Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán TRANG CHỦ TIN TỨC TIN TỨC CHUNG LIÊN HỆ GIỚI THIỆU Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác tốn Đăng nhập | Đăng ký CƠNG TÁC THÁNG CƠ CẤU TỔ CHỨC BAN GIÁM HIỆU CÁC PHỊNG BAN Cơng văn PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ CỪ CƠNG ĐỒN HỌC TẬP - THƯ VIỆN THƯ VIỆN TÀI LIỆU Thành viên TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TIÊN TIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BÀI GIẢNG - ĐÁP ÁN HOẠT ĐỘNG HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC ĐỐI TƯỢNG, ĐIỀU KIỆN DỰ THI, DỰ TUYỂN; ĐĂNG KÍ DỰ THI, DỰ TUYỂN; HỒ SƠ DỰ THI, XÉT TRÚNG TUYỂN (Kèm theo Công văn số 552/SGDĐT-KTKĐ ĐẠI HỘI CHI BỘ NHIỆM KỲ 2017-2020 Trong ngày tháng lịch sử toàn đảng, toàn quân nhân dân huyện nhà vừa tưng bừng kỷ niệm 20 năm ngày tái lập huyện Phù Cừ CHi b HƯỚNG DẪN THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC VĂN HÓA - VĂN NGHỆ THI ĐUA KHEN THƯỞNG THƯ VIỆN ẢNH THI VÀ TUYỂN SINH THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG Sở giáo dục Hưng Yên ban hành Hướng dẫn tuyển sinh lớp 10 năm học 2017-2018 THI TỐT NGHIỆP THPT Tìm kiếm Tài liệu Tìm kiếm ĐỀ KIỂM TRA MƠN GDCD LỚP TIẾT Liên kết SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP 11/24/2016 7:07:16 AM Mẫu Sổ chủ nhiệm tiểu học 10/9/2015 10:08:45 AM Quyết định công nhận SKKN cấp huyện 2014-2015 5/13/2015 3:02:38 PM Chủ đề ôn tập - Ma trận tham khảo đề THPT quốc gia 2015 4/7/2015 7:55:54 AM Đề minh họa 2015 4/1/2015 10:21:21 AM HOÀNG ĐỨC THIỆN Chức vụ: Giáo viên dạy toán Đơn vị: Trường trung học sở Tiên Tiến Thông tin liên hệ Người viết: Trường THCS Tiên Tiến Email: Click để gửi email Phone: Fax: http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 1/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Thống kê truy cập Số khách trực tuyến: 17 Tổng số truy cập: 473125 Thông tin giáo dục NĂM HỌC 2013-2014 Bộ Giáo dục & Đào tạo PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG Lý nghiên cứu Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng chương trình Toán tảng cho rèn luyện tư duy, kỹ giải toán học sinh THCS Nội dung giới thiệu chương trình Tốn lớp coi nội dung nòng cốt chương trình Vì vận dụng nhiều chương sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, … Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều, tập mang tính minh họa nên đa số học sinh lúng túng Học sinh giỏi nhiều vấn đề kiến thức chưa đề cập tới Bài tập chưa đủ kích thích tìm tòi, khả tư sáng tạo cho học sinh Phần mềm tiện ích style=border: Phần mềm Hỗ trợ xếp TKB khối Tiểu học style=border: Phần mềm Hỗ trợ xếp TKB khối Trung học style=border: Phần mềm soạn thảo văn mã nguồn mở Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải nhiều vấn đề chương trình Đại số lớp lớp nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm lời giải hay ngắn gọn cho toán Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật khơng dễ chút nào, trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất học sinh đại trà học sinh giỏi đạt kết tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề cần quan tâm Sau giới thiệu phương pháp có ví dụ cụ thể, cần có tập vận dụng tổng hợp phương pháp Trên sở tạo ngân hàng tập theo mức độ cho đối tượng học sinh Tơi chọn đề tài nghiên cứu phục vụ cho công tác giảng dạy thân hy vọng góp phần nhỏ vào thư viện trường làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Mục đích nghiên cứu - Đưa cách nhìn cụ thể cho phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập áp dụng, tập vận dụng từ thấp đến cao - Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu: + Đối tượng: - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Các tập liên quan chương trình tốn + Phạm vi http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 2/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác tốn - Chương trình tốn 8, trọng tâm phần phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo chuẩn KTKN - Nghiên cứu tài liệu tham khảo thư viện trường - Tông hợp dạng tập theo chủ đề khai thác nâng cao mức độ PHẦN II NỘI DUNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau, thường sử dụng số phương pháp thông dụng sau: * Đặt nhân tử chung * Sử dụng đẳng thức đáng nhớ * Nhóm hạng tử * Phối hợp nhiều phương pháp * Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử * Đổi biến số (đặt ẩn phụ) * Thêm bớt hạng tử http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 3/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán * Dùng hệ số bất định * Tìm nghiệm đa thức 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp : + Trước hết, ta tìm nhân tử có mặt tất hạng tử đa thức Đó nhân tử chung + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đặt nhân tử chung dấu ngoặc 1.1.2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x y – 10xy 2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) 3) C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) HD : 1) có A = 5x y – 10xy Ta thấy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta A = 5x y – 10xy = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung : B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y – 7z)( 2x – 6y) = (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y) 3) C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) Đổi dấu – (4yx + yz )(z – y ) = (4yx + yz )( y – z), ta có thừa số (y – z) chung: C = (y – z)(2x y – yz) – (4yx + yz )(z – y ) + 6x z(y – z) = (y – z)(2x y – yz) + (4yx + yz )( y – z) + 6x z(y – z) = (y – z)[( 2x y – yz ) + (4yx + yz ) + 6x z] = (y – z)[ 2x y + 4yx + 6x z] = (y – z)[ 2xy + 4yx + 6x z] = (y – z)[ 2x (y + 2y + 3z)] = (y – z)[ 2x (3y + 3z)] = (y – z) 2x 3(y + z) = 6x (y – z)(y + z) 1.1.3 Khai thác toán: http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 4/30 7/29/2017 Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Nếu ý đến hạng tử biểu thức cách đặt thừa số chung, ta giải tốn tương tự sau: Bài tốn 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x + 5x y) – (7x – 3x y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b – 2c) – (a – 4)(2c – b ) Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức H = 3x m y – 9x n y + 15x n+1 với m, n N, m > n 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức 1.2.1 Phương pháp: Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) D = x – x + 2) E = 9(x + 5) – (x +7) 3) F = – x3 + 9x2 – 27x + 27 4) G = – 27a3b6 HD: Ta thấy hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung nên khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1) D = x2 – x + = 2) E = 9(x + 5) – (x + 7) = [3(x + 5)] – (x + 7) = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) 3) F = - x3 + 9x2 – 27x + 27 = = (-x +3)3 4) G = – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 1.2.3 Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải tốn tương tự sau: Bài tốn 1.1: Phân tích đa thức http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 5/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán M= Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N= Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức K= 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng tính chất giao hốn tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích Lưu ý: Thường ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác 1.3.2.Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 – xy + x – y 2) x - 2xy - z + y + 2zt – t 3) – x + 2xy – y HD: Ta thấy hạng tử khơng có thừa số chung khơng thấy có dạng đẳng thức Vì ta nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung có dạng đẳng thức để phân tích tiếp: 1) x2 – xy + x – y Cách * : Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có : x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) Cách =(x – y)(x + 1) * : Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) Nhận xét = (x + 1)(x – y) : Ở ví dụ ta nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác hạng tử thích hợp 2) x - 2xy - z + y + 2zt – t Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ tư, hạng tử thứ ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng đẳng thức tiếp tục phân tích, ta có : x - 2xy - z + y + 2zt – t = (x – 2xy + y ) – (z – 2zt + t) = (x – y) – (z – t) = (x – y + z – t)(x – y – z + t) 3) – x2 + 2xy – y2 = – (x2 – 2xy + y2 ) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 6/30 7/29/2017 Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán = 32 – (x – y2) =(3 +x – y)( – x + y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta nhóm hạng tử cuối đa thức đưa vào dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thức phương