Bài giảng đại số tuyến tính
Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: nguyenhuuhiep47@yahoo.com Ngày 11 tháng năm 2014 Mục lục Mục lục Số phức 0.1 Dạng đại số số phức 0.2 Dạng lượng giác số phức 0.3 Dạng mũ số số phức 0.4 Căn bậc n số phức 0.5 Định lý đại số 0.6 Quỹ tích mặt phẳng phức 0.7 Bài tập Ma 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 trận Các khái niệm Biến đổi sơ cấp hạng ma trận Các phép toán ma trận Ma trận nghịch đảo Bài tập trắc nghiệm Định thức 2.1 Định thức 2.2 Tính chất định thức 2.3 Ma trận nghịch đảo 2.4 Laplace định thức cấp 2.5 Bài tập trắc nghiệm Hệ 3.1 3.2 3.3 3.4 phương trình Hệ tổng quát Hệ phương trình Cramer Hệ Bài tập trắc nghiệm n Không gian véc tơ 4.1 Định nghĩa ví dụ 4.2 ĐLTT - PTTT 4.3 Hạng họ véc tơ 4.4 Tập sinh, sở số chiều 4.5 Tọa độ véc tơ 4.6 Ma trận chuyển sở 4.7 Không gian 4.8 Tổng giao hai không gian 3 10 11 12 15 21 21 24 26 30 33 41 41 42 47 50 53 61 61 64 65 70 79 79 80 85 88 92 96 99 104 Mục lục 4.9 Mục lục Bài tập trắc nghiệm 109 Không gian Euclide 5.1 Tích vô hướng véc tơ 5.2 KG bù vuông góc 5.3 Hình chiếu vuông góc 5.4 Quá trình Gram-Schmidt 5.5 Bài tập Ánh xạ tuyến tính 6.1 Định nghĩa ví dụ 6.2 Nhân ảnh 6.3 Ma trận axtt 6.4 Liên hệ ma trận 6.5 Bài tập Trị 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 riêng - véc tơ riêng TR-VTR Chéo hóa ma trận MT đối xứng thực TR,VTR axtt Chéo hóa axtt Bài tập Dạng toàn phương 8.1 Định nghĩa 8.2 Dạng tắc 8.3 Phân loại dạng toàn phương 8.4 Bài tập 117 117 122 125 129 131 133 133 136 139 143 147 149 149 155 159 162 164 167 169 169 170 173 179 Các đề thi cuối kỳ 181 10 Matlab 10.1 Cài đặt 10.2 Giới thiệu 10.3 Các lệnh matlab 10.4 Các lệnh đại số 10.5 Một số lệnh dùng lập trình 10.6 Cấu trúc điều kiện vòng lặp Đại học Bách khoa TPHCM Trang 193 193 199 200 200 201 202 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp Chương Số phức Nội dung • Dạng đại số số phức • Dạng lượng giác số phức • Dạng mũ số phức • Căn bậc n số phức • Định lý đại số • Quỹ tích mặt phẳng phức 0.1 Dạng đại số số phức Định nghĩa 0.1 i) Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z √ Số thực |z| = a2 + b2 gọi modul số phức z iii) Tập tất số phức dạng z = + ib, b ∈ R \ {0} gọi số ảo Ví dụ 0.1 i, −2i, 3i số ảo Tập hợp số thực tập hợp tập hợp số phức, vì: ∀a ∈ R : a = a + 0.i số phức Định nghĩa 0.2 số phức phần thực phần ảo tương ứng a1 = b , a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇐⇒ a2 = b Ví dụ 0.2 cho z1 = + 3i, z2 = m + 3i Tìm m để z1 = z2 z1 = z2 ⇐⇒ = m, = Phép cộng trừ số phức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i 0.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC CHƯƠNG SỐ PHỨC Ví dụ 0.3 Tìm phần thực ảo z = (3 + 5i) + (2 − 3i) z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5 − 3)i = + 2i =⇒ Re(z) = 5, Im(z) = Phép nhân số phức (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ví dụ 0.4 Tìm dạng đại số z = (2 + 5i)(3 + 2i) z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 5i.3 + 5i.2i = + 4i + 15i + 10i2 = + 10(−1) + 19i = −4 + 19i Ghi • Khi cộng(trừ) số phức, ta cộng(trừ) phần thực phần ảo tương ứng • Khi nhân số phức, ta thực giống nhân biểu thức đại số với ý i2 = −1 Số phức liên hợp Số phức z¯ = a − bi gọi liên hợp số phức z = a + bi Ví dụ 0.5 Tìm số phức liên hợp z = (2 + 3i)(4 − 2i) Ta có = (2 + 3i)(4 − 2i) = 2.4 − 2.2i + 3i.4 − 3i.2i = − 4i + 12i + = 14 + 8i =⇒ z¯ = 14 − 8i z Tính chất cho số phức z, w 1) z + z¯ = 2Re(z) ∈ R 2) z.¯ z = |z|2 ∈ R 3) z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R 4) z + w = z + w 5) z.w = z.w 6) z = z 7) z n = z n , ∀n ∈ N Chia số phức z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 − ib2 ) a1 a2 + b b b a2 − a2 b = = = + i z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a22 + b22 a22 + b22 Ta nhân liên tử mẫu cho liên hợp mẫu Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG SỐ PHỨC 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Ví dụ 0.6 Thực phép toán z = + 2i 5−i Bài giải Nhân tử mẫu cho + i, ta 15 + 3i + 10i − 13 + 13i 1 (3 + 2i)(5 + i) = = = + i z= (5 − i)(5 + i) 25 + 26 2 Chú ý: số phức quan hệ thứ tự Trong trường số phức C khái niệm so sánh Biểu thức z1 < z2 hay z1 ≥ z2 nghĩa trường số phức 0.2 Dạng lượng giác số phức Argument số phức z góc ϕ ký hiệu arg(z) = ϕ Góc ϕ giới hạn [0, 2π) (−π, π] Ví dụ 0.7 Tìm mô đun số phức z = − 4i a = 3, b = −4 =⇒ |z| = 32 + (−4)2 = Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC CHƯƠNG SỐ PHỨC Chú ý • Nếu xem số phức z = a + bi điểm (a, b) mặt phẳng phức √ |z| = a2 + b2 = (a − 0)2 + (b − 0)2 khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến z • Cho z = a + bi, w = c + di |z − w| = |(a − c) + (b − d)i| = (a − c)2 + (b − d)2 khoảng cách điểm z w • Bất đẳng thức tam giác |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | Ví dụ 0.8 Tập hợp số phức z thỏa |z − (2 − 3i)| = mặt phẳng phức đường tròn tâm (2, −3) bán kính Công thức tìm argument a a , cos ϕ = = √ r a + b2 sin ϕ = b = √ b r a2 + b √ b tan ϕ = a √ + i Ví dụ 0.9 Tìm argument số phức z = a= −→ 3, b = Ta tìm góc ϕ thỏa a cos ϕ = = r b cos ϕ = = r √ √ √ 3 + 12 + 12 √ = , = =⇒ ϕ = π Dạng lượng giác số phức √ a b z = a + bi = a2 + b2 √ +√ i 2 a +b a + b2 =⇒ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gọi dạng lượng giác Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG SỐ PHỨC 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC √ Ví dụ 0.10 Tìm dạng lượng giác số phức z = −1 + i a = −1, b = Argument √ Mô đun:r = |z| = √ + = a −1 cos ϕ = = , r √2 sin ϕ = b = r 2π 2π Dạng lượng giác z = 2(cos + i sin ) 3 =⇒ ϕ = 2π Sự số phức dạng lượng giác z1 = z2 ⇐⇒ r1 = r2 , ϕ1 = ϕ2 + k2π Phép nhân dạng lượng giác