Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng: Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

MỤC LỤC NỘI DUNG Trang I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI 2 II. GIỚI THIỆU 3 1. Giải pháp tác động 3 2. Vấn đề nghiên cứu 3 3. Giả thuyết nghiên cứu 3 III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3 1. Khách thể nghiên cứu 3 2. Thiết kế nghiên cứu 3 3. Quy trình nghiên cứu 4 4. Đo lường và thu thập dữ liệu 5 IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 5 1. Phân tích dữ liệu 5 2. Bàn luận kết quả 6 V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 6 1. Kết luận 6 2. Kiến nghị 6 VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 7 VII. MINH CHỨNG 8 VIII. PHỤ LỤC 11

Trang 1

hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

Trang 2

NỘI DUNG

I TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là mộtmôn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh nhữngtri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung củaSGK, nắm vững các phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học cóhiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ mônToán thường xuyên phải làm

Trong chương trình đại số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử làmột trong những nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng, nó là cơ sở để xây dựngnhiều nội dung kiến thức đồng thời được vận dụng để giải quyết nhiều dạng bài toánkhác nhau như: Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phươngtrình, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị, biến đổi đồngnhất các biểu thức hữu tỷ, vô tỷ

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng rất

cơ bản và hết sức quan trọng Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinhmới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm được lời giải và lời giải tối ưucho một bài toán Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khókhăn đối với học sinh đó là trong trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ sốlớn, phức tạp do đó nếu chỉ áp dụng các phương pháp phân tích thông thường đã đượchọc trong SGK thì học sinh rất lúng túng thậm chí không thể phân tích được

Để cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử, đồng thời có kỹ năng thành thạo trong việc phân tích các đa thức thànhnhân tử Giải pháp tôi đưa ra là: Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tậptoán nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó nângcao chất lượng học tập bộ môn Toán

Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: Nhóm 8A2 và nhóm 8A3Trường THCS Đắk Drô, nhóm 8A2là nhóm thực nghiệm(O1), nhóm 8A3 là nhóm đốichứng ( O2) Nhóm thực nghiệm được thực hiện giải pháp tác động khi dạy các bài học

về phân tích đa thức thành nhân tử Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệtđến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã đạt được kết quả học tập caohơn so với nhóm đối chứng Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm cógiá trị trung bình là: 6,57 Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm đối chứng có giá trịtrung bình là: 5,52

Kết quả kiểm chứng T- test cho thấy P = 0,00 < 0,05 có nghĩa là đã có sự khác biệtlớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng Điều đó chứng tỏrằng thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài tập toán đã giúp các em rèn luyện vànâng cao được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử từ đó nâng cao được chất lượnghọc tập môn Toán

2

Trang 3

II GIỚI THIỆU

Trong chương trình Đại số 8 SGK ở trung học cơ sở các bài học về phân tích đathức thành nhân tử mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một số phương pháp phân tích cơbản như:

- Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Phương pháp nhóm các hạng tử

- Phương pháp tách hạng tử

- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

- Phối hợp nhiều phương pháp

Hơn nữa thời gian dành cho việc rèn luyện các kỹ năng trên còn rất hạn hẹp nênhầu hết học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử thậm chínhiều học sinh còn không biết cách phân tích Đáng chú ý hơn nữa là trong các phần vàcác chương sau, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào lớp10-THPT cần vận dụng rất nhiều các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử Đểthay đổi hiện trạng trên đề tài nghiên cứu này như một nguồn dẫn đến và bổ sung kiếnthức về phân tích đa thức thành nhân tử qua đó nhằm rèn luyện và nâng cao các kỹnăng phân tích cho học sinh

1/ Giải pháp tác động:

- Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm rèn luyện vànâng cao các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao chất lượng họctập bộ môn Toán

2/ Vấn đề nghiên cứu:

- Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán có rèn luyện vànâng cao được các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử hay không ?

3/ Giả thuyết nghiên cứu:

- Có, thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện vànâng cao được các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1/ Khách thể nghiên cứu:

Tôi lựa chọn hai nhóm: Nhóm 8A2 và nhóm 8A3 là học sinh của Trường THCS Đắk Drô trong đó nhóm 8A2 là nhóm thực nghiệm (O1), nhóm 8A3 là nhóm đối chứng (

O2)

2/ Thiết kế nghiên cứu:

Tôi dùng bài kiểm tra đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau do đó tôi dùng phép kiểm chứng T- test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai nhóm trước khi tác động

3

Trang 4

* Sử dụng thiết kế 2: Thiết kế kiểm tra trước tác động và sau tác động đối với cácnhóm tương đương

Bảng 2: Thiết kế nghiên cứu

Nhóm trước tác độngKiểm tra Tác động sau tác độngKiểm tra

Có thông qua hoạtđộng hướng dẫn họcsinh giải bài tậptoán

O3

- Ở thiết kế này tôi dùng phép kiểm chứng T-test độc lập

3/ Quy trình nghiên cứu:

a, Chuẩn bị của giáo viên

- Chuẩn bị các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống các bài tập về phân tích đa thức thành

nhân tử nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng cho học sinh

- Ra đề kiểm tra và xây dựng đáp án cho các đề kiểm tra

b, Tiến hành dạy thực nghiệm

- Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm trong 5 tuần, mỗi tuần 02 buổi, mỗi buổi

03 tiết và cuối mỗi buổi kiểm tra 30 phút( kết hợp với việc cho bài tập về nhà để học sinh tự luyện)

Bảng 3: Thời gian dạy thực nghiệm cụ thể như sauTuần Buổi tiếtSố Tên bài dạy thực nghiệm

(Từ 12/09/11

3 3 Phương pháp nhóm các hạng tử

4 3 Phối hợp nhiều phương pháp 4

Trang 5

(Từ 26/10/11

đến 01/10/11)

7 3 Phương pháp sử dụng phép chia

8 3 Phương pháp đặt ẩn phụ5

(Từ 03/10/11

đến 08/10/11)

9 3 Phương pháp hệ số bất định

10 3 Phương pháp xét giá trị riêng

4/ Đo lường và thu thập dữ liệu:

- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra đầu năm do Trường THCS Đắk Drô ra

- Bài kiểm tra sau tác động là các bài kiểm tra sau khi đã học xong từng phương pháp ở trên

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:

- Sau khi thực hiện dạy xong từng phương pháp tôi tiến hành kiểm tra và chấm bài theođáp án đã xây dựng

IV PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ.

= 0 < 0,05 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực nghiệm và nhóm

đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm

cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động

Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD =6,57 5,52 0,97

1,08



Theo bảng tiêu chí Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn

5

Trang 6

hướng dẫn học sinh giải bài tập toán SMD = 0,97 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức

thành nhân tử thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm nâng cao

chất lượng học tập bộ môn của nhóm thực nghiệm là lớn.

Điều đó cho thấy giả thuyết của đề tài: " Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân

tử " từ đó nâng cao được chất lượng học tập bộ môn đã được kiểm chứng

6.57

0 1 2 3 4 5 6 7

Kiểm tra trước tác động

Kiểm tra sau tác động

Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm

Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động

của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

2/ Bàn luận kết quả:

Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có điểm trung bình

= 6,57 Kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng có điểm trung bình = 5,52

Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,05 Điều đó cho thấy điểm trung bình của hainhóm đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, nhóm được tác động có điểm trung bình cao hơn nhóm đối chứng

Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD = 0,97 Điều này có nghĩa là mức độ ảnh

Trang 7

+ Đối với BGH:

- Cần chỉ đạo tăng thêm thời gian ôn luyện, bồi dưỡng cho học sinh khối 8 vàkhối 9 nhất là học sinh khối 9 vì thời gian một tuần một buổi không đủ để thực hiệnđược công tác bồi dưỡng trong khi môn Toán 9 lại tổ chức thi sớm(vào khoảng tháng 12như hiện nay)

- Chỉ đạo tăng cường hơn nữa công tác dạy thể nghiệm nội dung của đề tài để đềtài được triển khai một cách sâu rộng trong nhà trường đồng thời cũng nhằm bổ sung vàkhắc phục những tồn tại, nâng cao hơn nữa chất lượng đại trà, công tác đào tạo bồidưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào THPT

+ Đối với giáo viên

-Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao hơn nữa trình độ chuyên môn nghiệp vụ, xây dựng được cho mình một hệ thống kiến thức các bài, dạng bài, các chuyên đề và thường xuyên sử dụng các phương pháp dạy học tích cực

- Cần chia lớp, phân loại hai đầu học sinh khá giỏi và yếu kém riêng biệt để việc triển khai áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao hơn

* Với kết quả của đề tài này (chắc hẳn không thể tránh khỏi những tồn tại và hạnchế) nhưng tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp cần quan tâm, chia sẻ nhất là nhữnggiáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 và giảng dạy mônToán lớp 9 ôn luyện học sinh thi vào lớp 10-THPT

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, Toán 9

2 Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

3 Cuốn “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của

Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp(NKTH)

4 Toán bồi dưỡng và nâng cao đại số 8

5 Một số vấn đề phát triển Đại số 8

6 400 bài toán chọn lọc 8

7 Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS

8 Tài liệu về NCKHSPƯD

7

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Trang 11

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nóirằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của mộtnhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định lý 1:

Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức

bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tửbậc 0

b) Định lý 2:

Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhấthoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phântích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Aidenxtainơ )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước củacác hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x)

là bất khả quy trên Q

II/ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thìkhó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơcấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tíchmột đa thức thành nhân tử

1 Phương pháp đặt nhân tử chung:

a) Phương pháp:

- Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối vớiphép cộng (theo chiều ngược)

+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác

+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng

tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng)

b) Bài tập:

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

11

Trang 12

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

= 2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Trang 13

= (a+b)( a2- ab + b2)(a - b)( a2+ ab + b2) +(a2+ab + b2 )(a2- ab + b2)

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Trang 14

- áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

- Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kếthợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau

đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

A = 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có A = 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

B = x6 + x4 + x2 + 1

Giải: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

Trang 15

3x3y – 6x2y – 3xy3 - 6axy2 – 3a2 xy + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2ay- a2+ 1)

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

Trang 16

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

a) Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử

hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Trang 17

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5)

Vậy A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làmnhư sau :

Bước 1 : lấy tích a.c = t

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi

Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc

Bài22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - 3

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	843,5 KB