Sáng kiến kinh nghiệmGIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cùng với sự phát triển của đất nước, xã hội ngày càng phát triển cùng với khoa học và kỹ thuật ngày càng hiện đại sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Đối với nền giáo dục Việt Nam hiện nay đã có nhiều thay đổi, đề ra nhiều chủ trương, biện pháp có hiệu quả. Toán là một môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có sự thông minh, sáng tạo. Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học, kĩ thuật, ứng dụng trong thực tế. Theo cảm nhận của nhiều người , toán là môn học “ khô khan ”, trừu tượng nên nhiều học sinh không hứng thú học, trong đó có một dạng toán học sinh gặp rất nhiều sai lầm và rất “ngại” bài tập dạng này, đó là những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích của những đa thức. Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử dụng khi giải các bài toán: biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng minh một số bài toán chia hết. …. Để phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp thông thường như: • Đặt nhân tử chung (thừa số chung). • Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. • Nhóm nhiều hạng tử. • Phối hợp các phương pháp trên Mặt khác phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như các hằng đẳng thức đáng nhớ, các kỹ năng thêm bớt, kỹ năng tách các hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm nghiệm, kỹ năng chia đa thức cho đa thức . … Để thực hiện tốt các dạng bài tập này đòi hỏi các em sử dụng các thao tác tư duy trên cơ sở nắm chắc các kiến thức có liên quan. Xuất phát từ các lý do trên và thực tế dạy học toán ở trường THCS, nhằm giúp học sinh chủ động sử dụng các phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử để trên cơ sở ấy các em vận dụng vào giải tốt các bài toán có liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Tôi xin được trình bày đề tài : “GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.” II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4). “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24), trích dẫn trong sách phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim do nhà xuất bản đại học sư phạm phát hành. Và nghị quyết trung ương 2 khóa VIII đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục đào tạo chậm được đổi mới, chưa pháp huy được tính chủ động, sáng tạo của người học” Qua thực tế tìm hiểu học sinh và trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Học sinh rất lúng túng trước các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử: không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, không nhận dạng được hằng đẳng thức đã học để phân tích bài toán. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề khó của Đại số 8, nhưng nó rất đa dạng, yêu cầu học sinh phải làm nhiều bài tập. Ngoài bốn phương pháp cơ bản như sách giáo khoa đã trình bày, còn có những phương pháp khác như: phương pháp tách các hạng tử, thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ …nên nhiều học sinh không nắm được phương pháp tư duy, phương pháp cơ bản giải toán, suy nghĩ rất hời hợt, máy móc. Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải, nên thường lúng túng trước những bài toán khác đôi chút với bài quen Trình bày bài giải không tốt, lập luận thiếu khoa học, không lôgích, còn nhầm lẫn dấu khi nhóm các hạng tử

GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Cùng với phát triển đất nước, xã hội ngày phát triển với khoa học kỹ thuật ngày đại nghiệp giáo dục không ngừng đổi Đối với giáo dục Việt Nam có nhiều thay đổi, đề nhiều chủ trương, biện pháp có hiệu - Toán môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có thông minh, sáng tạo Thông qua môn toán, học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học, kĩ thuật, ứng dụng thực tế Theo cảm nhận nhiều người , toán môn học “ khô khan ”, trừu tượng nên nhiều học sinh không hứng thú học, có dạng toán học sinh gặp nhiều sai lầm “ngại” tập dạng này, toán phân tích đa thức thành nhân tử - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa biến đổi thành tích đa thức Việc phân tích đa thức thành nhân tử kĩ chương trình đại số bậc THCS Kĩ sử dụng giải toán: biến đổi đồng biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu phân thức, rút gọn phân thức, chứng minh số toán chia hết … - Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp thông thường như: • Đặt nhân tử chung (thừa số chung) • Dùng đẳng thức đáng nhớ • Nhóm nhiều hạng tử • Phối hợp phương pháp - Mặt khác phân tích đa thức thành nhân tử trình em học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan đẳng thức đáng nhớ, kỹ thêm bớt, kỹ tách hạng tử thích hợp, kỹ tính toán, nhẩm nghiệm, kỹ chia đa thức cho đa thức … Để thực tốt dạng tập đòi hỏi em sử dụng thao tác tư sở nắm kiến thức có liên quan - Xuất phát từ lý thực tế dạy học toán trường THCS, nhằm giúp học sinh chủ động sử dụng phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử để sở em vận dụng vào giải tốt toán có liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán nhà trường Tôi xin trình bày đề tài : “GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.” II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4) “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24), trích dẫn sách phương pháp dạy học môn toán Nguyễn Bá Kim nhà xuất đại học sư phạm phát hành Và nghị trung ương khóa VIII rõ “Phương pháp giáo dục đào tạo chậm đổi mới, chưa pháp huy tính chủ động, sáng tạo người học” - Qua thực tế tìm hiểu học sinh trình giảng dạy, nhận thấy: Học sinh lúng túng trước toán phân tích đa thức thành nhân tử: đâu, dùng phương pháp nào, không nhận dạng đẳng thức học để phân tích toán Việc phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề khó Đại số 8, đa dạng, yêu cầu học sinh phải làm nhiều tập Ngoài bốn phương pháp sách giáo khoa trình bày, có phương pháp khác như: phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ …nên nhiều học sinh không nắm phương pháp tư duy, phương pháp giải toán, suy nghĩ hời hợt, máy móc Không biết rút kinh nghiệm vừa giải, nên thường lúng túng trước toán khác đôi chút với quen Trình bày giải không tốt, lập luận thiếu khoa học, không lô-gích, nhầm lẫn dấu nhóm hạng tử Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài * BIỆN PHÁP : Hệ thống phương pháp bản, giúp học sinh khắc sâu kiến thức để giải toán vận dụng cách thành thạo PHƯƠNG PHÁP 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG: - Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b + c) = ab + ac - Nhân đơn thức - Đổi dấu đa thức PHƯƠNG PHÁP: - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Tìm nhân tử chung - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử ngoặc với dấu chúng CÁC VÍ DỤ: a/Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x 2y – 10xy Giải: 2 5x y – 10xy Ta thấy hạng tử có nhân tử chung 5xy Do đó: 5x 2y – 10xy = 5xy( x – 2y) b/ Chú ý: Đôi ta phải đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) Giải: Để làm xuất nhân tử chung (3y – 7z) ta cần đổi dấu đa thức sau : 7z – 3y = - (3y – 7z) Do : 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y –7 z) – 6y(3y –7 z) = 2(x – 3y)(3y –7 z) 4/ BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 3x3y2 – 6xy3 + 3xy2 b/ x( x – y ) – y(y – x) c/ (y2 – z)(2x y – yz) – (4yx + yz 2)(z – y 2) + 6x 2z(y – z) d/ xm + xm + vớ i m ∈ N e/ 3x ny – 9x n y2 + 15x n+1 vớ i n ∈ N PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG: - Trong nhiều trường hợp ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ vế đa thức sang vế tích nhân tử lũy thừa đa thức đơn giản - Ôn tập đẳng thức đáng nhớ PHƯƠNG PHÁP: - Phát quy dạng đẳng thức đáng nhớ - Áp dụng đẳng thức viết đa thức thành dạng tích nhân tử lũy thừa đa thức đơn giản CÁC VÍ DỤ: */Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ (3x + 1)2 b/ 9x2 – c/ – 27a3b6 d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Giải: a/ (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + b/ 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) c/ – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 */ Chú ý: Đôi