Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán 8 tại trường THCS chu văn an nga sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD & ĐT NGA SƠN  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN TẠI TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN HUYỆN NGA SƠN Người thực hiện: Mai Văn Trường Chức vụ: Giáo viên Đơn vi công tác: Trường THCS Chu Văn An SKKN thuộc lĩnh vực ( mơn ): Tốn THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN…………………………………… 2 Giải vấn đề………………………………………………………… 2.1 Cơ sỏ lí luận SKKN………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN………………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện………………………………………… 2.4 Hiệu SKKN……………………………………………………… Kết luận, kiến nghị……………………………………………………… 18 3.1 Kết luận…………………………………………………………………… 19 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………… 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình THCS, mơn tốn chiếm vai trò quan trọng Với đặc thù mơn khoa học tự nhiên, tốn học khơng giúp học sinh phát triển lực tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, khả vận dụng kiến thức, hiểu biết vào thực tiễn sống Mà tốn học cịn môn khoa học công cụ giúp em học tốt mơn học khác góp phần phát triển lực cho học sinh cách tồn diện Chính việc giúp em học sinh u thích, say mê toán học, giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu học toán yêu cầu tất yếu giáo viên dạy toán Nhất đất nước ta thới kỳ hội nhập, thời kỳ công nghiệp hoá, đại hoá, cần người động, sáng tạo có hiểu biết, có tri thức Trong q trình dạy tốn tơi nhận thấy biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… có nhiều tốn phải biến đổi đa thức thành nhân tử Chính giáo viên cần phải cung cấp cho em cách hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơng cụ giải tốn hữu hiệu, giải đa số dạng toán chương trình mơn tốn lớp sở cho em học tiếp lớp Chính mà tơi chọn đề tài này: “ Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp giáo viên học sinh hiểu rõ vai trị đặc biệt quan trọng việc phân tích đa thức thành nhân tử dạy học toán - Học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử từ dễ đến khó - Học sinh vận dụng thành thạo, có hiệu việc phân tích đa thức thành nhân tử để giải số tập liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp phân tích thành nhân tử dạng tập ứng dụng phương pháp phân tích thành nhân tử cho đối tượng học sinh lớp trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn tỉnh Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi nghiên cứu đề tài sử dụng phương pháp: Khảo sát thống kê, kiểm tra đánh giá thu thập thơng tin số liệu, từ xây dựng sở lí thuyết vững kết hợp nhuần nhiễn phương pháp dạy học như: Nêu giải vấn đề, Vấn đáp gợi mở, Phân tích tổng hợp, … trình sử dụng sáng kiến 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Ngoài việc sáng kiến kinh nghiệm có hiệu giảng dạy học sinh đại trà, Sáng kiến nguồn tài liệu hữu ích cho thầy giáo học sinh tham khảo công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Phân tích đa thức thành nhân tử, chun đề tốn học quan trọng có liên quan đến nhiều chuyên đề Đại số lớp lớp học sau - Kĩ phân tích đa thức thành nhân tử kĩ biến đổi chương trình đại số - Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta không sử dụng phương pháp mà ta phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác - Đặc biệt dạy học tốn theo chương trình đổi việc dạy học theo phương pháp tích cực hố hoạt động học tập học sinh, học sinh tiếp cận kiến thức cách chủ động sáng tạo, từ toán cụ thể, phương pháp giải cụ thể, giúp em nắm vững kiến thức cách chắn, tạo hứng thú, say mê học tập tìm tịi nghiên cứu tập nâng cao - Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học tốn lớp 8” khơng phát huy tính động sáng tạo cho học sinh mà cịn phát huy khả liên hệ kiến thức cũ cho học sinh Bên cạnh cịn có tác động tích cực đến