Đây là những bài tập mình tổng hợp và sưu tầm được suốt thời gian qua . Tuy chưa còn nhiều thiếu sót trong quá trình làm nhưng mình hy vọng các bạn ủng hộ và đóng góp ý kiến để mình ngày càng hoàn thiện hơn . Nhất là các bạn học sinh lớp 9 rất cần những bài tập hữu ích này để phục vụ cho kì thi lớp 10 . Chúc các bạn thi đạt kết quả thật cao và vào được trường minh mong muốn . Xin cảm ơn các bạn
Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N a) Chứng minh : tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp · DEA ·ACB b) Chứng minh : = c) Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : OA là phân giác của e) Chứng minh : · MAN AM 2 = AE AB Bài 2 : Cho (O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’ , đường kính BC Gọi M là trung điểm của AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB ; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I a) b) c) d) Tứ giác ADBE là hình gì ? Chứng minh : DBMI là tứ giác nội tiếp Chứng minh : B , I , C thẳng hàng và MI = MD Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O’) Bài 3 : Cho (O) đường kính BC , điểm A nằm trên cung BC Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD Dựng hình vuông ABDE , AE cắt (O) tại điểm thứ hai F Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G a) Chứng minh : BDCG là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn này b) Chứng minh : tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Chứng minh : GEFB là tứ giác nội tiếp d) Chứng minh : C , F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Bài 4 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O) Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC P là trung điểm AB , Q là trung điểm FE a) Chứng minh : MFEC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : BM EF = BA EM c) Chứng minh : d) Chứng minh : VAMP∞VFMQ · PMQ =90 Bài 5 : Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC và cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm DE a) Chứng minh : A , B , H , C , O cùng nằm trên 1 đường tròn b) Chứng minh : HA là phân giác của · BHC c) Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh : d) BH cắt (O) ở K Chứng minh : AE // CK AB 2 = AI AH Bài 6 : Cho tam giác ABC đểu nội tiếp (O ; R ) Trên cạnh AB ; AC lấy hai điểm M ; N sao cho BM = AN a) Chứng minh : tam giác OMN cân b) Chứng minh : OMAN là tứ giác nội tiếp BC 2 + DC 2 = 3R 2 c) BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E Chứng minh : d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I ; AO kéo dài cắt BC tại J Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ OC ⊥ AB Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , bán kính điểm trên cung BC Kẻ đường cao CH của tam giác ACM Gọi M là 1 a) Chứng minh : AOHC là tứ giác nội tiếp · COM b) Chứng minh : tam giác CHM vuông cân và OH là phân giác của c) Gọi giao điểm của OH với BC là I MI cắt (O) tại D Chứng minh : CDBM là hình thang cân d) BM cắt OH tại N Chứng minh : MA VBNI ∞VAMC , từ đó suy ra BN MC = IN Bài 8 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) Vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm ) Vẽ dây BC của (O) vuông góc với OA a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O) b) Chứng minh : A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn c) Kẻ đường kính BD của (O) , vẽ CK vuông góc tại K Chứng minh : AC CD = AO CK d) AD cắt CK ở L Chứng minh : I là trung điểm CK Bài 9 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy M thuộc cung AC nhỏ sao cho MA < MC Tia OA cắt tia CM tại E và cắt MD tại F a) Chứng minh : M , C , O , F cùng thuộc một đường tròn · MEF · MDC b) Chứng minh : = và MF MD = ME MC c) Vẽ dây CQ đi qua F Chứng minh : E , Q , D thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh : IM là tiếp tuyến của (O) Bài 10 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) Tiếp tuyến tại B , C cắt nhau tại D , kẻ cát tuyến DEF // AB cắt AC tại I , cắt BN tại C a) Chứng minh : BOCD là tứ giác nội tiếp ID là phân giác của DE.DF = DC 2 · BIC DN DI = DE.DF b) Chứng minh : ; c) Chứng minh : BN BC = AB ND d) Chứng minh : I là trung điểm EF Tam giác ABI cân Bài 11 : Từ điểm C nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến CE , CF đến (O) ( E , F là tiếp điểm ) và cát tuyến CMN a) Chứng minh : CEOF là tứ giác nội tiếp CE 2 = CF 2 = CM CN b) EF cắt OC tại I Chứng minh : O ; I ; M ; N cùng thuộc đường tròn c) Chứng minh : · CIM = · OIN · MCD d) Tia MI cắt (O) tại D Chứng minh : CO là tia phân giác của e) Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại K Chứng minh : E , F , K thẳng hàng Bài 12 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) , có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt (O) tại 2 điểm M và N a) Chứng minh : BEDC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I ·AED · IDC b) Chứng minh : = c) Kẻ tiếp tuyến xy của (O) tại A Chứng minh : DE // xy d) Chứng minh : OA là tia phân giác e) Chứng minh : · MON AM 2 = AD AC Bài 13 : Cho đường tròn (O) đường kính BC Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC Từ A vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Từ H vẽ HE vuông góc với AB , HF vuông góc với AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ) a) Chứng minh : AEHF là hình chữ nhật OA ⊥ EF b) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q ( E nằm giữa P và F ) Chứng minh : AP 2 = AE AB và suy ra APH là tam giác cân c) Gọi D là giao điểm PQ và BC , K là giao điểm của AD và đường tròn (O) ( K≠A) Chứng minh :AEFK là tứ giác nội tiếp d) Gọi I là giao điểm FC và BC Chứng minh : IH 2 = IC.ID Bài 14 : Cho đường tròn (O ; R ) và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M trên đường thẳng d và ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F là hai tiếp điểm ) a) Chứng