ta phải đổi dấu đa thức để làm xuất đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử -x y + 8x2y – 16 = - ( x4y2 - 8x2y + 16 ) = - ( x2y - )2 BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x − 81y a/ 25 b/ x − c/ (ab − 1)2 – (a + b)2 d/ (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2) PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG: - Ôn tập tính chất kết hợp phép cộng - Khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử, nhóm hạng tử thích hợp nhằm làm xuất nhân tử chung đẳng thức nhóm 4 PHƯƠNG PHÁP: - Phát hạng tử có chứa nhân tử chung kết hợp chúng thành nhóm đặt nhân tử chung (hay dùng đẳng thức) - Phân tích riêng nhóm để làm xuất nhân tử chung làm xuất đẳng thức - Làm liên tục viết đa thức thành dạng tích CÁC VÍ DỤ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – xy + x – y b) x2 + 2x – y2 + Giải: a) cách : x2 – xy + x – y =( x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1) cách : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) =(x + 1)(x – y) b) x2 + 2x – y2 + = ( x2 + 2x + 1) – y2 = ( x + 1) 2– y2 = (x + + y)(x + – y) BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 3x3 – 75x + 6x – 150 b/ x2 – 2015x + xy – 2015y c/ x2 – + ( x – )2 d/ x2 – y2 – 2xy + y2 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG PHÁP : - Trong số trường hợp ta phải phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử - Thông thường để phân tích đa thức thành nhân tử ta xét đến phương pháp đặt nhân tử chung trước tiên, tiếp xét xem sử dụng đẳng thức học hay không - Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung dấu ngoặc Đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho, sau ta phân tích tiếp (nếu có thể) - Nhóm nhiều hạng tử cho nhóm có nhân tử chung đẳng thức - Phân tích nhóm để làm xuất tiếp nhân tử chung đẳng thức VÍ DỤ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x3 – 10x2y + 5xy2 b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz Giải : a) 5x3 – 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2) = 5x(x + y)2 b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz = (x2 + 2xy + y2) - (xz + yz) = ( x + y )2 – z( x + y ) = ( x + y )( x + y – z ) * Chú ý : Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung ngoặc Đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho Do tiếp tục phân tích dễ dàng * Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy Giải : 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy = 3xy( x2 – 2x – y2 - 2yz – z2 + ) = 3xy[( x2 – 2x + ) – ( y2 + 2yz + z2 )] = 3xy[( x – )2 – ( y + z )2 ] = 3xy( x – + y + z )( x – – y – z ) BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 3n – 27n +81n – 81 b/ x3 + 2x2 + 2x + c/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy *BIỆN PHÁP : Cung cấp cho học sinh số kiến thức có liên quan đến dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử đồng thời rèn cho học sinh vài kỹ phân tích mới, tập cung cấp cho học sinh từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Kỹ 1: TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ PHƯƠNG PHÁP: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử cách hợp lý áp dụng phương pháp để phân tích tiếp Mỗi đa thức có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử ,trong hai cách sau thông dụng : - Tách hạng tử tự do(hằng số) áp dụng phương pháp để phân tích tiếp - Trong tam thức ax2 + bx + c hệ số b tách thành b = b1 + b2 cho b1.b2 = a.c, thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số có tích ac nói mà có tổng b CÁC VÍ DỤ: Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn -Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) -Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) -Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Cách 1: f(x) = 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) * Tách hạng tử bậc hai ax2 -Làm xuất hiệu hai bình phương : Cách 2: f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) -Tách thành số hạng nhóm : Cách 3: f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) Cách 4: f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = (x + 2)(3x + 2) *Tách hạng tử tự c Cách 5: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = (x + 2)(3x + 2) *Tách số hạng, số hạng Cách 6: f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) Cách 7: f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = (x + 2)(3x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 9x2 + 6x – thành nhân tử: Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b1: Tính a.c = 9.