Bài tập hình học 9 ôn thi vào lớp 10

Đây là những bài tập mình tổng hợp và sưu tầm được suốt thời gian qua . Tuy chưa còn nhiều thiếu sót trong quá trình làm nhưng mình hy vọng các bạn ủng hộ và đóng góp ý kiến để mình ngày càng hoàn thiện hơn . Nhất là các bạn học sinh lớp 9 rất cần những bài tập hữu ích này để phục vụ cho kì thi lớp 10 . Chúc các bạn thi đạt kết quả thật cao và vào được trường minh mong muốn . Xin cảm ơn các bạn

Bài : Cho tam giác ABC có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N a) Chứng minh : tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp · DEA ·ACB b) Chứng minh : = c) Chứng minh : DE // với tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : OA phân giác e) Chứng minh : · MAN AM = AE AB Bài : Cho (O) đường kính AC đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’ , đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB ; DC cắt đường tròn tâm O’ I a) b) c) d) Tứ giác ADBE hình ? Chứng minh : DBMI tứ giác nội tiếp Chứng minh : B , I , C thẳng hàng MI = MD Chứng minh : MI tiếp tuyến (O’) Bài : Cho (O) đường kính BC , điểm A nằm cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB = AD Dựng hình vuông ABDE , AE cắt (O) điểm thứ hai F Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G a) Chứng minh : BDCG tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh : tam giác BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Chứng minh : GEFB tứ giác nội tiếp d) Chứng minh : C , F , G thẳng hàng G nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC AC P trung điểm AB , Q trung điểm FE a) Chứng minh : MFEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : BM EF = BA EM c) Chứng minh : d) Chứng minh : VAMP∞VFMQ · PMQ =90 Bài : Cho (O) điểm A nằm đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB ; AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh : A , B , H , C , O nằm đường tròn b) Chứng minh : HA phân giác · BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : d) BH cắt (O) K Chứng minh : AE // CK AB = AI AH Bài : Cho tam giác ABC đểu nội tiếp (O ; R ) Trên cạnh AB ; AC lấy hai điểm M ; N cho BM = AN a) Chứng minh : tam giác OMN cân b) Chứng minh : OMAN tứ giác nội tiếp BC + DC = 3R c) BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E Chứng minh : d) Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I ; AO kéo dài cắt BC J Chứng minh : BI qua trung điểm AJ OC ⊥ AB Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , bán kính điểm cung BC Kẻ đường cao CH tam giác ACM Gọi M a) Chứng minh : AOHC tứ giác nội tiếp · COM b) Chứng minh : tam giác CHM vuông cân OH phân giác c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh : CDBM hình thang cân d) BM cắt OH N Chứng minh : MA VBNI ∞VAMC , từ suy BN MC = IN Bài : Từ điểm A đường tròn (O) Vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B tiếp điểm ) Vẽ dây BC (O) vuông góc với OA a) Chứng minh : AC tiếp tuyến (O) b) Chứng minh : A , B , C , D thuộc đường tròn c) Kẻ đường kính BD (O) , vẽ CK vuông góc K Chứng minh : AC CD = AO CK d) AD cắt CK L Chứng minh : I trung điểm CK Bài : Cho đường tròn (O) có đường kính AB CD vuông góc với Lấy M thuộc cung AC nhỏ cho MA < MC Tia OA cắt tia CM E cắt MD F a) Chứng minh : M , C , O , F thuộc đường tròn · MEF · MDC b) Chứng minh : = MF MD = ME MC c) Vẽ dây CQ qua F Chứng minh : E , Q , D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm EF Chứng minh : IM tiếp tuyến (O) Bài 10 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) Tiếp tuyến B , C cắt D , kẻ cát tuyến DEF // AB cắt AC I , cắt BN C a) Chứng minh : BOCD tứ giác nội tiếp ID phân giác DE.DF = DC · BIC DN DI = DE.DF b) Chứng minh : ; c) Chứng minh : BN BC = AB ND d) Chứng minh : I trung điểm EF Tam giác ABI cân Bài 11 : Từ điểm C nằm đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến CE , CF đến (O) ( E , F tiếp điểm ) cát tuyến CMN a) Chứng minh : CEOF tứ giác nội tiếp CE = CF = CM CN b) EF cắt OC I Chứng minh : O ; I ; M ; N thuộc đường tròn c) Chứng minh : · CIM = · OIN · MCD d) Tia MI cắt (O) D Chứng minh : CO tia phân giác e) Tiếp tuyến M N (O) cắt K Chứng minh : E , F , K thẳng hàng Bài 12 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) , có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt (O) điểm M N a) Chứng minh : BEDC tứ giác nội tiếp Xác định tâm I ·AED · IDC b) Chứng minh : = c) Kẻ tiếp tuyến xy (O) A Chứng minh : DE // xy d) Chứng minh : OA tia phân giác e) Chứng minh : · MON AM = AD AC Bài 13 : Cho đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A đường tròn (O) cho AB > AC Từ A vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Từ H vẽ HE vuông góc với AB , HF vuông góc với AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ) a) Chứng minh : AEHF hình chữ nhật OA ⊥ EF b) Đường thẳng EF cắt (O) P Q ( E nằm P F ) Chứng minh : AP = AE AB suy APH tam giác cân c) Gọi D giao điểm PQ BC , K giao điểm AD đường tròn (O) ( K≠A) Chứng minh :AEFK tứ giác nội tiếp d) Gọi I giao điểm FC BC Chứng minh : IH = IC.ID Bài 14 : Cho đường tròn (O ; R ) đường thẳng d cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M đường thẳng d (O) kẻ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F hai tiếp điểm ) a) Chứng minh : MEOF tứ giác nội tiếp ME = MA.MB b) Chứng minh : c) OM cắt đường tròn (O ; R ) C Chứng minh : C tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF d) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MEOF hình vuông Bài 15 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) Đường tròn tâm (O) , đường kính BC cắt AB AC M N ; BN CM giao H , AH cắt BC K a) Chứng minh : b) Chứng minh : AK ⊥ BC AM AB = AN AC · NMK c) Chứng minh : MH phân giác d) NM BC kéo dài cắt S Chứng minh : SB SC = SK SO Bài 16 : Cho (O ; R) , đường kính BC , cung BC lấy điểm A cho AB < R Gọi D điểm cung AC , E giao điểm AC BD VADE∞VBCE a) Chứng minh : b) Trên BC lấy điểm F cho CF = AB Từ F vẽ đường song song với AC cắt ·ABC BD , AB M , N Chứng minh : BD phân giác EA BF = EC BN c) Tia AM cắt (O) I Chứng minh : D , F , I thẳng hàng d) Từ C vẽ đường vuông góc với DC cắt AI K Chứng minh : BKFA hình bình hành Bài 17 : Cho (O ; R) điểm M đường tròn (O) Vẽ tiếp tuyến MA , MB ( A , B tiếp điểm ) ; vẽ cát tuyến MCD (C nằm M D ) a) Chứng minh : OM trung trực AB MA2 = MC MD b) Chứng minh : c) Chứng minh : AC BD = BC AD d) Vẽ dây DE song song với AB ; Gọi I trung điểm AB Chứng minh : IC IE = IO IM Bài 18 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C (AC > OA) , vẽ tiếp tuyến thứ hai CD (D tiếp điểm ) , vẽ OE vuông góc với BC E a) Chứng minh : A , C , D , E thuộc đường tròn b) AD cắt OE F Chứng minh : FD FA = FE FO c) BC cắt nửa đường tròn (O) M (M≠A) Chứng minh FM tiếp tuyến nửa đường tròn (O) d) Cho MF = R , tính diện tích tam giác DEF theo R Bài 19 : Cho đường tròn (O ; R) , hai đường kính AB CD vuông góc với Gọi I điểm di động bán kính OB ( I ≠ B , O ) Tia CI cắt đường tròn (O ; R) E a) Chứng minh : OIDE tứ giác nội tiếp CI CE = R b) Chứng minh : c) DB cắt CE H , AE cắt CD K Chứng minh : HK // AB d) Chứng minh : S ACIK không đổi I chuyển động OB ( I ≠ B , O ) Bài 20 : Cho đường tròn ( O ; R) đường kính AB Điểm M nằm đường tròn (MA < MB ) Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt đường tròn (O ; R) N Kéo dài BM NA cắt I Vẽ IH vuông góc với đường thẳng AB H a) Chứng minh : AHIM tứ giác nội tiếp Xác định tâm bán kính ·AMH ·ABM b) Chứng minh : = c) Chứng minh : MH tiếp tuyến (O ; R ) d) Tìm vị trí điểm M đường tròn (O ; R) cho A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMO Bài 21 : Cho tam giác có góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác BAC đường tròn (O) E OE ⊥ BC a) Chứng minh : b) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC M Chứng MA2 = MB.MC minh : c) AE cắt BC K Chứng minh : MA = MK d) Chứng minh : ·AMC =2 ·AEO Bài 22 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) khác A B Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB ( P thuộc AB ) , vẽ MQ vuông góc với AE ( Q thuộc AE ) a) Chứng minh : AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh : O , I , E thẳng hàng c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh : Suy K trung điểm MP d) Đặt AP = x Tính MP theo R x Tìm vị trí M (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Bài 23 : Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF ) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) ( C tiếp điểm , A nằm hai điểm M B , A C nằm khác phía đường thẳng MO ) a) Chứng minh : MA MB = ME MF b) Gọi H hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh : AHOB tứ giác nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính MF ; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao MS ⊥ KC điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh : d) Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh : P , Q , T thẳng hàng Bài 24 : Cho tam giác ABC góc tù ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn ( O ; R )( B ; C cố định , A di động cung lớn BC ) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường đường thẳng song song với AB , đường thẳng cắt (O) D E ( D thuộc cung nhỏ BC ) , cắt BC F , cắt AC I · MBC · BAC a) Chứng minh : = Từ suy MBIC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : FI FM = FD FE c) Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB ) Đường thẳng QF cắt (O) T ( T ≠ Q) Chứng minh : P , T , M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn Bài 25 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB < AC ) Các đường tròn AD CF tam giác ABC cắt H ·AHC · BAC a) Chứng minh : BFHD tứ giác nội tiếp Suy = 180 – b) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) ( M khác B C ) N điểm đối xứng M qua AC Chứng minh : AHCN tứ giác nội tiếp c) Gọi I giao điểm AN HC ; J giao điểm AC HN Chứng minh : ·AJI = d) Chứng minh : ·ANC OA ⊥ IJ Bài 26 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có góc nhọn Đường tròn (O) đường kính BC cắt cạnh AC , AB E , F Gọi H giao điểm BE CF ; D giao điểm AH BC AD ⊥ BC a) Chứng minh : AH AD = AE AC b) Chứng minh : EFDO tứ giác nội tiếp · BLC c) Trên tia đối tia DE lấy điểm L cho DL = DF Tính số đo d) Gọi R , S hình chiếu B , C lên EF Chứng minh : DE + DF = RS Bài 27 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng a) Tam giác AH1 H H1 H tam giác ? Chứng minh : H1 H2 cắt AB AC K I ·AH K = ·AHK AHH b) Chứng minh : C , K thuộc đường tròn ( ) c) Chứng minh : AH , CK , BI đồng qui ( Gợi ý : CK đường cao tam giác ABC ) Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi I K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB tam giác AHC BI cắt AK E ; CK cắt AI F ; BI cắt CK O a) b) c) d) · HBA · HAC · HCA · HAB Chứng minh : = = Chứng minh : HBAE HACF tứ giác nội tiếp Chứng minh : O trực tâm tam giác AIK IK cắt