Trên đây tôi đã hệ thống lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường hay sử dụng ở bậc trung học cơ sở và bốn loại bài toán áp dụng kỹ năng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö[r]
(1)RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp A.đặt vấn đề i lêi më ®Çu Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức chương trình toán học là công cụ để giải nhiều bài toán : - Rót gän ph©n thøc - Giải phương trình, giải bất phương trình - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức - Biến đổi đồng các biểu thức hữu tỉ - Tìm giá trị biến để biểu thức nguyên - T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt … Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải tư duy, có kiến thức tæng qu¸t, s¸ng t¹o, nhanh trÝ, vËn dông kiÕn thøc to¸n häc mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn, hợp lý Để làm việc này ít là người học sử dụng thành thạo các tính chất, quy t¾c phÐp tÝnh, thµnh th¹o viÖc nh©n chia ®a thøc §Æc biÖt ph¶i thuéc lßng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển các đẳng thức tổng quát Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Ngoài phương ph¸p c¬ b¶n : - §Æt nh©n tö chung - Nhãm nhiÒu h¹ng tö - Dùng đẳng thức Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp : - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö - Thªm bít cïng mét h¹ng tö Ngoài có thể sử dụng phương pháp khác : - Đặt ẩn phụ (biến đổi) - Hệ số bất định Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác đó giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải cách nhanh chóng Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (2) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp các em lựa chọn phương pháp thích hợp để giải các bài toán khó Vì tôi xin nêu phương pháp tôi đã sử dụng giảng dạy, đó là “Rèn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ”cho häc sinh líp II THùC TR¹NG VÊN §Ò NGHI£N CøU THùC TR¹NG Qua nh÷ng n¨m gi¶ng d¹y m«n to¸n ë líp 8,t«i thÊy nhiÒu häc sinh cßn lóng tóng gÆp c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Còng cã nhiÒu nguyªn nhân dẫn đến điều này, theo tôi nguyên nhân chính là : +KiÕn thøc c¬ b¶n cÇn sö dông vµo bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c¸c em n¾m cha v÷ng +GÆp mét sè d¹ng to¸n mµ s¸ch gi¸o khoa cha gi¶i quyÕt ®îc Chẳng hạn nói đến các dạng toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử ” lớp nhiều em còn vướng mắc sử dụng số phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử,thêm bớt cùng hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ (biến đổi), hệ số bất định…Vì mà các em còn ngại , chán nạn chưa tìm hướng giải và giải các em còn không biết cách phân tích dẫn đến mắc số sai lầm không đáng có cô thÓ: VÝ dô1 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 3x2 – 8x + -Häc sinh rÊt lóng tóng gÆp d¹ng to¸n nµy cha biÕt nªn t¸ch h¹ng tö nµo,nhiÒu em cßn sai lÇm ®i nhãm nh©n tö chung : 3x2 – 8x + = x (3x - 8) + đến đây các em phương hướng giải VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 4x4 + 81 - Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi còn vướng mắc, chưa nói đến học sinh trung bình ,yếu các em thật chán nạn,sợ sệt không đủ tự tin là thân làm S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (3) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp đúng vì học sinh chưa hiểu 4x4 + 81 thêm, bớt 36x2 thì bài toán có dạng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên dạng toán nào học sinh cần xem ¸p dông ®îc ph¸p nµo? kÕt qu¶ ®iÒu tra kh¶o s¸t Khi chưa thực đề tài ,tôi đã khảo sát lớp 8A,8B với đề bài sau : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a , 4xy + 3x2y b, x2 - c, x2 +x -2x3 -2 d , 2x2 – 4xy + 2y2 e, (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + Qua bài khảo sát cho thấy số học sinh còn mơ hồ các phương pháp đã học ,quá trình làm bài chưa tự tin sai vấn đề,chưa hợp lí Kết đạt sau: Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB YÕu KÐm SL % SL % SL % SL % SL % 8A 32 3,1 18,8 12 37,5 15,6 25,0 8B 32 3,1 21,9 13 40,6 18,8 15,6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (4) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp b giải vấn đề : i gi¶i ph¸p thùc hiÖn: - Ôn lại cho học sinh số kiến thức cần sử dụng để phân tích đa thức thµnh nh©n tö - Dựa vào các phương pháp đã