(-8) = -72 b2: Phân tích -72 thành tích hai thừa số trái dấu, thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 = (-1).72 = (-2) 36 = (-4) 18 = (-6) 12 = (-8) b3: Chọn hai thừa số có tổng -6 12 Vậy ta phân tích sau: 9x2 + 6x - = 9x2 - 6x + 12x – = (9x2 - 6x) + (12x - 8) = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương 9x2 + 6x - = 9x2 + 6x + – = (3x + 1)2 - 32 = (3x + - 3)(3x + + 3) = (3x - 2)(3x + 4) Trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có b số lẽ a không bình phương số nguyên giải cách gọn cách * Nhận xét : Qua ví dụ ta thấy việc tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử khác nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 6x + Cách 1: x2 – 6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4) Cách 2: x2 - 6x + = x2 – 6x + – 1= (x – 3)2 – = ( x – – 1)(x – + 1) = (x – 4)( x – 2) Cách 3: x2 – 6x + = x2 – – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x – 6x + = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4) = (x – 4)( x + – 6) = (x – 4) ( x – 2) Cách : x2 – 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x – 2)2 – 2( x – 2) = (x – 2)( x – – 2) = ( x – 2)(x – 4) * Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) để thuận tiện phân tích thành nhân tử ta ta dựa vào nhận xét sau: - Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ tiếp tục phân tích tam thức thành nhân tử phương pháp biết cách đề bình phương đủ - Nếu b2 - 4ac không bình phương số hữu tỷ phân tích tiếp Ví dụ 4: tam thức f(x) = 2x2 - 7x + Có b2 - 4ac = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 = 52 nên phân tích tiếp cách tách số hạng 7x = 6x + x cách tổng quát đề bình phương đủ 7 3 49 25    x −7 x +3 =  x − x + ÷=  x − x + − ÷ 2 16 16    2   5   1  =  x − ÷ − ÷  =  x − ÷( x −3)  4   2     3.BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 – 4x – b/ x + 5x – 14 c/ x + 4x – 21 d/ 16x – 5x2 – Kỹ 2: THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ PHƯƠNG PHÁP: - Cộng thêm vào đa thức hạng tử đồng thời phải bớt hạng tử để đa thức không đổi - Khi sử dụng phương pháp (thêm, bớt) phải nhằm hướng đến xuất đẳng thức (thường A2 - B2, A3 - B3 … ) xuất nhân tử chung CÁC VÍ DỤ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – Giải: x5 – = x5 – x + x – = (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1] BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ x + 4y b/x + x + c/ 4x4 + 81 d/ x7 + x2 + Kỹ 3: KỸ NĂNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + )2 b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải : a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + )2 cách : Đặt 3x + = X 6x + = Y ta có: A = X2 – 2.X.Y + Y2 = ( X – Y )2 = ( 3x + – 6x – )2 = ( - 3x – )2 = 9( x + )2 Cách 2: Hoặc xem đẳng thức thứ hai:’bình phương hiệu’ với số thứ 3x + 1, số thứ hai 6x + Ta có: (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + )2 = [(3x + 1) – (6x + 7)]2 = ( - 3x – )2 = 9( x + )2 b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Ta có: B = x(x + 10)(x + 4)(x + 6) + 128= ( x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt Y= x2 + 10x + 12 ;tacó : B = (Y - 12)(Y + 12) + 128 = Y2 – 16 = (Y - 4)(Y + 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x +2 )( x + )( x2 + 10x + ) Nhận xét: Trong ví dụ b nhờ phương pháp đổi biến, ta đưa đa thức bậc bốn x thành đa thức bậc hai Y BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 c/ ( x − x ) − 14( x − x ) + 24 d/ ( x − x + 2)( x − x − 6) − 24 Kỹ : ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ 1.PHƯƠNG PHÁP : Trong số toán, việc đổi vai trò ẩn số tham số cho trở thành phương pháp giải thú vị Sau vài ví dụ minh hoạ : 2.VÍ DỤ: Phân tích đa thức thành nhân tử : A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2 Giải : A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2 Thông thường, ta hiểu đa thức bậc ba, ẩn x Bây xem A đa thức bậc hai, ẩn a ta có A = a2 – (x2 + x)a + 2x3 – 2x2 = a2 – (x2 + x)a - 2x(x – x2) Với P = -(x2 + x) = (-2x) + (x – x2) q = 2x3 -2x2 = (-2x).