minh : MEOF là tứ giác nội tiếp ME 2 = MA.MB b) Chứng minh : c) OM cắt đường tròn (O ; R ) tại C Chứng minh : C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF d) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MEOF là một hình vuông Bài 15 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) Đường tròn tâm (O) , đường kính BC lần lượt cắt AB và AC tại M và N ; BN và CM giao nhau tại H , AH cắt BC tại K a) Chứng minh : b) Chứng minh : AK ⊥ BC AM AB = AN AC · NMK c) Chứng minh : MH là phân giác d) NM và BC kéo dài cắt nhau tại S Chứng minh : SB SC = SK SO Bài 16 : Cho (O ; R) , đường kính BC , trên cung BC lấy điểm A sao cho AB < R Gọi D là điểm chính giữa cung AC , E là giao điểm AC và BD VADE∞VBCE a) Chứng minh : b) Trên BC lấy điểm F sao cho CF = AB Từ F vẽ đường song song với AC cắt ·ABC BD , AB lần lượt tại M , N Chứng minh : BD là phân giác của EA BF = EC BN c) Tia AM cắt (O) tại I Chứng minh : D , F , I thẳng hàng d) Từ C vẽ đường vuông góc với DC cắt AI tại K Chứng minh : BKFA là hình bình hành Bài 17 : Cho (O ; R) và điểm M ở ngoài đường tròn (O) Vẽ các tiếp tuyến MA , MB ( A , B là các tiếp điểm ) ; vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D ) a) Chứng minh : OM là trung trực của AB MA2 = MC MD b) Chứng minh : c) Chứng minh : AC BD = BC AD d) Vẽ dây DE song song với AB ; Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh : IC IE = IO IM Bài 18 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C (AC > OA) , vẽ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm ) , vẽ OE vuông góc với BC tại E a) Chứng minh : A , C , D , E cùng thuộc một đường tròn b) AD cắt OE tại F Chứng minh : FD FA = FE FO c) BC cắt nửa đường tròn (O) tại M (M≠A) Chứng minh FM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) d) Cho MF = R 3 , tính diện tích tam giác DEF theo R Bài 19 : Cho đường tròn (O ; R) , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi I là điểm di động trên bán kính OB ( I ≠ B , O ) Tia CI cắt đường tròn (O ; R) tại E a) Chứng minh : OIDE là tứ giác nội tiếp CI CE = 2 R 2 b) Chứng minh : c) DB cắt CE tại H , AE cắt CD tại K Chứng minh : HK // AB d) Chứng minh : S ACIK không đổi khi I chuyển động trên OB ( I ≠ B , O ) Bài 20 : Cho đường tròn ( O ; R) đường kính AB Điểm M nằm trên đường tròn (MA < MB ) Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường tròn (O ; R) tại N Kéo dài BM và NA cắt nhau tại I Vẽ IH vuông góc với đường thẳng AB tại H a) Chứng minh : AHIM là tứ giác nội tiếp Xác định tâm và bán kính ·AMH ·ABM b) Chứng minh : = c) Chứng minh : MH là tiếp tuyến của (O ; R ) d) Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O ; R) sao cho A là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HMO Bài 21 : Cho tam giác có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác của BAC đường tròn (O) tại E OE ⊥ BC a) Chứng minh : b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M Chứng MA2 = MB.MC minh : c) AE cắt BC tại K Chứng minh : MA = MK d) Chứng minh : ·AMC =2 ·AEO Bài 22 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ MP vuông góc với AB ( P thuộc AB ) , vẽ MQ vuông góc với AE ( Q thuộc AE ) a) Chứng minh : AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật b) Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh : O , I , E thẳng hàng c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh : Suy ra K là trung điểm MP d) Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất Bài 23 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF ) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm , A nằm giữa hai điểm M và B , A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO ) a) Chứng minh : MA MB = ME MF b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh : AHOB là tứ giác nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính MF ; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giao MS ⊥ KC điểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh : d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T lần lượt là trung điểm của KS Chứng minh : P , Q , T thẳng hàng Bài 24 : Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn ( O ; R )( B ; C cố định , A di động trên cung lớn BC ) Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Từ M kẻ đường đường thẳng song song với AB , đường thẳng này cắt (O) tại D và E ( D thuộc cung nhỏ BC ) , cắt BC tại F , cắt AC tại I · MBC · BAC a) Chứng minh : = Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : FI FM = FD FE c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB ) Đường thẳng QF cắt (O) tại T ( T ≠ Q) Chứng minh : P , T , M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất Bài 25 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB < AC ) Các đường tròn AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H ·AHC · BAC a) Chứng minh : BFHD là tứ giác nội tiếp Suy ra = 180 – b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) ( M khác B và C ) và N là điểm đối xứng của M qua AC Chứng minh : AHCN là tứ giác nội tiếp c) Gọi I là giao điểm của AN và HC ; J là giao điểm của AC và HN Chứng minh : ·AJI = d) Chứng minh : ·ANC OA ⊥ IJ Bài 26 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có 3 góc nhọn Đường tròn (O) đường kính BC cắt cạnh AC , AB lần lượt tại E , F Gọi H là giao điểm của BE và CF ; D là giao điểm của AH và BC AD ⊥ BC a) Chứng minh : và AH AD = AE AC b) Chứng minh : EFDO là tứ giác nội tiếp · BLC c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF Tính số đo d) Gọi R , S lần lượt là hình chiếu của B , C lên EF Chứng minh : DE + DF = RS Bài 27 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi điểm đối xứng của H qua AB và AC Đường thẳng a) Tam giác AH1 H 2 H1 H 2 là tam giác gì ? Chứng minh : H1 và H2 lần lượt là cắt AB và AC tại K và I ·AH K 