AB M cắt AC N Chứng minh : tam giác AMN vuông cân A Bài 29 : Cho tam giác ABC nhọc có tia phân giác đỉnh B cắt tia phân giác đỉnh C I , tia phân giác đỉnh C cắt tia phân giác đỉnh B K BI cắt CK H M trung điểm IK a) Chứng minh : BCIK tứ giác nội tiếp I , A , K thẳng hàng b) Chứng minh : AHBK AHCI tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : BCMA tứ giác nội tiếp Bài 30 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC Vẽ MH vuông góc với BC H ; MK vuông góc với AB K giả sử K nằm cạnh AB a) Chứng minh : MHBK tứ giác nội tiếp VMHK ∞VMCA b) Gọi D E trung điểm CA HK Chứng minh : VMHE ∞VMCD c) Kéo dài KH cắt AC I Chứng minh : MEDI tứ giác nội tiếp d) Chứng minh : MCIH tứ giác nội tiếp EM ⊥ ED Bài 31 : Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE , đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh : BHCD tứ giác nội tiếp · CHK b) Tính c) Chứng minh : KC KD = KH KB d) Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường ? Bài 32 : Cho đường tròn (O) BC dây ( BC < 2R ) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tương ứng BC , AC , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q a) Chứng minh : tam giác ABC cân b) Chứng minh : BIMK , CIMH tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : d) Chứng minh : MI = MH MK PQ ⊥ MI Bài 33 : AB AC hai tiếp tuyến (O) bán kính R ( B , C tiếp điểm ) Vẽ CH vuông góc với AB H , cắt (O) E cắt OA D a) Chứng minh : CO = CD b) Chứng minh : OBCD tứ giác nội tiếp c) Gọi M trung điểm CE , BM cắt OH I Chứng minh : I trung điểm OH d) Tiếp tuyến E (O) cắt AC K Chứng minh : O , M , K thẳng hàng Bài 34 : Từ A nằm (O ; R) , kẻ tiếp tuyến AB , AC ( B , C tiếp điểm ) (O) cát tuyến ADE ( không qua O , D nằm A E ) Gọi H giao điểm OA , BC , I trung điểm a) b) c) d) OA ⊥ BC Chứng minh : Chứng minh : O , I , B , A , C thuộc tròn Chứng minh : OHDE tứ giác nội tiếp Đường thẳng qua D vuông góc OB cắt BC M , cắt BE N Chứng minh : MD = MN Bài 35 : Cho điểm A nằm đường tròn (O ; R ) Vẽ tiếp tuyến AB , AC ( B ,C tiếp điểm ) , vẽ cát tuyến ADE ( D nằm A E ) Gọi H giao điểm BC OA a) Chứng minh : ABOC tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn AB = AD AE = OA2 − OC b) Chứng minh : c) Chứng minh : AH AO = AD AE Từ suy OHDE tứ giác nội tiếp d) Tia AO cắt đường tròn (O ; R ) M N ( M nằm O A) Chứng minh : BM tia phân giác · HBA Suy HM NA = MA NH Bài 36 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp ( O ; R ) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC a) Chứng minh : BCDE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp b) Gọi F giao điểm AH BC Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh : ·AFB ·ACK = c) Chứng minh : BHCK hình bình hành Suy : H , I , K thẳng hàng BC = d) Cho AK TÍnh tổng AB CK + AC BK theo R Bài 37 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , vẽ đường cao AH ( H thuộc BC ) Gọi I điểm cung nhỏ BC · HAO OI ⊥ BC a) Chứng minh : AI phân giác b) Gọi D , E hính chiếu H AB , AC Chứng minh : ADHE , BDEC tứ giác nội tiếp c) Vẽ đường kính AK Chứng minh : AK AH = AB AC AH = R S ABC = 2S ADE d) Giả sử Chứng minh : e) Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) M , N Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng Bài 38 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có đường cao AD Tia AD cắt (O) điểm M ( M ≠ A) Vẽ ME vuông góc với AC E Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB I a) Chứng minh : MDEC tứ giác nội tiếp MI ⊥ AB b) Chứng minh : c) Chứng minh : AB AI = AE AC d) Gọi N điểm đối xứng với M qua AB ; F điểm đối xứng với M qua AC NF cắt AD H Chứng minh : H trực tâm ABC Bài 39 : Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt BC H a) Chứng minh : AC tiếp tuyến (O) BH BC = 4OB b) Gọi D điểm cung AH , tiếp tuyến H với (O) cắt AC M Chứng minh : BD phân giác ·ABC ba điểm O , D , M thẳng hàng · CHM · HOM c) Chứng minh : OAMH tứ giác nội tiếp =2 d) Tia BD cắt AC E , gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE IO ⊥ HD Chứng minh : e) Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với (O) , từ O vẽ tia Oy vuông góc OC Gọi K giao điểm Cx Oy Chứng minh : BK tiếp tuyến (O) Bài 40 : Từ điểm M nằm đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B tiếp điểm ) Vẽ dây AD đường tròn (O) song song MB ; MD cắt (O) E Tia AE cắt MB K Chứng minh : a) MAOB tứ giác nội tiếp tam giác ABD cân B KB = KA.KE b) c) K trung điểm MB d) BM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AME Bài 41 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Hai đường cao BE CF cắt H Vẽ đường kính AD đường tròn (O) AH ⊥ BC a) Chứng minh : BFEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : HD qua trung điểm BC VAFK ∞VADB c) Gọi K giao điểm EF AD Chứng minh : d) Gọi M , N giao điểm EF với (O) Chứng minh : tam giác AMN cân e) Chứng minh : AH BC + BH AC + CH AB = S ABC Bài 42 : Từ điểm A nằm đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB , AC đến (O) ( B ; C tiếp điểm ) Gọi H giao điểm OA BC , qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) D ( D thuộc cung nhỏ BC ) AD cắt (O) E ( E ≠ D ) Gọi K trung điểm DE a) b) c) d) Chứng minh : A , B , O , K , C nằm đường tròn Chứng minh : KCDH tứ giác nội tiếp Chứng minh : AH AO = AD AE tam giác OKH tam giác cân Kẻ OI vuông góc CE I Chứng minh : I , K , H thẳng hàng a) Chứng minh : ABOC tứ giác nội tiếp Xác định tâm I b) Gọi E trung điểm AI BE cắt (O) K