Bây giờ ta tiến tới định nghĩa cho sự liên hợp của các toán tử không bị chặn. Trước hết ta phải tìm câu hỏi cho miền. Ta muốn có
(Tv,u>) = (v,T*w) (3.2)
Nói riêng điều này còn có nghĩa là
( T v , u ) ô ||T*u|| IMI,
kéo theo V !->■ (Tv,oj) thực tế là liên tục trên D (T), và do đó có thể mở rộng bởi tính liên tục đến toàn bộ H (bởi một cách duy nhất, khi D (T) là trù m ật). Điều đó cảm hứng cho việc đưa ra định nghĩa sau đây:
Đ ịn h n g h ĩa 3.3.1. Cho H là một không gian Hilbert và (D (T) , T) € D D (H). Miền của toán tử liên hợp D (T*) được định nghĩa là tập của U) e H sao cho ánh xạ tuyến tính
liên tục, hay nói cách khác có UI sao cho A* mở rộng duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính À* ẽ H'\ Nói cách khác tồn tại một hằng số
Toán tử liên hợp là ánh xạ tuyến tính
Ị D (T*) -> H
í CƯ I—> véctơ duy nhất T*U) sao cho À* (t>) = (v, T*U)),
ở đây sự tồn tại của véctơ được cho bởi Định lý Riesz cho không gian Hilbert.
Từ định nghĩa ta thấy rằng quan hệ (3.2) giữ cho V e D (T) ,CJ € D (T*) như mong muốn. Bằng trực quan, miền D (T*) do đó là tập trải rộng của "các tọa độ" mà toán tử T thực tế liên tục. Từ mô tả này, chưa rõ ràng khi mà D (T*) trù m ật trong H hoặc không. Nếu là như vậy, thì ta có một toán tử xác định trù m ật (D (T* ), T*) e D D (H), mà dĩ nhiên được gọi là liên hợp của (D ( T ) , T). Nhưng thực tế thì có thể sẽ có trường hợp D (T*) không trù mật.(Xem [6] để biết thêm chi tiết).
V í d ụ 3.3.2. Cho H = L 2 (R), và xét toán tử được xác định trù m ật
với ip0 là phần tử bất kỳ trong H, chẳng hạn (X) = e 7rx2. Cho ĩp € H, ta có Ip € D (T*) nếu ánh xạ tuyến tính
D (T) —>• c
V (T v ,uj)
|(Ti>,íd)| ^ c IHI , với V £ D ( T ) .
Ị T ( ^ ) ^ d t
R
liên tục trên D (T). Nhưng
Ki> (ỳ) = V (t) dtj t o , v>>,
và ta thấy nó liên tục (trong chuẩn L 2) nếu và chỉ nếu tích trong (<£>0j I p )
triệt tiêu, vì thế D (T*) = <^Q không trù m ật trong H.
Điều đó cho thấy rằng điều kiện D (T*) là trù m ật thường được thỏa mãn. Ta sẽ ký hiệu DD* (H) là tập các toán tử được xác định trù m ật trên H với D (T*) là trù mật. Ta có bổ đề sau:
B ổ đ ề 3.3.3. Cho (D ( T ) , T ) là một toán tử xác định trù mật trên không gian Hilbert H . Khi đó T e DD* (H) nếu và chỉ nếu T là khả đóng.
Đây là phần (2) của mệnh đề dưới đây, nói về tính chất của sự liên
h ợ p v à m i ề n c ủ a c h ú n g :
M ệ n h đ ề 3.3.4. Cho H là một không gian Hilbert và cho (D (T) , T) e D D (H). Ký hiệu (D (T*) , T*) là liên hợp của T, mà được định nghĩa trên tập con không nhất thiết phải trù mật D (T*).
(1) Dồ thị r (T*) là đóng trong H X H . Nói riêng, nếu T* được xác định trù mật, nó là đóng.
(2) Tập con D (T*) là trù mật trong H nếu và chỉ nếu T là khả đóng.
(3) Nếu T là khả đóng, thì T** = (T*Ỵ nằm trong D D (H) và T** — T là bao đóng của T, trong khi T* = T*.
(ị) Nếu Ti và T2 là các toán tử được xác định trù mật với Ti c T2, ta có T2* c Ti*.
Chứng minh. (1) Bởi định nghĩa r (T*) là tập của (v,ív) e H X H sao cho V € D (T *) và UJ = T*v. Hai điều kiện này nghĩa chính xác là, với
m ọ i X e D (T) t a có
{T x, V) = (X, uj) . (3.3)
T hật vậy, đây là định nghĩa liên quan đến (3.2) nếu (V,UJ) € r (T*), nhưng cũng trái lại: Nếu (3.3) giữ với mọi X £ D (T), bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng
I(Tx, v)| ^ ||cưII ||a;||
để cho V e D (T*), và từ (3.3), ĩJ = T*v. Từ đẳng thức (3.3), tham số hóa bởi X, là tuyến tính và liên tục, tập các nghiệm r (T*) là đóng. Thực tế, ta có thể viết r (T*) = W 1 , ỗ đây
là m ộ t k h ôn g g ia n con củ a H X H.