2 = ·AHK AHH 2 b) Chứng minh : C , K cùng thuộc đường tròn ( ) c) Chứng minh : AH , CK , BI đồng qui ( Gợi ý : CK là đường cao của tam giác ABC ) Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH Gọi I và K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và tam giác AHC BI cắt AK tại E ; CK cắt AI tại F ; BI cắt CK tại O a) b) c) d) · HBA · HAC · HCA · HAB Chứng minh : = và = Chứng minh : HBAE và HACF là tứ giác nội tiếp Chứng minh : O là trực tâm tam giác AIK IK cắt AB tại M và cắt AC tại N Chứng minh : tam giác AMN vuông cân tại A Bài 29 : Cho tam giác ABC nhọc có tia phân giác trong ở đỉnh B cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh C tại I , tia phân giác trong ở đỉnh C cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh B tại K BI cắt CK tại H M là trung điểm IK a) Chứng minh : BCIK là tứ giác nội tiếp và I , A , K thẳng hàng b) Chứng minh : AHBK và AHCI là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : BCMA là tứ giác nội tiếp Bài 30 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC Vẽ MH vuông góc với BC tại H ; MK vuông góc với AB tại K và giả sử K nằm ngoài cạnh AB a) Chứng minh : MHBK là tứ giác nội tiếp và VMHK ∞VMCA b) Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CA và HK Chứng minh : VMHE ∞VMCD c) Kéo dài KH cắt AC tại I Chứng minh : MEDI là tứ giác nội tiếp d) Chứng minh : MCIH là tứ giác nội tiếp và EM ⊥ ED Bài 31 : Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE , đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự tại H và K a) Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp · CHK b) Tính c) Chứng minh : KC KD = KH KB d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào ? Bài 32 : Cho đường tròn (O) BC là dây bất kì ( BC < 2R ) Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , AC , AB Gọi giao điểm BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q a) Chứng minh : tam giác ABC cân b) Chứng minh : BIMK , CIMH là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : d) Chứng minh : MI 2 = MH MK PQ ⊥ MI Bài 33 : AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) bán kính R ( B , C là tiếp điểm ) Vẽ CH vuông góc với AB tại H , cắt (O) tại E và cắt OA tại D a) Chứng minh : CO = CD b) Chứng minh : OBCD là tứ giác nội tiếp c) Gọi M là trung điểm của CE , BM cắt OH tại I Chứng minh : I là trung điểm của OH d) Tiếp tuyến tại E của (O) cắt AC tại K Chứng minh : O , M , K thẳng hàng Bài 34 : Từ A nằm ngoài (O ; R) , kẻ tiếp tuyến AB , AC ( B , C là tiếp điểm ) của (O) và cát tuyến ADE ( không đi qua O , D nằm giữa A và E ) Gọi H là giao điểm OA , BC , I là trung điểm a) b) c) d) OA ⊥ BC Chứng minh : Chứng minh : O , I , B , A , C cùng thuộc một tròn Chứng minh : OHDE là tứ giác nội tiếp Đường thẳng qua D và vuông góc OB cắt BC tại M , cắt BE tại N Chứng minh : MD = MN Bài 35 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R ) Vẽ tiếp tuyến AB , AC ( B ,C là tiếp điểm ) , vẽ cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) Gọi H là giao điểm BC và OA a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn này AB 2 = AD AE = OA2 − OC 2 b) Chứng minh : c) Chứng minh : AH AO = AD AE Từ đó suy ra OHDE là tứ giác nội tiếp d) Tia AO cắt đường tròn (O ; R ) tại M và N ( M nằm giữa O và A) Chứng minh : BM là tia phân giác · HBA Suy ra HM NA = MA NH Bài 36 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp ( O ; R ) Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC a) Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp b) Gọi F là giao điểm AH và BC Vẽ đường kính AK của (O) Chứng minh : ·AFB ·ACK = c) Chứng minh : BHCK là hình bình hành Suy ra : H , I , K thẳng hàng BC = d) Cho 3 AK 4 TÍnh tổng AB CK + AC BK theo R Bài 37 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , vẽ đường cao AH ( H thuộc BC ) Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC · HAO OI ⊥ BC a) Chứng minh : và AI là phân giác b) Gọi D , E lần lượt là hính chiếu của H trên AB , AC Chứng minh : ADHE , BDEC là tứ giác nội tiếp c) Vẽ đường kính AK Chứng minh : AK AH = AB AC AH = R 2 S ABC = 2S ADE d) Giả sử Chứng minh : e) Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) tại M , N Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng Bài 38 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có đường cao AD Tia AD cắt (O) tại điểm M ( M ≠ A) Vẽ ME vuông góc với AC tại E Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I a) Chứng minh : MDEC là tứ giác nội tiếp MI ⊥ AB b) Chứng minh : c) Chứng minh : AB AI = AE AC d) Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB ; F là điểm đối xứng với M qua AC NF cắt AD tại H Chứng minh : H là trực tâm ABC Bài 39 : Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại H a) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O) và BH BC = 4OB b) Gọi D là điểm chính giữa của cung AH , tiếp tuyến tại H với (O) cắt AC tại M Chứng minh : BD là phân giác ·ABC và ba điểm O , D , M thẳng hàng · CHM · HOM c) Chứng minh : OAMH là tứ giác nội tiếp và =2 d) Tia BD cắt AC tại E , gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE IO ⊥ HD Chứng minh : e) Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với (O) , từ O vẽ tia Oy vuông góc OC Gọi K là giao điểm Cx và Oy Chứng minh : BK là tiếp tuyến (O) Bài 40 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) Vẽ dây AD của đường tròn (O) song song MB ; MD cắt (O) tại E Tia AE cắt MB tại K Chứng minh : a) MAOB là tứ giác nội tiếp và tam giác ABD cân tại B KB 2 = KA.KE b) c) K là trung điểm MB d) BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AME Bài 41 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) AH ⊥ BC a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp và b) Chứng minh : HD đi qua trung điểm của BC VAFK ∞VADB c) Gọi K là giao điểm EF