Chứng minh : · EKC = · BOE · KCD c) Gọi D trung điểm BO Chứng minh : CB phân giác d) Gọi F giao điểm CD AO ; H giao điểm AO BC Chứng minh : OF OE = OH OI Bài 115 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) Gọi D , E chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB , AC a) Chứng minh : ADHE , BDEC tứ giác nội tiếp b) Gọi I giao điểm cung nhỏ BC Chứng minh : AI phân giác · HAO c) Vẽ đường kính AK đường tròn (O) Chứng minh : VHBA∞VCKA AB.CK + AC BK = BC.2 R d) Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) M , N Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng Bài 116 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có đường cao AD , BE , CF cắt H Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp AEF a) Chứng minh : HE HB = HI HD b) Chứng minh : DFIC tứ giác nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp c) BE cắt DF M ; CF cắt DE N Chứng minh : d) Cho AB = R , AC = R MN ⊥ AK Tính độ dài EF theo R Bài 117 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp ( O ; R ) đường kính AK Vẽ đường cao AD , BE , CF cắt H SVABC = AB.BC AC 4R a) Chứng minh : AB AC = AD AK b) Gọi giao điểm AH EF N , giao điểm AK BC P Chứng VAFN ∞VACP minh : NP // HK c) Gọi I trung điểm AH M giao điểm đường thẳng AD với (O) BN ⊥ IC ( M khác A ) Chứng minh : MFIC tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng KH cắt (O) Q ( Q khác K ) Chứng minh : AQ , EF , CB đồng qui Bài 118 : Cho tam giác ABC có góc nhọn ( AB < AC ) Đường tròn tam (O) đường kính BC cắt AB , AC F E BE CF cắt H AH cắt BC D a) Chứng minh : AEHF tứ giác nội tiếp Xác định tâm S đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF BM = BH BE b) Đoạn thẳng AD cắt đường tròn tâm O M Chứng minh : c) Tiếp tuyến M cắt (O) cắt BC Q Chứng minh : Q , F , E thẳng hàng d) Chứng minh : AM DM = AD MH Bài 119 : Cho đường tròn ( O ; R ) Từ điểm M nằm ( O ; R ) vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A , B hai tiếp điểm ) Lấy điểm C cung nhỏ AB ( C khác với A B ) Gọi D , E , F hình chiếu vuông góc C AB , AM , BM a) Chứng minh : AECD tứ giác nội tiếp · CDE · CBA b) Chứng minh : = c) Chứng minh : Gọi I giao điểm AC , ED K giao điểm CB DF Chứng minh : IK // AB d) Xác định vị trí điểm C cung nhỏ AB để ( giá trị nhỏ OM = 2R ( AC + CB ) nhỏ Tính Bài 120 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD tam giác ABC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K ( D thuộc BC ) Trên AD lấy điểm H cho D trung điểm KH ; tia BH cắt AC E Đường thẳng qua E vuông góc với OA cắt AB F cắt BC S ; SA cắt đường tròn 9O) điểm thứ hai Q Chứng minh : a) Chứng minh : DHEC tứ giác nội tiếp Suy H trực tam tam giác ABC b) Chứng minh : CF đường cao tam giác ABC c) Chứng minh : AO QH cắt điểm thuộc đường tròn (O) d) Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SEC , QFB , QHD nằm đường thẳng Bài 121 : Cho đường tròn tâm (O) bán kính R đường thẳng d cố định không cắt ( O ; R ) Kẻ OH vuông góc với d M điểm thay đổi d ( M không trùng với H ) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP MQ ( P , Q tiếp điểm ) với đường tròn ( O ; R ) Dây cung PQ cắt OH I cắt OM K a) b) c) d) Chứng minh : O , Q , H , M , P nằm đường tròn Chứng minh : IH IO = IQ IP Chứng minh : M thay đổi d tích IP IQ không đổi Giả sử góc PMQ bẳng 60 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ OPQ Bài 122 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến B C (O) cắt S Vẽ AF ⊥ SC AD ⊥ BC D , AE ⊥ SB E , F ·ADE ·ACB a) Chứng minh : ADBE tứ giác nội tiếp = b) ED cắt AB H , FD cắt AC K Chứng minh : AHDK tứ giác nội tiếp c) AS cắt (O) BC I N ( I ≠ A) Chứng minh : AB AC = BI CI AB NB = AC NC d) Gọi M trung điểm BC Gọi (O1 ) (O2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH tam giác AFK T giao điểm thứ hai (O2 ) (O1 ) Chứng minh : A , T , M thẳng hàng Bài 123 : Cho (O ; R ) điểm A thuộc đưởng tròn Trên tiếp tuyến A đường tròn lấy điểm M cho MA = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MB với (O) ( B tiếp điểm , B khác A ) AB cắt OM H OM ⊥ AB a) Chứng minh : MAOB tứ giác nội tiếp b) Vẽ đường kính BD (O) ; MD cắt (O) E ( E khác D ) Chứng minh : MB = ME.MD c) Tính · MHE d) Từ A vẽ AF ⊥ BD cắt ED I Chứng minh : I trung điểm AF Bài 124 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE , CF Tiếp tuyến B C cắt M Gọi D giao điểm AM đường tròn (O) , I giao điểm AD EF a) b) c) d) Chứng minh : BFEC , BFID tứ giác nội tiếp Chứng minh : AB CD = AC BD Chứng minh : I trung điểm EF Gọi K giao điểm OM BC , H giao điểm AK EF Kẻ HL ⊥ BC ( L thuộc BC ) Chứng minh : A , I , L thẳng hàng Bài 125 : Cho hai đường tròn ( O ; R ) , ( O’ ; R’ ) tiếp xúc C , CA đường kính (O) , CB đường kính (O’) cho CA > CB Qua trung điểm M AB , vẽ dây DE ⊥ AB Đường thẳng DC cắt (O’) F a) Chứng minh : AEBD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : B , F , E thẳng hàng c) Đường thẳng BD cắt (O’) G Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MGF d) Chứng minh : MF tiếp tuyến (O’) Bài 126 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O ; R ) với AB < AC Đường cao AD Tam giác ABC cắt (O) E Trên tia DA lấy điểm H cho DH = DE , tia BH cắt AC F a) Chứng minh : CDHF tứ giác nội tiếp H trực tam tam giác ABC b) Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh : AB AC = AD AK Suy SVABC = AB AC.BC 4R CN ⊥ AK c) Vẽ N , gọi M trung điểm BC Chứng minh : MD = MN d) Tia phân giác BB Ĉ tam