Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ CỪ TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TIÊN TIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP Người viết: HOÀNG ĐỨC THIỆN Chức vụ: Giáo viên dạy toán Đơn vị: Trường trung học sở Tiên Tiến NĂM HỌC 2013-2014 PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG Lý nghiên cứu Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng chương trình Toán tảng cho rèn luyện tư duy, kỹ giải toán học sinh THCS Nội dung giới thiệu chương trình Toán lớp coi nội dung nòng cốt chương trình Vì vận dụng nhiều chương sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, … Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều, tập mang tính minh họa nên đa số học sinh lúng túng Học sinh giỏi nhiều vấn đề kiến thức chưa đề cập tới Bài tập chưa đủ kích thích tìm tòi, khả tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải nhiều vấn đề chương trình Đại số lớp lớp nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm lời giải hay ngắn gọn cho toán Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất học sinh đại trà học sinh giỏi đạt kết tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề cần quan tâm Sau giới thiệu phương pháp có ví dụ cụ thể, cần có tập vận dụng tổng hợp phương pháp Trên sở tạo ngân hàng tập theo mức độ cho đối tượng học sinh Tôi chọn đề tài nghiên cứu phục vụ cho công tác giảng dạy thân hy vọng góp phần nhỏ vào thư viện trường làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Mục đích nghiên cứu - Đưa cách nhìn cụ thể cho phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập áp dụng, tập vận dụng từ thấp đến cao - Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu: + Đối tượng: - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Các tập liên quan chương trình toán + Phạm vi - Chương trình toán 8, trọng tâm phần phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo chuẩn KTKN - Nghiên cứu tài liệu tham khảo thư viện trường - Tông hợp dạng tập theo chủ đề khai thác nâng cao mức độ PHẦN II NỘI DUNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau, thường sử dụng số phương pháp thông dụng sau: Đặt nhân tử chung Sử dụng đẳng thức đáng nhớ Nhóm hạng tử Phối hợp nhiều phương pháp Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Đổi biến số (đặt ẩn phụ) Thêm bớt hạng tử Dùng hệ số bất định Tìm nghiệm đa thức 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp : + Trước hết, ta tìm nhân tử có mặt tất hạng tử đa thức Đó nhân tử chung + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đặt nhân tử chung dấu ngoặc 1.1.2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x y – 10xy 2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) 3) C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) HD : 1) A = 5x y – 10xy Ta thấy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta có A = 5x y – 10xy = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung : B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y – 7z)( 2x – 6y) = (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y) 3) C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) Đổi dấu – (4yx + yz )(z – y ) = (4yx + yz )( y – z), ta có thừa số (y – z) chung: C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) = (y – z)(2x y – yz) + (4yx + yz )( y – z) + 6x z(y – z) = (y – z)[( 2x y – yz ) + (4yx + yz ) + 6x z] = (y – z)[ 2x y + 4yx + 6x z] = (y – z)[ 2xy + 4yx + 6x z] = (y – z)[ 2x (y + 2y + 3z)] = (y – z)[ 2x (3y + 3z)] = (y – z) 2x 3(y + z) = 6x (y – z)(y + z) 1.1.3.Khai thác toán: Nếu ý đến hạng tử biểu thức cách đặt thừa số chung, ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x + 5x y) – (7x – 3x y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b – 2c) – (a – 4)(2c – b ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức H = 3x m y – 9x n y + 15x n+1 với m, n N, m > n 