và AD Chứng minh : d) Gọi M , N lần lượt là giao điểm của EF với (O) Chứng minh : tam giác AMN cân e) Chứng minh : AH BC + BH AC + CH AB = 4 S ABC Bài 42 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB , AC đến (O) ( B ; C là tiếp điểm ) Gọi H là giao điểm của OA và BC , qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại D ( D thuộc cung nhỏ BC ) AD cắt (O) tại E ( E ≠ D ) Gọi K là trung điểm của DE a) b) c) d) Chứng minh : A , B , O , K , C cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh : KCDH là tứ giác nội tiếp Chứng minh : AH AO = AD AE và tam giác OKH là tam giác cân Kẻ OI vuông góc CE tại I Chứng minh : I , K , H thẳng hàng d) Chứng minh : EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn Bài 106 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G a) b) c) d) VABC ∞VEBD Chứng minh : Chứng minh : ADEC , AFBC là tứ giác nội tiếp Chứng minh : AC // FG Chứng minh : AC , DE , BF đồng qui Bài 107 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( O ; R ) Hai đường cao BM , CN cắt nhau tại H a) Chứng minh : AMHN là tứ giác nội tiếp và AH ⊥ BC tại D MN 1 = BC 2 · BAC b) Chứng minh : AM AC = AN AB Biết ; Tính số đo độ của c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại S AS cắt (O) tại T Gọi I là trung điểm BC Chứng minh : ATMN là tứ giác nội tiếp và I , H , T thẳng hàng d) Kẻ đường kính BK Chứng minh : AHCK là hình bình hành và tam giác AHO cân AB = R 3 R 3 Bài 108 : Cho đường tròn (O ; R ) và dây Vẽ đường tròn ( O’ ; ) đi qua A , B Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tiếp xúc (O) tại C và (O’) tại D AB cắt OO’ tại I và CD tại K a) b) c) d) OO ' ⊥ AB Chứng minh : Suy ra : COIK , DO’IK là tứ giác nội tiếp Chứng minh : K là trung điểm CD Tính diện tích phần chung của 2 đường tròn theo R Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N Chứng minh : trung trực MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi MN quay quanh A Bài 109 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của (O) a) Chứng minh : AB AC = AH AD b) Vẽ BE và CF lần lượt vuông góc với AD ( E và F thuộc AD ) Chứng minh : ABHE , ACFH là tứ giác nội tiếp HE ⊥ AC HF ⊥ AB c) Chứng minh : và d) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh : M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác EHF Bài 110 : Từ điểm A nằm ở ngoài đường tròn (O ; R ) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (B ; C là các tiếp điểm ) và cát tuyến ADE sao cho D và C nằm ở nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia AO Gọi H là giao điểm của OA và BC AB 2 = AD.AE a) Chứng minh : Từ đó suy ra tứ giác OHDE nội tiếp b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại P và G ( G nằm giữa A và P ) Chứng minh : GA PH = GH PA c) Vẽ đường kính BK và DM của (O) Tia AO cắt EK tại N Chứng minh : M , N , B thẳng hàng d) MK cắt BC tại L Gọi S là trung điểm của BL Chứng minh : NS // AB Bài 111 : Cho ( O ; R ) và một điểm M nằm ngoài đường tròn Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MA , MC ( A , C là các tiếp điểm ) và cát tuyến MBD đến đường tròn ( B nằm giữa M , D ) a) Chứng minh : MAOC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : MA2 = MB.MD và AB CD = AD BC AC 2 BC = DA DB c) Chứng minh : d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC , DC lần lượt tại N , P DN cắt (O) tại E Chứng minh : A , E , P thẳng hàng Bài 112 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại D và E Gọi H là giao điểm của BD và CE ; AH cắt BC tại F a) Chứng minh : ADHE , AEFC là tứ giác nội tiếp b) Vẽ đường kính AK , gọi Q là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh : BCKQ là hình thang cân c) Cho biết BC = 2DE Tính độ dài AH theo R d) AH cắt DE tại P ; AK cắt BC tại S Chứng minh : HI // PS Bài 113 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại F và E , BE và CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : b) Chứng minh : AH ⊥ BC · DEF = tại D và DCEH là tứ giác nội tiếp · BOF OF ⊥ AM c) Vẽ DM // CF ( M thuộc tia EF ) Chứng minh : d) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BF ; AO cắt CF tại K Chứng minh : AM OB = CK AI Bài 114 : Từ điểm A ở ngoài ( O ; R ) , kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B và C là tiếp điểm ) a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I b) Gọi E là trung điểm của AI BE cắt (O) tại K Chứng minh : · EKC = · BOE · KCD c) Gọi D là trung điểm của BO Chứng minh : CB là phân giác của d) Gọi F là giao điểm của CD và AO ; H là giao điểm của AO và BC Chứng minh : OF OE = OH OI Bài 115 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) Gọi D , E lần lượt chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB , AC a) Chứng minh : ADHE , BDEC là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là giao điểm chính giữa cung nhỏ BC Chứng minh : AI là phân giác · HAO c) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) Chứng minh : VHBA∞VCKA và AB.CK + AC BK = BC.2 R d) Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) tại M , N Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng Bài 116 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEF a) Chứng minh : HE HB = 2 HI HD b) Chứng minh : DFIC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp c) BE cắt DF tại M ; CF cắt DE tại N Chứng minh : d) Cho AB = R 3 , AC = R 2 MN ⊥ AK Tính độ dài EF theo R Bài 117 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp ( O ; R ) đường kính AK Vẽ các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H SVABC = AB.BC AC 4R a) Chứng minh : AB AC = AD AK và b) Gọi giao điểm của AH và EF là N , giao điểm của AK và BC là P Chứng VAFN ∞VACP minh : và NP // HK c) Gọi I là trung điểm của AH và M là giao điểm của đường thẳng AD với (O) BN ⊥ IC ( M khác A ) Chứng minh : MFIC là tứ giác nội tiếp và