Định nghĩa 1.34. [8, Definition 5.2] Cho H là không gian Hilbert. Một toán tử T ∈ L(H) được gọi là có hạng hữu hạn nếu số chiều của ranT là hữu hạn; toán tửT được gọi là compact nếu ảnh của hình cầu đơn vị trong H qua T là một tập compact trong H. Kí hiệuLF(H) và LC(H) lần lượt là tập các toán tử hạng hữu hạn và toán tử compact trong H.
Mệnh đề 1.22. Toán tử T trong không gian Hilbert H là compact
mạnh (hội tụ theo chuẩn).
Định lý 1.12. Giả sử H là không gian Hilbert hữu hạn chiều. T hế
thì, tập các toán tử có hạng hữu hạn trong H là bao đóng của tập các
toán tử compact trong H.
Hệ quả 1.4. Giả sử H là không gian Hilbert vô hạn chiều và T là
toán tử trong H. Thế thì, T compact khi và chỉ khi ranT không chứa
bất cứ không gian con đóng vô hạn chiều nào của H.
Trong phần này, về sau, ta sẽ giả sử H là vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.35. [8, Definition 5.13] Giả sửH là không gian Hilbert (vô hạn chiều). Thế thì, ta gọi đại số Banach thương L(H)/LC(H) là đại số Calkin. Đồng cấu tự nhiên từ L(H) lên L(H)/LC(H) được kí hiệu là π.
Định nghĩa 1.36. [8, Definition 5.14] Toán tử T trong không gian Hilbert H được gọi là toán tử Fredholm nếu π(T) là phần tử khả nghịch trong L(H)/LC(H). Tập hợp các toán tử Fredholm được kí hiệu là F(H).
Định lý 1.13. [8, Theorem 5.17] Giả sử H là không gian Hilbert.
Toán tử T ∈ L(H) là toán tử Fredholm khi và chỉ khi ranT là đóng,
số chiều kerT hữu hạn, và số chiều kerT∗ là hữu hạn.
Định nghĩa 1.37. [8, Definition 5.19] Giả sửH là không gian Hilbert. Chỉ số lớp j là hàm được xác định từ F(H) vào Z sao cho j(T) = dim kerT −dim kerT∗.
Định nghĩa 1.38. [8, Definition 5.21] Giả sửH là không gian Hilbert và T ∈ L(H). Ta gọi không gian riêng suy rộng ứng với số phức λ, kí hiệu ελ, là tập tất cả các vectơ x ∈ H sao cho (T −λ)nx = 0, với số nguyên n nào đó.
Định lý 1.14. [8, Theorem 5.22] Giả sử K là toán tử compact trong
không gian Hilbert H. Thế thì, σ(K) là tập đếm được với nhiều nhất
0 là điểm giới hạn. Và, nếu λ là phần tử khác không của σ(K), thì λ
là giá trị riêng của K với bội hữu hạn và λ là giá trị riêng của K∗ với
cùng bội. Hơn nữa, không gian riêng suy rộng ελ là hữu hạn chiều và
có cùng số chiều với không gian riêng suy rộng ứng với λ của K∗.
Kết luận
Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của giải tích hàm cũng như những kiến thức cơ sở làm nền tảng trực tiếp cho các khái niệm ở chương sau.
Chương 2
Các toán tử Toeplitz
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, đó là các toán tử Toeplitz cùng các tính chất cơ bản của chúng. Nhưng trước đó, ta sẽ đi khảo sát những khái niệm có mối quan hệ hết sức chặt chẽ tới khái niệm toán tử Toeplitz làC∗−đại số và không gian Hardy. Chúng đóng vai trò cơ sở trực tiếp cho việc định nghĩa khái niệm cũng như nghiên cứu các tính chất của toán tử này.
2.1 C∗-đại số
Định nghĩa 2.1. [8, Definition 4.11] Giả sử A là một đại số. Một xoắn trong A là ánh xạ T →T∗ thỏa mãn
1) T∗∗ = T với mọi T ∈ A ; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2) (αS + βT)∗ = ¯αS∗ + ¯βT∗ với mọi S, T ∈ A và α, β ∈ C;
3) (ST)∗ = T∗S∗ với mọi S, T ∈ A.
Hơn nữa, nếu ||T∗T|| = ||T||2 với mọi T ∈ A thì A được gọi là C∗-đại số.
