các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất ph[r]
(1)1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và đời sống thì toán học luôn là ngành giữ vai trò quan trọng nó đòi hỏi suy luận và trí thông minh cao, chứa đựng nhiều thử thách tác động đến não chúng ta Nói đến Toán học là nói đến rõ ràng và logic, kiến thức toán học bao gồm quá trình tri thức phong phú: tư trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy nạp, khái quát hoá, … Giải Toán là phận không thể thiếu quá trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyết vào thực hành; thực tiễn sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, sâu vào các môn học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Toán học còn là môn học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả tư trừu tượng, óc phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái quát hoá và góp phần hình thành các đức tính cần cù, nhẫn nại, chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề sống Trong thực tế dạy và học, bên cạnh số ít học sinh khá giỏi thì thực trạng học sinh học yếu môn Toán đã và là vấn đề trăn trở nhiều giáo viên đứng lớp và là nỗi lo chung toàn ngành, toàn xã hội Là người giáo viên đã và nghiên cứu Toán học chương trình Toán bậc Trung học sở, chúng tôi nhận thấy số bài toán chưa không có giải thuật đòi hỏi người học phải có cách suy nghĩ thật tốt tìm lời giải Chính vì đòi hỏi giáo viên phải có lực, kinh nghiệm và phương pháp giải đúng đắn để truyền thụ và hướng dẫn cho học sinh Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung quan trọng, nó góp phần xây dựng tảng vững cho các em học sinh suốt quá trình học tập bậc phổ thông Đặc biệt hơn, Lop8.net (2) các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, … Xuất phát từ vấn đề đã nêu trên, việc nghiên cứu phương pháp chọn lọc việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu bài dễ hơn, củng cố các kiến thức đã học, rèn kỹ cho các em quá trình giải Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ngày càng tốt Vì lý trên nhóm chúng tôi định chọn đề tài: “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng chương trình Đại số 8” để nghiên cứu khóa luận này Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách có hệ thống nhằm làm bật các ưu, khuyết điểm phương pháp Tìm hiểu, sâu vào số ứng dụng nó qua số dạng toán cụ thể Qua đó, giúp học sinh có hệ thống việc phân tích đa thức thành nhân tử và lựa chọn đúng đắn các phương pháp phân tích vào việc giải toán sau này Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng thích hợp cho dạng phương pháp - Liên hệ ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải số dạng toán - Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đúc kết kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng nó; số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao Lop8.net (3) Phạm vi nghiên cứu Việc phân tích đa thức thành nhân tử trường Trung học sở Giả thuyết khoa học Nếu thực nghiệm chúng ta hướng dẫn tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh đối tượng thì giúp các em hệ thống phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình cách giải và đưa nhiều cách giải cho bài toán Từ đó nâng cao lực tự học học sinh, giúp các em biết vận dụng phương pháp cụ thể vào dạng toán có liên quan, vì các em nhớ phương pháp giải và có kiến thức khá ổn định Bên cạnh đó, các em hình thành cho mình các kĩ giải toán, từ đó nâng cao chất lượng học toán học sinh Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp và các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài - Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập học sinh - Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên nhóm - Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề các tiết dạy tự chọn trên lớp Bố cục Đề tài gồm: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận Lop8.net (4) PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 ĐA THỨC 1.1.1 Đơn thức Cho P là trường (thông thường ta xét các trường số ¤ , ¡ , k k Biểu thức dạng: ax1 x2 xn kn £ ) (1) gọi là đơn thức, với ≠ a P gọi là hệ số, x1, x2 … , xn gọi là các ẩn số (hay biến số) lấy các giá trị trên P, và k1, k2, … , kn ¥ Nếu a 0, số k = k1 + k2 + … + kn gọi là bậc đơn thức (1) k k k k k k Hai đơn thức: ax1 x2 xn n và bx1 x2 xn n gọi là hai đơn thức 2 đồng dạng (tức chúng khác hệ số, còn các ẩn số với cùng số mũ tương ứng) 1.1.2 Đa thức nhiều biến k k Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng: ax1 x2 xn kn , ki ¥ gọi là đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các biến số) x1, x2, …, xn Ta có thể kí hiệu các đa thức nhiều ẩn bởi: f(x1, x2,… xn) = å x1ki x2ki xn kin Mỗi đơn thức gọi là số hạng (hay hạng tử) đa thức Nếu tất các hệ số đa thức thì đa thức gọi là đa thức không Nếu tổng các đơn thức có đơn thức đồng dạng thì ta có thể rút gọn chúng Sau rút gọn, ta có thể viết đa thức dạng tổng các đơn thức đôi không đồng dạng Ta gọi đó là dạng chính tắc đa thức Lop8.net (5) Bậc đa thức nhiều ẩn (đã viết dạng chính tắc) là bậc cao các bậc các đơn thức Đôi người ta còn gọi đó là bậc tập thể các ẩn, để phân biệt với bậc ẩn có mặt đa thức (là bậc cao ẩn đó đa thức) Nếu tất các số hạng đa thức có bậc thì ta gọi đa thức đó là đa thức đẳng cấp (hay đa thức nhất) 1.1.3 Đa thức biến Một hàm số f(x) gọi là đa thức biến nó có thể biểu diễn dạng tổng hữu hạn đơn thức có cùng biến, nghĩa là: k k k f(x)= a1 x a2 x an x n Ở đây a1, a2, …, an là số bất kỳ, còn k1 , k2, , kn là số nguyên không âm và không Ta có thể cho tất đơn thức cách viết trên là không đồng bậc vì đơn thức đồng bậc thì ta nhóm chúng thành đơn thức Người ta viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) bậc các đơn thức Thường thường người ta viết đa thức dạng: k k- f(x) = a0x + a1x + + ak - 1x + ak (*) Với a0 ≠ 0, a1, a2 , , ak là số và không đồng thời Các số a0, a1, a2, , ak đa thức f(x) gọi là hệ số đa thức Số a0 gọi là hệ số bậc cao nhất, còn số ak gọi là hệ số tự Nếu đa thức f(x) viết dạng (*) ta nói nó biểu diễn dạng chuẩn tắc và dạng chuẩn tắc này không là Quy ước: Một số là đa thức và gọi là đa thức bậc 1.1.4 Hằng đẳng thức Các khái niệm giá trị thừa nhận được, giá trị đa thức, miền xác định đa thức nhiều ẩn định nghĩa cách xem chúng Lop8.net (6) biểu thức toán học Hai đa thức cùng số ẩn x1, x2, … , xn gọi là đẳng (hoặc có gọi là đồng nhất) chúng có giá trị giá trị thừa nhận lấy miền xác định các đối số, chúng lập thành đẳng thức (hay đồng thức) Sau đây là số đẳng thức đáng nhớ: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 x2 – y2= (x + y)(x – y) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 2 x y x y xy (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 10 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz) 11 xn – yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y + … + xyn-2 + yn-1) 12 x2k – y2k = (x – y) (x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 – … – y2k-1) (x1 + x2 + … + xn)2 = x12 + x22 + … +xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 + … + xn-1xn 13 Nhị thức Newton x y n n C x C x y C y C kn x n k y k n n n n 1 n n n k 0 đó Cnk n(n 1) (n k 1) n! 1.2 k k !(n k )! n Đặc biệt Cn Cn Lop8.net với k = 0, 1, …, n (7) 1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.1 Đa thức bất khả quy * Định nghĩa: Giả sử f(x) Î P[x] là đa thức có bậc lớn Ta nói f(x) là bất khả quy trên trường P nó không thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác và nhỏ bậc f(x) Trái lại thì đa thức gọi là khả quy phân tích trên P Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường sở Chẳng hạn x2 – 2 bất khả quy trên ¤ khả quy trên ¡ : x - = (x + 2)(x - 2) * Tính chất a) Mọi đa thức bậc bất khả quy trên trường số b) Đa thức f(x) là bất khả quy và ước nó là đa thức bậc là đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a P c) Đa thức f(x) là bất khả quy trên P và với đa thức p(x) P[x] thì f ( x) p ( x) , (f(x), p(x)) = 1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức thì ta nói đa thức đã cho phân tích thành nhân tử + Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta có thể biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( an c xn + an - n – x c + … + a0 c ) (với c ¹ 0, c ¹ 1) b) Định nghĩa Giả sử f(x) Î P[x] là đa thức có bậc lớn Ta nói f(x) là bất khả quy trên trường P nó không thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác và nhỏ bậc f(x) Trường hợp trái lại thì f(x) gọi là khả quy phân tích trên P Lop8.net (8) 1.2.3 Một số định lí Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trên trường P phân tích thành các đa thức bất khả quy, và phân tích đó là sai khác thứ tự các nhân tử và nhân tử bậc không Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số phức và số thực) a) Trên trường số phức £ , đa thức là bất khả quy và nó là bậc Vậy đa thức trên £ có bậc lớn phân tích thành tích các đa thức bậc b) Trên trường số thực ¡ , đa thức là bất khả quy và nó là bậc bậc hai với biệt thức Vậy đa thức trên ¡ có bậc lớn phân tích thành tích các đa thức bậc bậc với Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein các đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn, n > 1, an 0, là đa thức với hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p không phải là ước an p là ước tất các hệ số còn lại và p2 không phải là ước các số hạng tự a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên ¤ Như trên trường số hữu tỉ ¤ , có đa thức bất khả quy bậc bất kì Chẳng hạn, đa thức f(x) = x20 + 6x10 – 18x4 + 42x2+12 là bất khả quy trên ¤ , cách dùng tiêu chuẩn Eisentein với số nguyên tố p = Chú ý: Tiêu chuẩn Eisentein là điều kiện đủ không phải là điều kiện có Chẳng hạn x - 2x + là bất khả quy trên chuẩn Eisentein Lop8.net ¤ không thỏa mãn tiêu (9) 1.3 Mục đích, yêu cầu việc phân tích đa thức thành nhân tử - Giúp HS có hệ thống cách giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện để quan sát, nhìn nhận cách giải bài toán tốt hơn, phân dạng bài tập cách hợp lý - Như đã nêu trên, việc phân tích đa thức thành nhân tử đóng góp vai trò lớn quá trình thực hành giải số dạng toán Nó đòi hỏi người phân tích phải học thuộc đẳng thức, có óc quan sát, nhận xét vấn đề để đưa phương pháp giải đúng đắn Sau nắm các phương pháp phân tích trên thì người học cần biết cách phân biệt cách giải cho dạng toán đến nâng cao 1.4 Thực trạng dạy và học vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử 1.4.1 Phương pháp dạy học giáo viên và phương pháp học tập học sinh * Những khó khăn chung Hiện chương trình lớp còn tồn nhiều học sinh yếu tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn kiến thức các lớp dưới, là chưa chủ động học tập từ đầu chương trình, lười nhác học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn và ý thức học tập chưa cao Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên gặp bài tập khó, các em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt cho bài toán đã đặt Ngoài yếu tố quan trọng là các em thường hay quên đẳng thức đáng nhớ, hay các em nhớ lầm đẳng thức này và đẳng thức khác Lop8.net (10) 10 Đối với giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp còn mơ hồ Sự lôgic các phương pháp chưa cao, chưa vạch rõ cho học sinh nên ưu tiên phương pháp nào cho dạng toán phù hợp Phụ huynh HS chưa thật quan tâm đúng mức đến việc học tập em mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà * Thực trạng vấn đề: Qua quá trình tìm hiểu hiểu khảo sát chất lượng đầu năm học và trao đổi trực tiếp cùng học sinh và giáo viên môn chúng tôi thấy có số vấn đề sau: - Việc nắm bắt các phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử,… các em hiểu chưa thật rõ trọng tâm - Việc phân biệt các phương pháp để áp dụng còn lún túng chưa phân dạng nào nên áp dụng phương pháp nào cho loại toán nào - Các phương pháp khác như: phương pháp chia liên tiếp, phương pháp dùng nghiệm phức, phương pháp xét giá trị riêng, phương pháp dùng hệ số bất định đặt hầu hết các em chưa biết đến quá trình học tập - Các em chưa hiểu rõ ứng dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1.4.2 Những khó khăn thực tiễn giảng dạy Qua năm trực tiếp giảng dạy chúng tôi nhận thấy đa số HS chưa có ý thức tự học, tự rèn Học sinh vùng nông thôn sâu còn nghèo, thiếu thốn nhiều dụng cụ học tập và hạn chế thời gian phải phụ giúp gia đình Chính vì lẽ đó mà học sinh ít tự rèn luyện kĩ năng, chưa cọ xát nhiều với việc giải toán ảnh hưởng không ít đến việc tổ chức giảng dạy giáo viên trên lớp chậm tiến trình, nhiều thời gian để rèn luyện kĩ cho học sinh… dẫn đến việc phân phối thời gian không hợp lí cho tiết học Một số em học sinh Lop8.net (11) 11 bị hỏng kiến thức từ lớp dẫn đến các em học yếu môn toán làm cho các em có cảm giác sợ môn toán Bên cạnh đó giáo viên chúng tôi còn thiếu lượng sách tham khảo trường Lop8.net (12) 12 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ ỨNG DỤNG CỦA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Phương pháp thường dùng 2.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a/ Nội dung phương pháp - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung và nhân tử khác - Tìm nhân tử chung là tìm đơn thức, đa thức có mặt tất các hạng tử: + Tìm nhân tử chung các hệ số (tức là ta tìm ước chung lớn các hệ số có đa thức) + Tìm nhân tử chung các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Ví dụ 1: x3 – x2 + 3x Giải: x3 – x2 + 3x = xx2 – xx + 3x (Nhận thấy có x là nhân tử chung) = x(x2 – x + 3) (Đặt nhân tử chung x ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2– x+3 vào dấu ngoặc, ta kết quả) Ví dụ 2: 12x3y2 – 3xyz Giải: 12x3y2 – 3xyz = 3.4xx2yy – 3xyz (Nhận thấy có 3xy là nhân tử chung) Lop8.net (13) 13 = 3xy(4x2y – z) (Đặt nhân tử chung 3xy ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử 4x2y – z vào dấu ngoặc, ta kết quả) Ví dụ 3: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 Giải: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 5xx(y – 2z) – 3.5x(y – 2z)(y – 2z) (Nhận thấy có 5x(y – 2z) là nhân tử chung) = 5x(y – 2z)[x – 3(y – 2z)] (Đặt nhân tử chung 5x(y – 2z) ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại x – 3(y – 2z) vào dấu ngoặc, ta kết quả) = 5x(y – 2z)(x – 3y + 6z) (Rút gọn lại, ta kết quả) Ví dụ 4: 8x2(x – y) – 2y( y – x) Giải: 8x2(x – y) – 2y( y – x) = 2.4x2(x – y) + 2y(x – y) (Ta đổi dấu hạng tử y – x thành – (x – y) để xuất nhân tử chung cho bài toán là 2(x – y)) = 2(x – y)(4x2 + y) (Đặt nhân tử chung 2(x – y) ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại 4x2 + y vào dấu ngoặc, ta kết quả) Ví dụ 5: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 Giải: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 = 9x(x – y) + 4xx(x – y)2 (vì (x – y)2 = (y – x)2, nhận thấy có x(x – y) là nhân tử chung) = x(x – y)[9 + 4x(x – y)] (Đặt nhân tử chung x(x – y) ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại + 4x(x – y) vào dấu ngoặc) = x(x – y)(4x2 – 4xy + 9) (Rút gọn ta kết quả) Ví dụ 6: xm+2 – xmy + 2xm+1 Giải: xm+2 – xmy + 2xm+1 = xmx2 – xmy + 2xmx Lop8.net (14) 14 (Nhận thấy có xm là nhân tử chung) = xm (x2 – y + 2x) (Đặt nhân tử chung xm ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2 – y + 2x vào dấu ngoặc, ta kết quả) c/ Ưu - khuyết điểm: Ưu điểm : Nhận dạng dễ dàng nhân tử chung Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược lại) Hạn chế : Trong số trường hợp để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a/ 21x2y + 14xy2 Kết quả: 7xy(3x + 2y) b/ 4x3 + 2x2 + 8x Kết quả: 2x(2x2 + x + 4) c/ x2y2z + xy2z2 + x2yz2 Kết quả: xyz(xy + yz + xz) Bài tập 2: a/ (x – y)2 – 2(x – y) Kết quả: (x – y)(x – y – 2) b/ 16x2( y – 1) – 4x3(1 – y) Kết quả: 4x2(y – 1)(4 + x) c/ 3x( 4x – 5) + 4x – Kết quả: (4x – 5)(3x + 1) Bài tập 3: a/ 7(a – b)2 – (a + b)(b – a) Kết quả: 2(a – b)(4a – 3b) b/ (x2 + 3xy)( x + y) + (x2 + 3xy)( x – y) Kết quả: 2x(x2 + 3xy) Lop8.net (15) 15 2.1.1.2 Phương pháp dùng đẳng thức a/ Nội dung phương pháp Phương pháp này là phương pháp dùng các đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức dạng tích lũy thừa bậc 2, bậc đa thức khác Các đẳng thức thường dùng là: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 x2 – y2 = (x + y)(x – y) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) Ngoài ra, ta có thể hướng dẫn HS sử dụng số đẳng thức đặc biệt khác b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 4x2 – 12x + Giải: 4x2 – 12x + = (2x)2 – 2.2x.3 + 32 (Nhận đẳng thức bình phương hiệu) = (2x – 3)2 (Đưa dạng đẳng thức bình phương hiệu với hai hạng tử là 2x và 3, ta kết quả) Ví dụ 2: (x – 2)2 – 9x2 Giải: (x – 2)2 – 9x2 = (x – 2)2 – (3x)2 (Nhận đẳng thức hiệu hai bình phương) = (x – + 3x)(x – – 3x) (Đưa dạng đẳng thức hiệu hai bình phương) = (4x – 2)(–2x – 2) Lop8.net (16) 16 (Rút gọn và ta nhận thấy còn nhân tử chung hai nhân tử) = – 4(2x – 1)(x + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung ta kết quả) Ví dụ 3: – 27x3 Giải: – 27x3 = 23 – (3x)3 (Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng lập phương hiệu) = (2 – 3x)(4 + 6x + 9x2) (Đưa dạng lập phương hiệu, ta kết quả) Ví dụ 4: x2 + 2x + – y2 + 2y – Giải: x2 + 2x + – y2 + 2y – = x2 + 2x + – (y2 – 2y + 1) (Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng hai đẳng thức bình phương tổng và bình phương hiệu) = (x + 1)2 – (y – 1)2 (Sau đưa dạng đẳng thức bình phương tổng và bình phương hiệu, ta chưa kết mà làm xuất tiếp dạng đẳng thức hiệu hai bình phương) = (x + y)(x – y + 2) (Đưa dạng hiệu hai bình phương, rút gọn lại ta kết quả) Ví dụ 5: x3 + 9x2 + 27x + 27 Giải: x3 + 9x2 + 27x + 27= x3 + 3x2.3 + 3x32 + 33 (Nhận thấy đa thức đã cho có dạng đẳng thức lập phương tổng) = (x + 3)3 (Đưa dạng lập phương tổng, ta kết phân tích) Ví dụ 6: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 Giải: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3= (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3 (Nhận thấy đa thức đã cho có dạng đẳng thức lập phương hiệu) = (2x – y)3 Lop8.net (17) 17 (Đưa dạng lập phương hiệu, ta kết phân tích) c/ Ưu - khuyết điểm Ưu điểm: Đưa đa thức đã cho dạng tích, lũy thừa bậc hai, bậc ba từ dạng tổng Hạn chế: Trong số trường hợp, ta cần đổi dấu số hạng tử áp dụng phương pháp này d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a/ x2 – 25 Kết quả: (x + 5)(x – 5) b/ x2y4 – Kết quả: (xy2 + 1)(xy2 – 1) c/ 16x2 – 49(x + y)2 Kết quả: (11x + 7y)(7y – 3x) d/ (x – y)2 – (x + y)2 Kết quả: – 4xy Bài tập 2: a/ (a + b)3 + (a – b)3 Kết quả: 2a(a2 + 3b2) b/ a6 – b6 Kết quả: (a + b)(a – b)(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) c/ (a3 + 8) + (a2 – 4) Kết quả: (a + 2)(a2 – a + 2) d/ (x – y)4 – (x + y)4 Kết quả: – 8xy(x2 + y2) Bài tập 3: a/ 125x3 – 75a2 + 15a – Kết quả: (5x – 1)3 b/ 27x3 + 54a2 + 36a + Kết quả: (3x + 2)3 Lop8.net (18) 18 2.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a/ Nội dung phương pháp - Phương pháp này vận dụng cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp phép cộng - Lựa chọn các hạng tử thích hợp để lập thành nhóm nhằm làm hai dạng: là nhân tử chung, là dùng đẳng thức - Để thực phương pháp này, ta thường dựa vào các quan hệ sau: + Quan hệ các hệ số, các biến các hạng tử bài toán + Mỗi nhóm có thể phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử bài toán phải tiếp tục thực b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: xy + 5y + 2x + 10 Giải: xy + 5y + 2x + 10 = (xy + 5y) + (2x + 10) = y( x + 5) + 2(x + 5) (Ta nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung) = (x + 5)(y + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) Ví dụ 2: x2 + xy – x – y Giải: x2 + xy – x – y = x(x + y) – (x + y) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (x + y)(x – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) Ví dụ 3: x2 – 2x + – 4y2 Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – 4y2 (Nhóm hạng tử làm xuất đẳng thức) = (x – 1)2 – (2y)2 (Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương) Lop8.net (19) 19 = (x + 2y – 1)(x – 2y – 1) (Đưa dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta kết quả) Ví dụ 4: 2x3 – 3x2 + 2x – Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – = x2(2x – 3) + (2x – ) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (2x – 3)(x2 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) Ví dụ 5: x6 + x4 + x2 +1 Giải: x6 + x4 + x2 +1 = x4(x2 + 1) + x2 +1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (x2 + 1)(x4 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) Ví dụ 6: xm+2 – xm+3 + x – Giải: xm+2 – xm+3 + x – = xm+2(1 – x) + x – (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (1 – x)(xm+2 – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta kết quả) c/ Ưu - khuyết điểm Ưu điểm: Sử dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung và phương pháp dùng đẳng thức Hạn chế: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm mà quá trình phân tích thành nhân tử không thực thì ta phải thực lại d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a/ 3x + 3y – z(x + y) Kết quả: (x + y)(3 – z) b/ x( 2x – 5) – 10x + 25 Kết quả: (x – 5)(2x – 5) c/ x2 – (2x – y)y – 9z2 Kết quả: (x – y + 3z)(x – y – 3z) Bài tập 2: a/ x2 – (y +2)x +2y Lop8.net (20) 20 Kết quả: (x – y)(x – 2) b/ 16xy – 4x2 + 4y – x Kết quả: (4y – x)(4x + 1) c/ 3x2 +3y2 – x2z + z – y2z – Kết quả: (3 – z)(x2 + y2 – 1) d/ ax2 – ay2 – bx2 +by2 Kết quả: (a – b)(x + y)(x – y) Bài tập 3: a/ x4 + 2x3 – x2 – 2x Kết quả: x(x + 1)(x – 1)(x + 2) b/ x5 – x3 + x2 – Kết quả: (x + 1)2(x – 1)(x2 – x + 1) 2.1.1.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp a/ Nội dung phương pháp - Phương pháp này là kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét bài toán cách cụ thể và mối quan hệ các hạng tử để tìm hướng phân tích thích hợp - Thông thường ta nên chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên: + Phương pháp nhân tử chung; + Phương pháp dùng đẳng thức; + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 3x3 – 6x2 + 3x Giải: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x2 – 2x + 1) (Đặt nhân tử chung, làm xuất dạng đẳng thức bình phương hiệu) = 3x(x – 1)2 Lop8.net (21)