d) Đường thẳng KH cắt (O) tại Q ( Q khác K ) Chứng minh : AQ , EF , CB đồng qui Bài 118 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) Đường tròn tam (O) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F và E BE và CF cắt nhau tại H AH cắt BC tại D a) Chứng minh : AEHF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm S của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF BM 2 = BH BE b) Đoạn thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại M Chứng minh : c) Tiếp tuyến tại M cắt (O) cắt BC tại Q Chứng minh : Q , F , E thẳng hàng d) Chứng minh : AM DM = AD MH Bài 119 : Cho đường tròn ( O ; R ) Từ một điểm M nằm ngoài ( O ; R ) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B là hai tiếp điểm ) Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB ( C là khác với A và B ) Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB , AM , BM a) Chứng minh : AECD là tứ giác nội tiếp · CDE · CBA b) Chứng minh : = c) Chứng minh : Gọi I là giao điểm của AC , ED K là giao điểm của CB và DF Chứng minh : IK // AB d) Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để ( giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R ( AC 2 + CB 2 ) nhỏ nhất Tính Bài 120 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K ( D thuộc BC ) Trên AD lấy điểm H sao cho D là trung điểm của KH ; tia BH cắt AC tại E Đường thẳng qua E vuông góc với OA cắt AB tại F và cắt BC tại S ; SA cắt đường tròn 9O) tại điểm thứ hai là Q Chứng minh : a) Chứng minh : DHEC là tứ giác nội tiếp Suy ra H là trực tam của tam giác ABC b) Chứng minh : CF là đường cao của tam giác ABC c) Chứng minh : AO và QH cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O) d) Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SEC , QFB , QHD cùng nằm trên một đường thẳng Bài 121 : Cho đường tròn tâm (O) bán kính R và một đường thẳng d cố định không cắt ( O ; R ) Kẻ OH vuông góc với d M là một điểm thay đổi trên d ( M không trùng với H ) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ ( P , Q là tiếp điểm ) với đường tròn ( O ; R ) Dây cung PQ cắt OH tại I và cắt OM tại K a) b) c) d) Chứng minh : O , Q , H , M , P cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh : IH IO = IQ IP Chứng minh : khi M thay đổi trên d thì tích IP IQ không đổi Giả sử góc PMQ bẳng 60 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ Bài 122 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại S Vẽ AF ⊥ SC AD ⊥ BC tại D , AE ⊥ SB tại E , tại F ·ADE ·ACB a) Chứng minh : ADBE là tứ giác nội tiếp và = b) ED cắt AB tại H , FD cắt AC tại K Chứng minh : AHDK là tứ giác nội tiếp c) AS cắt (O) và BC lần lượt tại I và N ( I ≠ A) Chứng minh : AB AC = BI CI và AB 2 NB = AC 2 NC d) Gọi M là trung điểm của BC Gọi (O1 ) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH và tam giác AFK T là giao điểm thứ hai của (O2 ) (O1 ) và Chứng minh : A , T , M thẳng hàng Bài 123 : Cho (O ; R ) và điểm A bất kỳ thuộc đưởng tròn Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy điểm M sao cho MA = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MB với (O) ( B là tiếp điểm , B khác A ) AB cắt OM tại H OM ⊥ AB a) Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp và b) Vẽ đường kính BD của (O) ; MD cắt (O) tại E ( E khác D ) Chứng minh : MB 2 = ME.MD c) Tính · MHE d) Từ A vẽ AF ⊥ BD cắt ED tại I Chứng minh : I là trung điểm của AF Bài 124 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE , CF Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) , I là giao điểm của AD và EF a) b) c) d) Chứng minh : BFEC , BFID là tứ giác nội tiếp Chứng minh : AB CD = AC BD Chứng minh : I là trung điểm EF Gọi K là giao điểm của OM và BC , H là giao điểm của AK và EF Kẻ HL ⊥ BC ( L thuộc BC ) Chứng minh : A , I , L thẳng hàng Bài 125 : Cho hai đường tròn ( O ; R ) , ( O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại C , CA là đường kính của (O) , CB là đường kính của (O’) sao cho CA > CB Qua trung điểm M của AB , vẽ dây DE ⊥ AB Đường thẳng DC cắt (O’) tại F a) Chứng minh : AEBD là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : B , F , E thẳng hàng c) Đường thẳng BD cắt (O’) tại G Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MGF d) Chứng minh : MF là tiếp tuyến của (O’) Bài 126 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O ; R ) với AB < AC Đường cao AD của Tam giác ABC cắt (O) tại E Trên tia DA lấy điểm H sao cho DH = DE , tia BH cắt AC tại F a) Chứng minh : CDHF là tứ giác nội tiếp và H là trực tam tam giác ABC b) Vẽ đường kính AK của (O) Chứng minh : AB AC = AD AK Suy ra SVABC = AB AC.BC 4R CN ⊥ AK c) Vẽ tại N , gọi M là trung điểm của BC Chứng minh : MD = MN d) Tia phân giác BB và Ĉ của tam giác ABC cắt (O) lần lượt tại S và T Dựng đường tròn tâm S tiếp xúc AC , đường tròn tâm T tiếp xúc với AB Vẽ tiếp tuyến IP của (T)(P là tiếp điểm ) sao cho IP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng CT chứa tia CB , vẽ tiếp tuyến IQ của (S) (Q là tiếp điểm ) sao cho IQ nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BS chứa tia BC Gọi I là giao điểm BS và CT Chứng minh : P , I , Q thẳng hàng Bài 127 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) Vẽ đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Đường thẳng AH cắt (O) tại N ( N khác A) AN ⊥ BC a) Chứng minh : và N đối xứng nhau qua BC b) Gọi giao điểm của AN và EF tại K Chứng minh : BFKN là tứ giác nội tiếp BK ⊥ IC c) Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh : d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P Gọi M là trung điểm BC Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE tại Q (Q khác M ) Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng Bài 128 : Cho hình vuông ABCD Trên AB và AD lấy 2 điểm M và N sao cho góc MCN = 45 BD cắt CM và CN tại E và F