giác ABC cắt (O) S T Dựng đường tròn tâm S tiếp xúc AC , đường tròn tâm T tiếp xúc với AB Vẽ tiếp tuyến IP (T)(P tiếp điểm ) cho IP nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng CT chứa tia CB , vẽ tiếp tuyến IQ (S) (Q tiếp điểm ) cho IQ nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BS chứa tia BC Gọi I giao điểm BS CT Chứng minh : P , I , Q thẳng hàng Bài 127 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) Vẽ đường cao BE CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt (O) N ( N khác A) AN ⊥ BC a) Chứng minh : N đối xứng qua BC b) Gọi giao điểm AN EF K Chứng minh : BFKN tứ giác nội tiếp BK ⊥ IC c) Gọi I trung điểm AH Chứng minh : d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC P Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE Q (Q khác M ) Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng Bài 128 : Cho hình vuông ABCD Trên AB AD lấy điểm M N cho góc MCN = 45 BD cắt CM CN E F a) b) c) d) Chứng minh : BCFD CDNE tứ giác nội tiếp MF NE cắt H Chứng minh : CH cắt MN K Gọi I trung điểm MN Chứng minh : IEFK tứ giác nội tiếp Chứng minh : MN = MB + ND Bài 129 : Cho đường tròn ( O ; R ) điểm A bên đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O)( B , C tiếp điểm ) Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh : ABOC tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh : AM AO = AB AI c) Gọi E trung điểm AM , K trung điểm AC G giao điểm CE MK Chứng minh : MG // BC d) Chứng minh : IG ⊥ CM Bài 130 : Cho điểm A , B , C thẳng hàng ( B nằm A C ) , vẽ đường tròn tâm (O) đường kính BC ; AM tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm M vẽ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn (O) N OH OA = BC a) Chứng minh : AMON tứ giác nội tiếp b) Từ B kẻ đường thẳng song song MC , đường thẳng cắt AM D cắt MN E Chứng minh : VMDE cân BC AB − =1 HC AC c) Chứng minh : d) Gọi I điểm di động cung lớn MN (O) Tìm vị trí I thuộc (O) để chu vi tam giác IMN đạt giá trị lớn Bài 131 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh : BEDC , ADHE tứ giác nội tiếp Xác định tâm M N đường tròn ngoại tiếp b) Tứ giác ANMO tứ giác nội tiếp ? Chứng minh ? c) DE cắt BC S AS cắt đường tròn (O) K Chứng minh : d) Chứng minh : K , H , M thẳng hàng AK ⊥ HK Bài 132 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp ( O ; R ) , M điểm cung nhỏ BC , OM cắt BC D Gọi E , F hình chiếu M AB , AC a) Chứng minh : BEMD , CMDF tứ giác nội tiếp b) Vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H thuộc BC ) đường kính AK (O) Chứng minh : AB AC = AH AK c) Chứng minh : E , D , F thẳng hàng d) Chứng minh : AB CK + AC BK = AK BC Bài 133 : Từ điểm A nằm đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC với (O) Các tiếp tuyến với (O) B C cắt D Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với AO H cắt đường tròn E F ( E nằm D F ) Gọi M giao điểm OD BC a) Chứng minh : EMOF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AE , AF hai tiếp tuyến (O) c) Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF P EF Q Chứng minh : Q trung điểm BP MI MA = d) DF cắt BC I Chứng minh : BC Bài 134 : Cho tam giác ABC ( AC < AB ) nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) Ba đường AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh : ACDF tứ giác nội tiếp Xác định tâm J đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDF OB ⊥ DF b) Chứng minh : c) Chứng minh : H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF d) Qua A kẻ tia At vuông góc với AB , tia At cắt cung nhỏ AC M Chứng minh : H , J , M thẳng hàng Bài 135 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) có đường kính BC = 2R điểm A nửa đường tròn ( A khác B C ) Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A , hai nửa đường tròn đường kính HB HC cắt AB AC E F a) Chứng minh : AE AB = AF AC b) Chứng minh : EF tiếp tuyến chung hai đường tròn đường kính HB HC c) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh : I , A , K thẳng hàng d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đường tròn (O) M Chứng minh : MC , AH , EF đồng qui điểm Bài 136 : Từ điểm S nằm đường tròn (O ; R ) cho SO > 2R , kẻ hai tiếp tuyến SA SB ( A , B hai tiếp điểm ) AB cắt OS H a) Chứng minh : S , A , H , O thuộc đường tròn Xác định tâm M đường tròn b) MB cắt đường tròn (O) C ( C khác B ) AC cắt SO D Chứng minh : DC DA = DO DM c) Gọi K giao điểm CH (O) , E giao điểm BD (O) Chứng minh : K , E , S thẳng hàng d) Gọi I giao điểm AB SK Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BK BD P Q Chứng minh : I trung điểm PQ Bài 137 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) , có H giao điểm hai đường cao BM CN Tia AH cắt đường tròn (O) E Kẻ đường kính AF a) Chứng minh : BEFC hình thang cân H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN OI ⊥ BC b) Vẽ I Chứng minh : H , I , F thẳng hàng AH = 2OI c) Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC D K AO ⊥ DK Chứng minh : d) Giả sử tam giác AHO cân A Tính BH BM + CH CN theo R Bài 138 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD , BE , CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh : BCEF tứ giác nội tiếp xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M cắt đường tròn (O) K T ( K nằm M T ) Chứng minh : MK MT = ME MF c) Chứng minh : IDKT tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng vuông góc với IH cắt I cắt đường thẳng AB , AC , AD