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức 1.2.1 Phương pháp: Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) D = x – x + 2) E = 9(x + 5) – (x +7) 3) F = – x3 + 9x2 – 27x + 27 4) G = – 27a3b6 HD: Ta thấy hạng tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1) D = x2 – x + = 2) E = 9(x + 5) – (x + 7) = [3(x + 5)] – (x + 7) = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) 3) F = - x3 + 9x2 – 27x + 27 = = (-x +3)3 4) G = – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 1.2.3 Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M= Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N= Bài toán 1.3: Phân tích đa thức K= 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích Lưu ý: Thường ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác 1.3.2.Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 – xy + x – y 2) x - 2xy - z + y + 2zt – t 3) – x + 2xy – y HD: Ta thấy hạng tử thừa số chung không thấy có dạng đẳng thức Vì ta nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung có dạng đẳng thức để phân tích tiếp: 1) x2 – xy + x – y * Cách 1: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có : x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) =(x – y)(x + 1) * Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x + 1)(x – y) Nhận xét : Ở ví dụ ta nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác hạng tử thích hợp 2) x - 2xy - z + y + 2zt – t Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ tư, hạng tử thứ ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng đẳng thức tiếp tục phân tích, ta có : x - 2xy - z + y + 2zt – t = (x – 2xy + y ) – (z – 2zt + t) = (x – y) – (z – t) = (x – y + z – t)(x – y – z + t) 3) – x2 + 2xy – y2 = – (x2 – 2xy + y2 ) = 32 – (x – y2) =(3 +x – y)( – x + y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta nhóm hạng tử cuối đa thức đưa vào dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thức phương pháp dùng đẳng thức 1.3.3 Khai thác toán: Nếu ý đến phương pháp nhóm hạng tử, ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức E = 3x – 75x + 6x – 150 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức F= Bài toán 1.3: Phân tích đa thức G= 1.4 Phối hợp phương pháp 1.4.1 Phương pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên ý chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau : Bước 1: Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay không? Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với bước tiếp tục thực đến kết cuối Nếu nhân tử chung, chuyển sang bước Bước 2: Nếu đa thức có dạng hàng đẳng thức áp dụng phương pháp đẳng thức Nếu không chuyển qua bước Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử chung 1.4.2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + – 2y2 2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 HD 1) Ta thấy hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung tiếp tục phân tích đa thức ngoặc: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) Đặt nhân tử chung h(x) = MỘT SỐ BÀI TẬP CHO HỌC SINH TỰ LUYỆN 2.1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1: Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: A (xy – 2)(5x – 15x) ; B y(x – 2)(5x – 15x) ; C y(x – 2)5x(x – 3) ; D Bài 2: ; Kết phân tích đa thức A thành nhân tử là: ; B ; C ; D Cả câu Bài 3: Kết phân tích đa thức A ; B ; C ; D ; Bài 4: Kết phân tích đa thức A ; C Bài 5: A thành nhân tử là: thành nhân tử là: B ; ; D Cả câu sai; Kết phân tích đa thức ; thành nhân tử B ; C Bài 6: ; D Kết phân tích đa thức A ; C Bài 7: thành nhân tử B ; ; D ; Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: A (x – 4) ; B (4 – x) ; C – (x – 4)(x – 4) ; D – (4 – x)(x – 4) ; Bài 8: Kết phân tích đa thức A thành nhân tử là: ; B a(x + y)(x – y –1) ; C a[(x – y)(x + y) – (x + y)] ; D ; Bài 9: Kết phân tích đa thức A thành nhân tử là: ; C (x + y)[(x + y) – 1] ; B - (x + y); D (x + y)(x +y +1)(x + y – 1) ; Bài 10: Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: A y(3 + x – y)(3 – x + y) ; B y[(x – y) – ] C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; D y(3 + x + y)(3 – x – y) ; 2.2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: a) 3x(x – 2y) + 7(2y – x)2 b) 2ab3 + 6a2b – 14ab c) 5x(y – 3)2 – (3 – y)3 d) – 3xmy + 9xn+1y3 – 15xny với m,n N, m > n e) f) (4x – 8)(x2 + 6) – (4x – 8)(x + 7) + 9(8 – 4x) g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7 h) 7xy5(x – 1) – 3x2y4(1 – x) + 5xy3(x – 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức: a) (x – y + 1) – (x – y + 1) + b) 27x – c) (a + b) – (a – b) d) 8x + 12x y + 6xy + y e) 64x y – 81x2 y f) 25m2 – (x – 1)2 g) x3 – 3x2 + 3x – h) 64x3 + 27 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử: a) b) x2 + 4x - y2 + c) 10ay – 5by + 2ax – bx d) a2m – b2m + a2n – b2n e) m3 + 4m2 – 9m -36 f) 3x3 + 6x2 – 75 x – 150 g) 5x2 – 5xy – 3x + 3y h) x2 – xz – 9y2 + 3yz Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách hạng tử: a) A = 4x2 - 8x + b) B = 15x2 – 31x + c) C = 12x2 - 15x + d) D = x2 + 5x + e) E = x2 – 5x + 14 f) F = x2 – 3x – g) G = a2 – 7ab + 10b2 h) H = Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ: a) f(x) = (x2 – 3x -1)2 – 12 (x2 – 3x – 1) + 27 b) g(x) = ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + c) h(x) = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – d) k(x) = (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – y) + e) l(x) = (x2 – 2x)(x2 – 2x -1) – f) p(x) = (x2 + 4x – 3)2 – 5x(x2 + 4x – 3) + 6x2 g) q(x) = (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm bớt: a) 4x4 + y4 b) c) x4 + 5x3 +10x - d) e) x3 + y3 + z3 - 3xyz f) x4 + 64 g) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) = x2 + 3x + d) k(x) = x4 - 3x3 + 6x2 - 5x + Bà i 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm: a) A = 2x – 5x + 3x + 10 b) B = x5 + c) C = x3 + 3x2 - 4x + d) D = x + 4x – Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp phối hợp phương pháp : a) 3ab3 – 6a2b2 + 3a3b b) c) d) e) f) x2 – 2xy + y2 – xz + yz g) h) i) a(b2 – c2) – b(c2 – a2) + c(a2 – b2) k) MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) c) d) e) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử nhiều cách: x – 7x – Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp a) f(x) =5x – 10xy + 5y – 20z b) g(x) = x – x + 3x y + 3xy + y – y c) h(x) = 2x + 7x – 2x – 13x + d) k(x) = 27x – 9x + 14x – e) l(x) = (x + x) + 4(x + x) – 12 f) m(x) = x + 27 g) n(x) = x + 3x + h) p(x) = (x + 2)(x + )(x + 4)(x + 5) – 24 Bài Viết đa thức sau dạng bình phương tam thức bậc hai a) f(x) = b) g(x) = Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp hệ số bất định a) f(x) = x – 9x + 26x – 24 b) g(x) = x – x – x + 2x – Bài 6: Tính giá trị biểu thức: a) P = xy – 4y – 5x + 20 với x = 14, y = 5,5 ; b) Q = x + xy – 5x – 5y với x =-5 , y = -8 ; c) H = (x – 1)(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 2) + x – với x = ; Bài 7: Cho Tính giá trị biểu thức: P= Bài Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức ( x + a )( x – ) – phân tích thành tích ( x + b )( x + c ) Bài Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức x + ax + bx + c phân tích thành tích ( x + a )( x + b )( x + c ) Bài 10 Không làm phép chia đa thức xét xem đa thức: f(x) = x – 9x + 6x + 16 có hay không chia hết cho: a) x +1 Bài 11 Xác định sốa cho: b) x – a) 10x – 7x + a chia hết cho 2x – b) 2x + ax +1 chia cho x – dư c) ax + 5x – chia hết cho ( x – 1) Bài 12 Tìm số a, b c cho ax + bx + c chia hết cho x + 2, chia cho x – dư x +5 Bài 13: Giải phương trình: a) b) c) Bài 14: Chứng tỏ đa thức : Luôn không âm với giá trị x Bài 15: Cho x số nguyên Chứng minh : B= bình phương số nguyên Bài 16: Chứng minh nguyên luôn chia hết cho 30 với n số Bài 17: Cho đa thức: C = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz a) Phân tích C