a) b) c) d) Chứng minh : BCFD và CDNE là tứ giác nội tiếp MF và NE cắt nhau tại H Chứng minh : CH cắt MN tại K Gọi I là trung điểm MN Chứng minh : IEFK là tứ giác nội tiếp Chứng minh : MN = MB + ND Bài 129 : Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm A ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O)( B , C là tiếp điểm ) Gọi M là trung điểm của AB a) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này b) Chứng minh : AM AO = AB AI c) Gọi E là trung điểm của AM , K là trung điểm của AC và G là giao điểm của CE và MK Chứng minh : MG // BC d) Chứng minh : IG ⊥ CM Bài 130 : Cho 3 điểm A , B , C thẳng hàng ( B nằm giữa A và C ) , vẽ đường tròn tâm (O) đường kính BC ; AM là tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm M vẽ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn (O) tại N OH OA = BC 2 4 a) Chứng minh : AMON là tứ giác nội tiếp và b) Từ B kẻ đường thẳng song song MC , đường thẳng này cắt AM ở D và cắt MN tại E Chứng minh : VMDE cân BC AB − =1 HC AC c) Chứng minh : d) Gọi I là 1 điểm di động trên cung lớn MN của (O) Tìm vị trí I thuộc (O) để chu vi tam giác IMN đạt giá trị lớn nhất Bài 131 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H a) Chứng minh : BEDC , ADHE là tứ giác nội tiếp Xác định lần lượt tâm M và N của các đường tròn ngoại tiếp b) Tứ giác ANMO là tứ giác nội tiếp ? Chứng minh ? c) DE cắt BC tại S AS cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh : d) Chứng minh : K , H , M thẳng hàng AK ⊥ HK Bài 132 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp ( O ; R ) , M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC , OM cắt BC tại D Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của M trên AB , AC a) Chứng minh : BEMD , CMDF là tứ giác nội tiếp b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC ) và đường kính AK của (O) Chứng minh : AB AC = AH AK c) Chứng minh : E , D , F thẳng hàng d) Chứng minh : AB CK + AC BK = AK BC Bài 133 : Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC với (O) Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt đường tròn tại E và F ( E nằm giữa D và F ) Gọi M là giao điểm của OD và BC a) Chứng minh : EMOF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AE , AF là hai tiếp tuyến của (O) c) Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF tại P và EF tại Q Chứng minh : Q là trung điểm của BP MI MA = d) DF cắt BC tại I Chứng minh : BC 2 4 Bài 134 : Cho tam giác ABC ( AC < AB ) nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) Ba đường AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : ACDF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm J của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDF OB ⊥ DF b) Chứng minh : c) Chứng minh : H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF d) Qua A kẻ tia At vuông góc với AB , tia At cắt cung nhỏ AC tại M Chứng minh : H , J , M thẳng hàng Bài 135 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) có đường kính BC = 2R và một điểm A trên nửa đường tròn ( A khác B và C ) Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A , hai nửa đường tròn đường kính HB và HC lần lượt cắt AB và AC tại E và F a) Chứng minh : AE AB = AF AC b) Chứng minh : EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính HB và HC c) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC Chứng minh : I , A , K thẳng hàng d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M Chứng minh : MC , AH , EF đồng qui tại 1 điểm Bài 136 : Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O ; R ) sao cho SO > 2R , kẻ hai tiếp tuyến SA và SB ( A , B là hai tiếp điểm ) AB cắt OS tại H a) Chứng minh : S , A , H , O cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm M của đường tròn này b) MB cắt đường tròn (O) tại C ( C khác B ) AC cắt SO tại D Chứng minh : DC DA = DO DM c) Gọi K là giao điểm của CH và (O) , E là giao điểm của BD và (O) Chứng minh : K , E , S thẳng hàng d) Gọi I là giao điểm của AB và SK Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BK và BD lần lượt tại P và Q Chứng minh : I là trung điểm PQ Bài 137 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) , có H là giao điểm hai đường cao BM và CN Tia AH cắt đường tròn (O) tại E Kẻ đường kính AF a) Chứng minh : BEFC là hình thang cân và H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN OI ⊥ BC b) Vẽ tại I Chứng minh : H , I , F thẳng hàng và AH = 2OI c) Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại D và K AO ⊥ DK Chứng minh : d) Giả sử tam giác AHO cân tại A Tính BH BM + CH CN theo R Bài 138 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H a) Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T ( K nằm giữa M và T ) Chứng minh : MK MT = ME MF c) Chứng minh : IDKT là tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng vuông góc với IH cắt I cắt các đường thẳng AB , AC , AD lần lượt tại N , S , P Chứng minh : P là trung điểm của NS Bài 139 : Cho tam giác ABC có Â = 45 ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại D , E ; BE và CD cắt nhau tại H AH ⊥ BC a) Chứng minh : và tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp Xác định tâm K của đường tròn đó b) Chứng minh : O thuộc đường tròn (I) và tính độ dài BC theo R c) Chứng minh : OH , DE , IK đồng qui tại 1 điểm d) Tính diện tích giới hạn của cung DE và dây DE của đường tròn (I) theo R Bài 140 : Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn (O ; R ) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F , E BE cắt CF tại H a) Chứng minh : AFHE là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn AH ⊥ BC ngoại tiếp tứ giác AFHE và chứng minh : tại D b) Chứng minh : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Trên đường trung trực của đoạn AH , lấy điểm O’ sao cho IO’= R và