TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM VIỆN KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN —–ooOoo—– BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TÊN HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MÃ HỌC PHẦN 18101 TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CHÍNH QUY DÙNG CHO SV. taài liệu cao đẳng đại học, tài liệu luận văn, giáo trình thạc sy, tiến sỹ, tài liệu THCS
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM VIỆN KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN —–ooOoo—– BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TÊN HỌC PHẦN MÃ HỌC PHẦN: TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: DÙNG CHO SV NGÀNH: :ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH :18101 :ĐẠI HỌC CHÍNH QUY :KỸ THUẬT Hải Phịng - 2010 Mục lục Mục lục Đề cương chi tiết Tập hợp ánh xạ 1.1 1.2 1.3 Tập hợp 11 1.1.1 Các khái niệm 11 1.1.2 Các phép toán tập hợp 12 1.1.3 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn 12 Quan hệ ánh xạ 13 1.2.1 Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự 13 1.2.2 Ánh xạ 13 Nhóm, Vành Trường 14 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 2.1 2.2 2.3 2.4 11 17 Ma trận 17 2.1.1 Khái niệm ma trận 17 2.1.2 Một số dạng đặc biệt ma trận 17 2.1.3 Phép toán ma trận 19 2.1.4 Biến đổi sơ cấp ma trận 21 Định thức 21 2.2.1 Định nghĩa 21 2.2.2 Tính chất 22 2.2.3 Tính định thức biến đổi sơ cấp 25 Ma trận nghịch đảo 26 2.3.1 Định nghĩa 26 2.3.2 Tính chất 26 2.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo phụ đại số 28 2.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp Gauss-Jordan 30 Hạng ma trận 31 2.4.1 Định nghĩa 31 MỤC LỤC 2.4.2 2.5 Tìm hạng ma trận biến đổi sơ cấp 31 Hệ phương trình tuyến tính 32 2.5.1 Định nghĩa 32 2.5.2 Giải hệ phương trình ma trận nghịch đảo 33 2.5.3 Giải hệ phương trình phương pháp Cramer 34 2.5.4 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss 35 2.5.5 Giải biện luận hệ phương trình định lý Kronecker-Capelli 36 2.5.6 Hệ phương trình tuyến tính 38 Bài tập chương 40 Không gian véc tơ 44 3.1 Khái niệm không gian véc tơ 3.2 Độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính 46 3.3 Cơ sở số chiều không gian véc tơ 49 3.3.1 3.4 3.5 44 Bài toán đổi sở 54 Không gian - Hạng hệ véc tơ 55 3.4.1 Tổng Tổng trực tiếp 56 3.4.2 Hạng hệ véc tơ 57 3.4.3 Cách tìm hạng hệ véc tơ 57 3.4.4 Không gian sinh hệ véc tơ 59 Không gian véc tơ Euclid 61 3.5.1 Không gian véc tơ Euclid 61 3.5.2 Cơ sở không gian Euclid 64 3.5.3 Hình chiếu véc tơ lên không gian 66 Bài tập chương 68 Ánh xạ tuyến tính 4.1 75 Các khái niệm 75 4.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 75 4.1.2 Tính chất 76 4.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 77 4.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 79 4.3.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác 82 Bài tập chương 84 Trị riêng - Véctơ riêng - Dạng toàn phương 5.1 88 Trị riêng véctơ riêng ma trận 88 5.1.1 Các định nghĩa 88 5.1.2 Tính chất 89 MỤC LỤC 5.1.3 5.2 Tìm trị riêng véctơ riêng ma trận 90 Dạng tồn phương khơng gian Rn 91 5.2.1 Khái niệm 91 5.2.2 Dạng tắc dạng tồn phương 92 5.2.3 Thuật toán Lagrange đưa dạng tồn phương tắc 92 5.2.4 Dạng toàn phương xác định dương 96 Bài tập chương 99 Tài liệu tham khảo 100 Đề thi tham khảo 101 MỤC LỤC ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính - Ngành kỹ thuật Số tín chỉ: = 60 tiết Phân bổ thời gian: • Lý thuyết: 42 tiết • Bài tập, kiểm tra: 18 tiết Điều kiện tiên quyết: Khơng Mục đích học phần: Trang bị cho sinh viên kiến thức nhóm, vành, trường, đại số đa thức, đại số tuyến tính Những kiến thức điều kiện tiên quyết, giúp sinh viên tiếp thu kiến thức học phần giải tích 1, 2, vật lí, học, hóa học, mơn tốn chun đề số môn chuyên môn ngành kĩ thuật Nội dung chủ yếu: Tập hợp ánh xạ Cấu trúc đại số Số phức Đa thức Phân thức hữu tỉ Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Không gian véc tơ Không gian Euclid Ánh xạ tuyến tính Trị riêng véc tơ riêng Dạng tồn phương Người biên soạn: ThS Nguyễn Đình Dương ThS Nguyễn Thị Đỗ Hạnh - Giảng viên Bộ mơn Tốn - Viện Khoa học Nội dung chi tiết học phần: Tên chương mục Chương Tập hợp ánh xạ 1.1 Tập hợp phần tử 1.1.1 Khái niệm tập hợp phần tử 1.1.2 Quan hệ thuộc kí hiệu ∈ 1.1.3 Cách mơ tả tập hợp 1.1.4 Một số tập hợp thông dụng 1.1.5 Tập rỗng 1.1.6 Sự hai tập hợp 1.1.7 Quan hệ bao hàm Tập 1.1.7 Quan hệ bao hàm Tập 1.1.7 Sơ đồ Ven 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Phép hợp 1.2.2 Phép giao ∈ 1.2.3 Tính chất 1.2.4 Hiệu tập Phần bù 1.2.5 Luật DeMorgan 1.2.6 Suy rộng 1.2.7 Phủ phân hoạch Phân phối chương trình TS LT BT TH KT MỤC LỤC 1.3 Tích Decartes 1.4 Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự 1.4.1 Quan hệ hai 1.4.2 Đồ thị quan hệ hai ngơi 1.4.3 Tính phản xạ, tính đối xứng, tính bắc cầu quan hệ ngơi 1.4.2 Quan hệ tương đương lớp tương đương 1.4.2 Quan hệ thứ tự Thứ tự phận thứ tự toàn phần 1.5 Ánh xạ 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ Ảnh nghịch ảnh 1.5.2 Các loại ánh xạ đặc biệt: đơn ánh, toàn ánh, song ánh 1.5.3 Ánh xạ ngược 1.5.4 Tích ánh xạ 1.6 Tập đếm không đếm Chương Cấu trúc đại số Số phức Đa thức phân thức hữu tỉ 2.1 Luật hợp thành 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các tính chất luật hợp thành 2.1.3 Cấu trúc đại số 2.2 Nhóm 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất nhóm 2.3 Vành 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Vành nguyên 2.4 Trường 2.4.1 Định nghĩa 2.4.2 Tính chất 2.5 Số phức 2.5.1 Định nghĩa số phức 2.5.2 Trường số phức 2.5.3 Số thực trường hợp riêng số phức 2.5.4 Số ảo 2.5.5 Dạng đại số số phức 2.5.6 Mặt phẳng phức 2.5.7 Dạng lượng giác số phức Công thức Moivre 2.5.8 Căn bậc n số phức 2.6 Đa thức 2.6.1 Định nghĩa đa thức 2.6.2 Nghiệm đa thức Định lí Đalămbe 2.6.3 Sự phân tích phân thức thực với hệ số thực thành tổng phân thức đơn giản MỤC LỤC Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Ma trận 3.1.1 Định nghĩa ma trận 3.1.2 Sự ma trận Ma trận không 3.1.3 Cộng hai ma trận 3.1.4 Phép nhân số với ma trận 3.1.5 Phép nhân ma trận với ma trận 3.1.6 Ma trận chuyển vị 3.2 Định thức 3.2.1 Định nghĩa định thức 3.2.2 Tính chất định thức 3.2.3 Tính định thức nhờ tính chất 3.2.3 Định thức tích hai ma trận vng 3.3 Ma trận nghịch đảo 3.3.1 Định nghĩa ma trận ngịch đảo 3.3.2 Điều kiện cần đủ để ma trận khả đảo Tính ma trận nghịch đảo nhờ ma trận phụ hợp 3.3.3 Ma trận nghịch đảo tích ma trận khả đảo 3.4 Hạng ma trận 3.4.1 Định nghĩa hạng ma trận 3.4.2 Tính chất hạng ma trận 3.4.3 Tính hạng ma trận nhờ phép biến đổi sơ cấp 3.5 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 3.5.