2 Các toán tử Toeplitz
2.2 Không gian Hardy
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu những tính chất khác nhau của các không gian H1, H2 và H∞ để chuẩn bị cho việc nghiên cứu về toán tử Toeplitz ở phần sau.
Với mỗi n ∈ Z ta kí hiệu χn là hàm xác định trên đường tròn đơn vị T := {z ∈ C : |z| = 1} trong mặt phẳng phức định nghĩa bởi χn(eiθ) = einθ. Và với p = 1, 2, ∞, ta định nghĩa không gian Hardy như sau:
Hp = {f ∈ Lp(T) : Z 2π
0
f(einθ)χn(eiθ)dθ = 0, n > 0.
Dễ thấy rằng mỗi Hp là một không gian con đóng của Lp(T) tương ứng, và do đó là không gian Banach. Hơn nữa, vì {χn}n∈Z là cơ sở chuẩn tắc của L2(T), nên H2 là bao đóng với chuẩn trong L2 của tập các đa thức lượng giác P+ := {PN
n=0αnχn : αn ∈ C}. Bao đóng của P+ trong C(T) là đĩa đại số A với không gian ideal cực đại bằng hình tròn đơn vị đóngD. Cuối cùng, nhắc lại rằng biểu diễn của L∞(T) vào L(L∞(T)) được cho bởi ϕ → Mϕ, ở đó Mϕ là toán tử nhân tính xác
định bởi Mϕf = ϕ f với f ∈ L∞(T).
Mệnh đề 2.3. [8, Proposition 6.2] Giả sử ϕ ∈ L∞(T). Thế thì, H2
là không gian con bất biến qua Mϕ khi và chỉ khi ϕ thuộc vào H∞.
Chứng minh. Nếu MϕH2 chứa trong H2, thì ϕ · 1 thuộc vào H2, vì 1 ∈ H2, và do đó ϕ thuộc vào H∞. Ngược lại, nếu ϕ ∈ H∞, thì ϕP+ chứa trong H2, bởi với p= PN
j=0αjχj thuộc P+, ta có Z 2π 0 (ϕp)χndθ = N X j=0 αj ∈20π ϕχj+ndθ = 0, với n > 0.
Cuối cùng, vì H2 là bao đóng của P+, ta suy ra ϕH2 chứa trong H2.
Hệ quả 2.2. [8, Corollary 6.3] Không gian H∞ là một đại số.
Chứng minh. Nếu ϕ và ψ thuộc vào H2, thì MϕψH2 = Mϕ(MψH2) ⊂ MϕH2 theo mệnh đề trên. Điều này chứng tỏ ϕψ ∈ H∞. Vì vậy H∞ là một đại số.
Định lý 2.3. [8, Theorem 6.4] Nếu µ thuộc vào không gian M(T) các
độ đo Borel trên T và R
Tχndµ = 0 với mọi n ∈ Z, thì µ = 0.
Chứng minh. Vì bao tuyến tính của các hàm {χn}n∈Z là trù mật trong C(T)và M(T) là không gian liên hợp củaC(T)nên độ đoµphải tương ứn với hàm không và do đó phải là độ đo không.
Hệ quả 2.3. [8, Corollary 6.6] Nếu f ∈ H1 là hàm lấy giá trị thực,
Chứng minh. Đặt α = (1/2π)R02πf(einθ)dθ. Thế thì α là số thực và Z 2π
0
(f −α)χndθ = 0, n ≥ 0.
Vì f −α có giá trị thực nên ta lấy liên hợp phương trình trên sẽ nhận được Z 2π 0 (f −α) ¯χndθ = Z 2π 0 (f −α)χ−ndθ = 0, n ≥ 0.
Hệ quả 2.4. [8, Corollary 6.7] Nếu cả f và f¯ cùng thuộc H1, thì
f = α, với α nào đó thuộc C.
Chứng minh. Áp dụng hệ quả trên cho các hàm giá trị thực 12(f + ¯f) và 12(f −f¯)/i. Các hàm này thuộc H1 theo giả thiết.