Ví dụ 2.1. Một đại số con đóng tự liên hợp L(H) với H là không gian Hilbert là một C∗-đại số. Điều này được suy ra từ Mệnh đề 1.16 Tất cả các lớp toán tử khác nhau mà được định nghĩa dựa trên tính liên hợp đều có thể mở rộng cho C∗-đại số. Chẳng hạn, một phần tử T trong C∗-đại số được gọi là tự liên hợp nếu T = T∗, chuẩn tắc nếu T T∗ = T∗T, và đơn nhất nếu T∗T = T T∗ = I.
Mệnh đề 2.1. [8, Proposition 4.23] Nếu H là không gian Hilbert và
A là đại số con Abel cực đại của L(H), thì σ(T) = σA(T), với mọi
T ∈ A.
Chứng minh. Rõ ràng ρ(T) ⊂ ρA(T) với T ∈ A. Nếu λ không thuộc
ρ(T), (T −λ)−1 tồn tại. Vì (T −λ)−1 giao hoán với A và A là Abel cực đại, ta nhận được (T −λ)−1 ∈ A. Do đó λ không thuộc ρA(T) và do vậy ρA(T) =ρ(T).
Hệ quả 2.1. [8, Corollary 4.24] Nếu ϕ ∈ L∞(µ), thì ρ(Mϕ) = R(ϕ).
Chứng minh. Vì M = {Mϕ : ψ ∈ L∞(µ)} là Abel cực đại, nên theo
mệnh đề trên ta suy ra ρM(T) = ρ(T). Vì M và L∞(µ)} là đẳng cự nên ta có ρM(T) = ρL∞(µ)(T) và từ Mệnh đề 1.15 ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.1. [8, Theorem 4.27] Trong một C∗-đại số, phần tử tự liên hợp sẽ có phổ thực.
Chứng minh. Để ý rằng nếu T là một phần tử của C∗−đại số A, thì
bất đẳng thức
dẫn tới ||T|| ≤ ||T∗|| và do đó ||T|| = ||T∗||, bởi T∗∗ = T. Vì vậy, một xoắn trên C∗−đại số là một đẳng cấu.
Bây giờ giả sử H là một phần tử tự liên hợp của A và đặt U = expiH. Thế thì từ tính chất H là tự liên hợp và từ định nghĩa của hàm lũy thừa ta suy ra rằng U∗ = exp(iH)∗ = exp(−iH). Hơn nữa, từ Bổ đề 1.9 ta có
U U∗ = exp(iH) exp(−iH) = exp(iH −iH) = I = exp(−iH) exp(iH) = U∗U
và do đó U là đơn nhất. Hơn nữa, vì 1 = ||I|| = ||U∗U|| = ||U||2
ta thấy rằng ||U|| = ||U∗|| = ||U−1|| = 1, do đó σ(U) chứa trong T. Vì σ(U) = exp(iσ(H)) theo Bổ đề 1.8, ta suy ra rằng phổ của H là thực.
Định lý 2.2. [8, Theorem 4.28] Nếu B là C∗-đại số, A là đại số con đóng tự liên hợp của B, và T là một phần tử trong A, thì σA(T) = σB(T).
Chứng minh. Vì σA(T) chứa σB(T) nên chỉ cần chỉ ra rằng nếu T −λ khả nghịch trong B thì nghịch đảo của nó (T − λ)−1 thuộc vào A. Không mất tổng quát ta giả sử λ = 0. Khi đó, T khả nghịch trong B và do đó T∗T là liên hợp trong A. Vì σA(T∗T) là thực theo định lý trên ta suy ra σA(T∗T) = σB(T∗T). Do đó T∗T khả nghịch trong A và
thuộc vào A.
Mệnh đề 2.2. [8, Proposition 4.67] Nếu A và B là các C∗-đại số và
Φ là đồng cấu-* từ A tới B, thì ||Φ|| ≤ 1 và Φ là đẳng cự nếu và chỉ
nếu Φ là ánh xạ 1-1.
