Từ phần 2.5, mục đích của chúng ta là một phép biểu diễn của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian H ilbert trong điều kiện toán tử đơn giản (phép chiếu), các tính chất của chúng được nghiên cứu để có được thông tin về các toán tử phức tạp hơn. Một phép biểu diễn như thế được gọi là một phép biểu diễn phổ của toán tử. Toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — y H cho trước, ta sẽ biểu diễn phổ của T bằng cách sử dụng một họ thích hợp của phép chiếu, nó được gọi là họ phổ liên kết với T. Trong phần này chúng ta tìm hiểu khái niệm của một họ phổ nói chung, nghĩa là, không liên kết với toán tử T cho trước. Sự liên kết của một họ phố thích hợp với một toán tử T cho trước sẽ được xét riêng trong phần sau, và kết quả biểu diễn phổ của T trong phần 2.9.
Định nghĩa họ phổ có thể có được cả trong trường hợp chiều hữu hạn như sau. Cho T : H — » H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian unitary
H — C ” . Thì T là bị chặn và ta có thể chọn một cơ sở cho H và biểu diễn T theo
một ma trận Hermitian kí hiệu là T. Phổ của toán tử bao gồm các giá trị riêng của ma trận này và nó là số thực bởi 2.1.1. Đ ể đơn giản, ta giả sử ma trận T có n giá trị riêng khác nhau Ằ| < Xi < • • • Xn. Khi đó định lý 2.1.1 (b) suy ra T có một tập n vectơ riêng trực giao
X \ . X 2 5 5 Xfị
cột. Đây là cơ sở của H, với X e H ta có một biểu diễn duy nhất
x = L Yjxí’
j= I
( 1 ) Ỵ j = ( x , X j ) = X T X j .
Trong công thức (1), ta có công thức thứ hai từ công thức thứ nhất bằng cách đưa tích trong (x,xk), với Xk cố định, và sử dụng tính trực giao. Bản chất của (1) là Xj là vectơ riêng của T, sao cho T xj — ẰjXj. Vì vậy, nếu ta áp dụng T vào (1) ta có
(2) T x — Xj Ỵ j X j .
7=1
Do đó, vì T tác động lên X bằng phương pháp đơn giản, nên T tác động lên từng số hạng của tổng (1). Điều đó chứng tỏ ưu thế lớn của việc sử dụng các vectơ riêng trong việc nghiên cứu toán tử tuyến tính trên t ì — c n.
Từ công thức (1) ta có thể xác định một toán tử
P j : H — > H
( 3 ) X 1— > Ỵ j X j .
RÕ ràng, Pị là phép chiếu (phép chiếu trực giao) của H lên không gian riêng của T tương ứng với Ảj. Công thức (1) được viết thành
(4) x = ỵh Pjx do đó / = Pj
j= 1 7=1
trong đó I là toán tử đồng nhất trên H. Công thức (2) trở thành
(5) T x = ỵ í ẢjPj x do đó T = ỵ j ẢjPj.
j=\ j=i
Đó là một phép biểu diễn của T trong phép chiếu. Nó cho thấy phố của T được sử dụng để biểu diễn T trong điều kiện toán tử đơn giản.
ứ n g dụng của phép chiếu Pj hoàn toàn tự nhiên và hình học rõ ràng. Nhưng công thức hiện tại sẽ không phù hợp với trường hợp tổng quát với không gian Hilbert có chiều vô hạn H vì trong trường hợp đó, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn có thể phức tạp, như chúng ta đã biết. Ta sẽ mô tả cách tiếp cận khác, nó kém rõ ràng nhưng thuận lợi cho việc khái quát trường hợp chiều vô hạn.
Thay thế phép chiếu P\ , • • •, pn bằng tổng của các phép chiếu đó. Chính xác hơn, với số thực Ằ bất kì ta xác định
(6) Ek = Ỵ đ Ph ( Ằ e R ) .
Đó là một họ tham số của phép chiếu, Ằ là tham số. Từ (6), với Ằ bất kì, ta có toán tử
Eỵ là phép chiếu của H lên không gian con Vx được mở rộng bởi các X j với Ằj < Ằ. Từ đó ta có
VẢ c v „ (Ằ ắ ụ).