Định lý 2.4. [8, Theorem 6.9] Giả sử µ là độ đo Borel dương trên T.
Khi đó, tồn tại một không gian con đóng không tầm thường M của
L2(µ) thỏa mãn χ1M ⊂ M và T
n≥0χ1M = {0} khi và chỉ khi tồn
tại một hàm Borel ϕ sao cho |ϕ|2dµ = dθ/2π và M= ϕH2.
Chứng minh. Nếu µ là hàm Borel thỏa mãn |ϕ|2dµ = dθ/2π, thì hàm
Ψf = ϕf là µ-đo được, với f ∈ H2, và ||Ψf||22 =
Z
T
|ϕf|2dµ = 1
2π ∈20π |f2|dθ = ||f||22.
Vì vậy ảnh M của H2 dưới đẳng cấu Ψ là không gian con đóng của L2(µ) và là bất biến đối với Mχ1, vì χ1(Ψf) = Ψ(χ1f). Cuối cùng, ta
có \ n≥0 χnM= Ψ \ n≥0 χnH2 = 0
và do đó M là không gian con bất biến đơn ứng với Mχ1.
Ngược lại, giả sử M là không gian con bất biến đóng không tầm thường ứng vớiMχ1 thỏa mãn T
n≥0χnM= 0. Thế thì L = M χ1M là không tầm thường và χnL = χnM χn+1M, vì phép nhân bởi χ1 là một đẳng cấu lên L2(µ). Do đó, không gian con P∞
n=0⊕χnL chứa trong M, và M P∞
n=0⊕χnL trở thành T
n≥0χnM và do đó bằng 0. Nếu ϕ là vectơ đơn vị trong L, thì ϕ trực giao với χ1M và do đó trực giao với χnϕ với n > 0, và vì vậy ta có
0 = (ϕ, χnϕ) = Z
T
|ϕ|2χndµ, n > 0.
Kết hợp Định lí 2.3 với Hệ quả 2.3, ta thấy rằng |ϕ|2dµ = dθ/2π. Bây giờ giả sử L có số chiều lớn hơn một và ϕ0 là vectơ đơn vị trongL trực giao với ϕ. Trong trường hợp này, ta có
0 = (χnϕ, χmϕ0) = Z T ϕϕ¯0χn−mdµ, n, m ≥ 0, và vì vậy R Tχkdv = 0 với k ∈ Z, ở đó dv = ϕϕ¯0dµ. Do đó, ϕϕ¯0 = 0 hầu khắp nơi. Kết hợp điều này với sự kiện rằng |ϕ|2dµ= |ϕ¯0|2dµ dẫn tới mâu thuẫn, và do vậy L là không gian một chiều. Vì vậy ta nhận được ϕP+ trù mật trong M và do đó M = ϕH2.
Định nghĩa 2.2. [8, Definition 6.10] Một hàm ϕ trong H∞ được gọi là hàm trong nếu |ϕ| = 1 hầu khắp nơi.
Định lý 2.5. [8, Theorem 6.11] Nếu Tχ1 = Mχ1|H2, thì một không gian con đóng không tầm thường M của H2 là bất biến đối với Tχ1 khi
và chỉ khi M= ϕH2, với ϕ là một hàm trong nào đó.
Chứng minh. Nếu ϕ là hàm trong thì ϕP+ chứa trong H∞. Lại vì H∞
là một đại số do đó sẽ chứa trong H2 nên ϕP+ chứa trong không gian này. Từ ϕH2 là bao đóng của ϕP+ ta suy ra ϕH2 là không gian con đóng bất biến của Tχ1.
Ngược lại, nếu M là không gian con đóng bất biến đối với Tχ1, thì M thỏa mãn giả thiết của định lí với dµ = dθ/2π, và do đó tồn tại hàm đo được ϕ sao cho M = ϕH2 và
|ϕ|2dθ/2π = dθ/2π.
