Khi đó các tính chất sau là tương đương:
(1) Toán tử T là tự liên hợp.
(2) Toán tứ đó là đóng và Ker (T* + i) = Ker (T* — ỉ) = {0}, ở đây các hạt nhân dĩ nhiên là không gian con của D (T*).
(3) Ta có Im (T + i) = Im (T — i) = H , ở đẫy ảnh dĩ nhiên có liên hệ với ảnh của không gian con D (T).
Vấn đề ở đây là (2) cần thiết nhiều hay ít khi ta hy vọng một toán tử tự liên hợp không có bất cứ một giá trị riêng không thực nào; mặc dù vậy, thực tế rằng điều đó là đủ để ứng dụng (2) hoặc (3) đã được sử dụng trong thực hành. Chẳng hạn như (2) rất tiện để chỉ ra rằng một
to á n tử là không tự liên hợp: nó đủ để trìn h b ày m ộ t p h ầ n tử V G H nằm trong D (T *), và với T*v = ỉv hay —ỉv (xem trong ví dụ ở phần sau). Ngoài ra, nếu ta có thể giải phương trình T v ± ỉ v = UJ với UJ £ H , với một nghiệm trong D (T), khi đó T là tự liên hợp (giả sử rằng nó đã đối xứng); Điều này rất hữu ích bởi điều kiện này không đưa ra rõ ràng với bản chất của T*.
B ổ đ ề 3.3.12. Cho H là một không gian Hilbert và (D ( T ) , T) £ DD* (H) một toán tử đối xứng đóng. Khi đó:
(1) Cấc không gian con Im (T + ỉ) và Im (T — ỉ) là đóng trong H . (2) Ta có
Ker (T* + i ) = ỉ m { T - i)1-, Ker (T* - ỉ) = Im (T + ỉ)1-.
Chứng minh. (Xem [6J để biết thêm chi tiết).
(1) Ta chứng minh Im (T — ì) là đóng, các trường hợp khác chứng minh tương tự. Với V e D (T), ta chú ý rằng
ỊỊ(T — ỉ) v\\2 = ( T v - i v , T v - ỉ v ) = \\Tv\\2 + \\v\\2
bởi tính đối xứng của T. Bây giờ nếu üJn = (T — ì) v n là một dãy trong Im (T — ỉ) hội tụ tới uiữ e H, công thức này áp dụng cho v n — v m để chỉ ra rằng các dãy (vn) và (T vn) đều là dãy hội tụ Cauchy trong H, do đó (vn, T v n) hội tụ đến (v0, v'0). Vì T được giả sử đóng, ta có v0 e D (T) và v'0 = T v 0, và do đó
60n = T v n - ivn ->• v'ữ - iv0 = (T - ỉ) Vq,
chỉ ra rằng giới hạn cư0 thuộc về Im (T — i) như ta muốn.
(2) Ta có (T — i)* = T* + i định nghĩa trên D (T*) (do bổ đề 3.3.10).
Quan hệ cơ bản
( ( T - i) v ,c ư ) = (v,(T* + i)ủư), V € D (T) , u € D (T*) (3.6) cho ta ngay Ker (T* + ợ) c Im(T — i)"1. Bất đẳng thức ngược lại giữ nguyên khi D (T) là trù mật, do đó (với Lủ £ D (T*)) sụ triệt tiêu của vế
trá i (3 .6 ) với V G D (T ) d ẫn đ ến (T* + ¿) CƯ = 0. □
Chứng minh mệnh đề 3.3.11. Trước hết ta chứng minh rằng (1) dẫn đến (2). Đầu tiên, nếu T là tự liên hợp, nó là đóng, và hơn nữa nếu V € D (T*) = D (T) thỏa mãn T* (V) = iv, ta được T v = iv bởi sự tự liên hợp, và
i\\v\\2 = ( T v , v ) = {v , T v) = — i\\v\\2
vì vậy V = 0. Cũng đúng như vậy, nếu T*v = —iv, bằng phép toán tương tự.