pháp dùng đẳng thức 1.3.3 Khai thác toán: Nếu ý đến phương pháp nhóm hạng tử, ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức E = 3x – 75x + 6x – 150 Bài tốn 1.2: Phân tích đa thức F= Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức G= 1.4 Phối hợp phương pháp 1.4.1 Phương pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên ý chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau : Bước 1: hay không? * Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với bước tiếp tục thực đến kết cuối * Nếu khơng có nhân tử chung, chuyển sang bước Bước 2: Nếu đa thức có dạng hàng đẳng thức áp dụng phương pháp đẳng thức Nếu khơng chuyển qua bước Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử chung 1.4.2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + – 2y2 2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 HD 1) Ta thấy hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung tiếp tục phân tích đa thức ngoặc: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) thức = [(x2 + 2x + 1) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] Đặt nhân tử chung Nhóm hạng tử thích hợp đa Xuất đẳng thức = 2(x + – y)(x + + y) Dùng đẳng thức Như thứ tự ưu tiên là: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 nhóm hạng tử 7/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Vậy 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x + – y)(x + + y) 2) 2a2 – 12ab + 18b2 Cách giải tương tự câu a) : 2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + + 2yz) = 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)] = 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2] = 5xz(x – – y + z)(x – + y – z) 1.4.3.Khai thác toán: Bằng phương pháp phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta giải tốn tương tự sau: Bài tốn 1.1: Phân tích đa thức I= Bài tốn 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức L= 1.5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1.5.1 Phương pháp: Có số đa thức khơng có nhân tử chung khơng có dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp 1.5.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích: x2 – 6x + Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ, khơng thể nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng sau nhóm hạng tử lại với cách phù hợp: Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 – 6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4) Cách 2: Tách số hạng thứ x2 - 6x + = x2 – 6x + – = (x – 3)2 – = ( x – – 1)(x – + 1) = (x – 4)( x – 2) Cách 3: x2 – 6x + = x2 – – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 8/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x2 – 6x + = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4) = (x – 4)( x + – 6) = (x – 4) ( x – 2) Cách : x2 – 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x – 2)2 – 2( x – 2) = (x – 2)( x – – 2) = ( x – 2)(x – 4) Mặc dù có nhiều cách tách thông dụng cách sau: * Cách : Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx tách thành hạng tử bậc Ví dụ 2: 4x2 – 4x – Ta có tích: ac = 4.( –3) = – 12 Phân tích : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4) Chọn thừa số có tổng : – (–6) 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x – 6x – = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) * Cách = (2x + 1)(2x – 3) : Tách hạng tử thứ ba thành hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương 4x2 – 4x – = 4x2 – 4x +1 – = ( 2x – 1) – 22 = ( 2x – – 2)( 2x – + 2) = (2x + 1)(2x – 3) Ví dụ 3: 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = ( 2x – – x)(2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 4: Phân tích x2 – 5x + Nhận xét : Đa thức có dạng a x2 + bx + c ta phải tách bx = mx + nx Trong x - 5x + = x + x – 6x + = (x + x) –(6x + 6) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 9/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán = x(x + 1) – 6(x +1) = (x + 1)(x – 6) Qua ví dụ ta thấy việc tách số hạng thành nhiếu số hạng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Với đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất nghiệm đa thức 1.5.3 Khai thác toán: Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu hạng tử tự hạng tử bậc thấp), ta giải tốn tương tự sau: Bài tốn 1.1: Phân tích đa thức H = x – 21x + 38 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức I = x + 5x – 14 Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức K = x + 4x – 21 1.6 Phương pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ) 1.6.1 Phương pháp: Trong số toán, ta nên đưa biến phụ vào để việc giải toán gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp khác tiếp tục phân tích 1.6.2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2 HD: 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y x2 + x + = y + f(x) = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta được: f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiếp: x2 + x – = x2 – x + 2x – = x(x – 1) + 2(x – 1) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 10/30 7/29/2017 Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác tốn Vì hệ số hạng tử có bậc cao (x2) nên f(x) phân tích thành hai nhân tử x + a, x + b, ta có: x2 + 3x + = (x + a)(x + b) x2 + 3x + = x2 + (a + b)x + ab Từ a + b = => a= – b Đem vào ab = 2, ta được: ab = => b(3 – b) = –b2 + 3b – = –b2 + b + 2b -2 = –b(b – 1) + 2(b – 1) = (b – 1)(b – 2) = Cho b = => a = b = => a = Trong hai trường hợp ta kết quả: f(x) = x2 + 3x + = (x + 1)(x + 2) Vậy f(x) = (x +1)(x + 2) Chú ý : Có thể phân tích đa thức thành nhân tử cách tách nhóm hạng tử: x2 + 3x + = x2 + x+ 2x + = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2) 2) g(x) = x3 – 19x – 30 Kết phải tìm có dạng: (x + a)(x2 + bx + c = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có: Vì a,c thuộc số ngun tích ac = –30, a, c ước –30 hay a, c ={ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } a = 2, c = 15 b = –2 thoả mãn hệ Vậy g(x) = x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) 3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Dễ thấy nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng hệ số đa thức với đa thức cho, ta có: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd Từ hệ phương trình ta tìm được: a = b = d = 1, c = Vậy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 16/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán 4) k(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Thử: x= ±1; ±3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Đa thức phân tích thành thừa số phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + * bd =3 mà b,d ỴZ => b Ỵ Với b =3 => d =1 Vậy: Vậy k(x) = x4 – 6x3 +12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x +1) 1.8.3 Khai thác toán: Bằng phương pháp hệ số bất định với cách trên, ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức f(x) = Bài tốn 1.2: Phân tích đa thức g(x) = Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức h(x) = 1.9 Phương pháp tìm nghiệm đa thức: 1.9.1 Phương pháp: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) a phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Œ Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x) P(x) = (x – a)Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia P(x) cho (x – a) Sau lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x) v Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x= b ta phân tích đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta có thương phép chia Q(x) Sau lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x) Ž Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a sao? Thế nghiệm số kép? Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a)R(x) Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 17/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) 1.9.2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) P(x) = x3 – 2x – 2) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 3) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 4) P(x) = x3 + 3x – HD: 1) P(x) = x3 – 2x – Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có nghiệm x = Do đó, ta có : P(x) = (x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – 2, ta thương Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta thấy Q(x) nên Q(x) khơng thể phân tích Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x - 2)(x2 + 2x + 2) 2) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Ta nhận thấy đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Ta thấy Q(x) nên Q(x) phân tích Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) 3) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – Nghiệm hữu