khả vận dụng kiến thức học vào thực tế đời sống hàng ngày Từ giúp em tiến hơn, thành đạt học tập, đời sống, để em hồn thành ước mơ, hồi bão đời sống, kế thừa nghiệp đất nước, tiếp thu vận dụng sáng tạo văn minh nhân loại 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử sở để em biến đổi, rút gọn biểu thức đại số kỹ quan trọng học đại số Tuy nhiên thực tế giảng dạy có nhiều giáo viên chưa thực trọng đến vấn đề này, mà lúc yêu cầu học sinh phải rút gọn thành thạo biểu thức đại số Trong đó: Để rút gọn biểu thức đại số, học sinh phải biết cộng trừ phân thức đại số ⇒ phải biết quy đồng mẫu phân thức ⇒ phải biết tìm mẫu chung ⇒ phải biết phân tích mẫu thức thành nhân tử 2.2.2 Đối với học sinh: - Trong thực tế mức độ biến đổi tính tốn em hạn chế - Trong cấu trúc đề kiểm tra, đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏi THCS ln có phần kiểm tra kĩ tính tốn, rút gọn biểu thức - Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải số dạng toán nâng cao hiệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Khảo sát học sinh phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng hai lớp 8A 8B trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn năm học 2019 – 2020 kết phản ánh sau: Lớp 8A 8B Số HS kiểm tra 30 30 Số đạt yêu cầu Số chưa đạt yêu cầu 25 23 2.3 Giải pháp tổ chức thực - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức thành nhân tử - Phát huy khả suy luận, phán đoán tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trị việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập học sinh - Thấy tầm quan trọng ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải toán 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.3.1.1 Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 4x2 – 12x = 4x(x – 3) b 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y)(5x +4y) Chú ý: - GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh - Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung 2.3.1.2 Phương pháp 2: Phương pháp dùng đẳng thức Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 4x2 - 12x + c 16x2 - 9(x + y)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 d - 27x3y6 Giải a 4x2 - 12x + = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) d - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) Chú ý: - Nắm vững đẳng thức - Đôi phải đổi dấu áp dụng đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 2.3.1.3 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b ax + x + a + = (ax + x) + (a + 1) = x(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(x + 1) c x2 + 2x + - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) Chú ý: - Thông thường nhóm phải xuất nhân tử chung đẳng thức - Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác Chẳng hạn ví dụ b ta nhóm cách khác sau: ax + x + a + = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(a + 1) - Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung trước nhóm Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) 2.3.1.4 Phương pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Đối với cách để tách cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệm đa thức Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức - Định nghĩa nghiệm đa thức Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau: - Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số x = nghiệm đa thức - Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ - nghiệm đa thức - Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số ngun có nghiệm ngun nghiệm ngun ước hệ số tự - Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ p x = q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao * Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự do, khơng nghiệm đa thức dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác số nguyên f (1) f (−1) a −1 a +1 Phân tích đa thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c * Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho: b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Tìm hai số ngun có tích a.c mà có tổng b Ví dụ: Phân tích đa thức: x2 – 3x + = x2 – x – 2x + = (x2 – x) - (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Nhưng thực tế lúc sử dụng cách Chính ta có cách sau * Cách 2: Biến đổi tam thức sau b c b c b2 b2 F(x) = ax + bx + c = a(x + x + ) = a(x + x + - + ) a a 2a a 4a 4a = a(x + b 4ac − b ) + 2a 4a - Nếu b2 – 4ac < F(x) khơng phân tích - Nếu b2 – 4ac > F(x) phân tích thành hai đa thức bậc Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) * Chú ý: Đa thức ax2 + bxy + cy2 phân tích thành nhân tử ta làm tương tự đa thức bậc hai biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Đa thức bậc cao: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 Ta có ước 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18 f(-1) = - - 13 - - 18 = - 44 Hiển nhiên ± không nghiệm f(x), ta thấy: − 18 − 18 − 18 ; ; ; (−3 − 1) (±6 − 1) (±9 − 1) − 18 − 44 không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không nghiệm f(x); (±18 − 1) (2 + 1) không nguyên nên khơng phải nghiệm f(x), cịn - 3, kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Nên ta tách sau: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) 2.3.1.5 Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt hạng tử Thêm bớt số hạng để xuất đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức: 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức cho tổng hai bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức: Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9) * Chú ý: - Trong phương pháp ta thường sử dụng hai đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) - Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương làm tiếp toán Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ: x7 + x2 + = x7 - x + x2 + x + = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1) 10 = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1) 2.3.1.6 Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Thực đổi biến đa thức cho đa thức có bậc nhỏ đơn giản Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12 Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x2 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) 2.3.1.7 Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định 11 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Các hệ số ± 1; ± Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm hữu tỷ Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả: x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta hệ:  a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = 14 bd = Xét bd = với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = d = Hệ thành:  a + c = −6  ac = a + 3c = −14   a = −2 ⇔  c = −4 Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) * Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 2.3.1.8 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp trước hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại 12 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nếu thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa x - y chứa y - z z - x Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với ∀ x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) 2.3.2 ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TỐN 2.3.2.1 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) Giải Nhận xét: Ta cần phân tích 55n + – 55n thành tích 54 với số 13 Ta có: 55n + – 55n = 55n(55 – 1) = 54 55n Nên 55n + – 55n chia hết cho 54 với n số tự nhiên Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – chia hết cho x2 – 4x – Giải Ta có: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – = 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 – 4x – 6x2 + 15x – = x2(2x2 – 5x + 1) – 