thành nhân tử ; b) Chứng minh x, y, z số nguyên x + y + z chia hết cho C – 3xyz chia hết cho Bài 18: Chứng minh với mị số nguyên n số: chia hết cho 105 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = ; Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : g(x) = Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Chứng minh rằng: a) b) có tận chữ số chia hết cho 100 Bài 6: Cho x y hai số khác cho: Tính giá trị biểu thức Bài 7: a) Chứng minh rằng: b) Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho Bài 9: Chứng minh chia hết cho 24 với số tự nhiên n Bài 10: Cho Tính giá trị biểu thức Bài 11: Cho Chứng minh biểu thức vào Bài 12: Cho Tính Bài 13: Cho a) b) Chứng minh không phụ thuộc Bài 14: Chứng minh : a) Đa thức b) Đa thức chia hết cho đa thức chia hết cho đa thức: Bài 15: Xác định số hữu tỷ a để đa thức M = thức chia hết cho đa Bài 16: Cho x > y > z, chứng minh biểu thức: luôn dương PHẦN III KẾT LUẬN Những kết đạt Bản thân nghiên cứu đưa cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Có phương pháp , có ví dụ minh họa, có tập khai thác làm chủ đề trở lên đơn giản rễ hiểu Việc xây dựng số nội dung kiến thức mở rộng giúp giáo viên học sinh có nhìn sâu cách khai thác vận dụng kiến thức vào dạy học toán Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Kết kiểm tra đánh giá cuối chủ đề hai lớp năm 2013: Kết Lớp 8A Điểm 0-4 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 3.8 30,8 14 53,8 11,5 8B 0 36 10 40 24 Dù số lượng học sinh chưa nhiều, song qua giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp thấy học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đặc biệt tỉ lệ học sinh làm dạng vận dụng cao Có thể nói, việc hệ thống kiến thức chủ đề cách khoa học có tác dụng tốt không với giáo viên mà tác động trự tiếp đến khả tiếp thu hứng thú học sinh 2- Đề xuất Trong thời gian không dài, tài liệu tham khảo ỏi, cố gắng nhiều số suy nghĩ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nếu có cộng tác bạn bè đồng nghiệp, tin ý kiến cá nhân hoàn thiện khoa học Tiên Tiến, ngày 3/3/2014 Người viết HOÀNG ĐỨC THIỆN MỤC LỤC PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG Lý nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG CÁC PP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 1.4 Phương pháp phối hợp phương pháp 1.5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1.6 Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) 12 1.7 Phương pháp thêm bớt hạng tử 16 1.8 Phương pháp hệ số bất định 17 1.9 Phương pháp tìm nghiệm đa thức 20 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1 Bài tập trắc nghiệm 23 2.2 Bài tập tự luận 24 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 27 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO 29 PHẦN III: KẾT LUẬN Những kết đạt 32 Đề xuất 32 MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề Đại số Nhà xuất giáo dục.Vũ Dương Thuỵ (chủ biên)- Nguyễn Ngọc Đạm Bài tập nâng cao Đại số Nhà xuất Đà Nẵng Phan Văn Đức – Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thượng – Nguyễn Anh Dũng 3.Toán nâng cao Đại số Nhà xuất Đại học sư phạm Nguyễn Vĩnh Cận Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán Nhà xuất giáo dục Hoàng Ngọc Hưng – Phạm Thị Bạch Ngọc 400 tập mở rộng Đai số 8.Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Dương Đức Kim - Đỗ Duy Đồng Nâng cao phát triển Toán 8, tập Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số Nhà xuất giáo dục Nguyễn Vũ Thanh ... 1.2.3 Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M= Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N= Bài toán 1.3: Phân tích đa thức K=... tìm nhân tử có mặt tất hạng tử đa thức Đó nhân tử chung + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đặt nhân tử chung dấu ngoặc 1.1.2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân. .. tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân