2 PHUONG PHAP HE SO BAT DINH

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Undefined Coefficient Technique (U C T) Bài Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 2 1 2 a  b  c     �5 a b2 c Lời giải a 2a  �  3 Thật vậy, Ta chứng minh a 2a �۳ a2 3 2a  a  1  2a  6a  3 với a  Xây dựng thêm bđt tương tự nữa, cộng lại theo vế kết hợp a  b  c  ta có đpcm 3a 2a 2a  �  3 Nhận xét: Vấn đề đặt làm có bất đẳng thức a 2a 2b 2c  �  ma  n  �  mb  n  �  mc  n 3 3 3 Định hướng giải: a ; b ; c Cộng bđt theo vế ta có 2 1 2 a  b  c     �5  m  a  b  c   3n   3m  3n a b2 c Vậy ta phải có m  n Suy 2a  �  m  a  1 a2 3 Đến cần xác định hệ số m để bất đẳng thức � a  1  2a  3 � 2a � ��0 � m    �  m a  � a   m     2 � � a 3 3a � � Với m 2a 2a  �  a  �  �  a   ta có a 3 a2 3 Bài Cho a, b, c, d  thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 1 1    �2 a 1 b 1 c 1 d 1 1 �1۳ a 2 HD: a  Bài Cho a  a  1 a2  a , b, c  � � abc 3 � với a  1   �1 a  b  c b  c  a c  a  b Chứng minh bất đẳng thức 1   �1 HD: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  a  b  b  c  c  Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 �   a  1 � m   Ta cần chứng minh a  a  3 Chú ý: Bài toán tổng quát giải PP hệ số bất định “Algebraic Inequalities – Old and New method” Vasile Cirtoaje Cho a1 , a2 , , an �0 thỏa mãn a1  a2   an  n Chứng minh 1    �1 a1  a1  n a2  a2  n an  an  n Bài a , b, c  � �1 1 � �   �  a  b  c  �27 �3 3 a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức �a b c � Cho �  5a �9   a  1 � m  HD: Ta cần chứng minh a Chú ý  a � � 2a  a  �0 a, b, c  � 1 �2     a  b  c  �7 2 a  b  c  � a b c Bài Cho Chứng minh bất đẳng thức HD: 4a  �  m  a  1 � 3ma  4a    3m  a  �0 a 3 �  a  1  3ma   3m   a  3 �0 � m  4a  �   a  1 Ta chứng minh a 3 a b c   � Bài [Nesbitt] Chứng minh b  c c  a a  b với a, b, c  a b c   � HD: Chuẩn hóa a  b  c  Ta cần chứng minh bất đẳng thức  a  b  c a �   a  1 Ta có  a … Bài Cho a, b, c �0 Chứng minh bất đẳng thức  b  c  a    a  c  b   a  b  c  2 2a   b  c  2b   c  a  2c   b  a  2  a  b2  c  �  a  b  c HD: Chuẩn hóa a  b  c  Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức   2a    2b    2c    �a  b  c 2 a  2a  b  2b  c  2c  2 2   2a  �a   a  1 � m  6 Cơ sở a  2a  , a �(0,3) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài [Đề thi Olympic 30-4, khối 11, lần III-2006] Chứng minh bất đẳng thức a  b  c b c  a c  a  b   � a, b, c  2 2 2  b  c  a  c  a   b  a  b  c a   a HD: a  b  c  Ta cần chứng minh bất đẳng thức �  a  � a , b, c  a a   a Ta có   a 2 21  a �  m a     25  a2 a b  c Bài Cho a, b, c  Chứng minh   a  a HD: a  b  c  Ta cần chứng minh  a Ta có   a 2 b  c  a   b   b c  a  b  c   c � 2a  �  m  a  1  4  b  c  3a    c  a  3b    a  b  3c  2 2a   b  c  2b   c  a  2c   a  b  Bài 10 Cho a, b, c  Chứng minh   4a  �2a    a  HD: a  b  c  Ta phải chứng minh   4a  2a    a  Cơ sở � 4 a  b  c 8a  � � 2 � Với ý  a �3 � 39  8a  Bài 11 [USA MO 2003] Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức 2  b  c  2a    c  a  2b    a  b  2c  �8 2 2a   b  c  2b   c  a  2c   a  b  HD: a  b  c  Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 a   b   c   2 2a    a  2b    b  2c    c  2 2 �8 ,  a  3 4a    a  HD: a  b  c  Cơ sở 12a  �  b  c  2a    c  a  2b    a  b  2c  � 12 3 abc 4a   b  c  4b   c  a  4c   a  b  Bài 12 Cho a, b, c  Chứng minh 1 a 2a    a   a  1 � 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 13 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 abc   � 4a  ab  4b2 4b2  bc  4c 4c  ca  4a 2 a2 4a  ab  4b2 4x2  x  Ta chứng minh �a � �� �b � ma nb 2 �a � a � �  �b � b HD: 6x2 �a � b � � �b � �ma ۳۳nb  GV Nguyễn Hữu Hiếu �a � a � �  �b � b �a � m� � n �b � �3x  3 Bài Cho x, y  thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTLN biểu thức P  x  y Lời giải: Áp dụng AM-GM ta có 5   1 1 1 1 1 6 x      �6.2 x ; y      �6.2 y 2 2 2 2 2 Cộng bất đẳng thức theo x  y �6.2 vế ta   x y  3 Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y �1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y 3 HD: Giả sử P đạt max x  a; y  b dự đoán a , b điều kiện biên, tức a  b  Ta x  5a �6 x  a viết  ; y  5b �6 y  b 3  � x  y  5( a  b ) �6.a 3 3 x  6.b y Để xuất P vế phải ta cần chọn a, b cho có tỷ lệ 6.a x : 6.b 5 a �a � y  x : y � � � �  b Như ta thu hệ �b � � a  � �a 1 25 �  � b � � � 3 � � a  b  b  � � 1 25 MaxP  � Kết 1 2  5 Tổng quát: m �Max  p, q Bài toán Cho số nguyên dương m, n, p cho Hãy tìm giá trị lớn p q biểu thức P( x, y )  ax  y hai trường hợp sau, biết a số dương x, y m m biến số không âm thỏa mãn điều kiện x  y  : i) p  mq ii ) p  2m  q Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Bài toán Cho số thực dương a, b, c, d số nguyên m, n thỏa mãn điều kiện m  n  n n n Tìm giá trị lớn biểu thức P ( x, y , z )  ax  by  cz x, y, z biến số m m m không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z �d ... 2  b  c  2a    c  a  2b    a  b  2c  �8 2 2a   b  c  2b   c  a  2c   a  b  HD: a  b  c  Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 a   b   c   2 2a    a  2b... 2a    a   a  1 � 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 13 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 abc   � 4a  ab  4b2 4b2  bc  4c 4c  ca  4a 2 a2 4a  ab  4b2 4x2... c  2 2a   b  c  2b   c  a  2c   b  a  2  a  b2  c  �  a  b  c HD: Chuẩn hóa a  b  c  Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức   2a    2b    2c    �a  b  c 2 a