4x(2x2 – 5x + 1) – 3(2x2 – 5x + 1) = (2x2 – 5x + 1)(x2 – 4x – 3) 2.3.2.2 Giải phương trình bậc cao: f(x) = có nghiệm thường giải cách phân tích f(x) thành nhân tử đẻ đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình: (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192 Giải ⇔ (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192 ⇔ (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192 ⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192 Đặt x2 + 2x - = y ta có: (Điều kiện y ≥ -2) (y + 2)(y - 2) = 192 ⇔ y2 - = 192 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14 Chỉ có y = 14 thoả mãn * Với y = 14 ta có x2 + 2x - = 14 ⇔ x2 + 2x - 15 = ⇔ (x - 3)(x + 5) = ⇔ x = x = - Vậy nghiệm phương trình x = x = - Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 14 Giải Đặt x - = y, phương trình cho (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + = 16 ⇔ y4 +6y2 + = ⇔ y4 +6y2 - = ⇔ (y2 - 1)(y2 + 7) = (y2 + 7) > với y nên (y2 - 1) = 0; y = ± tức x = 6, x = Vậy x = x = nghiệm phương trình 2.3.2.3 Tìm điều kiện xác định rút gọn phân thức Muốn tìm điều kiện xác định rút gọn phân thức đại số ta phải phân tích mẫu thức tử thức thành nhân tử Ví dụ: Tìm điều kiện định rút gọn phân thức sau A= x3 - 5x2 - 2x + 24 x3 - x2 - 10x – Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24 = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 = x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2) = (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x - 4) Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - = x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - = x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) = (x + 2)(x + 1)(x - 4) Điều kiện xác định phân thức x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ Phân thức rút gọn A= (x + 2)(x - 3)(x - 4) x-3 = (x + 2)(x + 1)(x - 4) x+1 2.3.2.4 Giải bất phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình sau: x2 - x - 12 < (4) Giải 15 (4) ⇔ x2 - 4x + 3x - 12 < ⇔ x(x - 4) + 3(x - 4) < ⇔ (x - 4)(x + 3) < Lập bảng xét dấu: x x +3 x-4 (x - 4)(x + 3) + -3 0 + - 0 + + + Từ bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình là: - < x < 2.3.2.5 Tính giá trị biểu thức: Ví dụ: Cho x4 + y4 = Tính giá trị biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 Giải Để giải toán ta phải biến đổi biểu thức M xuất (x4 + y4 ) Ta có: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 = (x8 + 2x4y4 + y8) + (2x4y4 + 2x8) + 2y4 = (x4 + y4)2 + 2x4(x4 + y4) + 2y4 = + 2x4 + 2y4 = + 2(x4 + y4) = 2.3.2.6 Chứng minh đẳng thức: Ví dụ: Cho (x + y)3 = x3 + y3 Chứng minh: (x + y)7 = x7 + y7 (*) Giải Từ (x + y)3 = x3 + y3 ⇔ x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 ⇔ 3xy(x + y) = ⇔ x = 0; y = 0; x = - y - Nếu x = 0, y = (*) chứng minh - Nếu x = - y (*) có dạng: = Vậy đẳng thức (*) chứng minh 2.3.2.7 Chứng minh bất đẳng thức: 16 Ví dụ: Chứng minh với x, y ≠ , chứng minh: x + y4 ≤ x6 y6 + y2 x2 Giải Ta dùng phép biến đổi tương đương x6 y6 Ta có: x + y ≤ + y x 4 ⇔ x2y2(x4 + y4) ≤ x8 + y8 ⇔ x8 + y8 – x6y2 – x2y6 ≥ ⇔ x6(x2 – y2) – y6(x2 – y2) ≥ ⇔ (x2 – y2) (x6 – y6) ≥ ⇔ (x2 – y2)2(x4 + x2y2 + y4) ≥ (Bất đẳng thức đúng) x6 y6 Vậy x + y ≤ + y x 4 2.3.2.8 Giải toán liên quan đến số ngun tố: Ví dụ 1: Tìm số nguyên tố a cho 2a + lập phương số Giải * Nếu a số chẵn, ⇒ a = Thì 2a + = (loại) * Nếu a số lẻ, 2a + số lẻ Khi ta có: 2a + = (2k + 1)3 ⇔ 2a + = 8k3 + 12k2 + 6k + ( k ∈ N) ⇔ a = k(4k2 + 6k + 3) Vì k ∈ N nên 4k2 + 6k + ≠ ⇒ k = Nên a = 13 (Thoả mãn), 2a + = 27 = 33 Ví dụ 2: Tìm cố tự nhiên m, n để m4 + 4n4 số nguyên tố Giải Ta có: m4 + 4n4 = m4 + 4n4 + 4m2n2 - 4m2n2 = (m2 + 2n2) – (2mn)2 = (m2 + 2n2 – 2mn)(m2 + 2n2 + 2mn) Do m, n số tự nhiên Nên để m4 + 4n4 số nguyên tố thì: 17 m2 + 2n2 – 2mn = ⇔ (m – n)2 = 1- n2 ⇒ -1 ≤ n ≤ ⇒ n = 1, n = * Nếu n = m = (Thoả mãn) Vì m4 + 4n4 = số nguyên tố * Nếu n = m = (Loại) Vì m4 + 4n4 = số nguyên tố Vậy với m = n = m4 + 4n4 số nguyên tố 2.3.2.9 Giải phương trình nghiệm ngun: Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình x + y = xy Giải Ta có: x + y = xy ⇔ xy – x – y = ⇔ (x – 1)(y – 1) = x − = x =  x − = −1 x = ⇔  ⇔  ⇔   y −1 = y =  y − = −1 y = Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) (0 ; 0) 2.3.3 BÀI TẬP VẬN DỤNG 2.3.3.