(x – x2), đa thức A phân tích thành nhân tử phương pháp tách số hạng sau : A = a2 – 2xa + (x – x2)a - 2x(x – x2) = a(a – 2x) + (x – x2)(a – 2x) = (a – 2x)(a – x2 + x) Kỹ 5: KỸ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 1.PHƯƠNG PHÁP: + Số a nghiệm đa thức f(x) f(a) = + Trong đa thức có hệ số nguyên, nghiệm nguyên đa thức có phải ước hạng tử tự VÍ DỤ : Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x3 - x2 – Giải x - x2 – Lần lượt kiểm tra với x = ± , ± , ± 4, ta thấy f( ) = Đa thức có nghiệm x = 2, chứa nhân tử x – Cách1: f(x) = x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x – = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x – ) = (x - 2)(x2 + x + 2) Cách 2: f(x) = x3 - x2 - = x3 – 8- x2 + 4= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x – )(x2 + 2x + – x – 2= (x – )(x2 + x +2) Cách 3:Thực phép chia đa thức f(x) cho (x – ) ta đa thức g(x) Vậy: f(x) = ( x – 2).g(x) x3 – x2 – = ( x – )( x2 + x + ) 3.Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên đa thức cần lưu ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x - - Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ – nghiệm đa thức, đa thức có chứa nhân tử x+1 * Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự không nghiệm đa thức, dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f (1) f (−1) số nguyên a −1 a −1 Ví du 2: Phân tích x3 - 7x - thành nhân tử Nhận xét : ước -6 ±1, ±2, ±3, ±6 Kiểm tra thấy x = -1 nghiệm ⇒ đa thức chứa nhân tử x+1 Lấy x3 - 7x - chia cho (x + 1) x2 - x - làm tiếp tục ta thấy x = nghiệm x2 – x - 6, thực phép chia x2 - x - cho (x - 3) ta (x + 2) Vậy x3 - 7x - = (x + 1)(x - 3)(x + 2) BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ P(x) = x3 – 2x – b/ P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – c/ P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – d/ P(x) = x3 + 3x – Kỹ : DÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH 1.Ví du : phân tích đa thức thành nhân tử: x2 + 3x + Vì hệ số cao đa thức nên đa thức x + 3x + phân tích thành (x + a)(x + b), nên ta có: x2 + 3x + = (x + a)(x + b) ⇔ x2 + 3x + = x2 + (a + b)x + ab  a + b = ⇔  ab = Từ a + b = => a = – b Thế vào ab = 2, ta được: ab = => b(3 – b) = ⇔ –b2 + 3b – = ⇔ –b2 + b + 2b – 2= ⇔ –b(b – 1) + 2(b – 1) = ⇔ (b – 1)( – b)=  b = a = ⇔ ⇒ b =  a = Vậy x2 + 3x + = (x +1)(x + 2) *Chú ý: Có thể phân tích đa thức x2 + 3x + cách tách hạng tử: 10 x2 + 3x + = x2 + x+ 2x + = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2) BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ x3 – 19x – 30 b/ x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + c/ x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Kỹ : DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG 1.PHƯƠNG PHÁP: Trong phương pháp , trước hết ta xác định nhân tử chứa biến đa thức, gán cho giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại VÍ DỤ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y ) Giải Thử thay x y : P = y2(y –z ) + y2( z – y ) = Như P chia hết cho x – y Ta lại thấy thay x y , thay y z, thay z x P không đổi ( ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh x → y → z → x ) Do P chia hết cho x – y chia hết cho y – z z – x Vậy P có dạng K( x – y )( y- z )( z – x ) Ta thấy K phải số ( không chứa biến ) P có bậc ba tập hợp biến Vì đẳng thức x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y ) = K( x – y )( y – z )( z – x ) với giá trị x, y ,z nên ta gán cho x, y, z giá trị riêng ,chẳng hạn x = ; y = ; z = ( ≠ ≠ ) ta : 4.1 + 1.(-2) + = K.1.1.(-2) ⇔ = - 2K ⇔ K = -1 Vậy P = - ( x – y )(y – z)( z - x ) BÀI TẬP : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) BIỆN PHÁP : Rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi sáng tạo cách giải ,tăng hứng thú học tập học sinh nhằm phát huy tính hoạt động tích cực học tập nâng cao hiệu học tập - Để giúp học sinh tìm tòi cách giải khác toán , giáo viên cần giúp học sinh tích lũy ,hệ thống hóa nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác - Tập cho học sinh biết nhận dạng toán mà lựa chọn phương pháp thích hợp tất phương pháp biết Như số đường vừa xuất , học sinh loại trừ đường không thích hợp giữ số đường thích hợp Đối với học sinh ,lúc đầu phải thử với đường đi, thất bại nhiều lần xác định đường Và 11 biết nhìn lại đường mò mẫm vừa mà rút kinh nghiệm rút ngắn thời gian mò mẫm nâng cao dần kỹ tìm tòi nhiều cách giải khác Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 + 4xy + 3y2 Giải : Cách : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + 3y2 = x(x + y) + 3y(x + y)= (x + y)(x + 3y) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = ( x2 + 4xy + 4y2 ) – y2 = ( x + 2y )2 – y2 = ( x + 2y + y )( x + 2y – y ) = ( x + 3y )( x + y ) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2= ( x + y )( x – y ) + 4y ( x + y ) = ( x + y )( x – y + 4y ) = ( x + y )( x + 3y ) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2 = ( x + 3y )( x – 3y ) + 4y( x + 3y ) = ( x + 3y )( x – 3y + 4y ) = ( x + 3y )( x + y ) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2= ( x + y )2 + 2y( x + y ) = ( x + y )( x + y + 2y )= ( x + y )( x + 3y ) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 6xy + 9y2 – 2xy – 6y2 = ( x + 3y )2 – 2y( x + 3y ) = ( x + 3y )( x + 3y – 2y )= ( x + 3y )( x + y ) Cách : x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2 = 4x( x + y ) – 3( x + y )( x – y ) = ( x + y )[4x – 3( x – y )] = ( x + y )( 4x – 3x + 3y ) = ( x + y )( x + 3y ) BIỆN PHÁP 4: Đưa toán vận dụng để học sinh phát huy tính sáng tạo, độc lập Dạng 1: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tính nhanh biểu thức: Bài 1: Tính nhanh: a) 20132 – 169 b) 31.82 + 125.48 + 31.43 - 125.67 c) (1002 + 982 + ….+ 22 ) – (992 + 992 + ….+12) Giải: a) 20132 – 169 = 20132 – 132 = (2013 – 13)(2013 + 13) = 2000.2026= 4052000 b) 31.82 + 125.48 + 31.43 - 125.67 = 31(82 + 43) + 125(48 - 67) = 31 125 - 19.125 = 125(31 - 19) = 125.12 = 1500 c) (1002 + 982 + ….+ 22 ) – (992 + 972 + ….+12) = (1002 – 992 ) + ( 982 – 972 )+ …+ (22 – 12) = (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + ……… + (2 – 1)(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + ………………+ + 1= 101 50= 5050 Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 2 y với x = − ; y = −5 a) A = 25 x − xy + 25 b) B = x – 12x + 12x – 12x + 111 x = 11 12 Giải: 2   a ) A = 25 x − xy + y =  5x − y ÷ 25   với x = − ; y = −5 ta có:   1  5 −  − ( − 5)  = ( − + 1) =     b/ B = x4 – 12x3 + 12x2 – 12x + 111 Do x = 11 => x + = 12 Nên ta có : C = x4 – 12x3 + 12x2 – 12x + 111 = x4– (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 111 = x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + 111 = - x + 111 Với x = 11 ta có : C = -11 + 111 = 100 Bài : Rút gọn biểu thức : a) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) b) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 Giải: a) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (24 – 1) (24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1) = (216 - 1)(216 + 1) = 232 – b) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 Cách 1: xem HĐT ‘bình phương hiệu’ với số thứ x + y + z, số thứ hai x + y (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [(x + y + z) – (x + y)]2 = z2 Cách 2: (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz – 2x2 – 2xy – 2xy – 2y2 – 2xz – 2yz + x2 + 2xy + y2 = z2 Dạng 2: Bài toán chứng minh Bài 1: Chứng minh: a) 364364 - 364363 chia hết cho 363 b) n3 - n chia hết cho với số nguyên n Giải: a) 364364 - 364363 = 364363(364 - 1) = 364363.363 Vậy 364364 -364363 chia hết cho 363 b) n3 – n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) - Với n∈Z n - 1, n, n + ba số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho tích chia hết cho mà ( 2, ) = nên tích (n - 1) n (n + 1) chia hết cho với số nguyên n Bài 2: Chứng minh bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b) chia hết cho b + c, b + a, c - a Giải : bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b) = bc(b + c) + ac2 – a2c - a2b - ab2 = bc(b + c) + a (c2 - b2) – a2(b + c) = bc(b + c) + a(c - b)(c + b) – a2 (b + c)= (b + c)(bc + ac – ab – a2) 13 = (b + c) [b(c - a) + a(c - a)] = (b + c)(c - a)(b + a) Vậy: bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b) chia hết cho b + c, b + a, c - a Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để tìm x, giải phương trình Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để đưa đa thức dạng A.B = Nếu A.B = A = B = Từ ta tìm x Bài 1: Tìm x, biết : a) 3x3 – x2 + 6x – = b) x2 + 5x + = Giải : a) 3x3 – x2 + 6x – = ⇔ x2(3x – 1) + 2(3x – 1) = ⇔ (x2 + 2)(3x - 1) = Vì x2 + > nên 3x – = x = b) Từ x + 5x + = ⇒ x2 + 2x + 3x + = ⇒ x(x + 2) + 3(x + 2) = ⇒ (x + 2)(x + 3) =  x + =  x = −2 ⇒ ⇒  x + =  x = −3 Vậy x = -2 , x = -3 Bài : Giải phương trình : a/ ( 4x + 3)2 – 25 = b/ 3x2 + 5x - = Bài : Giải bất phương trình a/ x2 + x – 12 > b/ x − >0 x −2 x −3 Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau: a/ xy – x – y = b/ 3xy + x – y = Dạng 4: Tìm giá trị biểu thức để hàm số nhận giá trị dương (hoặc âm) Bài 1: Với giá trị x A giá trị âm x − x −10 x −8 A= x − x + x − 20 Giải: Trước hết ta rút gọn A A= x +3 x −4 x −12 x +2 x −8 x ( x −4) +3 x ( x −4) +2( x −4) = x −4 x +5 x −20 x ( x −4) +5( x −4) ( x −4)( x +3 x +2) ( x +2)( x +1) = = ( x ≠ 4) ( x −4)( x +5) x +5 ( x + 2)( x + 1) Vì x2 + ≥ nên để không nhận giá trị âm x2 + 14 (x + 1)(x + 2) ≥ ⇔ (x + 1)(x + 2) = ⇔ x = -1 , x= -2 (x + 1) (x + 2) > nghĩa (x + 1) (x + 2) phải dấu Nếu x + > x + > x > -1 Nếu x + < x + 1< x < -2 Do để A ≥ x ≥ -1 x ≤ -2 Bài 2: chứng minh số hữu tỷ x thỏa mãn bất đẳng thức sau: -x2 + 2x – ≥ Bài toán tương tự với toán :Hãy chứng minh số hữu tỷ x thỏa mãn bất đẳng thức sau : x2 -2x + ≤ Vế trái x2 -2x + = (x - 1)2 + Vì (x - 1)2 ≥ nên (x - 1)2 + ≥ (với x ∈Q) Do giá trị x để - x2 + 2x – ≥ Bài : Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức sau : a) A = 2x2 + 8x b) B = 10x + 6y – 4x2 – – y2 + 35 Giải : a) A = 2x2 + 8x = 2( x2 + 4x )= (x2 + 4x + – 4) = (x + 2)2 – Vì (x + 2)2 ≥ với x Nên A = (x + 2)2 – ≥ -8 Vậy giá trị nhỏ A -8 x = -2 b) B = 20x + 6y – 4x2 – – y2 + 35 = -(4x2 – 20x + 25) – (y2 – 6y + 9) + 60 = -(2x – 5)2 – (y – 3)2 + 60 ≤ 60  2 x − = x = ⇔ Vậy giá trị lớn C 60  y −3 =  y = Dạng 5: Rút gọn phân thức: Bài 1: Rút gọn phân thức sau 5x3 + x x −1 80 x −125 x b) 3( x − 3) − ( x − 3)(8 − x) a) Giải: x +5 x x ( x +1) 5x a) = = x −1 ( x +1)( x −1) x −1 b) x (4 x − 5)(4 x + 5) x (4 x + 5) 80 x − 125 x x(16 x − 25) = = = 3( x − 3) − ( x − 3)(8 − x) ( x − 3)(3 − + x) ( x − 3)(4 x − 5) x −3 Bài 2: Cho biểu thức sau : B = mn + n ( n − m) + m n + 2n + m + a) Rút gọn biểu thức B b) Chứng minh B dương , tìm m để B đạt giá trị lớn Giải : 15 mn + n − mn2 + n4 + 1 = = a) B = 4 n (m + 2) + m + ( m + 2)( n + 1) m + b) Vì m2 + > B = > với m m +2 đạt giá trị lớn m2 + đạt giá trị nhỏ m +2 muốn m2 = hay m =0 giá trị biểu thức là: A = Dạng 6: Quy đồng mẫu thức phân thức Để quy đồng mẫu thức phân thức ta phải phân tích mẫu thức thành nhân tử sau ta tìm mẫu thức chung (1); (2); Ví dụ: Quy đồng mẫu thức phân thức sau x −8 x − 4x + x + 2x + (3) Giải: (1); (2); (3) x −8 x − 4x + x + 2x + Ta có MTC (x - 2)2(x2 + 2x + 4) Tìm nhân tử phụ: (1) (x - 2), (2) (x - 2)2, (3) (x - 2)2 : Vậy: 3( x − 2) 3x − = = (1)  x − ( x − 2) ( x + x + 4) ( x − 2) ( x + x + 4) x2 + 2x + = (2)  x − x + ( x − 2) ( x + x + 4) 2( x − 2) 2 x2 − 8x + = = (3)  x + x + ( x − 2)2 ( x + x + 4) ( x − 2) ( x + x + 4) Dạng 7: Chia đa thức: a) (2x3 + x2 – 6x – 3) : (2x + 1) b) (27x3 – 1) : (3x – 1) Giải: a) (2x3 + x2 – 6x – 3) : (2x + 1)= [(2x3 + x2) – (6x + 3)] : (2x + 1) = [x2(2x + 1) – 3(2x + 1)] : (2x + 1)= (2x + 1)(x2 – 3) : (2x + 1)= x2 – b) (27x3 – 1) : (3x – 1)= (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1)= 