Tiếp theo ta giả sử rằng (2) đúng. Khi đó theo bổ đề trước ta có Im (T — ¿)là đóng. Phần thứ hai cũng chỉ ra rằng
0 = Ker (T* + i) = Im (T — i)"1,
nghĩa là (T — i) = H. Tính chất toàn ánh của T + ỉ được chứng minh tương tự.
Còn lại ta sẽ chứng minh (3) kéo theo (1), là phần chủ yếu. Bằng tính chất đối xứng của T, ta biết T c T*, vì vậy ta phải chỉ ra D (T*) = D (T).
Cho ĩJ Ê D (T*), điều giả sử (3) cho ta
(T + i) UJ = (T + i) V
với V £ D (T). Khi T c T* cho ta (T* + ỉ) {ui — v) = 0. Lại bằng (3.6),
ta cú V — Lỳ Ê Im (T — i) _L = 0, v ỡ vậy ĩJ — V e D (T), ta cú đ iều p h ải
chứng minh. □
N h ậ n x é t 3.3.13. Phần chứng minh chỉ ra rằng không có trường hợp riêng đặc biệt nào trong việc sử dụng T ± ỉ\ Có những mệnh đề tương
tự với ± ĩ được thay thế bởi A, A với A € c cố định mà không thực, cũng phù hợp.
Tương tự, ta có:
M ệ n h đ ề 3.3.14. Cho H là một không gian Hilbert và (D (T) , T) £ DD* (H) là một toán tứ đối xứng. Khi đó các tính chất sau là tương đương:
(1) Toán tử T là tự liên hợp thiết yếu (essentially self-adjoint).
(2) Ta có Ker (T* + i) = Ker (T* — i) = 0, ở đẫy cấc nhân dĩ nhiên là không gian con của D (T*).
(3) Các không gian con Im (T + i) và Im (T — i) là trù mật trong H . Chứng minh. Ta chứng minh (1) kéo theo (2): nếu T là tự liên hợp, ta có T* = T* = T, vì vậy mệnh đề trước cho ta Ker (T* ± i) =
K er (t* ± í ) = 0.
(2) kéo theo (3): áp dụng lại phần 2 của bổ đề 3.3.12.
(3) kéo theo (1): Điều giả sử cho ta Im (T ± ỉ) trù m ật trong H, và bổ đề 3.3.12, (1) kéo theo Im (T ± ỉ) là đóng, vì vậy ta có thể áp dụng
kết quả tương ứng của mệnh đề 3.3.11 cho T. □
Bổ đề dưới đây là ví dụ về ứng dụng cơ bản nhất của tiêu chuẩn này:
B ổ đ ề 3.3.15. Cho (X, ụ) là một không gian độ đo hữu hạn, và (D (Mg), Mg) là một toán tứ nhân trên L 2 với một số hàm giá trị thực đo được g : X —ằ■ R thỡ (D (Mg) , Mg) là toỏn tử tự liờn hợp thiết yếu.
Chứng minh. Rõ ràng với g là giá trị thực, Mg là đối xứng. Bây giờ ta sẽ sử dụng phần (3) của mệnh đề 3.3.11 để chỉ ra nó là tự liên hợp. Xét các toán tử Mg ± ĩ, là M h với h = g ± ỉ. Nếu ip € L 2 (X , ịì) là tùy ý, ta có
(p = hifi,
với ipi (X) = ip (x) / h (X): hàm này được định nghĩa rõ ràng khi h khác 0 (vì g là giá trị thực). Bây giờ ta khẳng định rằng (Pi € D (Mh) = D (Mg), mà khi đó cho ta tp = M hipi e Im (Mh), chỉ ra tính chất toàn ánh ta cần.
Khẳng định này rất dễ dàng kiểm tra: Khi 1
h (X) 1 + Ì9(x)\2
ta có <fi e L 2 (X,n); Ngoài ra, ta có hípi = ip £ L 2 {X,ịi) vì vậy (f 1 e
D (Mh) = D (Mg). □