(2) Đầu tiên, giả sử rằng D (T*) là trù m ật trong H . Khi T** = (T*y được định nghĩa, ta khẳng định rằng T c T**. Do (1), điều này chỉ ra rằng T** là một mở rộng đóng của T, do vậy mà khả đóng. Để thấy điều này, ta quan sát rằng nếu V G D (T), ánh xạ
là như CƯ I—^ (ùj, Tv), bởi định nghĩa (3.2). Ánh xạ này liên tục trên D (T*) với chuẩn ^ l l a l l í và điều này nghĩa là V G D (T**) với T** (V) = Tv.
Khi V là tùy ý trong D (T), điều này chỉ ra rằng T c T**.
Ngược lại, giả sử rằng T là khả đóng. Cho v ữ € D(T*)± là một véctơ trực giao với miền của T*; Ta phải chỉ ra v 0 = 0 để chứng minh D (T*) là trù mật. Ta sẽ sử dụng một thủ thuật nhỏ sau: ta nhớ rằng (t>0,0) € r(T*)± trong H X H , và chú ý rằng, từ các phép tính trong (1), ta có
r(T * )± = ( w ±) ± = w , với w cho bởi (3.4).
Từ điều này, rõ ràng rằng
do đó ta thấy rằng (0,fo) € r (T). Từ r (T) là một đồ thị, ta phải có v 0 = T (0) = 0, đó là điều cần chứng minh.
(3) Nếu T là khả đóng, T* được xác định trù m ật và ở đầu phần (2) ta đã kiểm tra rằng T** được xác định trù m ật và là một mở rộng đóng
w = {(Tx, - x ) G H X H \x G D (T )} (3.4)
ĩJ H-ằ (T*UJ, V)
(3.5)
của T, vì vậy T c T**. Thực tế, có một đẳng thức, vì ta có thể sử dụng phép tính trong phần (1), áp dụng vào T* thay thế cho T, để xác định đồ thị của T** : r (T**) = ở đây
V = {{T*x, - x ) e H X H \x e D (T*)} c H X H.
V này là chứa trong đồ thị của T* như A ( r (T*)), ở đây A là đẳng cự tuyến tớnh (V,ĩJ) I—^ (¿J, — v). Trong phần (2) ta thấy rằng r(T * )± = w , và qua (3.5) ta thấy A ( w ) = r (T), vì vậy điều này cho ta
r (T**) = (A (r = A (r(T*)±) = A ( W ) = r(T).
Cuối cùng, với T khả đóng, ta có
rp* _ _ ịrỵ1*^** _ rj-1% _ rjn*
khi T* đóng.
(4) Điều này là rõ ràng từ việc định nghĩa hệ thức (3.2) và giả thiết D (Ti) c D (T2), với T2 tác động như Tị trên D (Ti). □
Bây giờ ta có định nghĩa quan trọng sau:
Đ ịn h n g h ĩa 3.3.5. Cho H là một không gian Hilbert và (D (T) ,T ) e D D (H) là một toán tử khả đóng.
(1) Toán tử (D (T ), T) là đối xứng hoặc Hermit nếu nó là khả đóng và T c T \ hay nói cách khác, nếu
( Tv,uj) = (V, Tui)
với mọi V, ĩJ € D (T).
(2) Toán tử (D (T), T) là tự liên hợp nếu nó là khả đóng và T = T*, hay nói cách khác, nếu nó là đối xứng và ngoài ra D (T*) = D (T ).
(3) Một mở rộng tự liên hợp của (D ( T ) , T) là một toán tử tự liên hợp Ti sao cho T c Tị.
(4) Một toán tử tự liên hợp thiết yếu (D (T) , T) là một toán tử đối xứng sao cho T là tự liên hợp.
N h ậ n x é t 3.3.6. (1) Một điểm lưu ý trong phần cuối của định nghĩa được tổng quát là có thể tồn tại nhiều hơn một mở rộng tự liên hợp của một toán tử đối xứng. Nếu (D (T) , T) là tự liên hợp thiết yếu, mặc dù vậy, T là mở rộng tự liên hợp duy nhất của T: th ậ t vậy, với s bất kỳ, ta có T c S khi s là một mở rộng đóng của T, và ngược lại, sử dụng phần (4) của mệnh đề (3.3.4), Khi T** c s , t a có s* c (T**y do vậy s c T* = T.
(2) Nếu T là đối xứng, ta có
rjỊ rj~ỉ*
khi đó T* là một mở rộng đóng của T. Có thể sẽ xảy ra việc T là đóng và đối xứng, nhưng không tự liên hợp, trong trường hợp mà T = T** c T*.
Điều này có nghĩa là nếu T là đối xứng và đóng, thì T* là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T* là đối xứng.
