Bài tập về định lý vi ét và ứng dụng ôn thi vào lớp 10

Bài tập về định lý viét và ứng dụng được mình sưu tầm và tổng hợp lại và hoàn thiện . Tuy còn nhiều thiếu sót và những sai sót trong quá trình hoàn thành . Mình mong các bạn ủng hộ và đón nhận để mình có động lực làm ra những tài liệu hay và bổ ích hơn nữa

Bài 1 : Cho phương trình bậc 2 có x là ẩn số , m là tham số

x2 mx m  1 0 

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

b) Tính theo m giá trị của biểu thức : A X 12X22

Bài 2 : Cho phương trình ẩn x :

x2 mx m  2 0 

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm GTLN của A và giá trị của m tương ứng

Ax12 x22 2 x x1 2

Bài 3 : Cho phương trình bậc hai x là ẩn , m là tham số

x2 2(m 2) 2 m 5 0

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x1 , 2 là nghiệm của phương trình trên Tìm m để : x13x23 9

c) Tìm m để A x x 1 2  x12 x22 đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 : Cho phương trình : x2  2(m1)m2 2 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m , biết : x12x22 x1  x2  6

Bài 5 : Cho phương trình : x2  2(m1)x m 0 (1) ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình (1) luôn có 2 ngiệm phân biệt với mọi giá trị m b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị m để x1 x2

Bài 6 : Cho phương trình : x2  (5m1)x6m2 2m0 (1) ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m

b) Gọi x x1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình (1) Tìm m để :

1 2

1 1 5

2

x x 

Bài 7 : Cho phương trình : x2  mx m  1 0  (1) ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để :

A (x1  1) (2 x2  1)2 2x x1 2

Bài 8 : Cho phương trình : x2  2mx m  3 0  (1) ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x x1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình (1) Tìm m để biểu thức :

1 2

2 1 2 1

Bài 9 : Cho phương trình : x2  2(m1)x m 2m 1 0 (1) ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

b) Định m để hai nghiệm x x1 , 2 , phương trình (1) thỏa mãn :

(x1  x12 1)(x2  x22 1) 1 

Bài 10 : Cho phương trình : x2 x 2  m2  0 (1) ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

b) Gọi x x1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm m để :

1

2

3 2

x

x





Bài 11 : Cho phương trình : x2 x m 2 0  ( m là tham số )

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình trên Tìm m để x x1 23x x13 2  10

Bài 12 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m  4 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m c) Chứng minh : biểu thức A x 1 (1  x2 ) x2 (1  x1 ) không phụ thuộc vào m

Bài 13 : Cho phương trình : x2 (a1)x a 2 a 2 0

a) Chứng minh : phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x x1 , 2 Tìm giá trị của a để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 14 : Cho phương trình : x2 2(m1)x2m10 0 ( m là tham số )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x x1 , 2 hãy tìm một

hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị của m để :

10x x1 2 x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 15 : Cho phương trình : (m1)x2 2mx m  1 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1

b) Xác định giá trị của m để phương trình tích có hai nghiệm bằng 5 , từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn hệ thức ;

1 2

2 1

5 0 2

x x

x  x  

Bài 16 : Cho phương trình : x2 mx m  1 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có nghiệm x x1 ; 2 với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của phương trình và giá trị của m tương ứng

b) Đặt A x 12x22 6x x1 2 Chứng minh : A m 2 m 8

c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Bài 17 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 4m 4 0 ( m là tham số )

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

d) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính x12x22 theo m

Bài 18 : Cho phương trình : x2 (3m1)x2m2m1 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi x x1 ; 2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất : A x 12x22 3x x1 2

Bài 19 : Cho phương trình : x2 2mx 4m2 5 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x1 ; 2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức :

A x 12x22 x x1 2

Bài 20 : Cho phương trình : x2  2mx m  2 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình Tìm m để : 12 22 1 2

24 6

M

x x x x





 

Bài 21 : Cho phương trình : 8x2 8x m 2  1 0 ( m là tham số )

a) Định m để phương trình có nghiệm

1 2

x 

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa điều kiện :

x14 x24 x13 x23

Bài 22 : Cho phương trình : x2 mx 1 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

b) Gọi x x1 , 2 là nghiệm của phương trình Tìm m để :