Vì vậy, |ϕ| = 1 hầu khắp nơi, và vì 1 ∈ H2 ta thấy rằng ϕ = ϕ· 1 thuộc H2 nên ϕ là hàm trong.
Định lý 2.6. [8, Theorem 6.13] Giả sử f 6= 0 là hàm trong H2. Thế thì tập hợp {eit : f(eit) = 0} có độ đo không.
Chứng minh. Đặt E = {eit ∈ T : f(eit) = 0} và định nghĩa
M= {g ∈ H2 : g(eit) = 0, eit ∈ E}.
Rõ ràng M là khác rỗng vì chứa f. Hơn nữa, nó là không gian con bất biến đối với Tχ1. Vì vậy, theo định lí trên thì tồn tại hàm trong ϕ sao cho M = ϕM2. Bởi 1 ∈ H2 ta suy ra ϕ ∈ M và do đó E chứa trong tập hợp {eit ∈ T : ϕ(eit) = 0}. Vì |ϕ| = 1 hầu khắp nơi nên suy
ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.4. [8, Proposition 6.18] Giả sử ϕ là một hàm trong H∞. Thế thì, ϕ khả nghịch trong H∞ khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho
ˆ
ϕ(z) ≥ε với mọi z thuộc hình tròn mở đơn vị D⊂ C .
Chứng minh. Nếu ϕ khả nghịch trong H∞, thì ϕˆ không triệt tiêu trên không gian compact M∞ và do đó |ϕ(z)| ≥ˆ ε > 0 với mọi z ∈ D. Ngược lại, giả sử |ϕ(z)| ≥ˆ ε > 0 với mọi z ∈ D và đặt ψ(z) = 1/ϕ(z),ˆ thế thì ψ giải tích và bị chặn bởi 1/ε trên D. Vì vậy ψ có khai triển chuỗi Taylor ψ(z) = P∞ n=0anzn mà hội tụ trong D. Vì 0 < r < 1, ta có ∞ X n=0 |an|2r2n = 1 2π Z 2π 0 |ψ(reit)|2dt≤ 1/ε2,
điều này dẫn tới P∞
n=0|an|2 ≤ 1/ε2. Do đó, tồn tại một hàm f ∈ H2 sao cho f = P∞
n=0anχn. Nếu ϕ = P∞
n=0bnχn là khai triển trực giao của ϕ∈ H2, thì ϕ(z) =ˆ P∞ n=0bnzn vớiz ∈ D. Vìϕ(z)ϕ(z) = 1, nênˆ (P∞ n=0bnzn)(P∞ n=0anzn) = 1 với z ∈ D. Do đó, P∞ n=0(Pn k=0bkan−k)zn = 1 với z ∈ D, và vì vậy từ tính duy nhất của chuỗi lũy thừa suy ra Pn
k=0bkan−k bằng 1 với n = 0 và bằng 0 với n > 0. Từ đây và từ sự xác đinh của f và ϕ ta suy ra
1 2π Z 2π 0 ϕf χkdθ = 1 k = 0 0 k 6= 0 , (2.1)
và do đó ϕf = 1 bởi Hệ quả 2.3. Cuồi cùng, từ tính bị chặn đều bởi 1/εcủa các hàm {fr}r∈(0,1), ở đó fr(eit) = ˆf(reit), và sự kiện
limr→1||f −fr||2 = 0 ta suy ra f ∈ L∞(T). Vì vậy f là nghịch đảo của ϕ ∈ H∞.
Định nghĩa 2.3. [8, Definition 6.19] Một hàm f trong H2 được gọi là hàm ngoài nếu clos[fP+] = H2.
Mệnh đề 2.5. [8, Proposition 6.20] Hàm ϕ trong H∞ là khả nghịch
nếu và chỉ nếu ϕ là khả nghịch trong L∞ và là một hàm ngoài.
Chứng minh. Nếu 1/ϕ ∈ H∞ thì hiển nhiên ϕ khả nghịch trong L∞.
Hơn nữa, từ
clos[ϕP+] = ϕH2 ⊃ϕ(1 ϕH
2
) = h2
ta suy ra ϕ là hàm ngoài. Ngược lại, nếu 1/ϕ ∈ L∞(T) và ϕ là hàm ngoài thì ϕH2 = clos[ϕP+] = H2. Từ đó tồn tại một hàm ψ ∈ H2 sao cho ϕψ = 1 hay là 1/ϕ = ψ ∈ H2. Vì vậy 1/ϕ ∈ H∞ và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.6. [8, Proposition 6.21] Giả sử f là hàm khác không và
thuộc vào không gian H2. Thế thì tồn tại hàm trong ϕ và hàm ngoài
g sao cho f = ϕg. Hơn nữa, f thuộc H∞ khi và chỉ khi g thuộc H∞.
Chứng minh. Nếu ta đặt M = clos[fP+], thì M là không gian con
bất biến đóng không tầm thường ứng với Tχ1 và do đó theo Định lí 2.5 M = ϕH2 với ϕ là hàm trong nào đó. Vì f ∈ M nên tồn tại g ∈ H2 sao cho f = ϕg. Nếu ta đặt N = clos[gP+], thì lập luận như trên tồn tại hàm trong ψ sao cho N = ψH2. Thế thì bao hàm thức fP+ = ϕgP+ ⊂ ϕψH2 dẫn tới ϕH2 = clos[fP+] ⊂ ϕψH2, và do đó phải tồn tại h ∈ H2 sao cho ϕ = ϕψh. Vì ϕ và ψ là các hàm trong
nên suy ra ψ¯ = h và do đó ψ là hằng số theo Hệ quả 2.4. Vì vậy, clos[gP+] = H2 và g là hàm ngoài. Cuối cùng, vì |f| = |g|, ta thấy rằng f ∈ H∞ khi và chỉ khi g ∈ H∞.
Định lý 2.7. [8, Theorem 6.24] Giả sử f là một hàm thuộc L2(T).
Thế thì tồn tại một hàm ngoài g sao cho |f| = |g| hầu khắp nơi khi và
chỉ khi clos[fP+] là một không gian con bất biến đơn đối với Mχ1.
Chứng minh. Nếu |f| = |g| với g là hàm ngoài, thì f = ϕg với ϕ ∈
L2(T) là hàm đơn mô-đun. Từ đó
clos[fP+] = clos[ϕgP+] = ϕclos[gP+] = ϕH2,
hay clos[fP+] là một không gian con bất biến đơn đối với Mχ1.
Ngược lại, nếu clos[fP+] là một không gian con bất biến đơn đối với Mχ1, thì theo Định lí 6.9 tồn tại hàm đơn mô-đun ϕ ∈ L2(T) sao cho clos[fP+] = ϕH2. Vì f thuộc clos[fP+] nên tồn tại một hàm g ∈ H2 sao cho f = ϕg. Theo mệnh đề trên ta suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.5. [8, Corollary 6.25] Nếu f là một hàm thuộc L2(T) thỏa mãn |f| ≥ε > 0, thì tồn tại một hàm ngoài g sao cho |g| = |f|.
Chứng minh. Đặt M = clos[fP+]. Khi đó Mχ1M là bao đóng của
Lại có ||f −f p||22 = 1 2π Z 2π 0 |f|2|1−p|2dθ ≥ ε 2 2π Z 2π 0 1−p|2dθ ≥ ε2,
và do đó f không thuộc Mχ1M. Vì vậy, theo định lí trên M là bất biến đơn và tồn tại hàm ngoài g thỏa mãn điều kiện hệ quả.
Hệ quả 2.6. [8, Corollary 6.28] Bao đóng của P+ trong L1(T) là H1.
Định lý 2.8. [8, Theorem 6.29] Tồn tại một đẳng cấu đẳng cự tự nhiên giữa (H1)∗ và L∞(T)/H0∞.
Chứng minh. Vì H1 chứa trong L1(T) nên tồn tại một ánh xạ co Ψ từ L∞(T) vào (H1)∗ sao cho
[Ψ(ϕ)](f) = 1 2π
Z 2π
0
ϕf dθ, ϕ∈ L∞(T), f ∈ H1.
Hơn nữa, từ định lí Hahn-Banach và đặc trưng của L1(T)∗ ta suy ra với mỗi Φ ∈ (H1)∗ tồn tại một hàm ϕ ∈ L∞(T) sao cho ||ϕ||∞ = ||Φ|| và Ψ(ϕ) = Φ. Do vậy Ψ là ánh xạ lên và cảm sinh một đẳng cấu đẳng cự của L∞(T)/kerΨ lên (H1)∗.
Tiếp theo ta sẽ xác định nhân của Ψ. Nếu ϕ ∈ kerΨ thì 1
2π Z 2π
0
ϕχndθ = [Ψ(ϕ)](χn) = 0, n ≥ 0,
vì mỗiχn ∈ H1 nên ϕ ∈ H0∞. Ngược lại, nếu ϕ∈ H0∞ thì [Ψ(ϕ)](χn) = 0 với mỗi p ∈ P+ do đó thuộc kerΨ theo hệ quả ngay trên.
2.3 Các toán tử Toeplitz
2.3.1 Định nghĩa 2.3.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 2.4. [8, Definition 7.2] Giả sử P là phép chiếu từ L2(T) lên H2. Với ϕ ∈ L∞(T), toán tử Toeplitz Tϕ ánh xạ không gian H2 vào chính nó được định nghĩa bởi
Tϕ(f) = P(ϕf), ∀f ∈ H2.
Ví dụ 2.2. Xét một cơ sở chuẩn tắc {χn : n ∈ Z+} của không gian H2. Giả sử ϕ là hàm trong L∞(T) với các hệ số Fourier ϕ(n) =ˆ (1/2π)R02πϕχ−ndt. Khi đó ma trận (amn)m, n∈Z+ của toán tử Toeplitz Tϕ ứng với cơ sở chuẩn tắc đã cho là
amn = (Tϕχn, χm) = 1 2π Z 2π 0 ϕχn−mdt = ˆϕ(m−n). 2.3.2 Định lý bao hàm phổ
Ta bắt đầu việc nghiên cứu bằng cách chỉ ra vài tính chất cơ bản của ánh xạ ξ từ L∞(T) vào L(H2) định nghĩa bởi ξ(ϕ) =Tϕ.
Mệnh đề 2.7. [8, Proposition 7.4] Ánh xạ ξ là ánh xạ co ∗−tuyến tính.
Chứng minh. Dễ thấy ξ là co và tuyến tính. Lấy f, g ∈ H2. Ta có,
(Tϕ¯(f), g) = (P( ¯ϕf), g) = (f, ϕg) = (f, P(ϕ)g) = (f, Tϕg) = (Tϕ∗f, g).
Mệnh đề 2.8. [8, Proposition 7.5] Nếu ϕ ∈ L∞(T) và σ và ϕ là
những phần tử trong H∞ thì
TϕTψ = Tϕψ, và TθTϕ = Tθϕ.
Chứng minh. Nếu f ∈ H2 thì ϕf ∈ H2 theo Hệ quả 2.3 và do đó
Tϕ(f) =P(ϕf) = ϕf. Vì vậy,
TϕTψf = Tϕ(ψf) =P(ϕψf) = Tϕψf, hay TϕTψ = Tϕψ. Lấy liên hợp đẳng thức trên ta sẽ nhận được đẳng thức thứ hai. Mệnh đề 2.9. [8, Proposition 7.6] Nếu ϕ là một hàm trong L∞(T)
sao cho Tϕ khả nghịch, thì ϕ khả nghịch trong L∞(T).
Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 2.1 chỉ cần chứng minh rằng nếu Tϕ
khả nghịch thì Mϕ cũng khả nghịch. Nếu Tϕ khả nghịch thì tồn tại một số ε > 0 sao cho ||Tϕf|| ≥ ε||f|| với mọi f ∈ H2. Vì vậy với mỗi n∈ Z và f ∈ H2 ta có
||Mϕ(χf)|| = ||ϕχf|| = ||ϕf|| = ||P(ϕf))|| = ||Tϕf|| ≥ ε||f|| = ε||χf||.
Vì tập {χf : f ∈ H2, n ∈ Z} là trù mật trong L2(T) nên suy ra ||Mϕg|| ≥ ε||g|| với mọi g ∈ L2(T). Tương tự, bởi Tϕ¯ = Tϕ∗ cũng khả nghịch nên ||Mϕ¯|| ≥ϕ||f||. Vì vậyMϕ khả nghịch theo Hệ quả 1.1. Hệ quả 2.7. [8, Corollary 7.7] Nếuϕthuộc L∞(T) thì R(ϕ) =σ(Mϕ) ⊂ σ(Tϕ).
Chứng minh. Vì Tϕ − λ = Tϕ−λ với mọi λ ∈ C nên theo mệnh đề trên ta có σ(Mϕ) ⊂ σ(Tϕ). Lại theo Hệ quả 2.1 ta có đẳng thức R(ϕ) = σ(Mϕ). Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.8. [8, Corollary 7.8] Ánh xạ σ là một đẳng cấu từ L∞(T)
vào L(H2)
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.13 và Hệ quả 2.1 và 2.7 ta có với
ϕ ∈ L∞(T) thì
||ϕ||∞ ≥ ||Tϕ|| ≥ r(Tϕ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(Tϕ)} ≥sup{|λ| : λ ∈ R(ϕ)}= ||ϕ||∞.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
2.3.3 Phổ của toán tử liên hợp và của toán tử giải tích Định nghĩa 2.5. Nếu S là một tập con của L∞(T), thì ta kí hiệu E(S)
là đại số con đóng nhỏ nhất của L(H2) mà bao hàm {Tϕ : ϕ∈ S}.
Định lý 2.9. [8, Theorem 7.11] Nếu C là một ideal giao hoán trong
E(L∞(T)), thì ánh xạ ζc : L∞(T) → E(L∞(T))/C cảm sinh cảm sinh
bởi ζ là một đẳng cấu đẳng cự-*. Do đó tồn tại một dãy khớp ngắn
(0) → C →E(L∞(T)) →L∞(T) →(0).
tron ϕ1, ϕ2 ∈ và ψ1, ψ2 ∈ H∞ ta có
ζ(ψ1ϕ¯1)ζ(ψ2ϕ¯2)−ζ(ψ1ϕ¯1ψ2ϕ¯2) = Tψ1ϕ¯1Tψ2ϕ¯2 −Tψ1ϕ¯1ψ2ϕ¯2 = Tϕ∗1(Tψ1Tϕ∗2 −Tψ1ϕ¯2)Tψ2
= Tϕ∗1(Tψ1Tϕ∗2 −Tϕ∗2Tψ1)Tψ2.
Vì Tψ1Tϕ∗2 −Tϕ∗2Tψ1 là giao hoán và C là một ideal nên toán tử cuối cùng nằm trong C. Vì vậy ζc là nhân tính trên đại số con
{ψϕ¯: ψ ∈ H∞, ϕ là hàm trong }
của L∞(T) và từ sự trù mật của đại số này trong L∞(T) ta suy ra ζc
là đồng cấu-*.
Tiếp theo sẽ chỉ ra rằng||Tϕ+K|| ≥ ||Tϕ||vớiϕ ∈ L∞(T)và K ∈ C. Thật vậy, cố định ε > 0 và gọi f là hàm trong H2 sao cho ||f|| = 1 và ||Tϕf|| ≥ ||Tϕ|| −ε. Nếu ϕf = g1 + g2, ở đó g1 ∈ H2 và g2 trực giao
