Nguyên lý Lagrange trong các bài toán cực trị

Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị người ta thường tìm cách đưa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc càng tốt. Ý tưởng này được thể hiện rõ nét trong phương pháp nhân tử Lagrange và trong một số phương pháp tối ưu khác. Nguyên lý Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán cực trị có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức. Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu nguyên lý Lagrange trong lý thuyết các bài toán cực trị, chủ yếu xét trong không gian hữu hạn chiều ℝn và ứng dụng nguyên lý này vào việc tìm nghiệm (cực tiểu và cực đại) của các bài toán cực trị có hay không có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán quen thuộc trong số học và hình học, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu nói riêng và toán ứng dụng nói chung. Nội dung luận văn được viết trong ba chương. Chương 1 “Bài toán cực trị” trình bày khái quát về bài toán cực trị có hoặc không có ràng buộc, nhắc lại các khái niệm về nghiệm cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm bài toán cần thỏa mãn (điều kiện cần và điều kiện đủ), dựa vào đó tìm nghiệm tối ưu của bài toán. Chương 2 “Nguyên lý Lagrange” trình bày kết quả lý thuyết về điều kiện cần tối ưu (cấp 1, cấp 2) và điều kiện đủ tối ưu (cấp 2) cho nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán qui hoạch phi tuyến với ràng buộc đẳng thức và trình bày phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán có ràng buộc đẳng thức về bài toán (không ràng buộc) của hàm Lagrange (bằng hàm mục tiêu ban đầu cộng với các hàm ràng buộc, sau khi đã nhân với các hệ số gọi là các nhân tử Lagrange).

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH CÔNG NGUYÊN LÝ LAGRANGE TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH CÔNG NGUYÊN LÝ LAGRANGE TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái nguyên - 2014 1 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết và ứng dụng ta thường gặp các bài toán cực trị (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị người ta thường tìm cách đưa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc càng tốt. Ý tưởng này được thể hiện rõ nét trong phương pháp nhân tử Lagrange và trong một số phương pháp tối ưu khác. Nguyên lý Lagrange tạo cơ sở lý thuyết cho phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán cực trị có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán với ràng buộc đẳng thức. Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu nguyên lý Lagrange trong lý thuyết các bài toán cực trị, chủ yếu xét trong không gian hữu hạn chiều ℝ n và ứng dụng nguyên lý này vào việc tìm nghiệm (cực tiểu và cực đại) của các bài toán cực trị có hay không có ràng buộc, đặc biệt là các bài toán quen thuộc trong số học và hình học, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu nói riêng và toán ứng dụng nói chung. Nội dung luận văn được viết trong ba chương. Chương 1 “Bài toán cực trị” trình bày khái quát về bài toán cực trị có hoặc không có ràng buộc, nhắc lại các khái niệm về nghiệm cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm bài toán cần thỏa mãn (điều kiện cần và điều kiện đủ), dựa vào đó tìm nghiệm tối ưu của bài toán. Chương 2 “Nguyên lý Lagrange” trình bày kết quả lý thuyết về điều kiện cần tối ưu (cấp 1, cấp 2) và điều kiện đủ tối ưu (cấp 2) cho nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán qui hoạch phi tuyến với ràng buộc đẳng thức và trình bày phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán có ràng buộc đẳng thức về bài toán (không ràng buộc) của hàm Lagrange (bằng hàm mục tiêu ban đầu cộng với các hàm ràng buộc, sau khi đã nhân với các hệ số gọi là các nhân tử Lagrange). 