ớ ọ và nên Vi c còn l i là ph i ch ng minh :ệ ạ ả ứ Th t v y:ậ ậ Mà : V y ậ đúng t c ứ là giá tr duy nh t sao cho ị ấ đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự Cũng gi ng nh bài 1 quá trình tìm ố ư này cũng đã giúp ta kh ng đ nh ch có duy nh t m t sẳ ị ỉ ấ ộ ố th c ự th a mãn.Bây gi ta s đi theo m t con đ ng khác có tính ch t d đoán ỏ ờ ẽ ộ ườ ấ ự . Áp d ng ụ Côsi ta có: Đ ng nh t h s ta có ồ ấ ệ ố Nh n xét:ậ Cách gi i hai bài trên đã s d ng đ ng th c:ả ở ử ụ ẳ ứ Và lúc nào ph i đi tìm ả và lúc nào ph i đi tìm ả thì có th nói là nhìn thì bi t ngay.Ví dể ế ụ nh xét b t đ ng th c:ư ấ ẳ ứ Thì khi c đ nh ố ị cho thì nên b t đ ng th c không thấ ẳ ứ ể đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ .Bi u di n s ể ễ ố d i hai d ng trên giúp ta gi i quy t đ c r tướ ạ ả ế ượ ấ nhi u bài toán d ng này,nh ng li u còn cách bi u di n nào n a không?ề ạ ư ệ ể ễ ữ Ví d 3ụ Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Nháp Nh n th y d u b ng x y ra ậ ấ ấ ằ ả V i các s th c không âm ớ ố ự áp d ng ụ Côsi Ta có: T đó ch n:ừ ọ C ng các b t đ ng th c trên l i ta có:ộ ấ ẳ ứ ạ Đây là m t bài toán trong báo toán tu i th v i r t nhi u l i gi i khác (không có cáchộ ổ ơ ớ ấ ề ờ ả này).Tôi nghĩ n u đ a l i gi i này lên đó ch c ch n s có nhi u b n ế ư ờ ả ắ ắ ẽ ề ạ THCS th c m c .ắ ắ Ví d 4ụ Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Nháp Nh n th y c ba ph n d u b ng x y ra ậ ấ ở ả ầ ấ ằ ả a, Áp d ng ụ Côsi ta có: Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự b, ph n này thì không th có đo n dùng Ở ầ ể ạ Côsi nh ph n a nh ng ta cũng s thi t l p m tư ầ ư ẽ ế ậ ộ b t đ ng th c t ng t nh ph n a b ng cách tìm s th c ấ ẳ ứ ươ ự ư ở ầ ằ ố ự sao cho b t đ ng th c :ấ ẳ ứ Đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ Gi s t n t i ả ử ồ ạ sao cho đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ Cho thì v i m i ớ ọ d ng ta có:ươ Đ t ặ Vì v i m i a d ng và ớ ọ ươ nên Ta ch còn ph i ch ng minh:ỉ ả ứ Th t v y:ậ ậ V y ậ đúng hay là s duy nh t th a mãn ố ấ ỏ đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ Cũng nh các bài tr c cũng có cách dùng ư ướ Côsi đ d đoán ể ự nh sau.D th y ư ễ ấ vì n uế ng c l i t c ượ ạ ứ thì khi c đ nh ố ị d ng và cho ươ thì nên không th đúng v i m i s d ng ể ớ ọ ố ươ đ c.V i ượ ớ thì vi t l i ế ạ d i d ng:ướ ạ R i áp d ng ồ ụ Côsi ta có: Đ ng nh t h s ta có ngay ồ ấ ệ ố Th c ra thì vi c lý lu n ự ệ ậ là đ áp d ng ể ụ Côsi v i các s d ng.Nh ng cái này cũngớ ố ươ ư không c n thi t mà có th áp d ng luôn nh sau:ầ ế ể ụ ư Đ ng nh t h s ta cũng có ồ ấ ệ ố Rõ ràng v i ớ v a tìm đ c thì ta đã s d ng ừ ượ ử ụ Côsi v i s âm nh ng đi u này cũngớ ố ư ề không sao vì đây ch là nhápỉ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự c,T ng t nh ph n b ta d đoán đ c b t đ ng th c :ươ ự ư ầ ự ượ ấ ẳ ứ đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ . Nh ng đi u này là không đúng vì khi cho ư ề thì .Nh v yư ậ ph ng pháp này không hi u qu v i ph n này.ươ ệ ả ớ ầ Tuy r ng ằ không đúng nh ng nó v n có m t tác d ng không h nh đó vì ta có:ư ẫ ộ ụ ề ỏ Cùng các đ ng th c t ng t ta có:ẳ ứ ươ ự T c là đã quy b t đ ng th c v d ng ứ ấ ẳ ứ ề ạ SOS Cách gi i c a d ng này khá hay nh ng không thu c ph m vi c a bài vi t này. ả ủ ạ ư ộ ạ ủ ế Cũng t vi c ừ ệ không đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ thì ta nghĩ ngay đ n bài toán:Tìm t t cế ấ ả các s th c ố ự sao cho t n t i s th c ồ ạ ố ự th a mãn b t đ ng th c:ỏ ấ ẳ ứ Đúng v i m i s th c d ng ớ ọ ố ự ươ Đây là m t bài toán không khó nh ng nó th hi n m t ý t ng.Và v i m i ộ ư ể ệ ộ ưở ớ ỗ tìm đ c ta sượ ẽ có đ c m t bài toán m i.ượ ộ ớ Phía trên ta đã đi xét các ví d là các b t đ ng th c thu n nh t .Và câu h i đ t ra là khi nàoụ ấ ẳ ứ ầ ấ ỏ ặ thì s d ng đ c ph ng pháp này trong các b t đ ng th c thu n nh t?B ng kinh nghi mử ụ ượ ươ ấ ẳ ứ ầ ấ ằ ệ c a b n thân thì tôi cho r ng đi u ki n c n đ có th s d ng ph ng pháp này v i các b tủ ả ằ ề ệ ầ ể ể ử ụ ươ ớ ấ đ ng th c thu n nh t là:ẳ ứ ầ ấ 1,D u b ng c a b t đ ng th c x y ra khi và ch khi các bi n s b ng các giá tr trong m tấ ằ ủ ấ ẳ ứ ả ỉ ế ố ằ ị ộ t p h u h n nào đó (th ng thì t p đó ch có m t s cùng l m là hai)ậ ữ ạ ườ ậ ỉ ộ ố ắ 2,B t đ ng th c là t ng c a m t dãy các bi u th c đ i x ng nhau và t n t i m t cách chu nấ ẳ ứ ổ ủ ộ ể ứ ố ứ ồ ạ ộ ẩ hóa đ m i bi u th c ch còn ph thu c vào m t bi n s ho c các bi u th c là hoán v liênể ỗ ể ứ ỉ ụ ộ ộ ế ố ặ ể ứ ị ti p c a nhau.ế ủ Đây ch là đi u ki n c n còn ch còn đi u ki n đ thì tôi ch bi t th cho t ng bài toán. ỉ ề ệ ầ ứ ề ệ ủ ỉ ế ử ừ Bây gi ta đi xét ví d v b t đ ng th c có đi u ki n.ờ ụ ề ấ ẳ ứ ề ệ Ví d 5ụ Cho các s d ng ố ươ th a mãnỏ Ch ng minh r ng:ứ ằ Nháp Nh n th y d u b ng x y raậ ấ ấ ằ ả Ta có: Rõ ràng khi nhìn bài này ta có ngay t t ng ban đ u là ph i tìm s th c ư ưở ầ ả ố ự sao cho b t đ ngấ ẳ th c:ứ Đúng v i m i s th c ớ ọ ố ự Gi s t n t i ả ử ồ ạ sao cho đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ . Ta có: Đ t ặ Vì v i m i ớ ọ và nên Bây gi ta ch còn ph i ch ng minh:ờ ỉ ả ứ Th t v y:ậ ậ V y ậ đúng hay là giá tr c n tìm.ị ầ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự T bài toán trên ta đi đ n cách gi i cho m t l p các bài toán b t đ ng th c có đi u ki nừ ế ả ộ ớ ấ ẳ ứ ề ệ d ng sau:ạ Cho các s th c ố ự th a mãn :ỏ Ch ng minh r ng:ứ ằ Vì b t đ ng th c c n ch ng minh và c bi u th c đi u ki n c a bài toán đ u mang tínhấ ẳ ứ ầ ứ ả ể ứ ở ề ệ ủ ề đ i x ng v i các bi n nên d u b ng th ng đ t đ c khi các bi n b ng nhau.Vi c ta ph iố ứ ớ ế ấ ằ ườ ạ ượ ế ằ ệ ả làm là tìm s th c ố ự sao cho bât đ ng th c :ẳ ứ Đúng v i m i s th c ớ ọ ố ự th a mãn đ bài.Đây là m t đ ng l i c b n đ gi i quy t d ngỏ ề ộ ườ ố ơ ả ể ả ế ạ toán này.Đ ng th i v i các b t đ ng th c thu n nh t thì sau khi chu n hóa ta s chuy nồ ờ ớ ấ ẳ ứ ầ ấ ẩ ẽ ể ngay bài toán v d ng này.ề ạ Ví d 6ụ Cho các s th c không âm ố ự th a mãn :ỏ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ Nháp Khác v i nh ng bài toán tr c là các b t đ ng th c xác đ nh đ c ngay d u b ng ,đây làớ ữ ướ ấ ẳ ứ ị ượ ấ ằ m t bài toán c c tr có đi u ki n ch a xác đ nh đ c đi m c c tr .