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng qt 3.5.2 Hệ Cramer 3.5.3 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 3.5.4 Định lí Kronecker-Capelli 3.5.3 Tính ma trận nghịch đảo phương pháp Gauss-Jordan Chương Không gian véc tơ-Không gian Euclid 4.1 Định nghĩa 4.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng qt 4.1.2 Các ví dụ 4.1.3 Các tính chất khơng gian véc tơ 4.2 Sự độc lập tuyến tính 4.2.1 Tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ 4.2.2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 4.3 Cơ sở số chiều không gian véc tơ 4.3.1 Không gian hữu hạn chiều 4.3.2 Cơ sở không gian hữu hạn chiều 15 10 15 10 MỤC LỤC 4.3.3 Các tính chất sở 4.4 Tọa độ véc tơ theo sở 4.4.1 Định nghĩa tọa độ véc tơ 4.4.2 Ma trận chuyển sở 4.5 Không gian véc tơ 4.5.1 Định nghĩa 4.5.2 Không gian sinh hệ véc tơ 4.5.3 Số chiều sở không gian sinh hệ véc tơ 4.6 Khơng gian Euclid 4.6.1 Tích vơ hướng không gian véc tơ 4.6.2 Không gian Euclid 4.6.3 Sự trực giao Cơ sở trực chuẩn 4.6.4 Phép trực giao hóa Schmidt 4.6.5 Góc độ dài khơng gian Euclid 4.6.6 Hình chiếu vng góc véc tơ lên không gian không gian Euclid Chương Ánh xạ tuyến tính 5.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 5.2 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 5.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 5.3.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở 5.3.2 Hạng ánh xạ tuyến tính 5.3.3 Ma trận đồng dạng Chương Trị riêng, véc tơ riêng Dạng toàn phương 6.1 Trị riêng, véc tơ riêng ma trận 6.2 Dạng toàn phương 6.2.1 Định nghĩa dạng toàn phương n biến 5.3.2 Dạng tắc dạng tồn phương Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange 5.3.3 Luật qn tính 5.3.4 Dạng tồn phương xác định dương Điều kiện cần đủ để dạng toàn phương n biến xác định dương 1 Tài liệu tham khảo: (a) Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp - tập 1, NXB Giáo dục - 2003 (b) Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán cao cấp - tập 1, NXB Giáo dục - 2001 (c) Lê Ngọc Lăng (chủ biên), Nguyễn Chí Bảo, Trần Xuân Hiền, Nguyễn Phú Trường, Ơn thi học kì thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục - 1997 10 MỤC LỤC 10 Hình thức tiêu chuẩn đánh giá sinh viên • Thi viết rọc phách, thời gian làm bài: 75 phút • Thang điểm: thang điểm chữ A, B, C, D, F • Điểm đánh giá học phần: Z = 0, 2X + 0, 8Y Bài giảng tài liệu thức thống Bộ mơn Toán dùng để giảng dạy cho sinh viên Ngày phê duyệt: / /2010 Trưởng Bộ môn: T.S Phạm Văn Minh Chương Tập hợp ánh xạ 1.1 1.1.1 Tập hợp Các khái niệm Tập hợp khái niệm “nguyên thủy”, không định nghĩa, mà hiểu cách trực giác sau: Một tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó; đối tượng gọi phần tử tập hợp Người ta thường gọi tắt tập hợp “tập” Ví dụ tập hợp sinh viên trường đại học, tập hợp xe tải công ty, tập hợp số nguyên tố, Các tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa: A, B, C, , X, Y, Z Các phần tử tập hợp thường kí hiệu chữ in thường: a, b, c, , x, y, z Để nói x phần tử tập hợp X, ta viết x ∈ X đọc “x thuộc