2 Chương 3 “Áp dụng giải bài toán cực trị” trình bày các ứng dụng của nguyên lý Lagrange vào việc tìm nghiệm cực tiểu hay cực đại của một số bài toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức. Đặc biệt xét các bài toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về chứng minh các bất đẳng thức, bài toán về khoảng cách, bài toán Steiner. Đây là những bài toán có ý nghĩa thực tế, được các nhà toán học nổi tiếng đề ra hoặc nêu cách giải. Qua đó giới thiệu một số ứng dụng của lý thuyết tối ưu trong thực tiễn. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này. Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TS Trần Vũ Thiệu, Viện Toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Bên cạnh đó tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin, Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên đã tận tình động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Viện Toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp về những sự quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Thái Nguyên, ngày 09 tháng 3 năm 2014 Học viên Nguyễn Thành Công 3 Chương 1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản về bài toán cực trị có hoặc không có ràng buộc, các khái niệm nghiệm cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục), sự tồn tại nghiệm của bài toán, các điều kiện đòi hỏi nghiệm bài toán cần thỏa mãn (điều kiện tối ưu cần và đủ). Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4] và [6]. 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1. Ví dụ về bài toán cực trị Các bài toán cực trị đã biết từ bậc phổ thông. Để làm ví dụ, ta xét hai bài toán quen thuộc trong hình học phẳng. Bài toán 1 (Bài toán Heron). Tìm trên đường thẳng đã cho một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai điểm cho trước là nhỏ nhất? (Hình 1.1). Bài toán 2. Vẽ nội tiếp trong hình tròn một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất? (Hình 1.2). Hình 1.1 Hình 1.2 Bài toán 1 tìm cực tiểu (minimum), bài toán 2 tìm cực đại (maximum). Cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị (extremum). Đôi khi người ta dùng từ tối ưu (optimization), nghĩa là tốt nhất hay hoàn hảo nhất. Như vậy, bài toán 1 và 2 là các bài toán cực trị hay bài toán tối ưu. Lý thuyết các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm gọi là lý thuyết bài toán cực trị hay lý thuyết tối ưu. 0 x y r (x, y) 0 A (0, a) B (d, b) C ˆ ( x ˆ , 0) C (x, 0) y x  1  2 A'(0, - a ) 4 Các bài toán 1 và 2 được mô tả bằng lời, không dùng công thức. Các bài toán cực trị nảy sinh từ các lĩnh vực khoa học hay từ thực tiễn thường như vậy: chúng được mô tả bằng lời theo thuật ngữ có nội dung của lĩnh vực nảy sinh ra các bài toán đó. Để có thể áp dụng được lý thuyết tối ưu thì cần chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học. Cách làm này gọi là hình thức hóa bài toán. Cùng một bài toán có thể được hình thức hóa theo nhiều cách khác nhau và cách giải có đơn giản và hiệu qủa hay không thường phụ thuộc rất nhiều vào mức độ thành công của sự hình thức hóa đó. Ta hình thức hóa bài toán 1 và 2 như sau. Bài toán 1: Vẽ trục Ox dọc theo đường thẳng đã cho và trục Oy vuông góc đi qua điểm A (xem Hình 1.1). Giả sử tọa độ của hai điểm đã cho là: A = (0, a) và B = (d, b); tọa độ của điểm cần tìm C = (x, 0). Khoảng cách từ A tới C và từ B tới C lần lượt là |AC| = 22 xa  và |BC| = 22 )xd(b  . Từ đó, ta đi đến bài toán: Tìm cực tiểu của hàm một biến f(x) = 22 xa  + 22 )xd(b  với x ∈ ℝ. Bài toán 2: Giả sử đường tròn được mô tả bởi phương trình x 2 + y 2 = r 2 , Vẽ các trục Ox và Oy song song với các cạnh hình chữ nhật và ký hiệu (x, y) là tọa độ của đỉnh hình chữ nhật nằm ở góc phần tư thứ nhất (xem Hình 1.2). Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng 4xy. Ta nhận được bài toán: Tìm cực đại của hàm hai biến f(x, y) = 4xy với điều kiện g 1 (x, y) = x 2 + y 2 - r 2 = 0, g 2 (x, y) = x ≥ 0, g 3 (x, y) = y ≥ 0. Có thể thấy điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 là thừa và bài toán tìm cực đại của 4xy với x 2 + y 2 = r 2 tương đương bài toán với điều kiện bất đẳng thức x 2 + y 2 ≤ r 2 . Bất kỳ bài toán đã hình thức hóa nào cũng được xây dựng theo cách tương tự, nó bao gồm các yếu tố sau đây: phiếm hàm f : X → ℝ ∪ {+ ∞, - ∞} (X là miền xác định của phiếm hàm f) và ràng buộc, tức là tập con D ⊂ X. Ta giải thích một số ký hiệu và thuật ngữ thường gặp trong lý thuyết tối ưu: R là đường thẳng thực mở rộng, tức là tập các số thực cộng thêm hai giá trị + ∞ 5 và - ∞; cách viết F : X → Y có nghĩa là ánh xạ F có miền xác định là không gian X và với mỗi phần tử x ∈ X, phần tử F(x) nằm trong không gian Y; ta dùng từ phiếm hàm để chỉ ánh xạ vào đường thẳng thực mở rộng R . Như vậy, hình thức hóa bài toán cực trị có nghĩa là mô tả chính xác các yếu tố f, X và D. Với bài toán đã hình thức hóa ta dùng cách viết f(x) → inf (sup), x ∈ D. (P) để chỉ bài toán tìm cực tiểu (cực đại). Khi cần xét cả hai bài toán cực tiểu và cực đại, ta viết f(x) → extr, x ∈ D. Như vậy, cách viết hình thức cho các bài toán 1 và 2 như sau. Bài toán 1 (X = D = ℝ - đường thẳng thực): f(x) = 22 xa  + 22 )xd(b  → inf. (P 1 ) Bài toán 2 (X = ℝ 2 - mặt phẳng hai chiều): f(x, y) = 4xy → sup, x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0, y ≥ 0. (P 2 ) Bài toán (P 2 ), như đã nói ở trên, có cách hình thức hóa khác: f(x, y) = 4xy → sup, x 2 + y 2 = r 2 . ( 2 P  ) Bài toán (P 1 ) không có ràng buộc, bài toán (P 2 ) có ràng buộc D = {(x, y) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0, y ≥ 0} cho ở dạng đẳng thức và bất đẳng thức, còn bài toán ( 2 P  ) có ràng buộc D = {(x, y) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = r 2 } cho ở đạng đẳng thức. 1.1.2. Một số thuật ngữ Như vậy, bài toán tối ưu f(x) → inf (sup) với x  D (P) là bài toán tìm véctơ x*  D sao cho f(x*)  f(x) (f(x*) ≥ f(x)) với mọi x  D, trong đó D ⊂ ℝ n là một tập khác rỗng và f : D → ℝ là một hàm số thực tùy ý. 6 Định nghĩa 1.1. Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập D gọi là tập ràng buộc hay miền chấp nhận được. Một véctơ (điểm) x  D gọi là một phương án (lời giải, nghiệm) chấp nhận được. Véctơ x*  D sao cho f(x*)  f(x) (hay f(x*) ≥ f(x)) với mọi x  D gọi là một phương án (lời giải, nghiệm) tối ưu của bài toán. Trường hợp D = ℝ n ta có bài toán tối ưu không ràng buộc, thường viết là min {f(x) : x  ℝ n } hay n Rx min  f(x). Khi D ⊂ ℝ n ta có bài toán tối ưu có ràng buộc và tập D thường có dạng D = {x  ℝ n : g i (x)  0, i = 1, , m, h j (x) = 0, j = 1, , p} với g i , h j : ℝ n  ℝ là các hàm số cho trước, gọi là các hàm ràng buộc. Khi đó, bài toán (P) có thể viết dưới dạng tường minh: min {f(x) : g i (x)  0, i = 1, , m, h j (x) = 0, j = 1, , p}. Các hệ thức g i (x)  0 gọi là các ràng buộc bất đẳng thức, các hệ thức h j (x) = 0 gọi là các ràng buộc đẳng thức. Ràng buộc bất đẳng thức dạng x j  0 (- x j  0) gọi là ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu. Nhận xét là min{f(x) : x  D} = - max{- f(x) : x  D}, vì thế bài toán tìm cực tiểu có thể đưa được về bài toán tìm cực đại và ngược lại. Định nghĩa 1.2. Ta nói điểm x ˆ ∈ D là một nghiệm cực tiểu địa phương của (P) và viết x ˆ ∈ loc min P nếu có số  > 0 sao cho f( x ˆ ) ≤ f(x) với mọi x ∈ D và ||x - x ˆ || < . Nếu f )x ˆ ( < f(x) với mọi x  D, x  x ˆ và ||x - x ˆ || <  thì x ˆ được gọi là một nghiệm cực tiểu địa phương chặt của (P). Định nghĩa 1.3. Điểm x ˆ  D được gọi là một nghiệm cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của (P) nếu f )x ˆ (  f(x) với mọi x  D và ta viết x ˆ ∈ abs min P. Nếu f( x ˆ ) < f(x) với mọi x  D, x  x ˆ thì x ˆ được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt của (P). 