Chứng minh. Nếu H là phần tử tự liên hợp củaA, thìCH là C∗−đại số abel chứa trong A và Φ(CH) là C∗−đại số abel chứa trongB. Nếu ψ là phiếm hàm tuyến tính nhân tính trên bao đóng củaΦ(CH)thìψ◦Φ xác định một phiếm hàm tuyến tính nhân tính trên CH. Nếu ξ được chọn sao cho |ψ(Φ(H))| = ||Φ(H)||, thì ta có ||H|| ≥ |ψ(Φ(H))| = ||Φ(H)|| và do đó Φ là co trên tập các phần tử tự liên hợp của A. Vì vậy với T ∈ A ta có
||T||2 = ||T∗T|| ≥ ||Φ(T∗T)|| = ||Φ(T)∗Φ(T)|| = ||Φ(T)||2
và do đó ||Φ|| ≤ 1.
Tiếp theo, rõ ràng nếu Φ là một đẳng cấu thì nó là ánh xạ 1-1. Bây giờ giả sử Φ không là đẳng cấu và T là phần tử trong A sao cho ||T|| = 1 và ||Φ(T)|| < 1. Nếu ta đặt A = T∗T, thì ||A|| = 1 và ||Φ(A)|| = 1 − ε với ε > 0. Gọi f là hàm trong C([0,1]) thỏa mãn f(1) = 1 và f(x) = 0 với 0 ≤ x ≤ 1 − ε. Khi đó σ(f(A)) = range Γ(f(A)) = f(σ(A)), dẫn tới 1 ∈ σ(f(A)) và vì vậy f(A) 6= 0. Vì Φ là đồng cấu-∗ co, dễ thấy rằng Φ(p(A)) = p(Φ(A)) với mỗi đa thức p và do đó Φ(f(A)) = f(Φ(A)). Lại có ||Φ(A)|| = 1−ε, dẫn tới (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
σ(Φ(A)) ⊂ [0,1−ε] và do đó
σ(Φ(f(A))) =f(σ(Φ(A))) ⊂ f([0,1−ε]) = 0.
Vì Φ(A) là tự liên hợp, ta có Φ(A) = 0. Điều này chứng tỏ Φ không phải là 1-1.
2.2 Không gian Hardy
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu những tính chất khác nhau của các không gian H1, H2 và H∞ để chuẩn bị cho việc nghiên cứu về toán tử Toeplitz ở phần sau.
Với mỗi n ∈ Z ta kí hiệu χn là hàm xác định trên đường tròn đơn vị T := {z ∈ C : |z| = 1} trong mặt phẳng phức định nghĩa bởi χn(eiθ) = einθ. Và với p = 1, 2, ∞, ta định nghĩa không gian Hardy như sau:
Hp = {f ∈ Lp(T) : Z 2π
0
f(einθ)χn(eiθ)dθ = 0, n > 0.
Dễ thấy rằng mỗi Hp là một không gian con đóng của Lp(T) tương ứng, và do đó là không gian Banach. Hơn nữa, vì {χn}n∈Z là cơ sở chuẩn tắc của L2(T), nên H2 là bao đóng với chuẩn trong L2 của tập các đa thức lượng giác P+ := {PN
n=0αnχn : αn ∈ C}. Bao đóng của P+ trong C(T) là đĩa đại số A với không gian ideal cực đại bằng hình tròn đơn vị đóngD. Cuối cùng, nhắc lại rằng biểu diễn của L∞(T) vào L(L∞(T)) được cho bởi ϕ → Mϕ, ở đó Mϕ là toán tử nhân tính xác
định bởi Mϕf = ϕ f với f ∈ L∞(T).
Mệnh đề 2.3. [8, Proposition 6.2] Giả sử ϕ ∈ L∞(T). Thế thì, H2
là không gian con bất biến qua Mϕ khi và chỉ khi ϕ thuộc vào H∞.
Chứng minh. Nếu MϕH2 chứa trong H2, thì ϕ · 1 thuộc vào H2, vì 1 ∈ H2, và do đó ϕ thuộc vào H∞. Ngược lại, nếu ϕ ∈ H∞, thì ϕP+ chứa trong H2, bởi với p= PN
j=0αjχj thuộc P+, ta có Z 2π 0 (ϕp)χndθ = N X j=0 αj ∈20π ϕχj+ndθ = 0, với n > 0.
Cuối cùng, vì H2 là bao đóng của P+, ta suy ra ϕH2 chứa trong H2.
Hệ quả 2.2. [8, Corollary 6.3] Không gian H∞ là một đại số.