P

Bài 23 : Cho phương trình : x2 mx m  2 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình Tìm m để :



Bài 24 : Cho phương trình : x2 2(m1)x 2m 1 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x x 1 2  (x12x22) và giá trị m tương ứng

Bài 25 : Cho phương trình : x2  2mx 2m2  m 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để :

2 2

1 2

10

2

x x A

x x x x



Bài 26 : Cho phương trình : x2 2(m 3)x m 21 0 ( m là tham số )

a) Định m để phương trình có nghiệm x x1 ; 2

b) Định m để 2 nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn hệ thức :

x13x23 x x12 2 x x1 22

Bài 27 : Cho phương trình : x2 (m1)x2m 6 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm x x1 ; 2 với mọi giá trị của tham

số m

b) Tim các giá trị m nguyên sao cho

2x 2x A

Bài 28 : Cho phương trình : x2 (2m1)x2m 2 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm x x1 , 2 với mọi m

b) Tìm m biết : x12 x22 4x x1 2  18

c) Tìm GTNN của biểu thức : x12x22 4x x1 2 và giá trị m tương ứng

Bài 29 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m  5 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để :

(x1  1)2x2  (x2  1)2x1  16

Bài 30 : Cho phương trình : x2 2x m 2 4m 3 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa :

x14x24 2x x12 22  16

Bài 31 : Cho phương trình : x2 2mx  4 0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn :

(x  1)  (x  1)  2

Bài 32 : Cho phương trình : x2 5x m  0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình khi m = 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn :

x1  x2  3

Bài 33 : Cho phương trình : x2 3(m1)x2m218 0 ( m là tham số ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để có : x1  x2  5

Bài 34 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 4m 5 0 ( m là tham số ) a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

Bài 35 : Cho phương trình : (m1)x22(m1)x m 0 ( m là tham số ) a) Định m để phương trình có nghiệm kép , tính nghiệm kép này

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài 36 : Cho phương trình : x2 2mx 2m2 1 0  ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

b) Tìm m để : x13x23x12x22 2

Bài 37 : Cho phương trình : x2 2(m1)x2m10 0 ( m là tham số )

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 Hãy tìm một

hệ thức liên hệ giữa x x1 , 2

Bài 38 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m  3 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m sao cho 2 nghiệm x x1 , 2 thỏa điều kiện : x12x22  0

Bài 39 : Cho phương trình : x2 (2m3)m 3 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất ấy

Bài 40 : Cho phương trình : 4x22(3 2 ) m x m 2 3m 2 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để tích 2 nghiệm số của phương trình này đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 41 : Cho phương trình : (m1)x22mx m  1 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Định m để 2 nghiệm x x1 , 2 thỏa : x x12 2 x x22 1  2m

Bài 42 : Cho phương trình : (m2)x2 (2m1)x m  3 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và khi

đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia

Bài 43 : Cho phương trình : x2 mx 2m 2 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình không thể có hai nghiệm đều âm

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình trên Chứng minh biểu thức :

2 2

1 2

(x 2x 2)(x 2x 2)

x x

 không phụ thuộc vào giá trị m

Bài 44 : Cho phương trình : x2 3x m   4 0 ( m là tham số )

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m để có 2 nghiệm x x1 , 2 , thỏa mãn : x1  x2  1

Bài 45 : Cho phương trình : x2 4x m 2 6m 10 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

b) Gọi x x1 , 1 là nghiệm của phương trình Chứng minh : 1 2

1 1

4

x x 

Bài 46 : Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình :

2x22(m1)x m 24m 3 0 ( m là tham số )

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M x x1 2  2x1  2x2

Bài 47 : Cho phương trình : (m1)x22(m1)x m  3 0 ( m là tham số )

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn : x1  x2  m 1

Bài 48 : Cho phương trình : x2 4x m  2 0  ( m là tham số )