9x2 + 3x + BIỆN PHÁP 5: Đưa số toán trắc nghiệm để kiểm tra nhanh trình độ nhận biết học sinh , từ giúp học sinh giải toán học sinh kém, cho khả giải toán ngày tăng Các phương pháp thường sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử: a Đặt nhân tử chung b Sử dụng đẳng thức c Nhóm hạng tử thích hợp để xuất nhân tử chung sử dụng đẳng thức d Cả ba câu Để phân tích x – 2x – y2 + thành nhân tử ta thường sử dụng phương pháp: a/ Đặt nhân tử chung b/ Dùng đẳng thức 16 c/ nhóm hạng tử d/ phương pháp Tìm kết phân tích x2 - y2 - 6x + thành nhân tử: a/ (x - y)(x + y) - 3(2x - 3) b/ x(x - 6) + (3 - y)(3 + y) c (x – - y)(x – + y) d/ (x – - y)(x + + y) Đa thức x - không phân tích thành nhân tử được, hay sai? Vì sao? a/ Đúng nhân tử chung b/ Đúng không sử dụng đẳng thức c/ Sai x2 – = (x - 2)(x - 3) d/ Sai x − = ( x − 5)( x + 5) Đa thức x4 - y4 phân tích thành nhân tử là: a/ (x2 - y2)2 b/ (x - y)(x + y)(x2 - y2) c/ (x - y)(x + y)(x2 + y2) d/ (x - y)(x + y)(x - y)2 Đa thức 12x – - 4x2 phân tích thành nhân tử là: a/ (2x - 3)(2x + 3) b/ (3 - 2x)2 c/ –(2x - 3)2 d/ –(2x + 3)2 Đa thức x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 phân tích thành nhân tử là: a/ (x - y)3 b/ (2x - y)3 c/ x3 - (2y)3 d/ (x - 2y)3 Điền vào chỗ trống (…) đẳng thức x2 + 4xy + … = (x + 2y)2 là: a/4y2 b/ 2y2 c/ 4y d/ 2y Kết phép tính (x + 3y).(x - 3y) : a/ x2 + 9xy + 9y2 b/ x2 - 9y2 c/ x2 - 6xy + 9y2 d/ Kết khác 10 Giá trị biểu thức x3 - 6x2 + 12x - x = 12 : a/ 1400 b/ 1200 c/ 1000 d/ 1800 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế thực đề tài giảng dạy Toán bậc THCS, nhận thấy phương pháp học sinh tiếp thu hơn, tích cực học tập, tự giải vấn đề, tự nghiên cứu tìm tòi kiến thức Số liệu thống kê đầu năm(2014 – 2015) Khối (42hs) GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH YẾU - KÉM 14% 31% 31% 23,9% 6hs 13hs 13hs 10hs Số liệu thống kê cuối năm(2014 – 2015) khối (42hs) GIỎI 14% 6hs KHÁ 36% 15hs TRUNG BÌNH 33% 14hs YẾU - KÉM 17% 7hs IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG * Phân tích đa thức thành nhân tử phép toán ngược phép nhân hai đa thức; dạng toán phong phú đa dạng Trong nội dung chương trình lớp đòi hỏi học sinh phải làm nhiều tập Như vậy để giúp học sinh giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có một số đề xuất sau: -Giáo viên phải có trình độ chuyên môn vững, biết cách tổ chức điều khiển học sinh Sử dụng phương pháp dạy học - Kiểm tra kiến thức bản, hệ thống kiến thức có liên quan 17 - Các tập phải chọn lọc, thời điểm cần thiết - Bài dễ chuẩn bị cho khó, chuẩn bị cho nâng cao, số lượng tập vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức - Các tập vận dụng nhiều kiến thức, nhiên cần giúp cho học sinh tìm nét riêng bài, dạng toán - Cần khai thác độc lập suy nghĩ học sinh: cách giải không? Khuyến khích em phát triển sáng tạo toán từ toán biết - Nêu ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử tính nhanh giá trị biểu thức; chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác… * Nội dung chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” nhằm góp phần vào việc nâng cao tiết giảng dạy lớp Giúp học sinh có cách nhìn tổng quan phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Khuyến nghị: * Về phía nhà trường : - Nhà trường cần phải quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi đến việc học tập môn Toán - Cần có đợt tập huấn chuyên môn để nâng cao trình độ nghiệp vụ giáo viên Toán * Về phía học sinh : - Học tập nghiêm túc tiết học - Thực đầy đủ tập nhà giáo viên đề ra, học bài, chuẩn bị bài mới trước đến lớp V TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp dạy học Toán - Hoàng Chúng - Nhà xuất Giáo dục - 1978 Những toán nâng cao chọn lọc toán – Tập 1- Lê Thị Hương – Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Nhà xuất Đại họcsư phạm Hà Nội – 2004 Câu hỏi Bài tập trắc ngiệm Toán – Nguyễn Văn Lộc – Nhà xuất ĐHSP TP Hồ Chí Minh - 2008 Toán tập 1- Tôn Thân (chủ biên) -Nhà xuất Giáo dục – 2011 SGV Toán - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục – 2008 Người thực