Chứng minh. Nếu ϕ và ψ thuộc vào H2, thì MϕψH2 = Mϕ(MψH2) ⊂ MϕH2 theo mệnh đề trên. Điều này chứng tỏ ϕψ ∈ H∞. Vì vậy H∞ là một đại số.
Định lý 2.3. [8, Theorem 6.4] Nếu µ thuộc vào không gian M(T) các
độ đo Borel trên T và R
Tχndµ = 0 với mọi n ∈ Z, thì µ = 0.
Chứng minh. Vì bao tuyến tính của các hàm {χn}n∈Z là trù mật trong C(T)và M(T) là không gian liên hợp củaC(T)nên độ đoµphải tương ứn với hàm không và do đó phải là độ đo không.
Hệ quả 2.3. [8, Corollary 6.6] Nếu f ∈ H1 là hàm lấy giá trị thực,
Chứng minh. Đặt α = (1/2π)R02πf(einθ)dθ. Thế thì α là số thực và Z 2π
0
(f −α)χndθ = 0, n ≥ 0.
Vì f −α có giá trị thực nên ta lấy liên hợp phương trình trên sẽ nhận được Z 2π 0 (f −α) ¯χndθ = Z 2π 0 (f −α)χ−ndθ = 0, n ≥ 0.
Hệ quả 2.4. [8, Corollary 6.7] Nếu cả f và f¯ cùng thuộc H1, thì
f = α, với α nào đó thuộc C. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Áp dụng hệ quả trên cho các hàm giá trị thực 12(f + ¯f) và 12(f −f¯)/i. Các hàm này thuộc H1 theo giả thiết.
Định lý 2.4. [8, Theorem 6.9] Giả sử µ là độ đo Borel dương trên T.
Khi đó, tồn tại một không gian con đóng không tầm thường M của
L2(µ) thỏa mãn χ1M ⊂ M và T
n≥0χ1M = {0} khi và chỉ khi tồn
tại một hàm Borel ϕ sao cho |ϕ|2dµ = dθ/2π và M= ϕH2.
Chứng minh. Nếu µ là hàm Borel thỏa mãn |ϕ|2dµ = dθ/2π, thì hàm
Ψf = ϕf là µ-đo được, với f ∈ H2, và ||Ψf||22 =
Z
T
|ϕf|2dµ = 1
2π ∈20π |f2|dθ = ||f||22.
Vì vậy ảnh M của H2 dưới đẳng cấu Ψ là không gian con đóng của L2(µ) và là bất biến đối với Mχ1, vì χ1(Ψf) = Ψ(χ1f). Cuối cùng, ta
có \ n≥0 χnM= Ψ \ n≥0 χnH2 = 0
và do đó M là không gian con bất biến đơn ứng với Mχ1.
Ngược lại, giả sử M là không gian con bất biến đóng không tầm thường ứng vớiMχ1 thỏa mãn T
n≥0χnM= 0. Thế thì L = M χ1M là không tầm thường và χnL = χnM χn+1M, vì phép nhân bởi χ1 là một đẳng cấu lên L2(µ). Do đó, không gian con P∞
n=0⊕χnL chứa trong M, và M P∞
n=0⊕χnL trở thành T
n≥0χnM và do đó bằng 0. Nếu ϕ là vectơ đơn vị trong L, thì ϕ trực giao với χ1M và do đó trực giao với χnϕ với n > 0, và vì vậy ta có
0 = (ϕ, χnϕ) = Z
T
|ϕ|2χndµ, n > 0.
Kết hợp Định lí 2.3 với Hệ quả 2.3, ta thấy rằng |ϕ|2dµ = dθ/2π. Bây giờ giả sử L có số chiều lớn hơn một và ϕ0 là vectơ đơn vị trongL trực giao với ϕ. Trong trường hợp này, ta có
0 = (χnϕ, χmϕ0) = Z T ϕϕ¯0χn−mdµ, n, m ≥ 0, và vì vậy R Tχkdv = 0 với k ∈ Z, ở đó dv = ϕϕ¯0dµ. Do đó, ϕϕ¯0 = 0 hầu khắp nơi. Kết hợp điều này với sự kiện rằng |ϕ|2dµ= |ϕ¯0|2dµ dẫn tới mâu thuẫn, và do vậy L là không gian một chiều. Vì vậy ta nhận được ϕP+ trù mật trong M và do đó M = ϕH2.
Định nghĩa 2.2. [8, Definition 6.10] Một hàm ϕ trong H∞ được gọi là hàm trong nếu |ϕ| = 1 hầu khắp nơi.
Định lý 2.5. [8, Theorem 6.11] Nếu Tχ1 = Mχ1|H2, thì một không gian con đóng không tầm thường M của H2 là bất biến đối với Tχ1 khi
và chỉ khi M= ϕH2, với ϕ là một hàm trong nào đó.
Chứng minh. Nếu ϕ là hàm trong thì ϕP+ chứa trong H∞. Lại vì H∞
là một đại số do đó sẽ chứa trong H2 nên ϕP+ chứa trong không gian này. Từ ϕH2 là bao đóng của ϕP+ ta suy ra ϕH2 là không gian con đóng bất biến của Tχ1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngược lại, nếu M là không gian con đóng bất biến đối với Tχ1, thì M thỏa mãn giả thiết của định lí với dµ = dθ/2π, và do đó tồn tại hàm đo được ϕ sao cho M = ϕH2 và
|ϕ|2dθ/2π = dθ/2π.
Vì vậy, |ϕ| = 1 hầu khắp nơi, và vì 1 ∈ H2 ta thấy rằng ϕ = ϕ· 1 thuộc H2 nên ϕ là hàm trong.
Định lý 2.6. [8, Theorem 6.13] Giả sử f 6= 0 là hàm trong H2. Thế thì tập hợp {eit : f(eit) = 0} có độ đo không.
Chứng minh. Đặt E = {eit ∈ T : f(eit) = 0} và định nghĩa M= {g ∈ H2 : g(eit) = 0, eit ∈ E}.
Rõ ràng M là khác rỗng vì chứa f. Hơn nữa, nó là không gian con bất biến đối với Tχ1. Vì vậy, theo định lí trên thì tồn tại hàm trong ϕ sao cho M = ϕM2. Bởi 1 ∈ H2 ta suy ra ϕ ∈ M và do đó E chứa trong tập hợp {eit ∈ T : ϕ(eit) = 0}. Vì |ϕ| = 1 hầu khắp nơi nên suy
ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.4. [8, Proposition 6.18] Giả sử ϕ là một hàm trong H∞. Thế thì, ϕ khả nghịch trong H∞ khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho
ˆ
ϕ(z) ≥ε với mọi z thuộc hình tròn mở đơn vị D⊂ C .
Chứng minh. Nếu ϕ khả nghịch trong H∞, thì ϕˆ không triệt tiêu trên không gian compact M∞ và do đó |ϕ(z)| ≥ˆ ε > 0 với mọi z ∈ D. Ngược lại, giả sử |ϕ(z)| ≥ˆ ε > 0 với mọi z ∈ D và đặt ψ(z) = 1/ϕ(z),ˆ thế thì ψ giải tích và bị chặn bởi 1/ε trên D. Vì vậy ψ có khai triển chuỗi Taylor ψ(z) = P∞ n=0anzn mà hội tụ trong D. Vì 0 < r < 1, ta có ∞ X n=0 |an|2r2n = 1 2π Z 2π 0 |ψ(reit)|2dt≤ 1/ε2,
điều này dẫn tới P∞
n=0|an|2 ≤ 1/ε2. Do đó, tồn tại một hàm f ∈ H2 sao cho f = P∞
n=0anχn. Nếu ϕ = P∞
n=0bnχn là khai triển trực giao của ϕ∈ H2, thì ϕ(z) =ˆ P∞ n=0bnzn vớiz ∈ D. Vìϕ(z)ϕ(z) = 1, nênˆ (P∞ n=0bnzn)(P∞ n=0anzn) = 1 với z ∈ D. Do đó, P∞ n=0(Pn k=0bkan−k)zn = 1 với z ∈ D, và vì vậy từ tính duy nhất của chuỗi lũy thừa suy ra Pn
k=0bkan−k bằng 1 với n = 0 và bằng 0 với n > 0. Từ đây và từ sự xác đinh của f và ϕ ta suy ra
1 2π Z 2π 0 ϕf χkdθ = 1 k = 0 0 k 6= 0 ,