Đ ịnh lý 2.6.2. Cho P\ VCI Pi là các phép chiếu trên không gian H ilbert H. Khi đó:
(a) Hiệu p — P2 — P\ là m ột phép chiếu trên H khi và chỉ khi Y\ c Yi, ở đây
Yj = Pj( H) .
(b) Nếu p = Pi — P\ là phép chiếu, thì p chiếu H lên Y, ở đây Y là phần bù trực
giao của Y\ trong Yn.
Chứng minh, (a) Nếu p — P2 - P\ là một phép chiếu, p — p 2 bởi 2.5.1, ta có
P i - P i = (Pĩ - P I Ỹ = P Ỉ - P2P\ - P í P 2 +PỈ-
M à p ị = p2 và p f = P\ bởi 2.5.1. Do đó
(6) Pl P2 + P2Pi = 2 P l .
Nhân cả hai vế của (6) với P2 ta được
Pi P\ Pi + P2 P\ — ^-PiP\
Do đó P2P\ Pi — P iP \, PiP\ P2 — P\ Pi, và theo (6) ta có (7) />2P, = P i P2 = Pĩ . Y\ c Y2 được suy ra từ Định lý 2.6.1.
Ngược lại, nếu Y\ c Y2, Định lý 2.6.1 cho ra (7), Từ đó suy ra (6) và ta thấy p là lũy đẳng. Vì P], p2 là tự liên hợp, nên p — p2 — P\ là tự liên hợp, và p là phép chiếu bởi 2.5.1.
(b) Y = P( H) gao gồm các vectơ của công thức
(8) y — Px — P2X — P\X, X G H.
Vì Y\ c V2 bởi phần (a), nên ta có PiPì — P\ bởi (1) và từ (8) ta có
p2y = p ị x — P2P\X = piX — P\ X = y.
Suy ra y G Y2. Từ (8) va (1) ta có
P\ y — P\ P2X — PịX — P\ X — P\ X — 0.
Suy ra y G (p) = Yị1-, và y G V, trong đó V = Y2 n Fj1 . Vì y G Y tùy ý, nên Y c V.
Ta thấy rằng Y D V . Vì phép chiếu của H lên Kị1 là I — P\ (mục 2.5), nên với 1)G V ta có công thức (9) V = ự - P ) y 2, (y2 e Y 2). Ta sử dụng P2P\ — P\ , vì P2J2 = y i, từ (9) ta có P v = (P2 - P i ) ( l - P i ) y 2 = {P2- P ĩ P ì - P i + P Ỉ ) y2 - y i - P \ y2 = v.
Suy ra D G Y . Vì V 6 V tùy ý, nên Y D V và Y — P ( H) = V = Y2 n F]1 . □ Từ định lý ta có hệ quả cơ bản về sự hội tụ của một dãy đơn điệu tăng của phép chiếu. (Một định lý tương tự về phép chiếu của một dãy đơn điệu tăng).