7 Các khái niệm nghiệm cực đại địa phương và nghiệm cực đại toàn cục được định nghĩa tương tự và ta viết x ˆ ∈ loc max P hay x ˆ ∈ abs max P. Đối với hàm tùy ý f trên tập D, ký hiệu tập tất cả các điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục của f trên D là Argmin xD f(x) (Argmax x  D f(x)). Khi xét một bài toán tối ưu ta mong muốn tìm nghiệm cực trị (cực tiểu, cực đại) toàn cục của nó. Tuy nhiên, một nghiệm như thế có thể không tồn tại. Chẳng hạn, hàm một biến f(x) = x hay f(x) = e x không có nghiệm cực tiểu toàn cục trên tập số thực ℝ do hàm f(x) = x giảm vô hạn tới -  khi x dần tới - , còn hàm f(x) = e x luôn nhận giá trị dương và giảm tới 0 khi x dần tới - . Tập {f(x) : x  D} được gọi là miền giá trị của hàm f. Có hai khả năng: a) Tập {f(x) : x  D} bị chặn dưới, nghĩa là có một số m sao cho m  f(x) với mọi x  D. Trong trường hợp này cận dưới lớn nhất của {f(x) : x  D} là một số thực và được ký hiệu là Dx inf  f(x). Chẳng hạn, Rx inf  e x = 0. b) Tập {f(x) : x  D} không bị chặn dưới (tức là tập này chứa các số thực nhỏ tùy ý). Trong trường hợp này ta viết Dx inf  f(x) = - . Trong Bài toán 1 cực tiểu tuyệt đối x ˆ xác định điểm cần tìm C ˆ = ( x ˆ , 0) được đặc trưng bởi sự kiện hình học đã biết là các góc nhọn tạo nên bởi cạnh A C ˆ và C ˆ B với trục Ox phải bằng nhau (góc tới bằng góc phản xạ) và giá trị tối ưu của bài toán là f min = 22 d)ba(  ( C ˆ là giao điểm của A'B với trục Ox, xem Hình 1.1). Trong Bài toán 2 hình chữ nhật cần tìm là hình vuông cạnh bằng 2r/ 2 , tương ứng với nghiệm x ˆ = y ˆ = r/ 2 và f max = 2r 2 (xem Hình 1.2). Lý thuyết bài toán cực trị đưa ra các qui tắc tìm nghiệm của bài toán, thường là tách ra tập các điểm gọi là điểm tới hạn (thường bao gồm các điểm tại đó đạo hàm theo mọi biến bằng 0, các điểm không có đạo hàm và các điểm biên 8 của miền ràng buộc ). Tập này có thể rộng hơn tập điểm cực trị địa phương hay toàn cục. Sau khi tìm được các điểm tới hạn, sử dụng các điều kiện tối ưu cần và đủ, tìm ra các điểm cực tiểu (hay cực đại). Để minh họa, ta xét ví dụ tìm các điểm tới hạn, các điểm cực trị địa phương và cực trị toàn cục của bài toán sau. Bài toán 3 (Hình 1.3). Tìm cực trị của hàm một biến f(x) = x 3 (x 2 - 1) → extr, - 1 ≤ x ≤ 2. (P 3 ) Cực trị toàn cục của bài toán có thể đạt được tại hai đầu mút của đoạn [- 1, 2] hoặc tại điểm trong. Nếu cực trị đạt tại điểm trong thì tại đó đạo hàm của f phải bằng 0, tức là f '(x) = 0 ⇔ 5x 4 - 3x 2 = 0 ⇔ x ∈ {- 5/3 , 0, 5/3 }. Hình 1.3. Các điểm tới hạn Như vậy có 5 điểm tới hạn: x 1 = - 1, x 2 = - 5/3 , x 3 = 0, x 4 = 5/3 , x 5 = 2, trong đó x 2 , x 3 , x 4 là các điểm dừng. Từ đồ thị của hàm f (Hình 1.3) ta thấy x 1 , x 4 ∈ loc min P 3 ; x 2 , x 5 ∈ loc max P 3 ; x 4 ∈ abs min P 3 ; x 5 ∈ abs max P 3 . Từ đó f min = - 6 6,0 /25 ≈ - 0,1859 và f max = 24. 1.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TỐI ƯU Câu hỏi tự nhiên đặt ra là bài toán được xét có hay không có nghiệm tối ưu (cực tiểu hay cực đại toàn cục)? Trả lời cho câu hỏi này là Định lý 1.1 (Định lý Weierstrass). Một hàm liên tục f trên một tập D compac, khác rỗng đạt được cực tiểu và cực đại trên D. y f(x) 0 1 2 x - 1 - 5/3 5/3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 [...]