N , S , P Chứng minh : P trung điểm NS Bài 139 : Cho tam giác ABC có Â = 45 ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt cạnh AB , AC D , E ; BE CD cắt H AH ⊥ BC a) Chứng minh : tứ giác AEHD tứ giác nội tiếp Xác định tâm K đường tròn b) Chứng minh : O thuộc đường tròn (I) tính độ dài BC theo R c) Chứng minh : OH , DE , IK đồng qui điểm d) Tính diện tích giới hạn cung DE dây DE đường tròn (I) theo R Bài 140 : Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn (O ; R ) đường kính BC cắt AB , AC F , E BE cắt CF H a) Chứng minh : AFHE tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn AH ⊥ BC ngoại tiếp tứ giác AFHE chứng minh : D b) Chứng minh : IE tiếp tuyến đường tròn (O) c) Trên đường trung trực đoạn AH , lấy điểm O’ cho IO’= R O’ nằm nửa mặt phẳng chứa điểm C có bờ AH Gọi M điểm đối xứng với H qua O’ Chứng minh : AMCB hình bình hành Suy O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt đường tròn (O) K Gọi N giao điểm AH CK Chứng minh : F , N , E thẳng hàng Bài 141 : Cho đường tròn ( O ; R ) Từ điểm A nằm đường tròn ( OA > 2R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC Gọi H giao điểm OA BC OA ⊥ BC a) Chứng minh : H b) Chứng minh : ABOC tứ giác nội tiếp Xác định tâm bán kính c) Vẽ cát tuyến ADE không qua O cho D nằm A E Chứng minh : AD AE = AB = AH AO d) Chứng minh : BE DN + BD EN = BN DE Bài 142 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) Đường tròn tâm đường kính BC cắt cạnh AB , AC F E Gọi H giao điểm BE CF Tia AH cắt BC D a) Chứng minh : AEHF , DOEF tứ giác nội tiếp b) Gọi S giao điểm hai đường thẳng BC EF Chứng minh : OS OD = OB c) Gọi I giao điểm AD với đường tròn (O) Chứng minh : SI tiếp tuyến (O) d) Từ A kẻ tiếp tuyến AK đến đường tròn (O) ( K tiếp điểm ) Chứng minh : S , H , K thẳng hàng Bài 143 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R ) Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt H Gọi K điểm đối xứng H qua BC a) Chứng minh : ACKB tứ giác nội tiếp AM ⊥ EF b) Kẻ đường kính AM (O) Chứng minh : c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh : H , I , M thẳng hàng d) Gọi G tâm tam giác ABC Chứng minh : SVAHG = SVAOG Bài 144 : Cho AB đường kính đường tròn (O ; R ) , vẽ tiếp tuyến Ax Lấy điểm C Ax cho AC = 2R Qua C vẽ cát tuyến CDE ( D nằm C , E ) Gọi H trung điểm DE a) b) c) d) CA2 = CD.CE Chứng minh : Chứng minh : AOHC tứ giác nội tiếp BC cắt đường tròn (O ; R ) K Tính diện tích hình quạt AOK theo R ? Đường thẳng CO cắt tia BD BE lẩn lượt M N Chứng minh : O trung điểm MN Bài 145 : Từ điểm M nằm đường tròn ( O ; R ) (OM ≠ 2R ) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A , B tiếp điểm ) Gọi I trung điểm MA Đoạn thẳng IB cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Gọi H giao điểm OM AB a) Chứng minh : MAOB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : IA2 = ID.IB OM ⊥ AB VIDM ∞VIMB c) Chứng minh : MD = ID d) Vẽ dây cung DE qua H Chứng minh : ODME tứ giác nội tiếp Suy MO tia phân giác · DME Bài 146 : Qua điểm S nằm đường tròn tâm O , bán kính R ta vẽ hai tiếp tuyến SA SD ( A , D tiếp điểm ) cát tuyến SBC ( B nằm S C ) Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh : S , A , O , M , D thuộc đường tròn Xác định tâm bán kính đường tròn b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O ; R ) E Chứng minh : AE // SB c) Gọi K , I , H hình chiếu D AB , BC , AC Chứng minh : K , H , I thẳng hàng d) Chứng minh : AB BC AC + + DK DH DI AB AC BC + = DK DI DH Từ xác định vị trí D cung BC để đạt GTNN Bài 147 : Cho đường tròn ( O ; R ) điểm A nằm đường tròn cho OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C hai tiếp điểm ) VABC VABC a) Chứng minh : Tính độ dài cạnh theo R b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh : OH AH = BH CH c) Vẽ đường kính BD (O) AD cắt (O) E , cắt BC S Gọi I trung điểm DE Chứng minh : A , B , O , C , I nằm đường tròn AO AH = AI − ID d) Đường thẳng BE cắt AC P đường thẳng CE cắt AB Q Chứng minh : ES EP EQ + + =1 AS AP CQ Bài 148 : Cho đường tròn (O) , đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Dựng dây cung DE vuông góc với AB M Từ B vẽ đường thẳng BF vuông góc với DC ( F DC) a) Chứng minh : BMDF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : B , E , F thẳng hàng c) BD MS cắt S ; CS cắt DA , DE R , K Chứng minh : DA DB DE + = DR DS DK Bài 149 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) đường cao BE , CF cắt H a) Chứng minh : BCEF tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia EF CB cắt K Chứng minh : KE KF = KB KC c) Vẽ đường kính AQ ( O ; R ) , tia AH cắt AI M Chứng minh : Q , I , H thẳng hàng E , F , H , M nằm đường tròn d) Trường hợp EFHM BC = R Tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác Bài 150 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R ) , hai điểm B C cố định Hai đường cao BE , CF cắt H Gọi I , K trung điểm BC , AH a) Chứng minh : AEHF , BCEF tứ giác nội tiếp b) Từ B kẻ tiếp tuyến (O) cắt tia OI M AM cắt (O) D Từ O kẻ OL ⊥ AD L Chứng minh : L , O , M , C , B thuộc đường tròn c) Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC , AB T , S Chứng minh : TD = TS d) Hai đường tròn (O) (K) cắt N Hai tia MB , MC cắt đường thẳng EF P , Q Chứng minh : hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác BENP CQNF qua điểm cố định Bài 151 : Từ điểm A đường tròn ( O ; R ) vẽ tiếp tuyến AB , AC cát tuyến ADE ( D E thuộc (O) D nằm A E ) Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC , BE H , K Vẽ OI ⊥ AE I a) Chứng minh : B , I , O , C thuộc đường tròn b) Chứng minh : IA phân giác c) Chứng minh : AC = AD AE · BIC IHDC tứ giác nội tiếp d) Gọi S giao điểm BC AD Chứng minh : 1 + = AD AE AS Bài 152 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AH đường cao , M điểm cung nhỏ BC a) Chứng minh : OM ⊥ BC E AM phân giác CF ⊥ MN b) Vẽ dây MN // AB , , AOGN tứ giác nội tiếp · HAO F , MN cắt AC G Chứng minh : MEFC c) AM cắt BC D Chứng minh : d) BN cắt AC I Chứng minh : AD = AB AC − DB.DC BI = AI + AI AB Bài 153 : Cho ( O ; R ) , dây BC cố định , điểm A thuộc cung lớn BC cho AB < AC Các đường cao AD , BE , CF cắt H ( D , E , F thuộc cạnh tam giác ) Tiếp tuyến với (O) B C cắt M a) Chứng minh : BFEC tứ giác nội tiếp (I) , BOCM tứ giác nội tiếp (J) Tìm I , J b) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với tia AO N , tia AO cắt (O) K · NCM Chứng minh : CN // EF CK phân giác c) Chứng minh : tam giác IDN tam giác cân d) Cho OM = 2R Chứng minh : trực tâm H tam giác ABC qua một điểm cố định A chạy cung lớn BC Tính bán kính đường tròn theo R Bài 154 : Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC điểm thứ hai D Gọi E trung điểm OB Qua D kẻ đường thẳng vuông góc DE cắt AC F a) Chứng minh : AFDE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : · BDE = ·AEF · tan EBD = tan ·AEF c) Chứng minh : d) Vẽ dây AN // BD , tia BN cắt tia CA M Chứng minh : MNDC tứ giác nội tiếp Bài 155 : Cho đường tròn (O ; R ) điểm M đường tròn ( O ; R ) Trên đường thẳng vuông góc với OM M lấy điểm N Từ N vẽ hai tiếp tuyến NA , NB đến đường tròn (O) ( A ; B tiếp điểm ) a) Chứng minh : O , A , B , M , N nằm đường tròn b) Gọi I giao điểm AB OM Tính tích OM OI theo R c) Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) K Chứng minh : MK tiếp tuyến (O) d) AM cắt đường tròn (O) C ( C khác A ) Chứng minh : O , I , A , C nằm đường tròn Bài 156 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , có tia AB , DC cắt M , · BMC ·ANB tia DA , CB cắt N Tia phân giác cắt BC E Tia phân giác cắt AB , ME , MD F , G , H Trên đoạn thẳng MN lấy điểm S cho : · · MBC = MNA a) Chứng minh : MA MB = MS MN b) Chứng minh : c) Chứng minh : MA.MB + NB.NC = MN MG ⊥ NG HE // BD d) Gọi K , L trung điểm AC , BD Chứng minh : K , G , L thẳng hàng Bài 157 : Cho đường tròn (O ; R ) , có OM bán kính Vẽ trung trực OM cắt (O) B C A điểm cung lớn BC , cho tam giác ABC nhọn Gọi AD , BE , CF ba đường cao cắt H a) Chứng minh : BOCM hình thoi b) Chứng minh : BHOC tứ giác nội tiếp tính số đo góc c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHO d) KH = KC Chứng minh : EFDK tứ giác nội tiếp · BHC Bài 158 : Cho tam giác ABC có góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) Hai đường cao BS CQ cắt H Gọi I K theo thứ tự giao điểm CQ BS với (O) a) Chứng minh : BQCS , AQHS tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : H điểm đối xứng I K theo thứ tự qua AB AC c) Lấy điểm P thuộc cung nhỏ BC (O) Gọi N , M , Z hình chiếu P AB , AC , BC Chứng minh : N , Z , M thẳng hàng d) Gọi D , E , F điểm đối xứng P qua AB , AC , BC Chứng minh : D , H , F , E nằm đường thẳng MN qua trung điểm HP Bài 159 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh : BCEF tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Đường thẳng EF cắt BC M , cắt (O) K , T ( K nằm M T ) Chứng minh : MK MT = ME MF c) Chứng minh : IDKT tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng vuông góc với IH I cắt đường thẳng AB , AC , AD N , S , Q Chứng minh : Q trung điểm NS Bài 160 : Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC ( B , C hai tiếp điểm ) Vẽ cát tuyến AEF ( E , C nằm hai nửa mặt phẳng bờ OA ) · · BAC + BOC = 180 a) Chứng minh : b) Cho H trung điểm EF Chứng minh : A , B , H , O , C nằm ·AHC = ·AOB đường tròn Suy c) Gọi D điểm đối xứng B qua O Các tia DE , DF cắt AO M , N Chứng minh : VCEF ∞VDNM d) Chứng minh : OM = ON Bài 161 : Từ điểm K nằm đường tròn (O) , kẻ hai tiếp tuyến KB , KD cát tuyến KAC đến (O) ( KA < KC ; AD < AB ) Gọi E trung điểm AC a) Chứng minh : K , B , O , E , D thuộc đường tròn b) Chứng minh : AB CD = AD BC c) Vẽ dây CN // BD AN cắt BD I Chứng minh : I trung điểm BD Bài 162 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao BE , CE cắt H a) Chứng minh : AEHF , BCEF tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường thằng BC M Chứng minh : VMCF ∞MEB AK ⊥ EF c) Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh : d) Đường thẳng HK cắt (O) I ( I khác K ) Chứng minh : A , I , M thẳng hàng Bài 163 : Từ điểm M nằm (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA , MB đến (O) ( A , B tiếp điểm C nằm M , D ) MA2 = MC MD a) Chứng minh : b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh : M , A , O , I , B thẳng hàng c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh : CHOD tứ giác nội tiếp · CHD Suy AB phân giác d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh : A , B , K thẳng hàng BC = R Bài 164 : Cho (O ; R ) Vẽ dây cung Trên tia BC lấy điểm N cho C trung điểm BN Vẽ tiếp tuyến NA (O) ( A tiếp điểm ) Trong tam giác ABC vẽ đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh : AFDC tứ giác nội tiếp BD BC = BF BA b) Gọi K điểm đối xứng với H qua D Đường thẳng NK cắt (O) Q Chứng minh : K thuộc (O) tính NK NQ theo R DF ⊥ OB c) Chứng minh : d) Đường thẳng qua A // với BC