Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 5 - Nguyễn Phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Mô hình cân bằng thị trường; Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô; Mô hình IS−LM; Mô hình input−output Leontief. Mời các bạn cùng tham khảo!

BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mô hình cân thị trường CỦA MỘT LOẠI HÀNG HĨA Hàm cung: QS = −a + bP Hàm cầu: QD = c − dP QS , QD P tương ứng lượng cung, lượng cầu, giá hàng hóa Mơ hình cân thị trường:    QS = −a + bP  QS = −a + bP Q = c − dP Q = c − dP ⇔  D  D QS = QD −a + bP = c − dP ¯ = a+c Giá cân bằng: P b+d ¯S = Q ¯ D = cd − ad Lượng cân bằng:Q b+d Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 118 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ CỦA Mơ hình cân thị trường n LOẠI HÀNG HĨA CĨ LIÊN QUAN Hàm cung hàng hóa i : QSi = aio + ai1 P1 + ai2 P2 + · · · + ain Pn Hàm cầu hàng hóa i : QDi = bio + bi1 P1 + bi2 P2 + · · · + bin Pn QSi , QDi Pi tương ứng lượng cung, lượng cầu, giá hàng hóa i Mơ hình cân thị trường:   QSi = aio + ai1 P1 + ai2 P2 + · · · + ain Pn Q = bio + bi1 P1 + bi2 P2 + · · · + bin Pn  Di QSi = QDi ∀i = 1, 2, , n Giải hệ ta tìm giá cân n hàng hóa, từ tìm lượng cung cầu cân Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 119 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân thị trường Ví dụ 5.1 Giả sử thị trường gồm mặt hàng với hàm cung hàm cầu sau: label=) Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 3P1 , Qd1 = 10 − 2P1 + P2 , lbbel=) Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2P2 , Qd2 = 15 + P1 − P2 Xác định giá lượng cân thị trường hai hàng hóa Lời giải: Hệ phương trình xác định giá cân −2 + 3P1 = 10 − 2P1 + P2 ⇔ −1 + 2P2 = 15 + P1 − P2 5P1 − P2 = 12 ⇔ −P1 + 3P2 = 16 P1 = 26/7 P2 = 46/7 Giá cân hai mặt hàng: P1 = 26/7; P2 = 46/7 Lượng hàng cân bằng: Q1 = −2 + 3P1 = 64/7; Q2 = −1 + 2P2 = 85/7 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 120 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân thị trường Ví dụ 5.2 Giả sử thị trường gồm mặt hàng với hàm cung hàm cầu sau: Hàng hóa 1: Qs1 = −10 + 2P1 , Qd1 = 100 − 5P1 + 3P2 − P3 , Hàng hóa 2: Qs2 = −20 + 5P2 , Qd2 = 120 + 2P1 − 8P2 + 2P3 , Hàng hóa 3: Qs3 = 13P3 , Qd3 = 300 − 10P1 − 5P2 − P3 Xác định giá lượng cân thị trường ba hàng hóa Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 121 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ Y tổng thu nhập quốc dân (Income) E tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) kinh tế Trạng thái cân biểu diễn dạng phương trình: Y =E Trong kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch E gồm:s ➤ C : Tiêu dùng (Consumption) hộ gia đình; ➤ G : Chi tiêu phủ (Government); ➤ I : Chi tiêu cho đầu tư nhà sản xuất (Investment) Phương trình cân trường hợp kinh tế đóng là: Y =C+G+I Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 122 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ KHƠNG CĨ THUẾ THU NHẬP Giả định Đầu tư theo kế hoạch sách tài khóa phủ cố định, tức I = I0 G = G0 Tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dạng hàm bậc (gọi hàm tiêu dùng): C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) ➤ Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng người ta có thêm $1 thu nhập, gọi xu hướng tiêu dùng cận biên (marginal propensity to consume), ➤ b mức tiêu dùng tối thiểu, tức mức tiêu dùng khơng có thu nhập Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 123 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mô hình cân kinh tế vĩ mơ KHƠNG CĨ THUẾ THU NHẬP Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ: Y = C + I0 + G0 ⇔ C = aY + b Y − C = I0 + G0 −aY + C = b Giải hệ ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân Ví dụ 5.3 Giả sử C = 200 + 0, 75Y ; I0 = 300; G0 = 400 (tính triệu USD), tính mức thu nhập cân mức thu nhập cân Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 124 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mô hình cân kinh tế vĩ mơ CĨ THUẾ THU NHẬP Trong trường hợp có thuế thu nhập hàm tiêu dùng thay đổi thành C = aYd + b Yd thu nhập sau thuế, hay gọi thu nhập khả dụng (disponsable income): Yd = Y − T với T thuế thu nhập Gọi tỷ lệ thuế thu nhập t (biểu diễn dạng thập phân), ta có: Yd = Y − tY = (1 − t)Y C = a(1 − t)Y + b Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 125 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ CĨ THUẾ THU NHẬP Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ: Y = C + I0 + G0 C = a(1 − t)Y + b Giải hệ ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân Ví dụ 5.4 Giả sử C = 200 + 0, 75Yd ; I0 = 300; G0 = 400 (tính triệu USD) nhà nước thu thuế thu nhập mức 20%, tính mức thu nhập cân mức thu nhập cân Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 126 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM ➤ IS: Investment – Saving (Đầu tư – Tiết kiệm) ➤ LM: Liquidity preference - Money supply (Nhu cầu toán – Cung tiền) ➤ IS-LM dùng để phân tích trạng thái cân kinh tế thị trường hàng hóa thị trường tiền tệ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 127 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM PHƯƠNG TRÌNH IS - ĐƯỜNG IS Để xét ảnh hưởng thị trường hàng hóa tiền tệ ta giả định tổng đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r theo quy luật: lãi suất cao đầu tư giảm Hàm số biểu diễn mối quan hệ gọi hàm đầu tư Hàm đầu tư tuyến tính có dạng: I = c − dr Phương trình biểu diễn điều kiện cân thị trường hàng hóa: Y = (aY + B) + (c − dr) + G0 ⇔ dr = b + c + G0 − (1 − a)Y Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (3) (4) Ngày 24 tháng 10 năm 2022 128 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM PHƯƠNG TRÌNH IS - ĐƯỜNG IS ➤ Phương trình (2) biểu diễn quan hệ lãi suất thu nhập thị trường hàng hóa cân bằng, gọi phương trình IS ➤ Thu nhập Y tăng lãi suất r giảm ➤ Nếu biểu diễn quan hệ (2) mặt phẳng với trục hoành thu nhập trục tung lãi suất ta đường thẳng dốc xuống, đường thẳng gọi đường IS Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 129 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM PHƯƠNG TRÌNH LM -ĐƯỜNG LM Trong thị trường tiền tệ, người ta cho rằng: lượng cầu tiền mặt L có quan hệ chiều với thu nhập quan hệ ngược chiều với lãi suất Nếu biểu diễn hàm tuyến tính hàm cầu tiền có dạng: L = αY − βr Giả sử lượng cung tiền, ký hiệu M, cố định mức M0 Phương trình biểu diễn điều kiện cân thị trường tiền tệ: Nguyễn Phương (BUH) M0 = αY − βr (5) ⇔ βr = αY − M0 (6) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 130 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM PHƯƠNG TRÌNH LM - ĐƯỜNG LM ➤ Phương trình (2) biểu diễn quan hệ lãi suất thu nhập thị trường tiền tệ cân bằng, gọi phương trình LM ➤ Thu nhập Y tăng lãi suất r tăng ➤ Nếu biểu diễn quan hệ (2) mặt phẳng với trục hoành thu nhập trục tung lãi suất ta đường thẳng dốc lên, đường thẳng gọi đường LM Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 131 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM MƠ HÌNH IS−LM Kết hợp phương trình IS phương trình LM ta mơ hình IS−LM dr = b + c + G0 − (1 − a)Y βr = αY − M0 Giải hệ phương trình ta mức thu nhập lãi suất đảm bảo cân thị trường hàng hóa thị trường tiền tệ Điểm cân (Y , r) giao điểm đường IS đường LM Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 132 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM Ví dụ 5.5 Cho G0 = 250; M0 = 4500; I = 34 − 15r; C = 10 + 0, 3Y ; L = 22Y − 200r label=) Lập phương trình IS lbbel=) Lập phương trình LM lcbel=) Tìm mức thu nhập lãi suất cân hai thị trường hàng hóa tiền tệ Lời giải: Phương trình IS: Y = C + I + G0 ⇔ Y = (10 + 0, 3Y ) + (34 − 15r) + 250 ⇔ 15r = 294 − 0, 7Y Phương trình LM: L = M0 ⇔ 22Y − 200r = 4500 ⇔ 200r = 22Y − 4500 Mức thu nhập Y lãi suất r cân nghiệm hệ phương trình: 15r = 294 − 0, 7Y ⇔ Y = 268, 72 200r = 22Y − 4500 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ; r = 7, 06 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 133 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief Được Wasily Liontief đưa năm 1927 Mơ hình I/O hay mơ hình cân đối liên ngành Xác định mức tổng cầu sản phẩm ngành sản xuất tổng thể kinh tế Mỗi ngành n ngành công nghiệp kinh tế phải đảm bảo mức sản xuất hàng hóa đầu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu loại hàng hóa đó, tức thỏa mãn ngành cơng nghiệp nhu cầu chung xã hội Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 134 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief CÁC GIẢ THIẾT Mỗi ngành công nghiệp j sản xuất loại hàng hóa j nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định Mỗi ngành công nghiệp sử dụng tỷ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu Việc sản xuất loại hàng hóa có tính chất hiệu suất khơng đổi (constant return to scale), tức mở rộng đầu vào k lần đầu tăng k lần Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 135 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG Tổng cầu sản phẩm ngành bao gồm: Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm cho q trình sản xuất Cầu cuối từ phía người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng xuất Giả sử kinh tế gồm n ngành ➤ xi tổng cầu hàng hóa ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i; ➤ xij giá trị hàng hóa ngành i mà ngành j cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); ➤ bi giá trị hàng hóa ngành i cần tiêu dùng xuất (cầu cuối cùng); Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 136 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief BẢNG I−O DẠNG GIÁ TRỊ Tổng cầu x1 x2 x11 x21 Cầu trung gian x12 x1j x22 x2j x1n x2n Cầu cuối b1 b2 xi xi1 xi2 xij xin bi xn xn1 xn2 xnj xnn bn xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi xik xk aik tỉ phần chi phí ngành k trả cho việc mua hàng hóa ngành i tính đơn vi giá trị hàng hóa ngành k (chi phí đầu vào sản xuất) aik = 0, nghĩa để sản xuất $ giá trị hàng hóa mình, ngành k phải mua $ 0,2 hàng hóa ngành i Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 137 / 141 xi = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xi + bi với aik = BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief MƠ HÌNH I−O HAY PHƯƠNG TRÌNH SẢN XUẤT    ⇔    x1     x2     xn  x1 x2 = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + b1 = a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + b2 = an1 x1 + an2 x2 + + ann xn + bn    a11 a12 a1n x1   a21 a22 a2n   x2       =     +     xn an1 an2 ann xn      b1 b2 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH     bn Dạng ma (I − A)X= B   trận: X = AX + B ⇔   a11 a12 a1n x1 b1  a21 a22 a2n   x2   b2      với A =   , X =   , B =       an1 an2 ann xn bn Nguyễn Phương (BUH)       Ngày 24 tháng 10 năm 2022 138 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief A ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật X ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) B ma trận cầu cuối T = (I − A) gọi ma trận Leontief hay ma trận công nghệ Định lý 5.1 Giả sử A ma trận hệ số đầu vào kinh tế B cầu cuối Nếu phần tử A B không âm tổng phần tử cột A nhỏ (I − A)−1 tồn ma trận tổng cầu xác định sau: X = (I − A)−1 B C = (I − A)−1 gọi ma trận hệ số chi phí tồn Ý nghĩa cij : để sản xuất đơn vị giá trị nhu cầu cuối ngành j ngành i cần phải sản xuất lượng sản phẩm có giá trị cij Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 139 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief Ví dụ 5.6 Xét mơ hình kinh tế có thành phần với quan hệ trao đổi sản phẩm chúng cầu hàng hóa cho bảng (đơn vị: 100 triệu USD) Ngành cung ứng sp (output) Nông nghiệp Công nghiệp Ngành sử dụng sp (input) Nông nghiệp Công nghiệp 25 12 14 Cầu cuối 13 10 Lời giải: Tổng cầu sp ngành nông nghiệp: x1 = 25 + 12 + 13 = 50 Tổng cầu sp ngành công nghiệp: x2 = 14+6+10 = 30 x Ma trận hệ số kĩ thuật: aij = xijj A= Nguyễn Phương (BUH) 25 50 14 50 12 30 30 = 0, 0, 0, 25 0, ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 140 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình input−output Leontief Ví dụ 5.7 Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:   0, 0, 0, A =  0, 0, 0,  0, 0, 0, label=) Giải thích ý nghĩa số 0,4 ma trận A lbbel=) Cho biết mức cầu cuối hàng hóa ngành 1, 2, 10; 5; triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu ngành Lời giải: a Số 0,4 dòng thứ cột thứ ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa để sản xuất $ hàng hóa mình, ngành cần sử dụng 0,4$ hàng hóa ngành Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 141 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ b  0, I − A =  −0, −0,   ⇒ (I − A)−1 = 0, 384 Mơ hình input−output Leontief  −0, −0, 0, −0,  −0, 0,  0, 66 0, 30 0, 24 0, 34 0, 62 0, 24  0, 21 0, 27 0, 60 Ma trận tổng cầu:     0, 66 0, 30 0, 24 10 24, 84  0, 34 0, 62 0, 24    =  20, 68 X = (I − A)−1 B = 0, 384 0, 21 0, 27 0, 60 18, 36 Như tổng cầu hàng hóa ngành 24,84; hàng hóa ngành 20,68; hàng hóa ngành 18,36 (triệu USD) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 142 / 141 ... + G0 − (1 − a)Y Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (3) (4) Ngày 24 tháng 10 năm 2022 128 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình IS−LM PHƯƠNG TRÌNH IS - ĐƯỜNG IS ➤ Phương trình (2)... r cân nghiệm hệ phương trình: 15r = 294 − 0, 7Y ⇔ Y = 268, 72 200r = 22Y − 450 0 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ; r = 7, 06 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 133 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG... Nguyễn Phương (BUH) 25 50 14 50 12 30 30 = 0, 0, 0, 25 0, ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 140 / 141 BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mô hình input−output Leontief Ví dụ 5. 7 Giả sử kinh