Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Undefined Coefficient Technique (U C T) Bài Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh 2 1 2 a b c �5 a b2 c Lời giải a 2a � 3 Thật vậy, Ta chứng minh a 2a �۳ a2 3 2a a 1 2a 6a 3 với a Xây dựng thêm bđt tương tự nữa, cộng lại theo vế kết hợp a b c ta có đpcm 3a 2a 2a � 3 Nhận xét: Vấn đề đặt làm có bất đẳng thức a 2a 2b 2c � ma n � mb n � mc n 3 3 3 Định hướng giải: a ; b ; c Cộng bđt theo vế ta có 2 1 2 a b c �5 m a b c 3n 3m 3n a b2 c Vậy ta phải có m n Suy 2a � m a 1 a2 3 Đến cần xác định hệ số m để bất đẳng thức � a 1 2a 3 � 2a � ��0 � m � m a � a m 2 � � a 3 3a � � Với m 2a 2a � a � � a ta có a 3 a2 3 Bài Cho a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh 1 1 �2 a 1 b 1 c 1 d 1 1 �1۳ a 2 HD: a Bài Cho a a 1 a2 a , b, c � � abc 3 � với a 1 �1 a b c b c a c a b Chứng minh bất đẳng thức 1 �1 HD: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a b b c c Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 � a 1 � m Ta cần chứng minh a a 3 Chú ý: Bài toán tổng quát giải PP hệ số bất định “Algebraic Inequalities – Old and New method” Vasile Cirtoaje Cho a1 , a2 , , an �0 thỏa mãn a1 a2 an n Chứng minh 1 �1 a1 a1 n a2 a2 n an an n Bài a , b, c � �1 1 � � � a b c �27 �3 3 a b c Chứng minh bất đẳng thức �a b c � Cho � 5a �9 a 1 � m HD: Ta cần chứng minh a Chú ý a � � 2a a �0 a, b, c � 1 �2 a b c �7 2 a b c � a b c Bài Cho Chứng minh bất đẳng thức HD: 4a � m a 1 � 3ma 4a 3m a �0 a 3 � a 1 3ma 3m a 3 �0 � m 4a � a 1 Ta chứng minh a 3 a b c � Bài [Nesbitt] Chứng minh b c c a a b với a, b, c a b c � HD: Chuẩn hóa a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức a b c a � a 1 Ta có a … Bài Cho a, b, c �0 Chứng minh bất đẳng thức b c a a c b a b c 2 2a b c 2b c a 2c b a 2 a b2 c � a b c HD: Chuẩn hóa a b c Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức 2a 2b 2c �a b c 2 a 2a b 2b c 2c 2 2 2a �a a 1 � m 6 Cơ sở a 2a , a �(0,3) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài [Đề thi Olympic 30-4, khối 11, lần III-2006] Chứng minh bất đẳng thức a b c b c a c a b � a, b, c 2 2 2 b c a c a b a b c a a HD: a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức � a � a , b, c a a a Ta có a 2 21 a � m a 25 a2 a b c Bài Cho a, b, c Chứng minh a a HD: a b c Ta cần chứng minh a Ta có a 2 b c a b b c a b c c � 2a � m a 1 4 b c 3a c a 3b a b 3c 2 2a b c 2b c a 2c a b Bài 10 Cho a, b, c Chứng minh 4a �2a a HD: a b c Ta phải chứng minh 4a 2a a Cơ sở � 4 a b c 8a � � 2 � Với ý a �3 � 39 8a Bài 11 [USA MO 2003] Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức 2 b c 2a c a 2b a b 2c �8 2 2a b c 2b c a 2c a b HD: a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 a b c 2 2a a 2b b 2c c 2 2 �8 , a 3 4a a HD: a b c Cơ sở 12a � b c 2a c a 2b a b 2c � 12 3 abc 4a b c 4b c a 4c a b Bài 12 Cho a, b, c Chứng minh 1 a 2a a a 1 � 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 13 Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 abc � 4a ab 4b2 4b2 bc 4c 4c ca 4a 2 a2 4a ab 4b2 4x2 x Ta chứng minh �a � �� �b � ma nb 2 �a � a � � �b � b HD: 6x2 �a � b � � �b � �ma ۳۳nb GV Nguyễn Hữu Hiếu �a � a � � �b � b �a � m� � n �b � �3x 3 Bài Cho x, y thỏa mãn điều kiện x y Tìm GTLN biểu thức P x y Lời giải: Áp dụng AM-GM ta có 5 1 1 1 1 1 6 x �6.2 x ; y �6.2 y 2 2 2 2 2 Cộng bất đẳng thức theo x y �6.2 vế ta x y 3 Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y �1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x y 3 HD: Giả sử P đạt max x a; y b dự đoán a , b điều kiện biên, tức a b Ta x 5a �6 x a viết ; y 5b �6 y b 3 � x y 5( a b ) �6.a 3 3 x 6.b y Để xuất P vế phải ta cần chọn a, b cho có tỷ lệ 6.a x : 6.b 5 a �a � y x : y � � � � b Như ta thu hệ �b � � a � �a 1 25 � � b � � � 3 � � a b b � � 1 25 MaxP � Kết 1 2 5 Tổng quát: m �Max p, q Bài toán Cho số nguyên dương m, n, p cho Hãy tìm giá trị lớn p q biểu thức P( x, y ) ax y hai trường hợp sau, biết a số dương x, y m m biến số không âm thỏa mãn điều kiện x y : i) p mq ii ) p 2m q Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài toán Cho số thực dương a, b, c, d số nguyên m, n thỏa mãn điều kiện m n n n n Tìm giá trị lớn biểu thức P ( x, y , z ) ax by cz x, y, z biến số m m m không âm thỏa mãn điều kiện x y z �d ... 2 b c 2a c a 2b a b 2c �8 2 2a b c 2b c a 2c a b HD: a b c Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 a b c 2 2a a 2b... 2a a a 1 � 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 13 Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 abc � 4a ab 4b2 4b2 bc 4c 4c ca 4a 2 a2 4a ab 4b2 4x2... c 2 2a b c 2b c a 2c b a 2 a b2 c � a b c HD: Chuẩn hóa a b c Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức 2a 2b 2c �a b c 2 a