X” Trái lại để nói y khơng phần tử X, ta viết y ∈ / X , đọc “y không thuộc X” Để xác định tập hợp ta liệt kê tất phần tử nó, chẳng hạn: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Người ta xác định tập hợp tính chất đặc trưng P(x) phần tử Tập hợp X phần tử x có tính chất P(x) kí hiệu X = {x|P(x)} X = {x : P(x)} • Ví dụ N Z Q R = = = = {x|x {x|x {x|x {x|x là là số số số số tự nhiên} nguyên} hữu tỉ} thực} Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp X ta nói A tập hợp X, viết A ⊂ X Tập A gồm phần tử x X có tính chất P(x) kí hiệu A = {x ∈ X| P(x)} Hai tập A B gọi phần tử tập hợp phần tử tập hợp ngược lại, tức A ⊂ B B ⊂ A Khi ta viết A = B 2.3 Ma trận nghịch đảo 29 Các phần tử ma trận phụ hợp là: Do đó: c11 = + = 40; c12 = − = −13; c11 = + = −5 c21 = − = −16; c22 = + = 5; c23 = − =2 c31 = + = −9; c32 = − = 3; c33 = + =1 40 −13 −5 40 −16 −9 ⇒ C t = −13 3 C = −16 −9 −5 Vậy ma trận nghịch đảo A là: 40 −16 −9 −40 16 −13 = 13 −5 −3 A−1 = −1 −5 −2 −1 • Ví dụ 20 Tìm ma trận X, biết: [ ] [ ] −1 X= −1 3 −4 Giải Đặt: ] ; A= −1 [ ] [ −1 B= −4 Ta có: det(A) = ̸= A có ma trận nghịch đảo A−1 tìm sau: ] ] [ [ −2 t C= ⇒C = ⇒ A−1 = C t 1 −2 Phương trình ma trận cho trở thành: AX = B Nhân bên trái hai vế phương trình với A−1 ta được: A−1 (AX) = A−1 B ⇔ (A−1 A)X = A−1 B ⇔ IX = A−1 B ⇔ X = A−1 B Vậy ma trận X cần tìm là: −3 14 [ ][ ] [ ] −1 −2 −1 1 −3 −5 14 X = C tB = = = 54 −2 −4 −2 5 1 5 30 2.3.4 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp Gauss-Jordan Muốn tính ma trận nghịch đảo A−1 ma trận A biến đổi sơ cấp hàng ta làm sau: • Viết ma trận đơn vị I bên cạnh ma trận A • Áp dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa dần ma trận A ma trận đơn vị I, tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp vào ma trận I • Khi A biến đổi thành ma trận I I trở thành ma trận nghịch đảo A−1 • Ví dụ 21 Tìm ma trận nghịch đảo của: A = 2 3 Giải Quá trình biến đổi ghi tóm tắt thành bảng sau: 1 0 0 0 0 -2 0 0 3 -3 -3 -1 0 -1 0 1 0 0 1 0 -2 -1 -2 -2 -5 -40 16 13 -5 -3 -5 -40 16 13 -5 -3 -2 -1 H1 H2 H3 −2H1 + H2 → H2 −H1 + H3 → H3 −2H2 + H1 → H1 2H2 + H3 → H3 9H3 + H1 → H1 −3H3 + H2 → H2 −H3 → H3 Vậy ma trận nghịch đảo A là: A−1 −40 16 = 13 −5 −3 −2 −1 Cơ sở lý thuyết phương pháp đề nghị xem phần 2.5.4 2.4 Hạng ma trận 2.4 2.4.1 31 Hạng ma trận Định nghĩa ✷ Định nghĩa 11 Cho A ma trận cấp m × n Ma trận cấp p A ma trận có từ A sau bỏ m − p hàng n − p cột Định thức ma trận định thức cấp p A ✷ Định nghĩa 12 Hạng ma trận A cấp cao định thức khác không ma trận A, ký hiệu ρ(A) • Ví dụ 22 Xét ma trận: −2 A = −4 −1 −1 Các định thức cấp A là: −2 −4 = 0; −2 −1 = 0; −1 −1 −2 −4 = 0; −1 −1 −2 −4 = −1 Các định thức cấp A là: −2 = 0; −4 = 0; ··· Vậy định thức khác A cấp cao định thức cấp 2, ρ(A) = ⊕ Nhận xét Các biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận 2.4.2 Tìm hạng ma trận biến đổi sơ cấp ✷ Định nghĩa 13 Ma trận bậc thang ma trận có đặc điểm sau: • Các hàng hàng khác 0; • Đối với hàng khác không liên tiếp, phần tử khác (kể từ trái sang) hàng nằm bên trái phần tử khác hàng • Ví dụ 23 0 0 0 0 0 0 ma trận bậc thang có hàng khác 8 ⊕ Nhận xét Hạng ma trận bậc thang số hàng khác không ma trận Quy tắc thực hành tìm hạng ma trận: Để tìm hạng ma trận A ta