Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng đại số tuyến tính tích vô hướng , Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download
CHƯƠNG V 7/13/2014 ThS NGUYỄN HẢI SƠN §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa Đ/n Cho V R-kgvt, ánh xạ φ: VxV→R gọi dạng song tuyến tính V thỏa mãn t/c sau: (i) ( x1 x2 ; y ) ( x1; y ) ( x2 ; y ) (ii) (x; y ) ( x; y ) (iii) ( x; y1 y2 ) ( x; y1 ) ( x; y2 ) (iv) ( x; y ) ( x; y ) với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 V , §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý: Nếu cố định biến dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến lại VD1 Ánh xạ φ: RxR → R xác định φ(x,y)=x.y dạng song tuyến tính VD2 Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 dạng song tuyến tính với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2) §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý Ánh xạ tuyến tính f : V → R với V Rkgvt gọi dạng tuyến tính V VD3 Nếu V kgvt f, g hai dạng tuyến tính V ánh xạ φ : VxV → R xác định φ(u,v)=f(u).g(v) dạng song tuyến tính §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VD4 Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định ( x, y ) x1 1 y1 x2 y 2 dạng song tuyến tính Đ/n Dạng song tuyến tính φ : Vx V → R gọi đối xứng φ(x;y)= φ(y;x) với x,y thuộc V VD5 Các dạng song tuyến tính VD1, VD2 dạng song tuyến tính đối xứng §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.2 Ma trận dạng song tuyến tính a.Đ/n Cho φ: VxV → R dạng song tuyến tính V Gọi B={e1, e2,…, en} sở V Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,…,n Khi đó, ma trận A=[aij] gọi ma trận φ sở B VD Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 → R xđ φ(u,v)=x1.x2+y1y2 với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2) Viết ma trận sở tắc R2 B={v1=(1;1),v2=(1;2)} §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH b Biểu thức tọa độ Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen y=y1e1+y2e2+…+ynen Khi n n t B ( x, y ) xi y j (ei , e j ) aij xi y j [x] A[ y ]B i , j 1 i , j 1 t B ( x, y) [x] A[ y]B §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH c Công thức đổi tọa độ G/s B’={v1, v2,…, vn} sở khác V T mtr chuyển sở từ B sang B’ Gọi A’ ma trận φ sở B’ Ta có [x]B T [x]B ' , [y]B T [y]B ' t B' ( x, y ) [x] A '[y]B ' t t B Suy ( x, y ) [x] A[y]B T [x]B ' A T [y]B ' t B' t [x] (T AT )[y]B ' §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH t B' t t B' Do [x] (T AT )[y] B ' [x] A '[y] B ' t A ' T AT ĐL Hạng ma trận dạng song tuyến tính kgvt V không phụ thuộc vào sở chọn Đn Hạng dạng song tuyến tính kgvt Vlà hạng ma trận dạng song tuyến tính sở §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài toán đặt ra: Cho kg Euclide E Hãy tìm sở trực chuẩn E TRỰC CHUẨN HÓA MỘT HỆ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.4 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Smith G/s {v1, v2,…, vn} hệ vectơ độc lập tuyến tính kgvt E với tích vô hướng < , > Quá trình trực chuẩn hóa hệ véctơ gồm bước: Bước Trực giao hóa Bước Trực chuẩn hóa 3.4 Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước Trực giao hóa Đặt u1 v1 u1 , v2 u1 u2 v2 u1 … k 1 ui , vk uk vk ui ui i 1 … n 1 ui , un ui ui i 1 3.4 Trực chuẩn hóa Gram-Smith ĐL Hệ {u1, u2,…, un} có tính chất (i) Là hệ trực giao (ii) span(u1, u2,…, uk )= span(v1, v2,…, vk), với k=1,…,n C/m: 3.4 Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước Trực chuẩn hóa ui , i 1, n Đặt ei ui Khi đó, ta hệ {e1,e2,…,en} hệ trực chuẩn T/v: ei , e j ui u j , ui u j ui , u j ui u j 0 1 i j i j 3.4 Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD1 Trong không gian R3, với tích vô hướng thông thường, xây dựng sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ sở B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;2);v3=(1;2;3)} VD2 Câu hỏi VD1 với B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;0);v3=(1;0;0)} VD3 Câu hỏi VD1 với tích vô hướng ( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3 3.4 Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD4 Trong không gian P2[x], với tích vô hướng p, q p ( x)q ( x)dx 1 xây dựng sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ sở E={1; x; x2} §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.5.Công thức tọa độ sở trực chuẩn Trong kg Euclide (E, < , >), cho sở trực chuẩn B={e1, e2,…, en } Khi đó, với vectơ x y thuộc E, ta có (i ) x x, e1 e1 x, e2 e2 x, en en tức ( x) B ( x, e1 , x, e2 , , x, en ) n (ii ) ), cho không gian W vectơ v Hình chiếu v lên W vec tơ W, kí hiệu chW(v), xác định v chW (v) W ĐL Trong kg Euclide (E, < , >), cho kg W vectơ x G/s B={e1, e2,…, em} sở trực chuẩn W Khi đó, hình chiếu vecto v lên kg W chW (v) v, e1 e1 v, e2 e2 v, em em §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1 Xét không R3 với tích vô hướng thông thường Giả sử H không gian nghiệm phương trình x1+x2-x3=0 Tìm sở trực chuẩn H Tìm tọa độ vectơ u=(1;2;3) thuộc H sở vừa tìm ( Đề I-K56) VD2 Xét không R3 với tích vô hướng thông thường Giả sử H không gian nghiệm phương trình x1 -x2-x3=0 Tìm sở trực chuẩn H Tìm tọa độ vectơ u=(4;1;3) thuộc H sở vừa tìm (Đề II-K56) §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3 Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường Cho vecto u1=(1;2;3), u2=(-4;5;1), u3=(-2;9;7), u =(4;-1;-3) Đặt H=span{u1,u2,u3} Tìm hình chiếu vuông góc vectơ u lên không gian H ( Đề III-K55) VD4 Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường Cho vecto