tỷ có đa thức P(x) là: (– 1); 1; (–1/2); 1/2 ; (–3/2); 3/2 ; –3… Sau kiểm tra ta thấy x = 1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x – 1/2) hay (2x – 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x – 1) 2x3 - 5x2 + 8x – = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – = x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) Hoặc chia P(x) cho (x – 1) ta thương là: x2 – 2x + P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) Vậy P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3) 4) P(x) = x3 + 3x – http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 18/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) nhân tử lại có dạng x2 + bx = c suy – ac = – suy a ước – Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (– 4) –1; 1; – 2; 2; – 4; Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức Suy đa thức chứa nhân tử ( x – 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x – 1) * Cách 1: P(x) = x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = ( x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 * Cách 2: P(x) = x3 + 3x2 – = x3 – + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1) * Cách 3: = ( x – 1)( x + 2)2 Chia P(x) cho (x – 1) ta thương là: (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2 P(x) = x3 + 3x2 – = ( x – 1)( x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử (x – 1) + Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ: * Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – có – + – = Suy đa thức có nghiệm hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1) * Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + có (– 5) + = 1+ Suy đa thức có nghiệm -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1) + Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p/q p ước hạng tử khơng đổi, q ước dương hạng tử cao 1.9.3.Khai thác tốn: Bằng phương pháp tìm nghiệm đa thức với cách trên, ta giải toán tương tự sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức f(x)=x3– 6x2 +11x – Bài tốn 1.2: Phân tích đa thức g(x) = Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức h(x) = MỘT SỐ BÀI TẬP CHO HỌC SINH TỰ LUYỆN 2.1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1: Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 19/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán A (xy – 2)(5x – 15x) ; C y(x – 2)5x(x – 3) ; Bài 2: B y(x – 2)(5x – 15x) ; D ; Kết phân tích đa thức A ; B ; C ; thành nhân tử là: D Cả câu Bài 3: Kết phân tích đa thức A ; B ; C ; D ; Bài 4: thành nhân tử là: Kết phân tích đa thức A ; C ; Bài 5: B thành nhân tử là: ; D Cả câu sai; Kết phân tích đa thức A ; C ; Bài 6: B thành nhân tử ; D Kết phân tích đa thức A ; C ; Bài 7: B thành nhân tử ; D ; Kết phân tích đa thức thành nhân tử là: A (x – 4) ; B (4 – x) ; C – (x – 4)(x – 4) ; Bài 8: Kết phân tích đa thức A ; thành nhân tử là: B a(x + y)(x – y –1) ; C a[(x – y)(x + y) – (x + y)] ; Bài 9: Kết phân tích đa thức A ; D – (4 – x)(x – 4) ; B D ; thành nhân tử là: - (x + y); C (x + y)[(x + y) – 1] ; Bài 10: Kết phân tích đa thức D (x + y)(x +y +1)(x + y – 1) ; thành nhân tử là: A y(3 + x – y)(3 – x + y) ; B y[(x – y) – ] C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; D y(3 + x + y)(3 – x – y) ; 2.2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: a) 3x(x – 2y) + 7(2y – x)2 b) 2ab3 + 6a2b – 14ab c) 5x(y – 3)2 – (3 – y)3 d) – 3xmy + 9xn+1y3 – 15xny với m,n N, m > n e) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 20/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán f) (4x – 8)(x2 + 6) – (4x – 8)(x + 7) + 9(8 – 4x) g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7 h) 7xy5(x – 1) – 3x2y4(1 – x) + 5xy3(x – 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức: a) (x – y + 1) – (x – y + 1) + b) 27x – c) (a + b) – (a – b) d) 8x + 12x y + 6xy + y e) 64x y – 81x y f) 25m2 – (x – 1)2 g) x3 – 3x2 + 3x – h) 64x3 + 27 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử: a) b) x2 + 4x - y2 + c) 10ay – 5by + 2ax – bx d) a2m – b2m + a2n – b2n e) m3 + 4m2 – 9m -36 f) 3x3 + 6x2 – 75 x – 150 g) 5x2 – 5xy – 3x + 3y h) x2 – xz – 9y2 + 3yz Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tách hạng tử: a) A = 4x2 - 8x + b) B = 15x2 – 31x + c) C = 12x2 - 15x + d) D = x2 + 5x + e) E = x2 – 5x + 14 f) F = x2 – 3x – g) G = a2 – 7ab + 10b2 h) H = Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ: a) f(x) = (x2 – 3x -1)2 – 12 (x2 – 3x – 1) + 27 http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 21/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán b) g(x) = ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + c) h(x) = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – d) k(x) = (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – y) + e) l(x) = (x2 – 2x)(x2 – 2x -1) – f) p(x) = (x2 + 4x – 3)2 – 5x(x2 + 4x – 3) + 6x2 g) q(x) = (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 Bài 6: bớt: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp thêm a) 4x4 + y4 b) c) x4 + 5x3 +10x - d) e) x3 + y3 + z3 - 3xyz f) x4 + 64 g) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) = x2 + 3x + d) k(x) = x4 - 3x3 + 6x2 - 5x + Bà i 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm: a) A = 2x – 5x + 3x + 10 b) B = x5 + c) C = x3 + 3x2 - 4x + d) D = x + 4x – Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp phối hợp phương pháp : a) 3ab3 – 6a2b2 + 3a3b b) c) d) e) f) x2 – 2xy + y2 – xz + yz g) h) i) a(b2 – c2) – b(c2 – a2) + c(a2 – b2) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 22/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán k) MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) c) d) e) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử nhiều cách: x – 7x – Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp a) f(x) =5x – 10xy + 5y – 20z b) g(x) = x – x + 3x y + 3xy + y – y c) h(x) = 2x + 7x – 2x – 13x + d) k(x) = 27x – 9x + 14x – e) l(x) = (x + x) + 4(x + x) – 12 m(x) = x + 27 f) g) n(x) = x + 3x + h) p(x) = (x + 2)(x + )(x + 4)(x + 5) – 24 Bài Viết đa thức sau dạng bình phương tam thức bậc hai a) f(x) = b) g(x) = Bài số Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp hệ bất định a) f(x) = x – 9x + 26x – 24 b) g(x) = x – x – x + 2x – Bài 6: Tính giá trị biểu thức: a) P = xy – 4y – 5x + 20 với x = 14, y = 5,5 ; b) Q = x + xy – 5x – 5y với x =-5 , y = -8 ; c) H = (x – 1)(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 2) + x – với x = ; Bài 7: Cho Tính giá trị biểu thức: P= Bài http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 23/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác tốn Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức ( x + a )( x – ) – phân tích thành tích ( x + b )( x + c ) Bài Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức x + ax + bx + c phân tích thành tích ( x + a )( x + b )( x + c ) Bài 10 Không làm phép chia đa thức xét xem đa thức: f(x) = x – 9x + 6x + 16 có hay không chia hết cho: a) x +1 b) x – Bài 11 Xác định sốa cho: a) 10x – 7x + a chia hết cho 2x – b) 2x + ax +1 chia cho x – dư c) ax + 5x – chia hết cho ( x – 1) Bài 12 Tìm số a, b c cho ax + bx + c chia hết cho x + 2, chia cho x – dư x +5 Bài 13: Giải phương trình: a) b) c) Bài 14: Chứng tỏ đa thức : Luôn không âm với giá trị x Bài 15: Cho x số nguyên Chứng minh : B= bình phương số nguyên Bài 16: Chứng minh luôn chia hết cho 30 với n số nguyên Bài 17: Cho đa thức: C = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz a) Phân tích C thành nhân tử ; b) Chứng minh x, y, z số nguyên x + y + z chia hết cho C – 3xyz chia hết cho Bài 18: Chứng minh với mị số nguyên n số: chia hết cho 105 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 24/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = ; Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : g(x) = Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Chứng minh rằng: a) có tận chữ số b) chia hết cho 100 Bài 6: Cho x y hai số khác cho: Tính giá trị biểu thức Bài 7: a) Chứng minh rằng: b) Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho Bài 9: Chứng minh chia hết cho 24 với số tự nhiên n Bài 10: Cho Tính giá trị biểu thức Bài 11: Cho Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào Bài 12: Cho Tính Bài 13: Cho Chứng minh a) b) http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 25/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Bài 14: Chứng minh : a) Đa thức chia hết cho đa thức b) Đa thức chia hết cho đa thức: Bài 15: Xác định số hữu tỷ a để đa thức M = chia hết cho đa thức Bài 16: Cho x > y > z, chứng minh biểu thức: luôn dương PHẦN III KẾT LUẬN Những kết đạt