sử dụng biến đổi sơ cấp đưa ma trận A ma trận bậc thang B Khi đó: ρ(A) = ρ(B)= số hàng khác không B 32 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính • Ví dụ 24 Tìm hạng ma trận: −2 A = −4 −1 −1 Giải −2 −2 −2 − H2 →H2 −2H +H2 →H2 A = −4 −−−−1−−− −−→ 0 −5 −5 −−−5−−−−−→ 0 1 H1 +H3 →H3 3H2 +5H3 →H3 −1 −1 0 3 0 0 Ma trận cuối ma trận bậc thang với hàng khác khơng Vậy: ρ(A) = • Ví dụ 25 Tìm m để ma trận sau có hạng bé giá trị mà nhận: 1 −1 m2 + m 10 m + 5 B= 17 2 Với giá trị m hạng B bao nhiêu? Giải 1 −1 1 −1 10 m + 5 C1 →C4 − 4 10 m + m m + 5 − − − → 7 17 17 4 −1 1 −1 0 −5 −4 −2H1 +H2 →H2 −− − − − − − − − − → 17 −7H +H →H 0 10 −25 −20 15 3 10 m2 + m m + −15 m2 + m − 12 m + −4H1 +H4 →H4 1 −1 −5 −4 3 −3H +H4 →H3 −−−−2−−− −−→ m2 + m m −5H2 +H3 →H4 0 0 0 0 m2 + m B= H ↔H4 2 −−2−−→ 7 Vậy hạng(B) nhận giá trị nhỏ m = Khi ρ(B) = 2.5 2.5.1 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa ✷ Định nghĩa 14 Hệ phương trình tuyến tính m dạng: a11 x1 + a12 x2 + · · · a21 x1 + a22 x2 + · · · ··· ··· ··· am1 x1 + am2 x2 + · · · phương trình, n ẩn hệ phương trình có + a1n xn = b1 + a2n xn = b2 ··· ··· + amn xn = bm (2.1) 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 33 đó: • x1 , x2 , , xn ẩn; • aij hệ số ẩn xj phương trình thứ (i); • bi vế phải phương trình thứ (i) Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính Đặt: a11 a12 a21 a22 A= ··· ··· am1 am2 x1 x2 x= · · · ; xn · · · a1n · · · a2n ; ··· ··· · · · amn b1 b2 b= · · · bm hệ phương trình (2.1) cịn có dạng ma trận: Ax = b A ma trận hệ số ; x ma trận ẩn; b ma trận vế phải 2.5.2 Giải hệ phương trình ma trận nghịch đảo Cho A ma trận vng cấp n khơng suy biến Khi hệ phương trình Ax = b có nghiệm nhất: x = A−1 b { 2x1 + 3x2 = • Ví dụ 26 Giải hệ: 4x1 − x2 = Giải [ ] A= ; −1 [ ] x x= ; x2 [ ] b= Tìm ma trận nghịch đảo A: det(A) = −14 ̸= 0; suy ra: [ ] −1 −4 C= ; −3 −1 A [ ] −1 −3 = −14 −4 [ ][ ] [ ] [ 13 ] −1 −3 −26 x=A b= = = 73 −14 −4 −14 −6 −1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x1 = 13 ; x2 = 34 2.5.3 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp Cramer △ Định lý (Định lý Cramer) Hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A ma trận vuông không suy biến, có nghiệm nhất: xj = det(Aj ) , det(A) j = 1, 2, , n Aj ma trận có từ A sau thay cột thứ j cột vế phải b Chứng minh Vì A ma trận khơng suy biến, det(A) ̸= nên A có ma trận nghịch đảo: Ct det(A) A−1 = Từ phương trình Ax = b, nhân bên trái hai vế với A−1 ta có: A−1 (Ax) = A−1 b ⇔ (A−1 A)x = A−1 b ⇔ Ix = A−1 b ⇔ x = A−1 b x = A−1 b nghiệm hệ phương trình Sử dụng biểu thức A−1 định lý (3) ta x1 c11 x2 c21 = det(A) · · · cn1 xn nghĩa có xj = suy ra: c12 c22 ··· cn2 ··· ··· ··· ··· b1 c1n b2 c2n · · · cnn bn c1j b1 + c2j b2 + · · · + cnj bn det(Aj ) = det(A) det(A) Mặt khác, giả sử hệ có hai nghiệm x y: Ax = b; Ay = b Suy ra: Ax − Ay = ⇒ A(x − y) = Nhân hai vế với A−1 : A−1 A(x − y) = A−1 ⇒ (x − y) = ⇒ x = y Vậy hệ có nghiệm • Ví dụ 27 Giải hệ phương trình: x1 + 2x3 = −3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 −x1 − 2x2 + 3x3 = Giải 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 35 A = −3 6 ; −1 −2 Ta có: b = 30 Tính được: det(A) = −3 = 44 ̸= 0; −1 −2 det(A1 ) = 30 = −40 −2 det(A3 ) = −3 30 = 152 −1 −2 det(A2 ) = −3 30 = 72; −1 Vậy hệ cho có nghiệm là: x1 = 2.5.4 −40 10 =− ; 44 11 x2 = 72 18 = ; 44 11 x3 = 152 38 = 44 11 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss a) Hệ tam giác hệ phương trình tuyến tính có dạng: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ··· ··· ··· ann xn = bn với ma trận hệ số ma trận tam giác trên: a11 a12 · · · a1n a22 · · · a2n A= · · · · · · ann Với giả thiết det(A) ̸= 0, tức aii ̸= 0, ∀i = 1, 2, n, hệ tam giác giải dễ dàng cách ngược từ lên b) Thực hành giải hệ phương trình biến đổi sơ cấp Xét hệ phương trình Ax = b; với det(A) ̸= Viết ma trận A cạnh ma trận cột b ta ma trận chữ nhật: A=[A|b] A gọi ma trận bổ sung A ⊕ Nhận xét Các biến đổi sơ cấp hàng ma trận A tương ứng với phép biến đổi tương đương hệ phương trình Do để giải hệ phương trình tuyến tính ta thực sau: Áp dụng biến đổi sơ cấp hàng ma trận A để đưa ma trận A dạng tam giác Hệ phương trình cho tương đương với hệ tam giác cuối Giải hệ tam giác (bằng cách ngược từ lên) ta thu nghiệm cần tìm Phương pháp vừa trình bày cịn có tên phương pháp Gauss 36 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính • Ví dụ 28 Giải hệ phương trình: 2x1 + 4x2 + 3x3 = 3x1 + x2 − 2x3 = −2 4x1 + 11x2 + 7x3 = Giải Ta có: 4 A = 3 −2 −2 11 7 Áp dụng phép biến đổi sơ cấp hàng ta có: 4 4 3H1 −2H2 →H2 H →H2 −1 A −−− −−−−−→ 10 13 16 −−3−−→ −2H1 +H3→H3 −3H2 +10H3→H3 −1 0 −29 −58 Hệ cho tương đương với: x1 = 2x1 + 4x2 + 3x3 = x2 = −1 3x2 + x3 = −1 ⇔ x3 = − 29x3 = −58 2.5.5 Giải biện luận hệ phương trình định lý KroneckerCapelli △ Định lý (Định lý Kronecker-Capelli) Hệ phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm ρ(A) = ρ(A) Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ax = b, A = [aij ]m×n Lập ma trận A = [ A | b ], sử dụng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A ma trận bậc thang (khi A đưa ma trận bậc thang) • ρ(A) ̸= ρ(A): hệ phương trình vơ nghiệm; • ρ(A) = ρ(A) = n: hệ cho tương đương với hệ tam giác gồm n phương trình, n ẩn Giải hệ phương pháp Gauss ta nhận nghiệm phương trình; • ρ(A) = ρ(A) = r < n: hệ có vơ số nghiệm giải sau: Từ ma trận bậc thang biến đổi từ A, chọn định thức cấp r khác không, ẩn ứng với cột định thức gọi ẩn chính, ẩn cịn lại gọi ẩn phụ Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ gồm r phương trình tương ứng với hàng định thức Giải hệ ẩn ta nghiệm hệ cho (phụ thuộc vào n − r ẩn phụ) • Ví dụ 29 Giải hệ phương trình: x1 + 2x2 − 3x3 = −2x1 + x2 + 4x3 = −x1 + 3x2 + x3 = −4 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 37 Giải −3 2 −3 2 −3 2H +H2 →H2 −−−1−−− −−−−−−−−→ −2 A = −2 −−→ −2 H1 +H3 →H3 −H2 +H3 →H3 −1 −4 −2 −2 0 −7 Vì ρ(A) = 2; ρ(A) = nên hệ phương trình cho vơ nghiệm • Ví dụ 30 Giải hệ phương trình: x1 2x1 −3x −2x1 + 2x2 + x2 + 2x2 + 3x2 + 3x3 − x3 + x3 + 2x3 = −6 = = = Giải −6 −2H1 +H2 →H2 −3 −7 −1 −−−−−−−−−→ 10 3H +H →H 3 2 2H1 +H4 →H4 −6 H →H3 −3 −7 15 8H2 +3H3 →H3 26 −−− − − − − − − → −−− −−−−−→ −26 78 − 25 7H2 +3H4 →H4 H +H4 →H4 26 0 −25 75 A= −3 −2 −6 15 −14 −10 −6 −3 −7 15 0 −3 0 0 suy ρ(A) = ρ(A) = 2, hệ có nghiệm nhất: x1 = −1 x1 + 2x2 + 3x3 = −6 x2 = − 3x2 − 7x3 = 15 ⇔ x3 = −3 x3 = −3 • Ví dụ 31 Giải hệ phương trình: x1 − x2 −2x1 − 3x2 −2x1 + 2x2 3x1 + 2x2 + 2x3 + x3 − 4x3 + x3 − + + − 2x4 4x4 4x4 6x4 = = −2 = −2 = Giải −1 −2 1 −1 −2 −2 −3 −5 −2 0 +H2 →H2 −−2H A= − − − − − − − − → −2 −4 −2 2H +H →H 0 0 3 −6 −5 0 −3H1 +H4 →H4 −1 −2 1 −1 H2 →H2 0 ; ρ(A) = ρ(A) = −−5−−−−−→ 0 0 H2 +H4 →H4 0 0 0 38 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Chon ẩn x1 x3 ẩn chính, hệ cho tương đương với: { x1 = −x2 + 2x4 + x1 + 2x3 = + x2 + 2x4 x = x2 ⇔ x3 = x2 x ; x4 ∈ R • Ví dụ 32 Giải biện luận hệ phương trình sau theo m: mx + y + z = x + my + z = m x + y + mz = m2 Giải 1 m m2 m 1 H ↔H3 m m A = m m −−1−−→ 1 m m m 1 m2 1 m −H1 +H2 →H2 −−−− −−−−−→ m − 1 − m m − m2 −mH1 +H3 →H3 − m − m2 − m3 1 m m2 1−m m(1 − m) −−−−−−−→ m − H2 +H3 →H3 0 (1 − m)(m + 2) (1 − m)(m + 1)2 { m ̸= + Nếu (1 − m)(m + 2) ̸= ⇔ ρ(A) = ρ(A) = 3, hệ có nghiệm nhất: m ̸= −2 x + y + y − m+1 mz = m2 x = − m+2 y = m+2 z = −m ⇔ (m + 2)z = (m + 1)2 z = (m+1) m+2 + Nếu m = −2 ρ(A) = 2; ρ(A) = nên hệ phương trình vơ nghiệm; + Nếu m = ρ(A) = ρ(A) = < nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc tham số sau: { x, y ∈ R x+y+z =1⇔ z =1−x−y 2.5.6 Hệ phương trình tuyến tính ✷ Định nghĩa 15 Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = ··· ··· ··· ··· ··· am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = gọi hệ phương trình tuyến tính (2.2) 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 39 Dạng ma trận hệ là: Ax = 0, A = [aij ]m×n Hệ (2.2) ln có nghiệm khơng: θ = (0, 0, 0), nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ ✸ Tính chất Hệ 2.2) có nghiệm khơng tầm thường chi ρ(A) < n Đặc biệt, hệ hệ vng có nghiệm không tầm thường det(A) = • Ví dụ 33 Xác định a để hệ sau có ax 2x 3x nghiệm khơng tầm thường: − 3y + z = + y + z = + 2y − 2z = Giải a −3 1 2 1 =a det(A) = +3 +1 = −4a − 20 −2 −2 3 −2 Hệ có nghiệm khơng tầm thường det(A) = ⇔ a = −5 40 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Bài tập chương Hãy nhân ma trận [ ][ ] 1 −1 a) 1 [ ] 1 1 d) 1 [ ] −1 ĐS: a) −1 [ ][ ] b) −1 −3 [ ] e) [ ] −9 13 b) 15 −1 1 c) 6 −1 c) 1 [ f ) 1 1 −1 2 2 −1 1 [ [ ] 10 e) ] d) 10 ] f ) 1 3 Hãy thực phép tính sau: 2 1 a) 3 0 [ b) −4 −2 4 ĐS: a) 9 3 3 [ ] −2 b) ]3 [ ]n cos φ − sin φ c) sin φ cos φ [ ] cos nφ − sin nφ c) sin nφ cos nφ Hãy tìm tất ma trận giao hoán với ma trận A đây: [ a) ] −1 −1 [ ĐS: a) x 2y −y x − 2y 0 c) 0 0 [ ] 1 b) ] [ ] x y b) x x y u v 0 c) 3t − 3x − u t − 3y − v t a) Hãy tìm tất ma trận vng cấp hai có bình phương ma trận khơng; b) Hãy tìm tất ma trận vng cấp hai có bình phương ma trận đơn vị [ ] [ ] a b a b ĐS: a) với a + bc ̸= b) ± I2 ; với a2 + bc = c −a c −a Tính định thức sau: 1 a) −1 −1 −1 0 1 b) 1 1 1 d) 1 e) 1 10 10 20 4 1 c) 3 1 f) 1 1 4 16 27 64 Bài tập chương ĐS: a) 1; 41 b) 2; c) 1; d) 1; e) 160; f) 12 Chứng minh rằng: 1 x1 x2 x22 Dn = x21 ··· ··· n−1 x1 xn−1 ··· · · · xn ∏ · · · x2n = (xi − xj ) i>j ··· ··· n−1 · · · xn HD: Lấy hàng i + trừ hàng i, đưa nhân tử chung hàng ngồi, sau sử dụng cơng thức truy hồi Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có: [ ] [ ] −1 −1 −2 a) b) c) 0 3 −6 1 −2 −1 −1 2 1 −1 −2 e) −1 f ) 1 g) 2 3 −3 1 −2 ĐS: [ a) − 13 9 ] b)Không khả đảo −4 −5 e) −2 −3 −1 1 f ) − 14 − 14 − 14 − 14 − 14 − 14 − − 21 1 − 23 c) 32 −1 172 − 2 2 13 33 − 27 32 2 g) 1 − 2 2 − 13 − 52 23 − 21 