O’ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm C có bờ AH Gọi M là điểm đối xứng với H qua O’ Chứng minh : AMCB là hình bình hành Suy ra O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt đường tròn (O) tại K Gọi N là giao điểm của AH và CK Chứng minh : F , N , E thẳng hàng Bài 141 : Cho đường tròn ( O ; R ) Từ điểm A nằm ở ngoài đường tròn ( OA > 2R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC Gọi H là giao điểm của OA và BC OA ⊥ BC a) Chứng minh : tại H b) Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm và bán kính c) Vẽ cát tuyến ADE không qua O sao cho D nằm giữa A và E Chứng minh : AD AE = AB 2 = AH AO d) Chứng minh : BE DN + BD EN = BN DE Bài 142 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) Đường tròn tâm 0 đường kính BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF Tia AH cắt BC tại D a) Chứng minh : AEHF , DOEF là tứ giác nội tiếp b) Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF Chứng minh : OS OD = OB 2 c) Gọi I là giao điểm của AD với đường tròn (O) Chứng minh : SI là tiếp tuyến của (O) d) Từ A kẻ tiếp tuyến AK đến đường tròn (O) ( K là tiếp điểm ) Chứng minh : S , H , K thẳng hàng Bài 143 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R ) Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC a) Chứng minh : ACKB là tứ giác nội tiếp AM ⊥ EF b) Kẻ đường kính AM của (O) Chứng minh : c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh : H , I , M thẳng hàng d) Gọi G là trong tâm tam giác ABC Chứng minh : SVAHG = 2 SVAOG Bài 144 : Cho AB là đường kính của đường tròn (O ; R ) , vẽ tiếp tuyến Ax Lấy điểm C trên Ax sao cho AC = 2R Qua C vẽ cát tuyến CDE ( D nằm giữa C , E ) Gọi H là trung điểm của DE a) b) c) d) CA2 = CD.CE Chứng minh : Chứng minh : AOHC là tứ giác nội tiếp BC cắt đường tròn (O ; R ) tại K Tính diện tích hình quạt AOK theo R ? Đường thẳng CO cắt tia BD và BE lẩn lượt tại M và N Chứng minh : O là trung điểm của MN Bài 145 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) (OM ≠ 2R ) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ) Gọi I là trung điểm của MA Đoạn thẳng IB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D Gọi H là giao điểm của OM và AB a) Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp và b) Chứng minh : IA2 = ID.IB OM ⊥ AB VIDM ∞VIMB c) Chứng minh : và MD = 2 ID d) Vẽ dây cung DE đi qua H Chứng minh : ODME là tứ giác nội tiếp Suy ra MO là tia phân giác của · DME Bài 146 : Qua điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O , bán kính R ta vẽ hai tiếp tuyến SA và SD ( A , D là các tiếp điểm ) và cát tuyến SBC ( B nằm giữa S và C ) Gọi M là trung điểm của BC a) Chứng minh : S , A , O , M , D cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn này b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O ; R ) tại E Chứng minh : AE // SB c) Gọi K , I , H lần lượt là hình chiếu của D trên AB , BC , AC Chứng minh : K , H , I thẳng hàng d) Chứng minh : AB BC AC + + DK DH DI AB AC BC + = DK DI DH Từ đó xác định vị trí của D trên cung BC để đạt GTNN Bài 147 : Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là hai tiếp điểm ) VABC VABC a) Chứng minh : đều Tính độ dài các cạnh của theo R b) Gọi H là giao điểm của OA và BC Chứng minh : OH AH = BH CH c) Vẽ đường kính BD của (O) AD cắt (O) tại E , cắt BC tại S Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh : A , B , O , C , I cùng nằm trên một đường tròn AO AH = AI 2 − ID 2 và d) Đường thẳng BE cắt AC tại P và đường thẳng CE cắt AB tại Q Chứng minh : ES EP EQ + + =1 AS AP CQ Bài 148 : Cho đường tròn (O) , đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi M là trung điểm của AB Dựng dây cung DE vuông góc với AB tại M Từ B vẽ đường thẳng BF vuông góc với DC ( F trên DC) a) Chứng minh : BMDF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : B , E , F thẳng hàng c) BD và MS cắt nhau tại S ; CS lần lượt cắt DA , DE tại R , K Chứng minh : DA DB DE + = DR DS DK Bài 149 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) và 2 đường cao BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia EF và CB cắt nhau tại K Chứng minh : KE KF = KB KC c) Vẽ đường kính AQ của ( O ; R ) , tia AH cắt AI tại M Chứng minh : Q , I , H thẳng hàng và E , F , H , M cùng nằm trên một đường tròn d) Trường hợp EFHM BC = R 3 Tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác Bài 150 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R ) , hai điểm B và C cố định Hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BC , AH a) Chứng minh : AEHF , BCEF là tứ giác nội tiếp b) Từ B kẻ các tiếp tuyến của (O) cắt tia OI tại M AM cắt (O) tại D Từ O kẻ OL ⊥ AD tại L Chứng minh : L , O , M , C , B cùng thuộc một đường tròn c) Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC , AB lần lượt tại T , S Chứng minh : TD = TS d) Hai đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại N Hai tia MB , MC cắt đường thẳng EF lần lượt tại P , Q Chứng minh : hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác BENP và CQNF cùng đi qua 1 điểm cố định Bài 151 : Từ điểm A ờ ngoài đường tròn ( O ; R ) vẽ các tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE ( D và E thuộc (O) và D nằm giữa A và E ) Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC , BE lần lượt tại H , K Vẽ OI ⊥ AE tại I a) Chứng minh : B , I , O , C cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh : IA là phân giác của c) Chứng minh : AC 2 = AD AE · BIC và IHDC là tứ giác nội tiếp d) Gọi S là giao điểm của BC và AD Chứng minh : 1 1 2 + = AD AE AS Bài 152 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao , M là điểm chính giữa cung nhỏ BC a) Chứng minh : OM ⊥ BC tại E và AM là phân giác của CF ⊥ MN b) Vẽ dây MN // AB , , AOGN là tứ giác nội tiếp · HAO tại F , MN cắt AC tại G Chứng minh : MEFC c) AM cắt