http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 26/30 7/29/2017 Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác tốn Bản thân tơi nghiên cứu đưa cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Có phương pháp , có ví dụ minh họa, có tập khai thác làm chủ đề trở lên đơn giản rễ hiểu Việc xây dựng số nội dung kiến thức mở rộng giúp giáo viên học sinh có nhìn sâu cách khai thác vận dụng kiến thức vào dạy học toán Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức Kết kiểm tra đánh giá cuối chủ đề hai lớp năm 2013: Lớp Kết Điểm 0-4 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 8A 3.8 30,8 14 53,8 11,5 8B 0 36 10 40 24 Dù số lượng học sinh chưa nhiều, song qua giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp thấy học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đặc biệt tỉ lệ học sinh làm dạng vận dụng cao Có thể nói, việc hệ thống kiến thức chủ đề cách khoa học có tác dụng tốt khơng với giáo viên mà tác động trự tiếp đến khả tiếp thu hứng thú học sinh 2- Đề xuất Trong thời gian không dài, tài liệu tham khảo ỏi, cố gắng nhiều số suy nghĩ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nếu có cộng tác bạn bè đồng nghiệp, tin ý kiến cá nhân tơi hồn thiện khoa học Tiên Tiến, ngày 3/3/2014 Người viết HOÀNG ĐỨC THIỆN MỤC LỤC PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG Lý nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG CÁC PP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 27/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán 1.4 Phương pháp phối hợp phương pháp 1.5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1.6 Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) 12 1.7 Phương pháp thêm bớt hạng tử 16 1.8 Phương pháp hệ số bất định 17 1.9 Phương pháp tìm nghiệm đa thức 20 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1 Bài tập trắc nghiệm 23 2.2 Bài tập tự luận 24 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 27 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO 29 Những kết đạt 32 Đề xuất 32 PHẦN III: KẾT LUẬN MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề Đại số Nhà xuất giáo dục.Vũ Dương Thuỵ (chủ biên)- Nguyễn Ngọc Đạm Bài tập nâng cao Đại số Nhà xuất Đà Nẵng Phan Văn Đức – Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thượng – Nguyễn Anh Dũng 3.Toán nâng cao Đại số Nhà xuất Đại học sư phạm Nguyễn Vĩnh Cận Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Tốn Nhà xuất giáo dục Hồng Ngọc Hưng – Phạm Thị Bạch Ngọc 400 tập mở rộng Đai số 8.Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Dương Đức Kim - Đỗ Duy Đồng Nâng cao phát triển Toán 8, tập Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số Nhà xuất giáo dục Nguyễn Vũ Thanh http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 28/30 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TIÊN TIẾN Tổng điểm:…………………… Xếp loại:……….……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD & ĐT PHÙ CỪ Tổng điểm:…………………… Xếp loại:…………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH (4/22/2014 8:49:41 AM) Các viết chủ đề: BAI GIẢNG LỊCH SỬ ĐỊA PHƯƠNG - 3/28/2015 9:21:29 AM QUYÊT ĐỊNH HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN NĂM HỌC 2014-2015 - 3/24/2015 7:42:00 AM Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán 4/22/2014 8:49:41 AM Giải pháp nâng cao hiệu việc tích hợp GDBVMT mơn Địa 4/22/2014 8:45:36 AM http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 29/30 7/29/2017 Các toán phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Trang chủ | Giới Thiệu | Hướng dẫn Bản quyền thuộc Trường THCS Tiên Tiến © Phòng giáo dục huyện Phù Cừ http://thcstientien.phucu.hungyen.edu.vn/NewsDetails.aspx?id=366 30/30 ... 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán k) MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) c) d) e) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. .. 7/29/2017 Các tốn phân tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán M= Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N= Bài tốn 1.3: Phân tích đa thức K= 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: 1.3.1 Phương pháp:... tích đa thức tành nhân tử cách khai thác toán Bài 14: Chứng minh : a) Đa thức chia hết cho đa thức b) Đa thức chia hết cho đa thức: Bài 15: Xác định số hữu tỷ a để đa thức M = chia hết cho đa