cắt FD M Đường thẳng MC cắt AD I Chứng minh : IE // BC Bài 165 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) Vẽ đường cao BE , CF cắt H Đường thẳng AH cắt (O) N (N khác A ) AN ⊥ BC a) Chứng minh : N đối xứng với H qua BC b) Gọi giao điểm AN EF K Chứng minh : BFKN tứ giác nội tiếp BK ⊥ IC c) Gọi I trung điểm AH Chứng minh : d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC P Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE Q ( Q khác M ) Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng Bài 166 : Từ điểm S nằm (O ; R ) với SO > 2R , kẻ tiếp tuyến SA , SB ( A , B hai tiếp điểm ) OS cắt AB H a) Chứng minh : SAOB tứ giác nội tiếp Xác định tâm M đường tròn b) MB cắt (O) C ( C khác B) , SO cắt AC D Chứng minh : DA DC = DM DO c) Gọi K giao điểm CH (O) , E giao điểm BD (O) Chứng minh : K , E , S thẳng hàng d) Gọi I giao điểm SK AB Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BK BD P , Q Chứng minh : I trung điểm PQ Bài 167 : Cho tam giác ABC nhọn , nội tiếp (O ; R ) có đường cao BE , CF Tiếp tuyến B C cắt S Gọi M giao điểm BC OS a) Chứng minh : SBOC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AF BC = EF AC c) Chứng minh : OM OS = R ·AME = ·ASB d) AM cắt EF N ; AS cắt BC P Chứng minh : NP ⊥ BC [...]... R Bài 105 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC ) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính AH cắt AB tại E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F a) Chứng minh : AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh : BEFC là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh : AE AB = AF AC d) Chứng minh : EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn Bài 106 : Cho tam giác ABC vuông... minh : M , H , I thẳng hàng Bài 49 : Cho đường tròn ( O ; R ) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB , M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M ≠ A , C ) ; BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB a) Chứng minh : CBKH là tứ giác nội tiếp · MCK b) Chứng minh : CA là phân giác của c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh : ECM là tam giác vuông cân d) Gọi d là tiếp... đường tròn (O’) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC , EC cắt đường tròn (O’) tại D a) b) c) d) Tứ giác BEFC là hình gì ? Chứng minh : A , D , F thẳng hàng CF cắt đường tròn (O’) tại G Chứng minh : EG , DF , CI đồng qui Chứng minh : ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài 96 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC ) Hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H Tia BE cắt (O) tại M ( M không trùng với... tính giá trị đó theo R Bài 45 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O ; R) Vẽ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB BD và CE cắt nhau tại H Vẽ đường kính AK a) Chứng minh : BHCK là hình bình hành b) Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I DE ⊥ AK c) Chứng minh : d) Gọi F là giao điểm AH và BC Chứng minh : H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài 46 : Cho đường... Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N Chứng minh : trung trực MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi MN quay quanh A Bài 1 09 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của (O) a) Chứng minh : AB AC = AH AD b) Vẽ BE và CF lần lượt vuông góc với AD ( E và F thuộc AD ) Chứng minh : ABHE , ACFH là tứ giác nội tiếp HE... khác M ) Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng Bài 128 : Cho hình vuông ABCD Trên AB và AD lấy 2 điểm M và N sao cho góc MCN = 45 BD cắt CM và CN tại E và F a) b) c) d) Chứng minh : BCFD và CDNE là tứ giác nội tiếp MF và NE cắt nhau tại H Chứng minh : CH cắt MN tại K Gọi I là trung điểm MN Chứng minh : IEFK là tứ giác nội tiếp Chứng minh : MN = MB + ND Bài 1 29 : Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm A ở... minh : IH = IA và 1 1 1 = + AI AP AQ Bài 54 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao và I là tâm đường tròn nội tiếp a) Chứng minh : OD ⊥ BC b) Chứng minh : tam giác IBC cân và ID 2 = DT DA c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc AD cắt AH , BC lần lượt tại P , R Chứng IP ⊥ IR minh : d) Vẽ IK vuông góc BC , DK cắt AH tại S Chứng minh : IS // BC Bài 54 : Cho đường tròn (O) và điểm... với B ) , tia CF cắt (O) tại N ( N không trùng với C ) a) Chứng minh : CM = CI b) Tia MN cắt AB , AC và tia CB lần lượt tại P , Q , R Chứng minh : RN RM = RP RQ c) Tia AH cắt BC tại D , gọi K là trung điểm AC Chứng minh : KEFD là tứ giác nội tiếp d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF cắt (O) tại T ( T không trùng với B ) Chứng minh : H , K , T thẳng hàng Bài 97 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có... MK MF và K là d) Chứng minh : 2 1 1 = + FK FH FA Bài 98 : Từ điểm M nằm ngoài (O ; R ) , sao cho OM = 2R vẽ tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm MA , MB a) Chứng minh : tam giác ABM đều và tính độ dài AB theo R b) Gọi H là giao điểm của AB và OM Chứng minh : HEMF là hình thoi và tính diện tích hình thoi theo R c) OM cắt (O) tại C Chứng minh... hình thoi và tính diện tích hình thoi theo R c) OM cắt (O) tại C Chứng minh : A , C , F thẳng hàng d) Gọi I là điểm bất kỳ thuộc EF ( I khác giao điểm 2 đường chéo hình thoi ) Từ I , vẽ tiếp tuyến IK đến (O) Chứng minh : IK = IM Bài 99 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác