Bài giảng đại số tuyến tính phép biến đổi trực giao

Bài giảng đại số tuyến tính phép biến đổi trực giao , Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download

 §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO  §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 4.1 Định nghĩa Toán tử tuyến tính f kg Euclide E gọi phép biến đổi trực giao nếu:  f ( x ), f ( y )  x, y , x, y  E Tính chất (i ) f ( x)  x (ii ) (  f ( x), f ( y ))  ( x , y)  §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 4.2.ĐL Toán tử tuyến tính f trực giao biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn 4.3.Đ/n Ma trận A gọi ma trận trực giao At = A-1 hay AtA=E 4.4 ĐL Toán tử tuyến tính f kg Euclide E phép biến đổ trực giao ma trận theo sở trực chuẩn ma trận trực giao  §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO Hệ Ma trận chuyển sở từ sở trực chuẩn sang sở trực chuẩn khác ma trận trực giao Ngược lại, ma trận trực giao xem ma trận chuyển sở từ sở trực chuẩn sang sở trực chuẩn khác cos  sin    VD A      sin  cos    §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG  §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.1 Đn Toán tử tuyến tính f kg Euclide E gọi toán tử đối xứng  f ( x), y  x, f ( y )  5.2 ĐL Toán tử tuyến tính f kg Euclide E toán tử đối xứng ma trận sở trực chuẩn đối xứng  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.3 ĐL Nếu A ma trận đối xứng A có tính chất (i) Mọi giá trị riêng A thực (ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể bội) (iii) Các vecto riêng ứng với trị riêng khác trực giao với (iv) A chéo hóa  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.3 Đ/n Mtr A gọi chéo hóa trực giao tồn mtr trực giao T cho TtAT mtr chéo 5.4 ĐL Mtr A chéo hóa trực giao A mtr đối xứng  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.5 Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A Bc Tìm trị riêng λ1, λ2,…, λk A tương ứng có bội d1, d2,…, dk với d1+d2+…+ dk=n Bc2 Với trị riêng λi, ta tìm sở trực chuẩn kg riêng Pi ( A) thuật toán Gram-Smith Khi đó, ta có sở trực chuẩn vectơ riêng A Bc3 Lập mtr T có cột vectơ sở trực chuẩn, ta T mtr trực giao, làm chéo hóa A  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG VD Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa mtr sau 5 a) A    2 3 b) A  1  1 2   8 1 1  3 (Đề IV-K49)  §8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG  §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta đưa đường bậc (C) dạng tắc, bao gồm dạng sau đây: 2 x y Dạng (elip)  1 a b x2 y2 Dạng (hypecbol)  1 a b Dạng (parabol) x  py  §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI x2 y2 Dạng (cặp đường thẳng cắt nhau)   a b x2 y Dạng (một điểm)   a b x Dạng (cặp đường thẳng song song)  a x Dạng (cặp đường thẳng trùng nhau)  a 2 x y Dạng (elip ảo)   1 a b x2 Dạng (cặp đường thẳng ảo song song)  1 a  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta đưa mặt bậc (S) dạng tắc, bao gồm dạng sau đây: 2 x y z Dạng (elipsoid)    a b c  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 x y z Dạng (hypecboloid- tầng)    a b c  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 2 x y z Dạng (hypecboloid- hai tầng)    1 a b c  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng (Paraboloid- eliptic) x2 y z  a b  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng (Paraboloid- hypecbolic) Mặt yên ngựa x2 y2 z  a b  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng (các mặt trụ) x2 y - Trụ eliptic   a b2 x y2 - Trụ hypecbolic   a b x2 - Trụ parabolic  py  a x y - Nhị diện   a b  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI x2 y z2 Dạng (Mặt nón)    a b c  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI x2 Dạng (cặp mặt phẳng song song)  a x2 Dạng (cặp mặt phẳng trùng nhau)  a  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Dạng 10 (Các dạng ảo) x2 y z a) Elipsoid ảo    1 a b c 2 x y b) Trụ elipsoid ảo   1 a b c) Các mặt phẳng ảo song song x2  1 a  §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI Ví dụ Nhận dạng đường bậc hai sau a) x12  x22  x1 x2  x1  b) x12  x1 x2  x2  Ví dụ Nhận dạng mặt bậc hai sau 2 a) x1  x2  x3  x1 x2  x2 x3  x3 x1  10 2 b) x  x  x1  x2  x3  x1 x2   §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI VD3 Trong  xét tích vô hướng thông thường, cho dạng toàn phương ( x1; x2 ; x3 )  x12  x1 x2  x22  3x32 i) Tìm sở trực chuẩn  để dạng toàn phương có dạng tắc ii) Xác định tên mặt bậc hai sau ( x1; x2 ; x3 )  (Đề 3-K52) [...]