học ta có thể phân loại các bài toán để học sinh phát , nhận dạng và có hướng giải ,không sai lệch với đề bài đưa , học sinh nhận dạng bài toán yêu cầu là tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt hạng tử hay tách hạng tử đó là sở để học sinh tháo gỡ vấn đề - D¹ng to¸n “ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ” cã thÓ ¸p dông c¸c tiÕt häc trên lớp ,ngoài có thể hướng dẫn các em số phương pháp các buổi học phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu Ii biÖn ph¸p tæ chøc thùc hiÖn pHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường 1.1 – Phương pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp : Tìm nhân tử chung là đơn , đa thức có mặt tất các hạng tử Xem các số hạng đa thức có thừa số chung hay không? Nếu có ta đặt nó làm thừa số đa thức cách đặt nó ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại vào dấu ngoặc (kể dấu chúng).Phương pháp này dựa trên tính chất : A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F) Học sinh phải nắm kiến thức phép nhân phân phối phép cộng b VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = 15a2b2 - 9a3b + a2b3 Với định hướng câu hỏi trên , học sinh tìm thừa số chung các hạng tử là 3a2b §Æt 3a2b lµm thõa sè chung ta ®îc: A = 3a2b (5b – 3a –b2) 1.2 – Phương pháp dùng đẳng thức : S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (5) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp a Phương pháp : Để sử dụng các đẳng thức đưa các đa thức dạng tích các đa thức luỹ thừa đa thức học sinh cần phải thuộc lòng đẳng thúc đáng nhớ và các đẳng thức tổng quát 1, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2, a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Më réng : a2 + b2 + c2+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2 3, a2 - b2 = (a + b)(a - b) 4, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 5, a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 6, (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 7, (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 Sau đó xét xem có thể phân tích đa thức thành thừa số cách sử dụng các đẳng thức trên hay không ? b VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 ë vÝ dô nµy c¸c sè h¹ng cã nh©n tö chung kh«ng? C¸c sè h¹ng cã lËp thµnh h»ng đẳng thức nào không ? Đa thức này có hạng tử,nhận xét xem các hạng tử có đặc điểm gì, từ đó suy nó thuộc đẳng thức nào? 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x - y)3 1.3 – Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : a – Phương pháp : KÕt hîp c¸c h¹ng tö thÝch hîp thµnh tõng nhãm Tiếp tục áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Đối với phương pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử cách thích hợp phân tích thành nhân tử nhóm,từ đó viết đa thức đã cho thành nhân tử b VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (6) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – đa thức này các hạng tử không có nhân tử chung , không lập thành đẳng thức.Vậy nên nhóm các số hạng nào để xuất nhân tử chung mới? 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – = (2x2 – x2z ) + (2y2 – y2z) + (z - 2) = x2 (2 - z) + y2 (2 - z) – – z = (x2 + y2 - 1) (2 z) Ngoài ba phương pháp trên có thể phối hợp đồng thời ba phương pháp để giải 1.4.Phối hợp nhiều phương pháp: a Phương pháp : Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên : -Đặt nhân tử chung – Dùng đẳng thức –Nhãm nhiÒu h¹ng tö b.VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy ë ®a thøc nµy xÐt xem cã thÓ nhãm c¸c sè h¹ng thÝch hîp nµo nh»m lµm xuÊt nhân tử chung dạng đẳng thức 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3x y(x2 - 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy (x2 - 2x +1) (y2 – 2ay – a2) = 3xy (x -1) – (y+ a) (x -1) + (y+ a) = 3xy(x -1)2 – (y- a)2 = 3xy (x -1 – y - a).(x -1 + y+ a) 1.5 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử : a.Phương pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất đẳng thức đặt nh©n tö chung: b.VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2 – 6x + Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng đẳng thức đáng nhớ nào , không thể nhóm các hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiÒu h¹ng tö h¬n C¸ch 1: (T¸ch h¹ng tö thø hai) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (7) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = (x2 - 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4) C¸ch 2: (T¸ch h¹ng tö thø ba) x2 – 6x + = x2 – 6x + – = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 1)( x – + 1) = (x – 4)(x -2) 1.6 Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử : a Phương pháp : Thêm bớt cùng hạng tử thích hợp để làm xuất hiệu hai bình phương hoÆc nh©n tö chung b.VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : x4 + Giáo viên có thể gợi ý : Bằng phương pháp đã học không thể giải thì ta nghĩ đến phương pháp thêm bớt cùng hạng tử 4x2 x4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + ) - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 =( x2 + -2x)( x2 + + 2x) Nhiều với phương pháp thông thường trên chưa đáp ứng yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử Sau đây là số phương pháp đặc biệt Phân tích đa thức thành nhân tử các phương pháp đặc biệt : 2.1 Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) a Phương pháp : Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức đã cho có biểu thức xuất nhiều lần, ta đặt biểu thức làm biến phụ từ đó đưa đa thức đơn giản b.VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : A = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x - 3) – §Æt (x2 + 3x + 1) = y A = y(y - 4) – = y2 + y - 5y - = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5) Thay (x2 + 3x + 1) = y vµo ta cã : A = (x2 + 3x + 2) (x2 + 3x - 4) = (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4) 2.2 Phương pháp xét giá trị riêng: a Phương pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức gán cho các S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (8) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại b.VÝ dô : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x -y) Thay x bëi y th× : P = y2(y - z) + y2(z -y) = Nh vËy P cha thõa sè (x - y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi, đa thức P có thể thay đổi vòng quanh Do đó P đa chứa thừa số (x - y) thì chứa thừa số (y - z)(z -x) VËy P cã d¹ng :k(x - y)(y - z)(z -x) Ta thấy k là số vì P có bậc ba tập hợp các biến x,y,z vì đẳng thức : x2(y - z) + y2(z - c) + z2(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x) đúng với x,y,z Nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng Ch¼ng h¹n : x = 2, y = 1, z= ta ®îc: 4.1 + 1(-2) + = k.1.1.(-2) => k = VËy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x) 2.3 Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp : Ph©n tÝch thµnh tÝch cña hai ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai hay mét ®a thøc bËc ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx2 + dx + m) biến đổi cho đồng hệ sè cña ®a thøc nµy víi hÖ sè cña ®a thøc b.VÝ dô : 1, x3 + 11x + 30 KÕt qu¶ cÇn t×m cã d¹ng : (x + a)(x2 + bx + c) V× (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Nªn x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Ta cã a+b=0 ab + c = 11 ac = 30 Cã thÓ chän: a =2, b = -2, c = 15 lµ bé sè tho· m·n (=> ac = 30) VËy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 - 2x + 15) 2, x3 - 19x – 30 Nếu đa thức này phân tích thành nhân tử thì tích đó phải có dạng : S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (9) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Vì hai đa thức này đồng nên : a+b=0 ab + c = -19 ac = -30 Chọn a = 2, c = -15 đó b = - thoả mãn VËy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) 2.4 Phương pháp tìm nghiệm đa thức : a Phương pháp : Cho ®a thøc f(x),a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(x) = Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tö (x - a) th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc Ta đã biết nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự b VÝ dô : x3 + 3x – NÕu ®a thøc cã nghiÖm lµ a (®a thøc cã chøa nh©n tö x - a) th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng (x2 + bx + c) => - ac = => a lµ íc cña VËy ®a thøc víi hÖ sè nguyªn nghiÖm nguyªn nÕu cã ph¶i lµ íc cña h¹ng tử không đổi Ư(- 4) = 1;1;2;2;4;4 Sau kiÓm tra thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc => §a thøc chøa nh©n tö (x – 1) Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung (x – 1) C¸ch 1: x3 + 3x2 – = x3 - x2 + 4x2 – = x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 – = x3 - + 3x2 – = (x3 - 1) + 3(x2 – 