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa : 12 22 12 22

6

M

x x x x



   đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 49 : Cho phương trình : x22(m1)x m 2 m 3 0 ( m là tham số )

a) Định m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2

b) Định m để hai nghiệm thỏa : x13x23  28

Bài 50 : Cho phương trình : (m1)x2mx 1 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với m ≠ 1

b) Định m để hai nghiệm thỏa : x13x23  2

Bài 51 : Cho phương trình : x22(m1)x m m (  2) 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm phương trình thỏa : 2x1  x2  4

Bài 52 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 4m0 ( m là tham số )

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để hai nghiệm x x1 , 2 thỏa : x1 x2

Bài 53 : Cho phương trình : x2 (m3)x 2m 1 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa :

(x12 3x1  1)(x22 3x2  1) 1 

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa :

2x1  3x2  0

Bài 54 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 m0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để : x12 2 (x x1 2 m) 2  x2   6 0

Bài 55 : Cho phương trình : x2(m1)x2m 2 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m thỏa : A x 14x24 đạt GTNN

c) Cho phương trình : (x216)x2(m1)x2m2 0 ( m là tham số ) Tìm m

để phương trình có không quá 1 phần tử có giá trị âm

Bài 56 : Cho phương trình : x2 2mx 2m 4 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để : x1  x2 x22

Bài 57 : Cho phương trình : x2 3(m2)x3m0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tính GTLN của biểu thức :

3

1 2 1 2

2

1 2

x x x x K

x x





Bài 58 : Cho phương trình : x2 2(m 2)x4m 20 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Định m để :

2

1

2 2

A x mx  x

đạt GTNN

Bài 59 : Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 4m1 0 ( m là tham số )

a) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình thỏa : x x1 2  2x12 2x22  33

Bài 60 : Cho phương trình : x2 2(m1)x2m 5 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để : 1 2 12 22

35 3

K

x x x x





  đạt GTLN

Bài 61 : Cho phương trình : x2 (m5)x m  7 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm tổng và tích của hai nghiệm theo mưa , từ đó tìm hệ thức độc lập giữa hai nghiệm của phương trình

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn -2

Bài 62 : Cho phương trình : x2 (2m1)x 4 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình luôn có 2 nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phương trình thỏa : x12 (2m 1)x2   8 17m 0

Bài 63 : Cho phương trình : x2 (m2)x m  1 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để : 3x x1 2  4x1  2

Bài 64 : Cho phương trình : x2 (2m1)x m 2 0 ( m là tham số )

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm

b) Tìm m để : x12 (2m 1)x2  8

Bài 65 : Cho phương trình : x22(m 2)x m 2 5m 4 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để : x12 2(m 2)x2 m2 5m  4 0 đạt GTNN

Bài 66 : Cho phương trình : x2 4x m  0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m để : 3x1  4x2  7

Bài 67 : Cho phương trình : 3(mx1) x2 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để :

12 1 2 22

18 4

A

x x x x



  đạt giá trị lớn nhất

Bài 68 : Cho phương trình : x2 (2m1)x m 21 0 ( m là tham số )

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m để : A x 1 (3  x2 ) x2 (3  x2 ) đạt GTLN

Bài 69 : Cho phương trình : x2 2(m1)x 3 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để : (x12x1  3)(x22 x2  3)  9

Bài 70 : Cho phương trình : x2(m21)x m  2 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 với mọi m b) Tìm m để :

1 2

2x 1 2x 1 55

x x

Bài 71 : Cho phương trình : x2 2mx 2m 5 0  ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để :

1 2

1 2

1 1

4 5

x x

m

x x



Bài 72 : Cho phương trình : x2  5x m  0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m để : x x1 2 x2 x1  6

Bài 73 : Cho phương trình : x2 (2m1)x m 2m 6 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình luôn luôn có nghiệm phân biệt

b) Tìm m để : x13 x22  50

Bài 74 : Cho phương trình : x2 5x  4 9m 0 ( m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1 , 2

b) Tìm m để : x x1 ( 12 1) x2 (8x22 1) 5 

Bài 75 : Cho phương trình : x2 2(m1)x2m 5 0 ( m là tham số )

a) Chứng minh : phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để : (x12 2mx1  2m 1)(x22 2mx2  2m 1) 0 

Bài 76 : Cho phương trình : x2 3x m  0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để : x12  1 x22  1 3 3