... tối ưu của bài toán với tên gọi quen thuộc là phương pháp nhân tử Lagrange Một số ví dụ đã được dẫn ra để minh họa cho lý thuyết đã trình bày 28 Chương 3 ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chương này trình bày các ứng dụng của nguyên lý Lagrange trong tìm nghiệm cực tiểu hay cực đại của các bài toán cực trị, chủ yếu là bài toán với ràng buộc đẳng thức Đặc biệt xét một số bài toán quen thuộc trong số học... Tóm lại, chương này đã đề cập tới bài toán tìm cực trị (cực tiểu hay cực đại) của một hàm trên một tập, nêu các điều kiện đủ đảm bảo cho bài toán có nghiệm cực tiểu hay cực đại và nêu các điều kiện tối ưu cho bài toán không ràng buộc Các điều kiện tối ưu cho bài toán có ràng buộc đẳng thức sẽ được trình bày ở chương sau 12 Chương 2 NGUYÊN LÝ LAGRANGE Chương này xét bài toán qui hoạch phi tuyến ràng buộc... (P) trong đó S = {x  ℝn : hj(x) = 0, j = 1, , p} với f, hj : ℝn  ℝ là các hàm khả vi liên tục (không xét ràng buộc bất đẳng thức) Giả thiết p  n (nếu p > n thì S có thể bằng rỗng) Trong các giáo trình giải tích, bài toán (P) dạng trên được gọi là bài toán cực trị có điều kiện hay bài toán tối ưu cổ điển QUY TẮC LAGRANGE Quá trình tìm các điểm cực trị của bài toán (P) gồm các bước sau: 1 Thêm các. .. PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE Phương pháp nhân tử Lagrange (gọi tắt phương pháp Lagrange) là phương pháp chung nhất để tìm cực trị (cực tiểu hay cực đại) của hàm số khi có điều kiện đặt lên các biến số của hàm số đó Phương pháp này thường được dùng để tìm cực trị của một hàm với các ràng buộc đẳng thức Giá trị thực tiễn của phương pháp là nó cho phép đưa bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị không... bài toán quen thuộc trong số học và hình học, bài toán về chứng minh các bất đẳng thức, bài toán về khoảng cách, bài toán Steiner Đây là những bài toán có ý nghĩa thực tế, được các nhà toán học nổi tiếng đề ra hoặc nêu cách giải Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [5] 3.1 BÀI TOÁN SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC Bài toán 3.1.1 (Bài toán Tartali) Chia tách số 8 thành hai số sao... trình này, ta tìm được các điểm dừng, là các điểm tại đó nghi ngờ hàm f đạt cực trị 4 Trong số những điểm nghi ngờ này, tìm ra những điểm tại đó hàm f đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) nhờ dùng các điều kiện đủ tối ưu, các định lý tồn tại nghiệm tối ưu hoặc nhờ tính và so sánh giá trị hàm f tại các điểm đó Chẳng hạn, tại điểm dừng x : + Nếu 2f( x ) xác định dương thì x là điểm cực tiểu địa phương +... = S(a) = 0) và hàm S nhận giá trị dương với mọi x ∈ (0, a) Từ điều kiện cần tối ưu S'(x) = 0 ⇔ 1 a 2 ˆ - x = 0 suy ra x = 1 a 2 Do bài toán có nghiệm và do chỉ có duy nhất một điểm dừng nên nghiệm cực đại của bài ˆ toán là x = a/2 Kết luận: tam giác cần tìm là tam giác vuông cân với mỗi cạnh góc vuông bằng a/2 Bài toán 3.1.3 (Bài toán Keple) Trong các hình trụ nội tiếp trong hình cầu đơn vị hãy tìm... cầu trong ℝ3 là tập compac, khác rỗng nên chắc chắn trên đó f có cực đại và cực tiểu Mặt khác, các điểm cực đại và cực tiểu phải nằm trong số những điểm dừng kể trên Vì thế, bằng cách tính và so sánh giá trị hàm f tại các điểm này, ta thấy fmax = 8 đạt tại (2, 0, 0); (0, 2, 0) và (0, 0, 2); fmin = - 8 đạt tại (- 2, 0, 0); (0, - 2, 0) và (0, 0, - 2) Ví dụ 2.6 Giả sử bây giờ ta quan tâm tới các điểm cực. .. ứng với cực đại, còn nghiệm sau tương ứng với cực tiểu Các nghiệm khác nhận được bằng cách hoán đổi vị trí các biến Chú ý sự khác nhau giữa các nghiệm này với nghiệm ở ví dụ trước (Ví dụ 2.5) Cần nhấn mạnh là về mặt tính toán, phương pháp Lagrange không phải là một công cụ mạnh Tuy nhiên, đối với một số bài toán cỡ nhỏ, phương pháp này tỏ ra có hiệu quả Nhận xét 2.5 Có thể mở rộng phương pháp Lagrange. .. hàm Lagrange, nếu điểm đó không là điểm chính qui Định lý sau nêu điều kiện cần cấp 2 cho điểm cực tiểu địa phương của bài toán qui hoạch phi tuyến (bài toán NLP) ràng buộc đẳng thức 18 Định lý 2.3 (Điều kiện cần cấp 2) Cho f : ℝn → ℝ và hj : ℝn → ℝ, j = 1, , p là các hàm hai lần khả vi liên tục trên ℝn Xét bài toán min {f(x) : h(x) = 0} Nếu x* là cực tiểu địa phương và x* là điểm chính qui thì tồn tại