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 14) 16) 18) 20) 22) 24) (x2 + y2 - 5)2 - 4x2y2 - 16xy - 16 (P2-Nhóm) x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) (Khai triển nhóm lại) 2 (x - y + 4) - (2x + 3y- 1) (HĐT) 2 9x + 90x + 225 - (x-7) (HĐT) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - (Khai triển nhóm lại) 2 2 2 x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz (Nhóm thành nhóm) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y) (Nhân nhóm lại) 2 a + 2b - 2c + 3ab + ac a4 + 2a3 + (Tách) 2 4a - 4b - 4a + (Nhóm) 2 a - 2b - 2c - ab + 5bc - ac a2 + b2+ 2a - 2b - 2ab 13) 8b2 + 2b - 25x2(x - y) – x + y 15) 4x3y + 0,5yz3 x9 + x8- x- 17) x6 + 2x5 + x4- 2x3 - 2x2 + (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) -12 19) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15 x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 21) (x2 + 4x + 8)2-3x(x2+ 4x + 8) + 2x2 x4 + 324 23) a7 + a5 + a7 - 25) (x - a)4 + 4a4 18 26) x5 + x4+1 27) a5 + a + 28) x4 + 64 29) x3 + 3x2 + 3x + 30) a10 + a5+ 31) a8 + a + 32) a16 + a8b8+ b16 33) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 34) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 35) x3 - 2x - 36) (x2- 8)2 + 36 37) 81x4 + 64 38) ab(x2 + y2)+ xy(a2 + b2) 39) (2x + 3y)2-4(2x + 3y) 40 a2(x2 + b4) - b2(x2 + a4) 2.3.3.2 Giải phương trình: 1) x2+ 3x – 18 = 2) 8x2 +30x +7 = 3) x3- 11x2 + 30x = 6) x3- 6x2- x +30 = 5) x2- x + = 7) x10+ x5+ 1=0 8) x3- x - 4=0 9) (5x2 + 3x-2)2- (4x2-x-5)2 = 2.3.3.3 Chứng minh với n số nguyên ta ln có: 1) 5n3 + 15n2 + 10n chia hết cho 30 2) n − 5n + 4n n+2 chia hết cho 24 (n số tự nhiên) 3) n3 - n chia hết cho 4) n4 - chia hết cho 2.3.3.4 Tìm tất số tự nhiên n để số có dạng: 1) n3- n2 + n- 2) n3- 6n + 3) n5 - 2n3 – n - 4) n3- 4n2 + 4n- 5) n3- 6n2+ 9n - 6) n3 - n2- n - Là số nguyên tố 2.3.3.5 Cho: a + b + c = 1 + + = Tính giá trị biểu thức a b c P = a2 + b2 + c2 2.3.3.6 Cho A = x3 + y3+ z3 – 3xyz a Chứng minh x + y+ z=0 A = b Điều ngược lại có khơng? 2.3.3.7 Giải bất phương trình: 1) 2x -7x + ≥ 2) 2− x >0 3x + 3) x − x − 12 ≤0 2x + 2.3.3.8 Giải phương trình nghiệm nguyên: 1) y3 – x3 = 91 3) p(x + y) = xy 2) 3x3 – xy = với p số nguyên tố 2.3.3.9 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 19 2) 3) a b − a≥ b− ab a+ b b ( với a > 0, b > 0) a ≤ ab ( với a > 0, b > 0) 2.3.3.10 Tính giá trị biểu thức: 1) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: a b b c c a A = (1 + )(1 + )(1 + ) 2) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: B = a4 + b4 + c4 2.3.3.11 Rút gọn phân thức sau: 2y2 + 5y + 1) Q = y + y + 12 y + a + b + c − 3abc 2) P = 2 a + b + c − ab − bc − ca 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với kinh nghiệm trình bày, sau nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, thân tơi thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh nắm vững phương pháp phân tích thành nhân tử đơn giản, học sinh giỏi sử dụng linh hoạt phương pháp đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào việc phân tích đa thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ rõ sáng tạo trình giải tập, tập em giải theo nhiều cách, sau em lựa chọn cách giải dễ hiểu để trình bày Mặt khác qua việc áp dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng toán phổ biến chương trình trung học sở, lần nói lên tầm quan trọng việc phân tích đa thức thành nhân tử Điều cịn khẳng định, để trở thành học sinh giỏi, học sinh thiếu kĩ Chính chất lượng học sinh ngày tăng lên