BC tại D Chứng minh : d) BN cắt AC tại I Chứng minh : AD 2 = AB AC − DB.DC BI 2 = AI 2 + AI AB Bài 153 : Cho ( O ; R ) , dây BC cố định , điểm A bất kỳ thuộc cung lớn BC sao cho AB < AC Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H ( D , E , F thuộc các cạnh của tam giác ) Tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp (I) , BOCM là tứ giác nội tiếp (J) Tìm I , J b) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với tia AO tại N , tia AO cắt (O) tại K · NCM Chứng minh : CN // EF và CK là phân giác của c) Chứng minh : tam giác IDN là tam giác cân d) Cho OM = 2R Chứng minh : trực tâm H của tam giác ABC luôn đi qua một một điểm cố định khi A chạy trên cung lớn BC Tính bán kính đường tròn đó theo R Bài 154 : Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại điểm thứ hai là D Gọi E là trung điểm của OB Qua D kẻ đường thẳng vuông góc DE cắt AC tại F a) Chứng minh : AFDE là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : · BDE = ·AEF · tan EBD = 3 tan ·AEF c) Chứng minh : d) Vẽ dây AN // BD , tia BN cắt tia CA tại M Chứng minh : MNDC là tứ giác nội tiếp Bài 155 : Cho đường tròn (O ; R ) và một điểm M ờ ngoài đường tròn ( O ; R ) Trên đường thẳng vuông góc với OM tại M lấy một điểm N bất kỳ Từ N vẽ hai tiếp tuyến NA , NB đến đường tròn (O) ( A ; B là các tiếp điểm ) a) Chứng minh : O , A , B , M , N cùng nằm trên một đường tròn b) Gọi I là giao điểm của AB và OM Tính tích OM OI theo R c) Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) tại K Chứng minh : MK là tiếp tuyến của (O) d) AM cắt đường tròn (O) tại C ( C khác A ) Chứng minh : O , I , A , C cùng nằm trên một đường tròn Bài 156 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , có các tia AB , DC cắt nhau tại M , các · BMC ·ANB tia DA , CB cắt nhau tại N Tia phân giác cắt BC tại E Tia phân giác cắt AB , ME , MD lần lượt tại F , G , H Trên đoạn thẳng MN lấy điểm S sao cho : · · MBC = MNA a) Chứng minh : MA MB = MS MN b) Chứng minh : c) Chứng minh : MA.MB + NB.NC = MN 2 MG ⊥ NG và HE // BD d) Gọi K , L lần lượt là trung điểm của AC , BD Chứng minh : K , G , L thẳng hàng Bài 157 : Cho đường tròn (O ; R ) , có OM là bán kính Vẽ trung trực của OM cắt (O) tại B và C A là một điểm trên cung lớn BC , sao cho tam giác ABC nhọn Gọi AD , BE , CF là ba đường cao cắt nhau tại H a) Chứng minh : BOCM là hình thoi b) Chứng minh : BHOC là tứ giác nội tiếp và tính số đo góc c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHO d) KH = KC Chứng minh : EFDK là tứ giác nội tiếp · BHC Bài 158 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) Hai đường cao BS và CQ cắt nhau tại H Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của CQ và BS với (O) a) Chứng minh : BQCS , AQHS là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : H lần lượt là điểm đối xứng của I và K theo thứ tự qua AB và AC c) Lấy điểm P thuộc cung nhỏ BC của (O) Gọi N , M , Z lần lượt là hình chiếu của P trên AB , AC , BC Chứng minh : N , Z , M thẳng hàng d) Gọi D , E , F lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB , AC , BC Chứng minh : D , H , F , E cùng nằm trên một đường thẳng và MN qua trung điểm của HP Bài 159 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn trên b) Đường thẳng EF cắt BC tại M , cắt (O) tại K , T ( K nằm giữa M và T ) Chứng minh : MK MT = ME MF c) Chứng minh : IDKT là tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB , AC , AD lần lượt tại N , S , Q Chứng minh : Q là trung điểm NS Bài 160 : Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B , C là hai tiếp điểm ) Vẽ cát tuyến AEF ( E , C nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ OA ) · · BAC + BOC = 180 a) Chứng minh : b) Cho H là trung điểm của EF Chứng minh : A , B , H , O , C cùng nằm trên ·AHC = ·AOB một đường tròn Suy ra c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua O Các tia DE , DF cắt AO tại M , N Chứng minh : VCEF ∞VDNM d) Chứng minh : OM = ON Bài 161 : Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ hai tiếp tuyến KB , KD và cát tuyến KAC đến (O) ( KA < KC ; AD < AB ) Gọi E là trung điểm AC a) Chứng minh : K , B , O , E , D cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh : AB CD = AD BC c) Vẽ dây CN // BD AN cắt BD tại I Chứng minh : I là trung điểm BD Bài 162 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao BE , CE cắt nhau tại H a) Chứng minh : AEHF , BCEF là tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường thằng BC tại M Chứng minh : VMCF ∞MEB AK ⊥ EF c) Vẽ đường kính AK của (O) Chứng minh : d) Đường thẳng HK cắt (O) tại I ( I khác K ) Chứng minh : A , I , M thẳng hàng Bài 163 : Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA , MB đến (O) ( A , B là các tiếp điểm và C nằm giữa M , D ) MA2 = MC MD a) Chứng minh : b) Gọi I là trung điểm CD Chứng minh : M , A , O , I , B thẳng hàng c) Gọi H là giao điểm của AB và MO Chứng minh : CHOD là tứ giác nội tiếp · CHD Suy ra AB là phân giác của d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) Chứng minh : A , B , K thẳng hàng BC = R 3 Bài 164 : Cho (O ; R ) Vẽ dây cung Trên tia BC lấy điểm N sao cho C là trung điểm của BN Vẽ tiếp tuyến NA của (O) ( A là tiếp điểm ) Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : AFDC là tứ giác nội tiếp và BD BC = BF BA b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua D Đường thẳng NK cắt (O) tại Q Chứng minh : K thuộc (O) và tính NK NQ theo R DF ⊥ OB c) Chứng minh : d) Đường thẳng qua A // với BC cắt FD tại M Đường thẳng MC cắt AD tại I Chứng minh : IE // BC Bài 165 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) Vẽ các đường cao BE , CF cắt nhau tại H Đường thẳng AH cắt (O) tại N (N khác A ) AN ⊥ BC a) Chứng minh : và N đối xứng với H qua BC b) Gọi giao điểm AN và EF là K Chứng minh : BFKN là tứ giác nội tiếp