Vì Ằ chạy trên R theo chiều dương, Ex phát triển từ 0 đến I, sự phát triển xảy ra ở các giá trị riêng của T và phần còn lại Eỵ không thay đổi với Ằ trên đoạn bất kì, nghĩa là các giá trị riêng tự do. Do đó Ex có các tính chất
E ẢE ^ = EI1EẢ = E Ả nếu Ằ < ỊẦ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
o II kT nếu Ằ <c Ằ| E , = / nếu Ằ ^ Ằ n £ Ằ+0 = lim Eị, = EXì jU-»Ằ+0
trong đó n — > Ằ + 0 nghĩa là ta cho ỊẤ tiến tới Ằ từ phía phải. Từ đó ta có định nghĩa
Đ inh n ghĩa 2.7.1. M ột họ phô thực là một họ tham s o fê — [Ex )xzR của phép chiếu Eỵ xác định trên không gian H ilbert H (có chiều bất kì) nó phụ thuộc vào một tham
số thực Ằ sao cho (7) do đó EẢEỊX= E ^ E x = E x (Ằ < jU) (8a) lim Eỵ x — 0 Ằ—»— (8b ) lim E ^ x — X Ằ—>+oo (9) EM = \\m Eịlx = Ex x ( x e H ) . ¿i->Ằ+o
Từ định nghĩa này ta thấy rằng một họ phổ có thể được xem như một ánh xạ R — »
với mỗi Ằ G R có tương ứng một phép chiếu E ị e trong đó B ( H , H ) là không gian của các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H.
Chú ý rằng hai điều kiện của (7) là tương đương, bởi 2.6.1. ^ được gọi là họ phổ trên một đoạn [a,b] nếu
Các họ như thế đặc biệt thú vị vì phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn nằm trên một đoạn hữu hạn trên đường thẳng thực. Từ (8*) suy ra (8).
Trong (9), ỊẤ — * Ằ + 0 chứng tỏ rằng, trong giới hạn ta chí xét giá trị ụ, > Ằ và Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem xét toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn bất kì cho trước trên không gian H ilbert tùy ý có thể liên kết với một họ phổ, nó được sử dụng cho việc biểu diễn T bằng một tích phân Riemann-Stieltjes. Nó được hiểu như một phép biểu diễn phổ được nói đến từ trước.
Khi đó ta cũng thấy rằng, trong trường hợp chiều hữu hạn được xét ở phần đầu của mục này, sự biểu diễn tích phân rút gọn tới một tổng hữu hạn, nghĩa là, (5) được viết bằng các số hạng của họ phổ (6). Đ ể đơn giản, chúng ta đã giả sử các giá trị riêng Ằ | ,• • • ,Xn c ủ a T là phân biệt, và Ằị < Ằ2 < • • • < Ằ,?. Khi đó ta có
(8*) E ị —0 với Ằ < a, E A — I với Ằ ^ b.
Ằ I—V Eỵ là toán tử mạnh liên tục phải.
EẢ] = P\
£ằ2 — ^ 1 + ^ 2
-- 1" Pn •
Do đó, Ngược lại,
j = 2, - " Vì Ex còn lại giống với Ằ trong nửa đoạn [Xj-1, Ằý), nó được viết
Pj ~ ¿ V o -
(4) trở thành
n n
x = ĩ , pj x = ỵ ề (£ a7- - E X._ữ)x
và (5) trở thành
T x = ỵ , h pJx E ẰẢ EXj - EẢj-o)x-
7=1 7=1
Nếu ta giảm thấp X và viết
õEx — E Ả —Ex_ 0.
Từ đó dẫn tới
(10) T = ị t X j 8 E Xj.
7=1
ĐÓ là sự biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp T với các giá trị riêng Ằ| < Ằ2 < • • • < Ản trên không gian H ilbert n-chiều H. Biểu diễn đó cho thấy, với X, y e H bất kì ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(11) (:T x , y> = £ Xj ( ô E Ảjx , y\ .
7=1
Ta chú ý rằng, công thức (11) có thể được viết như một tích phân Riemann-Stieltjes
(12) (Tx, y) = I Xdw( X)
J —oo
trong đó, w(Ằ) = (Ex x, y)
Chúng ta quan tâm đến toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian hữu hạn chiều, để chuẩn bị cho trường hợp không gian Hilbert tùy ý được xét trong phần sau.