thể qua kết khảo sát học sinh đại trà hai lớp 8A 8B năm học 2020 – 2021 sau: Lớp Số HS kiểm tra 8A 30 8B 30 Số đạt yêu cầu 30 30 Số chưa đạt yêu cầu 0 20 Đặc biệt kết học sinh giỏi khối cấp huyện năm học 2020 – 2021 có 10 em thi đạt giải cao: giải nhất, giải nhì, giải ba KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Qua thực tế áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy học sinh lớp trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn, thân Tôi thấy đa số em học sinh hứng thú học tập, nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách có hệ thống từ dễ đến khó, đặc biệt khả tư quan sát, lựa chọn phương pháp áp dụng cho tập nhanh gọn phù hợp Các phương pháp, tập lựa chọn trình bày đề tài chắt lọc, lựa chọn, xây dựng theo hệ thống khoa học từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nên phù hợp cho đối tượng học sinh Vì đề tài khơng sử dụng cho học sinh trường THCS Chu Văn An, mà sử dụng giảng dạy cho đối tượng học sinh Hướng phát triển sáng kiến kinh nghiệm: Ta mở rộng, xây dựng thêm hệ thống tập, dạng tập nâng cao vào phần ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử, để áp dụng vào công tác ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi cấp 3.2 Kiến nghị Qua việc giảng dạy thực tế, xin kiến nghị, đề xuất số vấn đề sau: - Đề nghị nhà trường, Phòng giáo dục quan tâm thiết bị phục vụ cho việc giảng dạy theo phương pháp - Nhà trường cần bố trí giáo viên dạy theo lớp để có nhìn tổng thể phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng - Giáo viên dạy mơn tốn cần tích cực cho học sinh thảo luận nhóm để học sinh giao lưu phát cách giải hay - Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề để học sinh học tốt kiến thức sau Do trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương pháp phân tích nêu SGK, tiếp đến phương pháp tách hạng tử, đặc biệt tách tam thức bậc phương pháp hay sử dụng lớp - Với học sinh giỏi cần hướng dẫn thêm cho em phương pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định Để học sinh nắm vững hứng thú học tập 21 - Giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo tìm tịi cho em Trong khn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử thấy tầm quan trọng Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý chân thành bạn đồng nghiệp, HĐKH để đề tài tơi hồn chỉnh đạt hiệu cao./ Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa toán 8; Sách tập toán 8; Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Tác giả Bùi Văn Tuyên; Nâng cao phát triển tốn - Tác giả Vũ Hữu Bình; Chun đề Đại số - Tác giả Nguyễn Vũ Thanh Danh mục đề tài SKKN Hội đồng SKKN đánh giá đạt từ loại C trở lên STT Tên đề tài Xếp Hội đồng Năm học loại đánh giá SKKN cấp Tổng quát hóa tốn dạy học C Tỉnh 2008 - 2009 tốn Tổng qt hóa tốn dạy học A Huyện 2008 - 2009 toán Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương B Huyện 2011 - 2012 pháp giải cho tốn Một số tổng có quy luật B Huyện 2012 – 2013 Phân tích đa thức thành nhân tử ứng B Huyện 2013 – 2014 dụng dạy học toán trường thcs Chu Văn An huyện Nga Sơn Tổng qt hóa tốn dạy B Huyện 2014 – 2015 học toán trường THCS Chu Văn An Tổng có quy luật, cách tính ứng B Huyện 2017 - 2018 dụng trongv dạy học toán trường THCS Chu Văn An XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng năm 2021 CAM KẾT KHÔNG COPY 22 Mai Văn Trường 23 ... THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.3.1.1 Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ... việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập học sinh - Thấy tầm quan trọng ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải toán 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC... Phân tích đa thức thành nhân tử ứng B Huyện 2013 – 2014 dụng dạy học toán trường thcs Chu Văn An huyện Nga Sơn Tổng qt hóa tốn dạy B Huyện 2014 – 2015 học toán trường THCS Chu Văn An Tổng có quy