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) +3(x2 – 1) = (x - 1)(x + 2)2 Chó ý 1: -NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× ®a thøc chøa nh©n tö (x - 1) - NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c h¹ng tö bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö (x + 1) VÝ dô: x2 - 5x + 8x – cã : – + – §a thøc cã nghiÖm lµ hay ®a thøc chøa thõa sè (x - 1) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh (10) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp x3 - 5x2 + 3x + cã : -5 + = + §a thøc cã nghiÖm lµ -1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1) NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn nhng ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ có phải có dạng p/q Trong đó p là ước hạng tử không đổi ,q là ước dương hạng tử cao VÝ dô: 2x3 - 5x2 + 8x – NghiÖm h÷u tØ nÕu cã cña ®a thøc trªn lµ :-1 ; ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;…Sau kiÓm tra ta thÊy x = -1/2 lµ nghiÖm cña ®a thøc nªn ®a thøc chøa nh©n tö (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x – = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x – = x2(2x - 1) – 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 2x + 3) Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = anxn + a(n – 1)xn – +…+ ao víi a1 > a2 … an Z NÕu f(x) cã nghiÖm h÷u tØ p/q th× p/a0 > q/an NÕu lµ nghiÖm cña f(x) th× f(x) ph©n tÝch thµnh nh©n tö cã mét h¹ng tö lµ x – a dựa vào hệ định lý Bezout “ NÕu lµ nghiÖm cña f(x) th× f(x) x – a ” Như đa thức bậc 2, bậc mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì đa thức đó không phân tích thành nhân tử PHÇN II : øng dông gi¶i c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi to¸n rót gän biÓu thøc §êng lèi gi¶i : Dựa trên sở tính chất phân thức đại số phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung rút gọn đồng thời tìm TXĐ biểu thức thông qua các nhân tử nằm mẫu Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thµnh nh©n tö vµo lo¹i bµi rót gän , gióp häc sinh thÊy ®îc sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc ph¸t triÓn trÝ th«ng minh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 10 (11) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp VÝ dô : Cho A = ( 2 x 3 x 2 x + ) x3 x2 x 5x a Rót gän b T×nh gi¸ trÞ cña A víi x = 998 Gi¶i : a Rót gän víi x - 2; x - A= ( A= 2 x 3 x 2 x + ) x3 x2 x 5x (2 x)(2 x) (3 x)(3 x) (2 x) ( x 2)( x 3) x2 x2 x (3 x) A= = =( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x2 b TÝnh A víi x = 998 A=- 1 =998 100 Bài toán giải phương trình: * §êng lèi gi¶i Với các phương trình bậc trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng ,vì sau phân tích vế chứa ẩn thì dạng phương tr×nh tÝch : A.B = vµ chØ A = hoÆc B = Ví dụ : Giải phương trình: (4x + 3)2 – 25 = áp dụng phương pháp phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng (4x + 3)2 – 25 = 8(2x - 1)(x + 2) 8(2x - 1)(x + 2) = x =1/2 hoÆc x = -2 áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đưa phương tr×nh vÒ d¹ng : (2x - 1)(x + 2) = => x = 1/2 hoÆc x = -2 Bài toán giải bất phương trình : * §êng lèi gi¶i Với các bất phương trình bậc cao các bất phương trình có chứa ẩn mẫu thì việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử đóng vai trò quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 11 (12) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp (A.B < 0) (A.B > 0) hay bất phương trình thường Ví dụ : Giải bất phương trình a, x2 3x -1> -3 x 1 x 1 Điều kiện : x - và x ,bất phương trình đã cho tương đương với : x x 3x 3x >0 x2 x 1 3x x 3 5 >0 + <0 <0 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 8x <0 ( x 1)( x 1) Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 -1/4 < x < b , x2 – 2x + < Gi¶i : C¸ch 1: x2 – 2x + < (x - 1)2 < x < -3<x–1<3-2<x<4 Cách 2: Biến đổi thành bất phương trình dạng tích : x2 – 2x + < x2 – 2x - < (x + 2)(x - 4) < Sử dụng phương pháp bảng ta có : - < x < 4 Bµi to¸n chøng minh vÒ chia hÕt : * §êng lèi gi¶i Biến đổi đa thức đã cho thành tích đó xuất thừa số có dạng chia hết VÝ dô : Chøng minh r»ng x thuéc Z ta cã biÓu thøc P = (4x - 3)2 – 25 chia hÕt cho Ph©n tÝch : P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hÕt cho Chøng minh r»ng víi n Z th× biÓu thøc n2 n6 n + + lµ sè nguyªn 2n 3n n Biến đổi đưa biểu thức dạng : Vµ chøng minh : (2n + 3n2 + n3) chia hÕt cho 2n + 3n2 + n3 = n(n + 1)(n + 2) lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp v× vËy Ýt nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho 2,mét thõa sè hÕt cho Mµ (2;3) = nªn tÝch nµy chia hÕt cho S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 12 (13) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp n2 n6 n + + lµ sè nguyªn VËy n Z th× C kÕt luËn Trên đây tôi đã hệ thống lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường hay sử dụng bậc trung học sở và bốn loại bài toán áp dụng kỹ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Tuy nhiªn cã mét sè bµi tËp kh¸c (kh«ng ®iÓn hình)có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Với phương pháp và bài tập vận dụng tôi nêu trên đã giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo tìm tòi phương pháp giải nhanh , thông minh Từ các phương pháp và bài tập tôi mong các em không giải bài cách máy móc mà phải biết phân tích đặc điểm bài để xem xét nên vận dụng phương pháp nào vào phân tích Trong quá trình giảng dạy tôi đã và vận dụng cách làm trên đây Tuy nhiên vì đối tượng học sinh là học sinh đại trà nên chủ yếu sâu vào phương pháp thông thường và số phương pháp đặc biệt vào các buổi phụ đạo buổi chiều Khi sử dung các phương pháp đặc biệt giáo viên cần tác động đén đối tượng cho phù hợp, học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ ,học sinh khá ,giỏi nêu nét hướng dẫn theo đường ngắn nhất.có học sinh tích cực tìm tòi và phát huy trí lực mình Với định hướng phân tích tôi thấy số lượng học sinh làm bài tập có tăng và các em cảm thấy tự tin b¾t gÆp c¸c bµi to¸n vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Cô thÓ lµm phiÕu điều tra hai lớp 8A, 8B với đề bài : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a , 2x(y - z) + 5y(y - z) b , 9x2 – c , 2x3 + 2x – 3x2 -3 d , 4x2 + 4x – e , B = 6x4 – 11x2 + KÕt qu¶ cho thÊy : - Học sinh không còn nhầm lẫn các phương pháp - Biết lựa chọn và trình bày phương pháp hợp lí, chặt chẽ - Tù tin ,s¸ng t¹o h¬n lµm bµi S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 13 (14) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp Cô thÓ: Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB YÕu KÐm SL % SL % SL % SL % SL % 8A 32 9,4 10 31,3 15 46,9 6,2 6,2 8B 32 9,4 28,1 15 46,9 9,4 6,2 Qua quá trình viết đề tài, qua học hỏi kinh nghiệm nhiều anh, chị trước tụi mạnh dạn viết lại gì mình đã làm, tuæi nghề sư phạm chưa nhiÒu và thấu đáo.Trong quá trình dạy, đối tượng mà tôi điều chỉnh cho phù hợp với các em, đôi lúc giáo viên phải theo tiếp thu học sinh mà đặt câu hỏi cho dễ hiểu, có thể giúp gợi mở để các em tư Nhưng bài đưa không nên quá dễ, phải có dễ, phải có khó dần, học sinh không nản mà tìm cách để giải bài toán tốt Mục đích tôi là làm nào rút kinh nghiệm cho thân, giúp cho khả dạy học mình nâng cao hơn, giảm thiểu học sinh chán học Đồng thời mong đóng góp chân thành từ các bạn, anh, chị đồng nghiệp, hội đồng khoa học các cấp để tôi có thêm kinh nghiệm quý báu d¹y học Bởi theo tôi nghĩ bất kì đâu, làm bất kì việc gì muốn hoàn thành tốt công việc thì đòi hỏi phải có phương pháp đúng, có rèn luyện, nỗ lực tự phấn đấu vươn lên cỏ nhõn mỡnh Khi d¹y d¹ng to¸n nµy t«i rót cho b¶n th©n mét sè kinh nghiÖm sau : + Cần cố số kiến thức dạy dạng toán này để hộ trở lúc làm bài cho häc sinh + Hệ thống các phương pháp để giải loại toán đó + Hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm tòi, lựa chọn phương pháp phù hợp giải quyÕt bµi to¸n mét c¸ch nhanh chãng S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 14 (15) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp * Qua thực tế để phát huy hiệu và tính khả thi đề tài tôi có các đề xuất vµ kiÕn nghÞ nh sau: 1.Nhà trường,các giáo viên môn cần tăng cường kiểm tra việc học tập và chuẩn bị bµi cña häc sinh mét c¸ch liªn tôc Nhà trường nên tạo điều kiện mở thư viện có nhiều sách tham khảo cho học sinh Khuyến khích khả tự học,tự thành lập câu lạc toán học để thu hút các học sinh yªu to¸n Tổ chức các lớp đào tạo học sinh mũi nhọn ,trang bị phương pháp học toán cho học sinh Tôi xin trân trọng cảm ơn! §¹i Léc, ngµy 20 /3/ 2010 Người thực hiện: NguyÔn ThÞ Quúnh Anh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 15 (16) RÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Lop7.net NguyÔn ThÞ Quúnh Anh 16 (17)