Bài giảng đại số tuyến tính của thầy Lê Xuân Trường gồm đầy đủ các slide và cách hướng dẫn làm bài bải tập ,các cách giải chi tiết giúp sinh viên dễ hiểu dễ tiếp thu từ đó có thể làm bài toán đại số tuyến tính tốt và có chuẩn bị kiến thức tốt khi kiểm tra kết thúc môn
KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) Ts Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Không gian Rn Không gian Rn : Rn = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n Mỗi phần tử x = (x1 , x2 , , xn ) Rn gọi véctơ Cộng trừ hai véctơ: (x1 , x2 , , xn ) ± (y1 , y2 , , yn ) = (x1 ± y1 , x2 ± y2 , , xn ± yn ) Ví dụ: (2, 3, −4, 5) + (−1, 0, 5, 7) = (1, 3, 1, 12) Nhân véctơ với số k (x1 , x2 , , xn ) = (kx1 , kx2 , , kxn ) Ví dụ: 2.(3, −5, 1) = (6, −10, 2) Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Tính chất Với x, y ∈ Rn α, β ∈ R, ta có x + y = y + x (giao hoán) (x + y ) + z = x + (y + z ) (kết hợp) x + θ = x, θ = (0, 0, , 0) ∈ Rn x + (−x ) = θ, với −x = (−x1 , −x2 , , −xn ) ∈ Rn α(x + y ) = αx + αy (α + β)x = αx + βy (αβ)x = α( βx ) 1.x = x Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Tích vô hướng u = (x1 , x2 , , xn ), v = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Tích vô hướng u v cho u.v = x1 y1 + x2 y2 + · · ·xn yn Ví dụ: u = (−2, 3, 1) v = (3, 5, 4) Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) u.v = (−2).(3) + 3.5 + 1.4 = 13 KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Góc khoảng cách Cho u = (x1 , x2 , , xn ) v = (y1 , y2 , , yn ) Góc α hai véctơ u v xác định cos(α) = √ u.v √ u.u v v Khoảng cách u v n d (u, v ) = ∑ (yi − xi ) 1/2 i =1 Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính Định nghĩa Trong không gian Rn , cho véctơ u1 , u2 , , um v Nếu tồn số λ1 , λ2 , , λm cho v = λ u1 + λ u2 + · · · + λ m um , ta nói v biểu thị tuyến tính qua véctơ u1 , u2 , , um hay v tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , um Ví dụ Với u1 = (1, 4), u2 = (3, 2) v = (9, 16), ta có v = 3u1 + 2u2 nên v tổ hợp tuyến tính u1 , u2 Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính Ví dụ Trong R3 cho véctơ u1 = (2, 0, 3), u2 = (0, 2, −1), u3 = (2, 2, 2) Tìm m để véctơ v = (5, −2, m ) biểu thị tuyến tính qua ba véctơ cho Nhận xét 1: Với véctơ v hệ véctơ cho trước u1 , u2 , , un , xảy ba trường hợp sau v không biểu thị tuyến tính qua hệ u1 , u2 , , un có cách biểu thị tuyến tính v qua u1 , u2 , , un có vô số cách biểu thị tuyến tính v qua u1 , u2 , , un Nhận xét 2: Véctơ θ có cách biểu thị tuyến tính qua hệ véctơ bất kỳ, cách biểu thị tầm thường θ = 0u1 + 0u2 + · · · + 0un Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Định nghĩa Hệ véctơ {u1 , u2 , , um } gọi độc lập tuyến tính véctơ θ có cách biểu thị tuyến tính tầm thường qua hệ Ngược lại, ta nói hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Xét hệ véctơ sau u1 = (1, 2), u2 = (3, 4), u3 = (−2, 1) Ta có θ= 11 u1 − u2 − u3 5 nên véctơ u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn / 18 Phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Phương pháp Xét đẳng thức λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um = θ Đưa đẳng thức hệ gồm m phương trình, m ẩn số (λ1 , λ2 , , λm ) Có hai trường hợp Nếu tồn số λj = véctơ phụ thuộc tuyến tính Nếu hệ có nghiệm λi = 0, i = 1, m véctơ độc lập tuyến tính Bài tập Xét tính độc lập hay phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ sau a) u1 = (2, −5), u2 = (1, 3), u3 = (−3, 4) b) u1 = (1, 0, 3), u2 = (0, 1, 1), u3 = (2, 1,n m ) Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ R / 18 Phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Nhận xét: Mọi hệ chứa véctơ θ phụ thuộc tuyến tính Thêm véctơ vào hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính Bỏ bớt véctơ hệ độc lập tt hệ độc lập tt Một hệ véctơ phụ thuộc tt tồn véctơ hệ tổ hợp tt véctơ lại Nếu bổ sung vào hệ độc lập tt véctơ không biểu thị tuyến tính qua hệ hệ độc lập tt Nếu bỏ bớt từ hệ phụ thuộc tt véctơ không tổ hợp tt véctơ lại hệ phụ thuộc tt Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 10 / 18 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Cho hệ véctơ {u1 , u2 , , un }(∗) Rn Ta nói số véctơ độc lập tuyến tính tối đại hệ (*) r - tồn hệ độc lập tt (*) gồm r véctơ - hệ (*) có nhiều r véctơ phụ thuộc tt Số véctơ độc lập tuyến tính tối đại hệ véctơ gọi hạng hệ véctơ ký hiệu rank {u1 , u2 , , un } Ví dụ Trong R3 , hệ véctơ {u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, 1, 1), u3 = (3, −1, 4)} có hạng 3, - hệ {u1 , u2 } độc lập tuyến tính - hệ {u1 , u2 , u3 } phụ thuộc tuyến tính Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 11 / 18 Hạng hệ véctơ Định lý Xét véctơ uk = (α1k , α2k , , αnk ) ∈ Rn , k = 1, 2, , m rank {u1 , u2 , , um } = rank (A), α11 α21 A= · · · αm1 với α12 α22 ··· αm2 · · · α1n · · · α2n ··· ··· · · · αmn {u1 , u2 , , um } độc lập tt ⇔ rank {u1 , u2 , , um } = m Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 12 / 18 Cơ sở, số chiều tọa độ Định nghĩa Một hệ véctơ Rn gọi sở thỏa hai điều kiện i) Hệ véctơ độc lập tuyến tính ii) Mọi véctơ Rn biểu thị tuyến tính qua hệ Lưu ý: Một hệ véctơ thỏa điều kiện ii) định nghĩa gọi hệ sinh Rn Ví dụ Các véctơ e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) tạo thành sở không gian R3 Ta gọi sở sở tắc −→ Giải thích ??? Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 13 / 18 Cơ sở, số chiều tọa độ Lưu ý: Trong không gian Rn , - sở có n véctơ - hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính sở Ta gọi số véctơ sở số chiều không gian Vì Rn không gian n chiều Ta viết dim (Rn ) = n Nếu B = {u1 , u2 , , un } sở Rn u ∈ Rn u có cách biểu thị tuyến tính qua {u1 , u2 , , un } Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 14 / 18 Cơ sở, số chiều tọa độ Định nghĩa Giả sử B = {u1 , u2 , , un } sở Rn u ∈ Rn Nếu u = λ u1 + λ u2 + · · · + λ n un ta gọi ma trận λ1 λ2 [u ]B = λn tọa độ u sở B Ví dụ Cho B = {u1 = (1, 2, 3, 0), u2 = (2, 3, 0, 4), u3 = (3, 0, −2, 1), u4 = (0, −2, 1, 1)} a)XuânChứng minh Kê) KHÔNG sở RGIAN Ts Lê Trường (Khoa ToánB Thống VÉCTƠ Rn 15 / 18 Không gian Định nghĩa Một tập W = ∅ Rn gọi không gian u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W α ∈ R, u ∈ W =⇒ αu ∈ W Ví dụ W1 = {(x, y ) ∈ R2 : ax + by = 0} không gian R2 W2 = {(x, y , z ) ∈ R3 : 3x + 4y = 0, 2y + z = 0} không gian R3 W3 = {(x, y ) ∈ R2 : y = x } không không gian R2 Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 16 / 18 Không gian Không gian sinh hệ véctơ: Trong Rn , ta đặt m Wsp = u1 , , um ≡ span {u1 , , um } = ∑ λi ui : λ1 , , λm ∈ R i =1 Wsp không gian Rn Số chiều Wsp = rank{u1 , , um } Mỗi hệ độc lập tuyến tính tối đại {u1 , , um } sở Wsp Ví dụ Tìm số chiều sở không gian R4 , sinh véctơ u1 = (2, 3, 0, −1), u2 = (−3, 1, 2, 0), u3 = (1, −1, 2, 3), u4 = (0, 3, 4, 2) Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 17 / 18 Không gian Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ký hiệu We = {x ∈ Rn : Ax = θ }, với A = (aij )m×n x = (x1 , x2 , , xn )T We không gian Rn (tại sao?) Số chiều We = n − rank (A) Mỗi hệ gồm k = dim (We ) véctơ nghiệm độc lập tuyến tính Ax = θ sở We Ví dụ Xét We = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R3 : 2x1 + x2 − x3 = 0, 2x1 − x4 = 0, x2 − x3 + x4 = 0} Chứng minh We không gian R4 Tìm số chiều sở We Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 18 / 18 [...]...Hạng của hệ véctơ Định nghĩa Cho hệ véctơ {u1 , u2 , , un }(∗) trong Rn Ta nói số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ (*) là r nếu - tồn tại một hệ con độc lập tt của (*) gồm r véctơ - mọi hệ con của (*) có nhiều hơn r véctơ đều phụ thuộc tt Số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véctơ được gọi là hạng của hệ véctơ đó và được ký hiệu bởi rank {u1 , u2 , , un } Ví dụ... GIAN VÉCTƠ Rn 13 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Lưu ý: Trong không gian Rn , - mọi cơ sở đều có n véctơ - mọi hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở Ta gọi số véctơ của các cơ sở là số chiều của không gian đó Vì vậy Rn là không gian n chiều Ta viết dim (Rn ) = n Nếu B = {u1 , u2 , , un } là một cơ sở của Rn và u ∈ Rn thì u có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính qua {u1 , u2 , , un } Ts... Rn Số chiều của Wsp = rank{u1 , , um } Mỗi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {u1 , , um } đều là một cơ sở của Wsp Ví dụ Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con của R4 , sinh bởi các véctơ u1 = (2, 3, 0, −1), u2 = (−3, 1, 2, 0), u3 = (1, −1, 2, 3), u4 = (0, 3, 4, 2) Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 17 / 18 Không gian con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. .. độc lập tt ⇔ rank {u1 , u2 , , um } = m Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 12 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Định nghĩa Một hệ véctơ trong Rn được gọi là một cơ sở nếu thỏa hai điều kiện i) Hệ véctơ đó độc lập tuyến tính ii) Mọi véctơ trong Rn đều biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy Lưu ý: Một hệ véctơ thỏa điều kiện ii) trong định nghĩa trên được gọi là hệ sinh của Rn Ví dụ... véctơ đó và được ký hiệu bởi rank {u1 , u2 , , un } Ví dụ Trong R3 , hệ véctơ {u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, 1, 1), u3 = (3, −1, 4)} có hạng là 3, vì - hệ con {u1 , u2 } là độc lập tuyến tính - hệ {u1 , u2 , u3 } là phụ thuộc tuyến tính Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 11 / 18 Hạng của hệ véctơ Định lý Xét các véctơ uk = (α1k , α2k , , αnk ) ∈ Rn , k = 1, 2, , m rank {u1 , u2 ,... (aij )m×n và x = (x1 , x2 , , xn )T We là không gian con của Rn (tại sao?) Số chiều của We = n − rank (A) Mỗi hệ gồm k = dim (We ) véctơ nghiệm độc lập tuyến tính của Ax = θ là một cơ sở của We Ví dụ Xét We = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R3 : 2x1 + x2 − x3 = 0, 2x1 − x4 = 0, x2 − x3 + x4 = 0} Chứng minh We là không gian con của R4 Tìm số chiều và một cơ sở của We Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG... n Nếu B = {u1 , u2 , , un } là một cơ sở của Rn và u ∈ Rn thì u có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính qua {u1 , u2 , , un } Ts Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) KHÔNG GIAN VÉCTƠ Rn 14 / 18 Cơ sở, số chiều và tọa độ Định nghĩa Giả sử B = {u1 , u2 , , un } là một cơ sở của Rn và u ∈ Rn Nếu u = λ 1 u1 + λ 2 u2 + · · · + λ n un thì ta gọi ma trận λ1 λ2 [u ]B = λn là tọa độ của