v1=(1;-2;3), v2=(3;-7;10), v3=(-1;3;-4), v =(1;3;1) Đặt H=span{v1,v2,v3} Tìm hình chiếu vuông góc vectơ v lên không gian H ( Đề IV-K55) §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD5 Trong không gian R3 với tích vô hướng ( x1; x2 ; x3 ),( y1; y2 ; y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3 cho A không gian nghiệm phương trình 2x1+2x2-x3=0 vecto v =(2;2;1) 1) Tìm sở trực chuẩn A 2) Tìm vectơ w∈A cho w v w 45 (Đề III-K55) Đ/s: w1 (2;1;6), w (2; 1; 6) §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD6 Trong không gian R3 với tích vô hướng ( x1; x2 ; x3 ),( y1; y2 ; y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3 cho B không gian nghiệm phương trình 2x1+x2-2x3=0 vecto v =(2;2;1) 1) Tìm sở trực chuẩn B 2) Tìm vectơ w∈B cho w v w 3 (Đề IV-K55) Đ/s: §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD7 Trong không gian R3 với tích vô hướng ( x1; x2 ; x3 ),( y1; y2 ; y3 ) x1 y1 2x2 y2 x3 y3 cho hệ B {e1 =(1;-1;1),e =(1;1;1)} x (2;1; 1) Tìm hình chiếu vecto x lên không gian W=span(B) phân tích x=u+v với u∈W, v trực giao với u (Đề I-K53) 3 1 1 3 Đ/s: u ;1; , v ;0; 2 2 2 2 [...]... khi i j §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1 Trong không gian Rn, với tích vô hướng thông thường, cơ sở chính tắc E là một hệ trực chuẩn VD2 Trong P2[x] với tích vô hướng 1 p, q p ( x)q ( x)dx 1 Tìm một hệ gồm 3 véctơ trực chuẩn đối với tích vô hướng trên §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b Hai không gian con trực giao Trong kgvt E với tích vô hướng < , > , cho vectơ x và hai kg con W, V (i) x gọi là trực giao... là một tích vô hướng nếu thỏa mãn (i) x, y y, x , x, y V (ii) x, y x, y , x, y V , (iii) x1 x2 , y x1 , y x2 , y , x1 , x2 , y V (iv) x, x 0, x V Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE -Không gian vectơ thực V hữu hạn chiều trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclide NX Tích vô hướng trong kgvt V thực chất là một dạng song tuyến tính đối... mỗi tích vô hướng đó ta có một kiểu không gian Euclide §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3 Trong kg Pn[x], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng 1 p, q p ( x)q ( x)dx 1 với mọi p, q Pn [ x ] VD4 Trong kg C[a;b], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng b f , g f ( x) g ( x)dx với mọif , g C[a; b] a §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.2 Độ dài của vectơ a.Đ/n G/s E là một R-kgvt đã được trang bị tích. .. kgvt E với tích vô hướng < , > - Nếu x, y khác vecto không thì góc giữa hai vectơ x và y được xác định bởi x, y ( x, y ) arccos x y - Nếu một trong hai vectơ x, y là vectơ không thì góc giữa hai vectơ x và y là tùy ý §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b Hệ vectơ trực giao - Hai vectơ x, y trong kgvt E với tích vô hướng < , > gọi là trực giao nếu =0 Kí hiệu x⊥y VD1 Trong R3 với tích vô hướng thông... gian với tích vô hướng đã học là một không gian Euclide §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2 Trong Rn, ta có các dạng sau là tích vô hướng Với x=(x1,x2,…,xn) và y=(y1,y2 ,…,yn)∈Rn (i) x, y x1 y1 x2 y2 xn yn (TVH thông thường) (ii) x, y x1 y1 2 x2 y2 nxn yn (iii) x, y a1 x1 y1 a2 x2 y2 an xn yn trong đó, các ai 0, i 1, n NX Trên một không gian có thể có nhiều tích vô hướng khác... x2 x3 §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Định luật quán tính Với một dạng toàn phương cho trước, số các số hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi, không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến, hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở §3:KHÔNG GIAN EUCLIDE §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide Đ/n: Cho V là R-không... trang bị tích vô hướng < > Khi đó với mỗi x∈E, thì ||x|| được xác định bởi x x, x x, x 1 2 gọi là độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường ta có x x12 x22 xn2 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b Bất đẳng thức Cauchy-Schawarz Cho E là một R-kgvt đã được trang bị TVH < , > Khi đó, với mọi x,y E ta có x, y x y VD: Trong Rn với tích vô hướng thông... §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa a Đ/n Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên Rkgvt V Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho - Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở B nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó theo một cơ sở B Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng §2:... tích vô hướng < , > gọi là trực giao nếu =0 Kí hiệu x⊥y VD1 Trong R3 với tích vô hướng thông thường, xét các vectơ x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2) Xét tính trực giao của các vectơ trên §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2 Trong P2[x] với tích vô hướng 1 p, q p ( x)q ( x)dx 1 Khi đó, u=1+x2 và v = x là trực giao §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Đ/n - Hệ vectơ {v1,v2,…,vn} gọi là hệ trực giao nếu vi , v... x a x §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG ( x, x) a11 x12 a22 x22 ann xn2 NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi aii 0, i φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi aii 0, i §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG → Bài toán: “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc” hay “Tìm một cơ sở của V để ma trận của dạng toàn phương có dạng chéo” §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2 Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp ◆ Phương pháp