Đang tải... (xem toàn văn)
“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài toán phân tích đa thức thành nhân tử” MỤC LỤC PHẦN A – MỞ ĐẦU Trang I Lý do chọn đề tài 2 II Mục đích nghiên cứu 3 III Đối tượng nghiên cứu[.]
“Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” MỤC LỤC PHẦN A – MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu PHẦN B- NỘI DUNG I Cơ sở lí luận ,thực tiễn II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Tình trạng chưa thực Số liệu điều tra trước thực đề tài III Giải pháp thực Hệ thống kiến thức Những vấn đề cần giải 2.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Các phương pháp a Phương pháp đặt nhân tử chung b Phương pháp dùng đẳng thức c Phương pháp nhóm nhiều hạng tử d Phối hợp nhiều phương pháp 2.1.2 Các phương phán khác a Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử b Phương pháp thêm bớt hạng tử c Phương pháp đặt ẩn phụ d Phương pháp dùng hệ số bất định 2.2 Giải các tốn phân tích đa thức 2.3 Giáo án vận dụng phương pháp học tập tích cực học học sinh qua việc dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử Kết thực PHẦN C-KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1/34 Trang 3 3 4 4 6 9 11 14 16 17 20 27 31 34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” PHẦN A: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Dạy học hoạt động khoa học phức tạp, trình dạy học có nhiều yếu tố tác động, phương pháp dạy học đóng vai trị quan trọng đạo hoạt động dạy học thầy trị Trong phương pháp dạy học mơn Tốn phương pháp “ Phát huy tính tích cực học sinh” quan trọng Tính tích cực học tập biểu dấu hiệu như: học sinh hăng hái trả lời câu hỏi giáo viên, bổ sung câu trả lời cho bạn, thích phát biểu ý kiến trước vấn đề nêu ra, hay thắc mắc, chủ động vận dụng kiến thức , kĩ học vào vấn đề Chương trình đại số lớp có mảng kiến thức quan trọng, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Việc nắm vững phương pháp giải loại toán giúp cho học sinh nhiều việc giải tốn khác có dạng tốn: rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị biến để biểu thức ngun Qua thực tế giảng dạy mơn tốn tơi thấy nhiều học sinh cịn lúng túng gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu Với học sinh khá, giỏi tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Vậy “làm đối tượng học sinh thích thú, say mê học dạng tốn này”? Trong phạm vi đề tài muốn đưa phương pháp để giúp em học sinh lớp có kĩ thành thạo, phương pháp giải tốt dạng toán giúp em biết vận dụng dạng để giải toán khác từ kích thích em có tìm tịi sáng tạo, khám phá điều lạ say mê học tập, có nhiều hứng thú học mơn tốn Sách giáo khoa có đưa phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm hạng tử + Phối hợp nhiều phương pháp Trong thực tế có tốn dạng phức tạp áp dụng phương pháp để giải Gặp em lại lúng túng khơng biết làm sử dụng phương pháp để giải Với hy vọng nhỏ cho em học sinh thực tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách say mê hứng thú giúp chọn chủ đề: 2/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử ” II Mục đích nghiên cứu: - Giúp học sinh phát huy tính tích cực , chủ động , sáng tạo học tập - Giúp học sinh nắm phương pháp, có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Cũng từ mà phát triển tư lơgic cho học sinh, phát triển lực giải toán cho em, giúp cho giải em hoàn thiện hơn, xác giúp em tự tin học tập III Đối tượng nghiên cứu - Tính tích cực học sinh - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp IV Nhiệm vụ nghiên cứu: - Xây dựng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Từ phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập V Phạm vi nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8B, 8C trường THCS giảng dạy - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2015 – 2016 Bắt đầu thực từ 1/10/2015, kết thúc trình nghiên cứu 20/04/2016 VI Các phương pháp nghiên cứu: - Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo - Trao đổi với bạn bè , đồng nghiệp - Nghiên cứu qua thực tế giải tập học sinh , kết kiểm tra - Phương pháp vấn đáp, trò chuyện PHẦN B: NỘI DUNG 3/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” I Cơ sở lý luận, thực tiễn: Cơ sở lý luận: Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 8, đóng vai trò tảng, làm sở để em học tiếp chương trình giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị biểu thức Có nhiều em thích thú có khơng em cịn ngại khó gặp dạng tốn này, khơng biết phải lựa chọn phương pháp để phân tích.Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách nhanh chóng, xác phát huy tính tích cực học tập học sinh giúp học sinh phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng động học tập Để thực tốt điều đòi hỏi giáo viên xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, đánh giá toán, kĩ giải vận dụng với đối tượng học sinh 2.Cơ sở thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy, kết kiểm tra nhận thấy em học sinh chưa có kĩ làm tốn: Rút gọn phân thức, giải phương trình, tìm GTLN, tìm GTNN Vì để giải dạng tốn cần phải có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử, nên việc giúp học sinh có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử việc làm thiếu Đề tài với hy vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với mơn tốn nói chung tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng II Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 1.Tình trạng chưa thực hiện: Những năm học vừa qua nhà trường phân công giảng dạy mơn tốn lớp 8, tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử Đối với học sinh trung bình, học sinh yếu chưa nắm cách phân tích đa thức thành nhân tử nên dẫn đến tâm lí mặc cảm Đối với học sinh giỏi cịn gặp khó khăn số dạng nâng cao nên chưa thật tự tin, hứng thú học tập Trong phạm vi đề tài muốn đưa phương pháp để giúp em học sinh lớp có kĩ thành thạo, phương pháp giải tốt dạng toán từ giúp em tích cực, chủ động việc chiếm lĩnh tri thức Số liệu điều tra trước thực đề tài: 4/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử” Kết kiểm tra lớp 8B lớp 8C đánh giá, thống kê qua kiểm tra tiết chưa áp dụng giải pháp sau: Chưa áp dụng giải pháp: BẢNG SỐ LIỆU THỐNG KÊ Phân loại học sinh Năm Số học HS Khá - giỏi ( lớp 8c) số 20152016 56 31 Không đạt Đạt Tổng Đại trà ( lớp 8b) SL % SL % 25 80,6 19,4 số 32 Không đạt Đạt Tổng SL 15 % SL 46,8 17 % 53,2 Qua phân tích bảng số liệu nhận thấy : - Học sinh đại trà chưa nắm kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nên kết thấp - Học sinh giỏi cịn nhiều lúng túng giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao III Giải pháp thực Hệ thống kiến thức bản: Trước hết cần nhắc lại số kiến thức phục vụ cho việc giải toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức khác *Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thơng thường a Đặt nhân tử chung b Dùng đẳng thức Bảy đẳng thức đáng nhớ (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 A2-B2=(A+B)(A-B) (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) A3+B3=(A-B)(A2+AB+B2) c Nhóm hạng tử 5/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” d Phối hợp phương pháp *Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp khác a Tách hạng tử thành nhiều hạng tử b Thêm, bớt hanạg tử c Đặt ẩn phụ d Dùng phương pháp hệ số bất định e Nhẩm nghiệm f Đổi dấu hạng tử A=-(-A) g Cho đa thức f(x), đa thức có nghiệm x=a f(a)=0 h Cho đa thức f(x)=anxn + an-1xn-1 +…+ a1x1 +a0 Đa thức có nhiều nghiệm số ngun nghiệm phải ước a0 Những vấn đề cần giải Như nêu phần đầu tốn phân tích thành nhân tử xếp đầu chương I sau nhân đa thức đẳng thức, với thời lượng có tiết bao gồm tiết lý thuyết tiết luyện tập em học sinh hoàn thành phần tập chưa nói đến việc khai thác phương pháp phân tích Để rèn luyện kỹ giúp học sinh phát huy tính tích cực, lĩnh hội kiến thức dễ dàng q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tơi phân dạng toán thành hai loại: - Bài tập thông thường tập khai thác từ - Các tốn ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Các phương pháp a Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp: - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 3x b 12x3 – 6x2 + 3x c d 14x2y – 21xy2 +28x2y2 Giải 6/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” a x2 – 3x = x(x – 3) b 12x3 – 6x2 + 3x = 3x(4x2 – 2x + 1) c = x2 ( ) d 14x2y – 21xy2 +28x2y2 = 7xy(2x – 3y +4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 5x2(x – 2y) – 15xy(x – 2y) b x(x + y) +4x +4y Giải a 5x (x – 2y) – 15xy(x – 2y) = (x – 2y)( 5x2 - 15xy) =(x – 2y)5x(x – 3y) a x(x + y) +4x +4y b = x(x + y) +(4x +4y) = x(x + y) + 4(x + y) = (x + y)(x + 4) Nhận xét: Ở hai ví dụ việc phân tích đa thức thành nhân tử mức độ đơn giản Học sinh nhận thấy nhân tử chung Nhiều để xuất nhân tử chung phải đổi dấu hạng tử có đa thức ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 10x(x – y) – 8y(y – x) b 5x(x – 2000) – x + 2000 Giải a 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = (x – y)( 10x + 8y) = 2(x – y)( 5x + 4y) b 5x(x – 2000) – x + 2000 =5x(x – 2000) –(x – 2000) = (x – 2000)(5x – 1) Lỗi thường gặp em học sinh giải tốn dạng khơng biết nhóm hay đổi dấu hạng tử để làm xuất nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để em thực cách dễ dàng Tuy nhiên ví dụ nêu em học sinh cần có chút cố gắng thực toán phân tích đa thức cách 7/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử” đặt nhân tử chung tốn sau địi hỏi em phải có cố gắng định thực b Phương pháp dùng đẳng thức: Vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử cách làm thông dụng áp dụng nhiều Để áp dụng phương pháp yêu cầu học sinh phải nắm bảy đẳng thức đáng nhớ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 6x + b x2 – c – 27x3 d e –x3 + 9x2 – 27x +27 Giải a x – 6x + = (x – 3)2 b x2 – = c – 27x3 = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d = e –x3 + 9x2 – 27x +27 = - (x3 - 9x2 + 27x -27) = -(x – 3)3 Ở ví dụ đằng thức triển khai Việc phân tích cách viết theo chiều ngược lại đẳng thức em học sinh dễ dàng thực em thuộc biết cách vận dụng đẳng thức, ví dụ sau muốn áp dụng đẳng thức em phải có biến đổi có đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (x + y)2 – 6(x + y) + b 16a2 – 49(b – c)2 c 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2 Giải a (x + y) – 6(x + y) + = (x + y)2 – 6(x + y) + 32 = (x + y – 3)2 b 16a2 – 49(b – c)2 = = (4a – 7b + 7c)(4a + 7b - 7c) 8/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” c 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2 Ta thấy ví dụ khơng khó vấn đề chỗ học sinh không nhận dạng đẳng thức việc phân tích gặp khó khăn ví dụ dạng nên hướng dẫn em nhận dạng sau phân tích c Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Phương pháp thứ ba để phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Đối với phương pháp cần lưu ý cho học sinh nhóm hạng tử phải ý dấu trước ngoặc đặc biệt dấu trừ ngồi ngoặc Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – x – y2 – y b x2 – 2xy + y2 – z2 Giải a x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – (x + y) = (x + y)(x – y) – (x + y) = (x + y)(x – y – 1) b x2 – 2xy + y2 – z2 = (x2 – 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)(x – y + z) d Phối hợp nhiều phương pháp: Phương pháp: Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử - Có thể phối hợp phương pháp Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 3x +xy – 3y b 2xy +3z + 6y +xz Giải 9/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử” a x2 – 3x +xy – 3y = (x2 +xy) – (3x + 3y) = x(x + y) – 3( x + y) = (x + y)( x– 3) d 2xy +3z + 6y +xz = (2xy + 6y) +(3z + xz) = 2y(x + 3) + z(3 + x) = (x + 3)( 2y +z) Ở ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử ta phối hợp phương pháp như: Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) b a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c(a2-b2) Phương pháp chung để làm loại toán khai triển hai số ba hạng tử giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ làm xuất nhân tử chung chứa số hạng thứ ba, câu a ta khai triển hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a+b Giải a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) = b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b) = (b2c-ca2)+(bc2 + c2a)- ab(a+b) = c(b2-a2)+c2(b+a)-ab(a+b) = c(b-a)(b+a)+c2(b+a)-ab(a+b) = (b+a)(cb-ca+c2)-ab(a+b) =(b+a)(cb-ca+c2-ab) = (b+a)[(cb+c2)-(ca+ab)] = (a+b)[c(b+c)-a(c+b)] = (a+b)(b+c)(c-a) b a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c3(a2-b2) = a3b2-a3c2+b3c2-b3a2+c3(a2-b2) = (a3b2 - b3a2)-(a3c2-b3c2)+ = a2b2(a-b)-c2(a3-b3)+c3(a2-b2) = a2b2(a-b)-c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b) = (a-b)(a2b2-c2a2+c2ab-c2b2 +c3a+c3b) = (a-b)[(a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab)+(c3a-c2a2) 10/34 “Phát huy tính tích cực học sinh qua việc giảng dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử” tốn quan trọng khác, phần sau tơi xin nêu vài ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán 2.2 Giải tốn phân tích đa thức: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác Do số dạng toán áp dụng kết phân tích đa thức thành nhân tử giải dễ dàng số dạng tốn sau: 2.2.1 Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK) Tính nhanh: 732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 20022 - = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 2000 = 4008000 Ví dụ : (Bài 49, trang 22 SGK) Tính nhanh: 37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300 45 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152 = (45 + 40)2 - 152 = 852 - 152 = (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Ví dụ : (Bài 56, trang 25 SGK) Tính nhanh: Trong ví dụ ta thấy để thực việc tính nhanh phương pháp chung phân tích biểu thức cấn tính nhanh thừa số tính 2.2.2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức: Ví dụ : (Bài 40, trang 19 SGK) Tính giá trị biểu thức sau: a 15.91,5 + 150.0,85 b 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 20/34 ... 70.100 = 7000 Ví dụ : (Bài 56, trang 25 SGK) Tính nhanh: Trong ví dụ ta thấy để thực việc tính nhanh phương pháp chung phân tích biểu thức cấn tính nhanh thừa số tính 2.2.2 Dạng 2: Tính giá trị biểu... tích đa thức thành nhân tử giải dễ dàng số dạng tốn sau: 2.2.1 Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK) Tính nhanh: 732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 20022 - = 20022 - 22... Khi học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tu? ?? tập mà học sinh lựa chọn cho phương pháp giải thích hợp để có phương pháp giải nhanh có hiệu Như phần đầu tơi đề cập q trình phân tích