N h ậ n x é t 3.3.7. Việc đưa ra các miền liên quan tới các toán tử đối xứng được nhấn mạnh bởi Định lý Hellinger-Toeplitz: Nếu (D ( T ) , T) là một toán tử đối xứng với D (T) = H, thì T sẽ bị chặn. (Xem [6j để biết thêm chi tiết).
V í d ụ 3.3.8. (1) Cho H = L 2 (R) và (D ( T) , T) = ( D ( M X) , M X) là toán tử thực hiện phép nhân bởi X. Khi đó ta khẳng định rằng T là tự liên hợp. T hật vậy, trước hết ta xác định D (T*) như sau: Ta có
(y>) = (T (<¿0 lỳ) = J x<p (x) (x)dx
R
với if € D (Mx) , Ip G H, Rõ ràng nếu ĩp G D (Mx), tích phân có thể được biểu thị như
<ớP,r(vằ)>, vì vậy, rõ ràng ít nhất thì T là đối xứng.
Bây giờ ta giả sử -0 € D (T*), vì vậy tồn tại c sao cho
\(T ,rP)\2 < C M 2
với mọi ớfi & D (Mx). Ta lấy ip là xiòxn, ở đõy ỵ R là hàm đặc trưng của ị—R,R]. Nó nằm trong L 2 (R) khi ịxĩp (x ) ỉ ỵ R (x)Ị2 ^ R 2\ĩp (x)Ị2, và bất đẳng thức trở thành
ị Ị x2\ĩị) (x)\2Xr (ar)díc'i < c Í x 2\ip (x)\2ỵ R (x)dx,
\ R / R
do vậy
J x 2\i> {x)\2x n ( x )d x ^ c R
với mọi R ^ ũ . Khi R —>• +0 0, định lý hội tụ đơn điệu chỉ ra rằng các tích phân hội tụ đến
R
VÌ vậy ta cho Xĩp € L 2 (R), hay ĩp G D (Mx). Do đó, ta có D (T*) = D (T), điều này chứng minh được rằng T là tự liên hợp.
Thực tế thì bất kỳ toán tử nhân (D (Mg) , Mg) nào trên không gian độ đo hữu hạn là tự liên hợp nếu g là giá trị thực; điều này có thể được kiểm tra bởi các phép toán tương tự, hoặc sử dụng tiêu chuẩn của sự tự liên hợp được mô tả trong ví dụ ở phần sau.
(2) Xét toán tử (D (T) ,T ) = ị ọ l (R) ,id x) của phép lấy vi phân (i lần) trên L 2 (R). Ta khẳng định toán tử này là đối xứng, nhưng không tự liên hợp. Phép đối xứng, như trước, quy về hình thức tính toán sau:
cho íp,ĩp £ c ị (R), khi đó bằng tích phân từng phần ta có
(idxíf, ijj) = ỉ J ip' (x) lỊ) (x) dx = + / , (x)dx = {ip, idxiỊ) ) ,
R R
như mong muốn. Mặc dù vậy, ta có thể xét thêm (fữ (X) = e-7ra;2 trong D ự * ) = D { (i d xỴ): Ta có
À* = = J iớp'(x) e 71x2dx — Ị tp (x) (—ớ ỉiÊ>' (x) e~7TX‘dx = / ự) (x) (—2'ùùix)e~lợX‘dx27ĩix)t
R R
lại b ằ n g tíc h p h â n từ n g p h ầ n , và nó là liên tụ c trên c ị ( R ) khi X I—^
x e-nx2 ygn trong L 2 (R).
Có một lưu ý quan trọng rằng, tính toán tương tự chỉ ra rằng T*tpữ = i(p'ữ, hay liên hợp của phép lấy vi phân toán tử tác động trên (fo "như toán tử vi phân đơn điệu".
N h ậ n x é t 3.3.9. ở đây ta không định nghĩa toán tử chuẩn tắc, bởi vì đó là một vấn đề rất phức tạp. Khó khăn ở chỗ nếu T khả đóng thì T*
được xác định trù mật, nó không rõ ràng giao D ( T ) n D (T*) là gì, và đó chỉ là không gian mà T (T*v) hoặc T* (T v) có nghĩa để được so sánh...
Mặc dù vậy, chú ý rằng một trong những động cơ học các toán tử chuẩn tắc là để có một định lý phổ cho các toán tử unita, và các toán tử unita luôn bị chặn, vì vậy ta không cần phải mở rộng tập của chúng ta để sắp xếp chúng với các toán tử không bị chặn.
B ổ đ ề 3.3.10. Cho H là một không gian Hilbert và cho (D (T) ,T ) € DD* (H) là một toán tử khả đóng. Với bất kỳ s e L (H), (D (T) , S + T) là khả đóng và liên hợp của nó là (D (T*) ,s* + T*).
Chứng minh. Với u> £ H, phiếm hàm tuyến tính ta cần xét là (Tv, cư) + (S v ,0J)