... chỉ để nhận dạng mặt bậc hai thì chỉ việc dùng các phép biến đổi không suy biến, chẳng hạn phương pháp Lagrange và Jacobi Nhưng như thế, thực chất nó đã bị biến dạng (elip thành đường tròn, hình cầu thành elipsoid,…) Trong thực tế đôi khi người ta không chỉ quan tâm đến dạng của mặt mà còn kích cỡ của nó, nên người ta phải dùng đến phép biến đổi trực giao để đưa nó về dạng chính tắc §7: ĐƯA MẶT BẬC...     2 2 3 i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho P 1 AP  D ii) Tính A10 (Đề IV-K54) Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 5.6 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B Nếu T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận trực giao và A’=TtAT Nếu A’ có dạng... hình học Euclide Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình n t [ x] A[ x ]   bi xi  c  0 i 1 trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,…,en)] Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới để trong hệ đó S có dạng chính tắc §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A Tìm hệ tọa độ [G;(f1;f2;…;fn)] tương ứng với T và phép biến đổi [x]=T[y]...  ( x1 , x2 , x3 ) Step 1: Xác định ma trận A của dạng toàn phương Step 2: Chéo hóa trực giao ma trận A Step 3: Giả sử T là ma trận trực giao làm chéo hóa A Khi đó [y]=T[x], ta có ( y )  ( y1 , y2 , y3 ) có dạng chéo  §5 TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao 2 q   5 x (i) 3  4 x1 x2  6 x1 x3  6 x2 x3 (Đề I-K55) 2 q  4 x (ii) 3  2... trình bậc hai về dạng chính tắc Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học Euclide U, có phương trình [x]t A[ x]  c ( At  A) trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,…,en)] Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới gốc G để trong hệ đó S có phương trình dạng chính tắc r 2  x  i i c i 1 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  Lời giải cho bài toán G/s T là mtr trực giao làm chéo hóa A Khi đó 1 0... §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Đ/n 2 U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là một điểm của U; {f1, f2,…,fn} là một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ [G,(f1, f2,…,fn)] được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn của U với gốc tọa độ G Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc  tơ GM đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của M theo hệ tọa độ [G,(f1, f2,…,fn)]  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Ví dụ 1.Hệ tọa độ Đề... y]      i 1  0 0   n  Hệ tọa độ trực chuẩn mới của U để S có dạng chính tắc là [G,(f1;f2;…;fn)] với [f1 f2 … fn]=[e1 e2 … en]T §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  Ví dụ Trong không gian tọa độ trực chuẩn [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình 2 1 2 2 2 3 ( S ) 2x  2 x  2 x  2 x1 x2  2 x2 x3  2 x3 x1  5 Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó, S có pt... S trong kg hình học Euclide n chiều U tựa trên E được gọi là một mặt bậc hai, nếu với mỗi hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f1, f2,…,fn)] của U thì n n   S   M ( x1 , x2 , , xn ) U |  a 'ij xi x j   bi xi  c  0  i , j 1 i 1   trong đó a 'ij không đồng thời bằng 0 và b1, b2, …, bn, c là các hằng số xác định  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE VD1.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn, các đường cônic là một mặt... A=[aij ] là một 2 ma trận đối xứng và n n n t a ' x x  b x  c  [x] A[ x]   bi xi  c  ij i j  i i i , j 1 i 1 i 1  §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE Bài toán đặt ra Cho S là một mặt bậc hai trong kg Euclide n chiều U tựa trên E G/s trong một hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f1,f2,…,fn)], S có pt: n t [x] A[ x]   bi xi  c  0 i 1 Ta cần tìm một hệ tọa độ mới trong U để trong hệ tọa độ đó pt của S là r n...  0    i i i i i 1 i r 1 i 1  i r n r §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  Ví dụ Trong không gian tọa độ trực chuẩn [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình 2 1 2 2 2 3 ( S ) 2x  2 x  2 x  2 x1 x2  2 x2 x3  2 x3 x1   3 x1  x2  2 x3  5 Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc  §8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG