KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪNG BIẾN BẰNG HỆ SỐ BẤT ĐỊNH I CƠ SỞ LÝ THUYẾT ( ) ( ) ( ) ( ) Bất đẳngthức đưa dạng: f a1 + f a2 + + f an �m, �m với giả thiết a1k + a2k + + ank = h ( ) k Ý tưởng: Khi ta tìm cách đánh giá f a1 �aa1 + b ( Với dự đoán dấu xảy tâm = a0, i = 1, n ( *) ) �f ( a ) = aak + b � 0 Để (*) � , từ tìm a, b k- � f ' a � a ka ( ) � � Khi chứng minh (*) ta biến đổi tương đương dùng phương pháp hàm số với lưu ý cần hạn chế miền biến từ điều kiện ràng buộc Tóm lại: Phương pháp thành cơng cụ mạnh có hai đặc điểm sau: ( ) ( ) ( ) ( ) Đưa toán dạng: f a1 + f a2 + + f an �m, �m Điểm rơi toán xảy a1 = a2 = = an II CÁC VÍ DỤ: Ví dụ Cho số thực a,b,c dương a + b + c = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P = Phân tích: ( ) 1+ a 2a2 + ( 1- a) () + 1+ b 2b2 + ( 1- b) + 1+ c 2c2 + ( 1- c) ( ) Bài tốn có dạng f a + f b + f c với biến độc lập Bài tốn u cầu tìm giá trị lớn nghĩa đánh giá P �M Vai trò biến nên điểm rơi a = b = c = Kết nối ý tưởng cho ta đánh giá bất đẳng thức phụ 1+ x �mx + n 2x2 + ( 1- x) Ta tìm m, n sau: �� � 1 �1 � �� � f � = m+n � � �� � m + n = m= � � �� � 3 �� � �� �� � �� �3 � � � � 3 � � � � m= n= � f '� =m � � � � � � � � � � � � �� � � 1+ x �++ "� x Ta chứng minh: 2x2 + ( 1- x) Dấu xảy x = 3 - ( 1+ x) ( 3x - 1) 2x2 + ( 1- x) 2 0, x ( 0;1) Lời giải: Ta có: 1+ a �"� +a 2a + ( 1- a) Dấu xảy a = 2a2 + ( 1- a) 0, a ( 0;1) ( 1) - ( 1+ b) ( 3b - 1) 2b + ( 1- b) 2 0, b ( 0;1) ( 2) 0, c ( 0;1) ( 3) 1+ c 3 �++ "� c 2 2c2 + ( 1- c) Dấu xảy c = 2 1+ b 3 �"� +b 2 2b + ( 1- b) Dấu xảy b = - ( 1+ a) ( 3a - 1) - ( 1+ c) ( 3c - 1) 2c + ( 1- c) 2 Cộng (1), (2), (3) ta có: P = 1+ a 2a2 + ( 1- a) + 1+ b 2b2 + ( 1- b) Vậy MaxP = � a = b = c = + 1+ c 2c2 + ( 1- c) � a + b + c) + = ( 2 Ví dụ Cho số thực a,b,c dương a3 + b3 + c3 = Chứng minh rằng: � 1 1� � 4� + 5( a2 + b2 + c2 ) �27 �+ + � � � a b c� � � Phân tích: ( ) () ( ) Bất đẳng thức chưa có dạng f a + f b + f c , ta biến đổi vế dạng sau: � � � � � � � 1 1� 4 2 2� � 2� � 2� � � � � � 4� + + � + a + b + c = + a + + b + + c � � � � ( ) � � � � � � � � � � � � � � a b c� a b c � � � � � Vai trò a,b,c nên điểm rơi a = b = c = Bài toán yêu cầu chứng minh P �27 Kết nối yếu tố ta đánh giá bất đẳng thức phụ sau: Ta tìm m, n sau: �f ( 1) = m.13 + n � m +n = � m=2 � � �� �� � � � � � m=2 n=7 f ' =m � � � � � � ( ) Ta chứng minh: ( ) + 5x2 �mx3 + n, " x � 0; 3 x ( x - 1) ( - 2x +�+۳"� 5x2 2x3 x + x + 4) x ( 0; 3) 0, x Lời giải: � 1 1� � � � � � � � � � � + + � + a2 + b2 + c2 = � + 5a2� +� + 5b2� +� + 5c2� Ta có: 4� � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b c� a b c � � � � � ( ) Ta có: +�+۳"� 5a2 2a3 a +�+۳"� 5b2 2b3 b +�+۳"� 5c2 2c3 c ( a - 1) ( - 2a ( b- 1) ( - 2b 2 + b + 4) b ( c - 1) ( - 2c ( 0; 3) 0, a a + a + 4) + c + 4) c ( 1) 0, b ( 0; 3) ( 2) 0, c ( 0; 3) ( 3) Cộng (1), (2), (3) ta được: � 1 1� � 4� + 5( a2 + b2 + c2 ) �2( a3 + b3 + c3 ) + 21 = 27 �+ + � � � a b c� � � Ví dụ Cho số thực a,b,c > ab + bc + ca = 2016abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = Phân tích: ( ) a ( 2016a - 1) () + b( 2016b - 1) + c ( 2016c - 1) ( ) Bài tốn có dạng f a + f b + f c Vai trò biến nhau, dự đốn điểm rơi a = b = c = k Vấn đề đặt ta chưa biết điểm rơi toán, ta cần biến đổi điều kiện để tìm điểm rơi, ta thực biến đổi sau: ab + bc + ca = 2016abc � 1 + + = 2016 a b c Từ điều kiện ta có ý tưởng đặt ẩn phụ sau: 1 ;y = ; z = , từ toán phát biểu lại sau: a b c x , y , z Cho số thực dương x + y + z = 2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 y3 z3 P = + + 2 2016 x 2016 y ( ) ( ) ( 2016- z) Dự đoán điểm rơi x = y = z = 672 Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, nghĩa đánh giá P �M x3 �mx + n Bài toán có dạng f ( x) + f ( y) + f ( z) , nên ta đánh giá: ( 2016- x) Đặt x = Ta tìm m, n sau: �f ( 672) = 672m + n � � 168 = 672m + n m=1 � � � � � � � � � � � m=1 n = - 504 f ' 672) = m � � � � ( x3 �x - 504 Ta xét bất đẳng thức phụ sau: ( 2016- x) Lời giải: Ta có: ab + bc + ca = 2016abc � 1 + + = 2016 a b c 1 ;y = ; z = x, y, z số thực dương x + y + z = 2016 a b c x y3 z3 P = + + 2 ( 2016- x) ( 2016- y) ( 2016- z) Đặt x = Ta có: x3 ( 2016- x) �-۳"� x 504 x3 - ( x - 504) ( x - 2016) ( 2016- x) y - ( y - 504) ( y - 2016) ( 2016- y) z - ( z - 504) ( z - 2016) ( 2016- z) y3 ( 2016- y) �-۳"� y 504 ( 2016- z) �-۳"� z 504 0, x ( 0;2016) ( 1) 0, y ( 0;2016) ( 2) 0, z ( 0;2016) ( 3) 2 z3 2 Cộng (1), (2), (3) ta được: P = x3 ( 2016- x) + y3 ( 2016- y) + z3 ( 2016- z) �x + y + z - 504.3 = 504 Vậy MinP = 504 � x = y = z = 672 Ví dụ Cho số thực a,b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị lớn biểu thức: �1 � ab + bc + ca 1 � � P = 4� + + � � � a +b b + c c + a � abc � � Phân tích: � a + b = 1- c � � � b + c = 1- a a,b,c ba cạnh tam giác có chu vi � � � � c + a = 1- b � � Bài toán chưa có dạng f ( a) + f ( b) + f ( c) , ta biến đổi dạng sau: �1 1 � � � P = 4� + + � � � � 1- a 1- b 1- c� � � �4 �4 �4 1 1� 1� 1� 1� � � � � � � � � � � � + + � = + + � � � � � � � � � � � � � � � � a b c� � 1- a a � � 1- b b� � 1- c c � � Chu vi nên a + b + c = , vai trò biến nên điểm rơi a = b = c = �mx + n 1- x x �� � 1 �� �1 � f � = m+n �� � �� � m = 18 � 3 �� � m +n = � � � � Ta tìm m, n sau: � � �� �3 � � � � n =- 1� � � � m = 18 � f '� = m � � � � � � � 3� � � �� Ta đánh giá bất đẳng thức phụ: ( 3x - 1) ( 2x - 1) Ta chứng minh �18x - � , " x �( 0;1) (*) 1- x x ( 1- x) x Vấn đề đặt (*) chưa với " x �( 0;1) , điều khiến ta suy nghĩ đánh giá điều kiện chặt { } hơn, khơng tính tổng qt ta giải sử a = max a;b;c � = a + b + c > 2a � a < Vậy � � � � 2� � � 0; � lúc x �� � � �thì (*) ln Ta có lời giải sau Lời giải: �1 �4 �4 �4 �� 1 1� 1� 1� 1� � � � � � � � � � � � + + � = + + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b c� 1- a a � 1- b b� 1- c c � � � � + + Ta có: P = 4� � � � � 1- a 1- b 1- c � � Khơng tính tổng qt ta giả sử : a = max {a;b;c} � = a + b + c > 2a � a < 1 � a,b,c < 2 Ta có: � ( 3a - 1) ( 2a - 1) 0, a � 1� � � 0; � � ( 1) � � 2� � ( 1- a) a ( 3b - 1) ( 2b - 1) 0, b � 1� � � -�+"�18b 0; � � � ( 2) � 1- b b � 2� � ( 1- b) b � ( 3c - 1) ( 2c - 1) 0, c � 1� � � -�"� - 18c 0; � � ( 3) � 1- c c � 2� � ( 1- c) c Cộng (1), (2), (3) ta được: P �18( a + b + c) - = -�+"�18a 1- a a 2 Vậy MaxP = � a = b = c = ( ) ( ) 2 Ví dụ Cho số thực a,b, c dương a + b - a + b + = * Tìm giá trị nhỏ biểu �a + b+1 � � � � P = 32 + + � � 2 thức: � � a + a b + b � � a +b ( a +b) +9 Phân tích: Các biến đối xứng nên dự đoán điểm rơi a = b = k , nhiên chưa dự doand điểm rơi điều kiện cịn chưa thuận lợi, điều làm ta phải đánh giá lại điều kiện sau: ( a +b) � * +���+-+++� b ( ) 2 a2 (a b) 6( a b) a b � a =b=1 Do nhận định a = b = k nên có hai khả � , thử trực tiếp khả ta thấy � a =b= � � MinP = 124 � a =b= a +1 b+1 giống loại hàm lại khác biệt với biểu , a2 + 2a b2 + 2b thức lại, ta có ý tưởng dồn biến a + b biểu thức thứ a +1 b+1 Hai biểu thức có dạng f ( a) + f ( b) nên ta đánh giá bất đẳng thức phụ sau: , a + 2a b2 + 2b x +1 f ( x) = �mx + n, " x �( 2;4) x + 2x � � � � �f ( 2) = 2m + n 2m + n = m=� � � � � 8�� 32 �� Ta tìm m, n sau: � � � � 11 f ' = m � � � m=n= � ( ) � � � � 32 � � Mặt khác biểu thức P có x +1 Ta chứng minh f ( x) =�-+۳"� x2 + 2x x 32 ( x - 2) ( 5x + 8) 32( x + 2x) 11 ( 2;4) 0, x Dấu xảy x = Lời giải: ( a +b) +�* +���+-+++� b ( ) 2 Ta có: a2 (a b) 6( a b) Ta có: a +1 11 �-+۳"� a 32 a + 2a b+1 11 �-+۳"� b 32 b + 2b ( a - 2) ( 5a + 8) 32( a + 2a) ( b- 2) ( 5b + 8) 32( b + 2b) 2 0, a ( 2;4) ( 1) 2 0, b ( 2;4) ( 2) a b a +b P �- 5( a + b) + 44 + Cộng (1), (2) ta có: ( a + b) +9 t () Đặt t = a + b,2 �t �4 , xét hàm số g t = - 5t + 44 + g '( t ) = - + (t + 9) t2 + < 0, " t �� 2;4� � � suy hàm số nghịch biến 124 � a =b= Ví dụ Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + �1 a2 + 8bc b2 + 8ac c2 + 8ab ( ) Do MinP = g = Phân tích: ( ) () ( ) Bài tốn chưa có dạng f a + f b + f c , việc cần làm phải đánh giá tích bc,ca,ab tổng b + c, c + a, a + b dựa vào điều kiện toán tiến hành độc lập biến số, cụ thể ta làm sau: 2 � � � � b +c� a + c� a + b� � � � � � � � bc �� ; ca � ; ab � � � � � � � � � � � � �2 � � �2 � �2 � Ngoài biến đối xứng nên điểm rơi a = b = c = Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: VT � a a2 + 2( b + c) a = a2 + 2( - a) 2 + + b b2 + 2( c + a) b b2 + 2( - b) 2 + + Thật vậy, với < a < Nếu a + 2( - a) c2 + 2( a +b) c c2 + 2( 3- c) a Ta xét bất đẳng thức phụ sau: c 2 � a - , " a �( 0;3) ( *) (*) hiển nhiên �a < a a + 2( 3- a) 2 � � � � � � a � � � �-۳-� +� a � � � � � � � � a + a ( ) � � � � � �a � � 1� � � � � 4� ( a 1) ( 8a 2 20a 3) a Suy ra: a2 + 2( - a) + b b2 + 2( 3- b) + c c2 + 2( 3- c) Vậy P �1 , dấu xảy a = b = c = � a + b + c) - = ( ... � �� Ta đánh giá bất đẳng thức phụ: ( 3x - 1) ( 2x - 1) Ta chứng minh �18x - � , " x �( 0;1) (*) 1- x x ( 1- x) x Vấn đề đặt (*) chưa với " x �( 0;1) , điều khiến ta suy nghĩ đánh giá điều kiện... = 672 Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, nghĩa đánh giá P �M x3 �mx + n Bài toán có dạng f ( x) + f ( y) + f ( z) , nên ta đánh giá: ( 2016- x) Đặt x = Ta tìm m, n sau: �f ( 672) =... biểu , a2 + 2a b2 + 2b thức lại, ta có ý tưởng dồn biến a + b biểu thức thứ a +1 b+1 Hai biểu thức có dạng f ( a) + f ( b) nên ta đánh giá bất đẳng thức phụ sau: , a + 2a b2 + 2b x +1 f ( x)