ộ ự ị ề ệ ư ị ượ ể ự ị Ta có: Bây gi theo đ ng l i chung ta tìm s th c ờ ườ ố ố ự sao cho b t đ ng th c:ấ ẳ ứ Đúng v i m i s th c ớ ọ ố ự Gi s t n t i ả ử ồ ạ sao cho đúng v i m i s th c ớ ọ ố ự Ta có: Đ t ặ Ta có: v i m i ớ ọ .Vì nên theo đ nh lí ị Rolle t n t iồ ạ cho .Xét h ph ng trình:ệ ươ Bây gi ta ph i ch ng minh:ờ ả ứ Th t v y :ậ ậ Mà ta có: V y ậ đúng hay là giá tr duy nh t c n tìm.ị ấ ầ Cùng các b t đ ng th c t ng t ta có:ấ ẳ ứ ươ ự D u b ng x y ra ấ ằ ả là m t hoán v c a ộ ị ủ V y giá tr l n nh t c a bi u th c là ậ ị ớ ấ ủ ể ứ bài bày cũng có th dùng Ở ể Côsi nh sau:ư Và đây cũng chính là cách trình bày l i gi i này c a chúng ta.Tôi đ a ví d này lên đ thờ ả ủ ư ụ ể ể hi n r ng không ph i lúc nào khi s d ng ph ng pháp này ta cũng c n ph i có d u b ngệ ằ ả ử ụ ươ ầ ả ấ ằ c a b t đ ng th c x y ra khi t t c các bi n s b ng nhauủ ấ ẳ ứ ả ấ ả ế ố ằ Có m t đi u chú ý r ng h u h t các bài toán khi s d ng ph ng pháp này đ u có th mộ ề ằ ầ ế ử ụ ươ ề ể ở r ng cho ộ bi n s .Tuy v y trên tôi ch l y các ví d các b t đ ng th c có ba bi n s vì tôiế ố ậ ở ỉ ấ ụ ấ ẳ ứ ế ố nghĩ nó hay nh t khi ch có ba bi n.ấ ỉ ế Hy v ng qua bài vi t này các b n đã hi u đ c ph n nào n i dung c a ph ng pháp này.Sauọ ế ạ ể ượ ầ ộ ủ ươ đây là m t s bài t p áp d ng (có r t nhi u trên di n đàn)ộ ố ậ ụ ấ ề ễ Bài 1 Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 2 Cho các s th c d ng ố ự ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 3 Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 4 Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 5 Cho các s d ng ố ươ th a mãn ỏ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 6 Cho là đ dài ba c nh c a m t tam giác .Ch ng minh r ng:ộ ạ ủ ộ ứ ằ Bài 7 Cho các s d ng ố ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 8 Cho các s d ng ố ươ th a mãn ỏ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Bài 9 Cho các s d ng ố ươ th a mãn ỏ .Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :ị ớ ấ ủ ể ứ Bài 10 Cho các s th c d ng ố ự ươ .Ch ng minh r ng:ứ ằ Ph l cụ ụ 1, B t đ ng th c ấ ẳ ứ Côsi m r ngở ộ Cho các bi n s d ng ế ố ươ và các s th c d ng cho tr c ố ự ươ ướ .Khi đó đ t ặ ta có: D u b ng x y ra ấ ằ ả 2, Đ nh lí ị Fermat Cho hàm s ố liên t c trên ụ .Khi đó n u hàm s ế ố đ t c c tr t i ạ ự ị ạ thì 3,Đ nh lý ị Rolle Cho hàm s ố liên t c trên kho ng ụ ả th a mãn ỏ thì t n t i ồ ạ sao cho . ra đ c m tả ủ ừ ộ ộ ự ổ ợ ấ ị ượ ộ ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c:ươ ứ ấ ẳ ứ "Ph ng pháp h s b t đ nh"ươ ệ ố ấ ị . Đây là m tộ ph ng pháp khá hay và m nh đi kèm v i nh ng l i. thì s d ng đ c ph ng pháp này trong các b t đ ng th c thu n nh t?B ng kinh nghi mử ụ ượ ươ ấ ẳ ứ ầ ấ ằ ệ c a b n thân thì tôi cho r ng đi u ki n c n đ có th s d ng ph ng pháp này v i các b tủ. ứ đúng v i m i s d ng ớ ọ ố ươ . Nh ng đi u này là không đúng vì khi cho ư ề thì .Nh v yư ậ ph ng pháp này không hi u qu v i ph n này.ươ ệ ả ớ ầ Tuy r ng ằ không đúng nh ng nó v n có m t tác d ng