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình: ] [ ] [ −6 a) X= −1 1 c)AX = B với A = −1 1 B = 1 −2 1 −2 [ ] −3 0 −23 ĐS: a) ; b) −4 −2 ; c) 0 −5 1 d) 0 0 h) − 2 −4 −2 −4 − 25 15 −1 −4 − 32 1 −1 −1 = 4 2 b)X 2 1 −1 1 −2 −1 2 7 −1 −3 Tìm hạng ma trận sau: −1 −2 a) 4 −2 7 −1 −1 d) 0 2 0 −1 1 −1 h) −1 −1 2 −1 −3 b) 5 −1 7 8 c) 4 4 3 −5 −7 −8 −1 2 7 −5 −6 42 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính ĐS: a) 2; b) 3; c) 10 Tùy theo giá trị tham số λ ∈ R xác định hạng ma trận λ −1 1 2 λ a) b) 1 10 17 4 1 3 { λ = ĐS: a) ρ(A) = λ ̸= sau: −1 λ −1 1 −1 −1 1 −1 { λ = b) ρ(A) = λ ̸= 11 Hãy giải hệ phương trình sau cách tính ma trận nghịch đảo: { { { 3x + 4y = −3x + 2y = 3x + 4y = a) b) b) 4x + 5y = 2x + 4y = −6 4x + 5y = ĐS: a) (2, −1) ; b) (−1, −1) ; c) (−7, 6) 12 Áp dụng định lý Cramer giải hệ phương { 2x − 2y − z 2x + 5y = y+z a) b) 4x + 5y = −5 −x + y + z ĐS: a) (−3, 75 ); b) (2, 4, −3); trình sau: = −1 = = −1 c) (2, −2, 3) 13 Áp dụng phương pháp Gauss giải hệ phương x+ y+ z = a) x + 2y + 3z = −1 b) x + 4y + 9z = −9 x1 2x1 c) −x1 −2x1 2x1 − x2 + x2 + 4x2 − 4x2 + 4x2 ĐS: a) (1, 2, −2); + 2x3 + 2x4 + 5x3 + 2x4 − 6x4 − 4x3 − x4 + 4x3 + 7x4 ĐS:a)x1 = + x5 + 2x5 + x5 + x5 − x5 b) (2, 1, 0, −1); 14 Giải hệ phương trình sau: 3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 2x1 − 3x2 + 3x3 − 2x4 = a) 4x + 11x − 13x + 16x = 7x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 3x3 −13x4 , x2 17 = 3x1 + 2x2 + x3 = c) 2x1 + 3x2 + x3 = 2x1 + x2 + 3x3 = 11 0 0 19x3 −20x4 ; 17 trình sau: x1 − x2 x1 −x1 + 2x2 2x1 − x2 + x3 − x4 − x3 + 2x4 − 2x3 + 7x4 − x3 = = = −7 = = = = −3 = −3 = c) (−3, 0, 2, 1, 0) x1 + x + x3 + x4 + x5 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 b) x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = = = = −2 23 12 b) x1 = −16 + x3 + x4 + 5x5 , x2 = 23 − 2x3 − 2x4 − 6x5 Bài tập chương 43 15 Giải biện luận hệ phương trình sau: =m−1 (2m + 1)x − my + (m + 1)z =m a) m − 2x + (m − 1)y + (m − 2)z (2m − 1)x + (m − 1)y + (2m − 1)z = m x1 − x2 + mx3 + x4 x1 + mx2 − x3 + x4 b) mx1 + mx2 − x3 − x4 x + x2 + x3 + x4 = = = = m −1 −1 −m ĐS: a) m ∈ {0, 1}: hệ vô nghiệm; m = −1: hệ có vơ số nghiệm; m ∈ / {0, ±1}: hệ có nghiệm nhất; b) m = 3: hệ vô nghiệm; m = −1: hệ vô số nghiệm; m ∈ / {3, −1}: hệ có nghiệm 16 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường: x1 + 3x2 + 5x3 + x4 x1 + x2 + 6x3 + (m + 1)x4 mx − 3y + z = = a) 2x + y + z b) 2x1 + 6x2 + 10x3 + (m + 4)x4 3x + 2y − 2z = x + x2 + 7x3 + (3m − 2)x4 −2x2 + 3x3 + (3m − 6)x4 ĐS: a) m = −5, b) m = −1 = = = = = 0 0 ... tuyến tính tổng qt 4.1.2 Các ví dụ 4.1.3 Các tính chất khơng gian véc tơ 4.2 Sự độc lập tuyến tính 4.2.1 Tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ 4.2.2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 4.3 Cơ sở số. .. Chương Ánh xạ tuyến tính 5.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 5.2 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 5.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 5.3.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở 5.3.2 Hạng ánh xạ tuyến tính 5.3.3... 96 Bài tập chương 99 Tài liệu tham khảo 100 Đề thi tham khảo 101 MỤC LỤC ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính - Ngành kỹ thuật Số tín