z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Mô đun nhân với nhau, argument cộng lại √ Ví dụ 0.11 Tìm dạng lượng giác số phức z = (1 + i)(1 − i 3) Bài giải √ √ π π −π −π z = (1 + i)(1 − i 3) = 2(cos + i sin ).2(cos + i sin ) 4 3 √ −π −π = 2(cos + i sin ) 12 12 Phép chia dạng lượng giác r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 z1 = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) , r2 = = z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Modul chia modul, góc trừ góc Modul số phức • |z1 z2 | = |z1 ||z2 | • z1 |z1 | = , z2 = z2 |z2 | • |z n | = |z|n Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 0.3 DẠNG MŨ SỐ CỦA SỐ PHỨC CHƯƠNG SỐ PHỨC √ − i 12 Ví dụ 0.12 Tìm dạng lượng giác số phức z = √ − 3+i Bài giải √ 4(cos −π + i sin −π ) − i 12 3 z = √ = 5π 5π 2(cos + i sin ) − 3+i −π 5π −π 5π −7π −7π = cos( − ) + i sin( − ) = cos + i sin 6 6 Ví dụ 0.13 Cho |z| = 2, tìm modul số phức w = Bài giải Ta có w = i z 3 − 4i − 2i = i5 (3 − 4i)4 z (1 − 2i)2 125 1.54 √ = 23 Ví dụ 0.14 Tìm modul z 10 biết z = 2z Bài giải Ta có z2 0.3 = 2z ⇐⇒ z =2 z √ ⇐⇒ z = √ =⇒ z 10 = 10 = Dạng mũ số số phức Định lý Euler(1707-1783) eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Dạng mũ số phức z = r.eiϕ √ Ví dụ 0.15 Tìm dạng lượng giác mũ số phức z = − + i Bài gải Dạng lượng giác z = cos 5π 5π + i sin 6 5π Dạng Mũ z = 2ei Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG SỐ PHỨC 0.3 DẠNG MŨ SỐ CỦA SỐ PHỨC Lũy thừa số phức dạng đại số (a+ib)n = Cn0 an +Cn1 an−1 bi+Cn2 an−2 (bi)2 +· · ·+Cnn (bi)n := A+Bi Ví dụ 0.16 Cho số phức z = + i Tính z Bài giải z = (2 + i)5 = C50 25 + C51 24 i + C52 23 i2 + C53 22 i3 + C54 2.i4 + C55 i5 = 32 + 5.16.i + 10.8(−1) + 10.4.(−i) + 5.2.1 + i = −38 + 41i Lũy thừa bậc n i Ta phân tích n = 4p + r : r phần dư phép chia n cho in = ir Ví dụ 0.17 Tính z = i2013 Ta có 2013 = 503.4 + =⇒ z = i2013 = i1 = i Ví dụ 0.18 Cho số phức z = + i Tìm z z 100 Bài giải a) z = (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = + 3i − − i = −2 + 2i b) Ta dùng nhị thức newton dài Dùng công thức De Moivre sau hiệu Công thức De Moivre nâng lũy thừa số phức dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ) =⇒ z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) Dạng lượng mũ z = reiϕ =⇒ z n = rn einϕ Ví dụ 0.19 Sử dụng công thức De Moivre, tính a) (1 + i)25 √ b) (−1 + i 3)200 √ ( − i)17 c) √ ( 12 + 2i)20 Bài giải Đầu tiên tìm arg(z) |z| suy dạng lượng giác mũ Dùng công thức De Moivre để nâng lũy thừa √ √ π π π 2, arg(z) = =⇒ z = 2(cos + i sin ) 4 √ 25 √ 25π 25π π π 25 =⇒ z = (cos + i sin ) = 12 2(cos + i sin ) = 12 4 4 a) |z| = Đại học Bách khoa TPHCM Trang Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG CÁC ĐỀ THI CUỐI KỲ Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014 Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Đại số tuyến tính-Ca Ngày thi 22 tháng 02 năm 2014 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG Câu (1,5đ) Cho ma trận A = −1 −1 sử dụng tài liệu) −1 −1 , B = 1 Tìm ma trận X cho AX + X + B = C T 12 Câu 2.(1,5đ) Cho ma trận ánh xạ tuyến −1 B = {(1, 1, 0), (0, 1, 2), (0, 3, 1)} A = 1 nhân ánh xạ tuyến tính f −1 −1 , C = tính f : R3 → R3 sở Hãy tìm sở số chiều Câu 3.(1,5đ) Trong R4 cho không gian U =< (1, 4, 2, 1), (2, 3, −1, 1) > V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 2x1 − x2 + x3 = 0, & 6x1 − 12x2 + 6x3 − 5x4 = Tìm sở số chiều U ∩ V Câu 4.(1,5đ) Trong R4 với tích vô hướng tắc, cho không gian U =< (1, 1, 4, −1), (3, 1, 1, −2) > Tìm sở số chiều không gian bù trực giao U ⊥ Tìm hình chiếu vuông góc z = (11, −7, 7, 7) xuống U ⊥ π Tính khoảng cách véc tơ 2a + b a − 3b 2014 Câu 6.(1,5đ) Cho ma trận A = −1 Tính A −1 Câu 7.(1,5đ) Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc biến đổi TRỰC Câu 5.(1đ) Cho ||a|| = 1, ||b|| = 2, (a, b) = GIAO Nêu rõ phép đổi biến f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 Chủ nhiệm môn Đại học Bách khoa TPHCM Đình Huy Trang 188 PGS.TS Nguyễn Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG CÁC ĐỀ THI CUỐI KỲ Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014 Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Đại số tuyến tính-Ca Ngày thi 22 tháng 02 năm 2014 Thời gian 90 phút (Sinh viên KHÔNG sử dụng tài liệu) −3 −2 −1 Câu 1.(1,5đ) Cho hai ma trận A = B = −1 T Tìm ma trận X thỏa (A + B )X = 3X + 2A − 4B Câu 2.(1,5đ) Trong R3 ,với tích vô hướng (x, y) = ((x1 ; x2 ; x3 ), (y1 ; y2 ; y3 )) = 3x1 y1 + 2x2 y2 + 4x3 y3 , cho không gian F = {(x1 ; x2 ; x3 )|2x1 − 3x2 + x3 = 0} véc tơ u = (2; 1; 1) Tìm hình chiếu vuông góc véc tơ u xuống không gian F Tính khoảng cách từ u đến F Câu 3.(1,5đ) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 , biết ma trận f −2 Tính f (6; 4; 3) sở E = {(1; 2; 3), (2; 3; 5), (3; 5; 7)} A = Câu 4.(1,5đ) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 , biết f (2; 1; 4) = (1; 2; −1), f (1; 1; 5) = (2; 1; 3), f (3; 2; 8) = (4; 1; 2) Tìm ma trận f sở E = {(1; 2; 1), (2; 1; 1), (1; 1; 1)} −1 Câu 5.(1,5đ) Cho ma trận A = −1 −1 −1 1 Tìm trị riêng, véc tơ riêng A Suy trị riêng, véc tơ riêng A−1 Câu 6.(1,5đ) Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao, nêu rõ phép đổi biến f (x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 5x22 + 3x23 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 −61 31 31 Câu 7.(1đ) Tìm ma trận A thỏa A5 = −93 63 31 −93 31 63 Chủ nhiệm môn Đại học Bách khoa TPHCM Trang 189 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp PGS.TS Nguyễn Đình Huy CHƯƠNG CÁC ĐỀ THI CUỐI KỲ Đại học Bách khoa TPHCM Trang 190 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp Chương 10 Hướng dẫn matlab 10.1 Hướng dẫn cài đặt matlab Matlab có nhiều phiên bản, người thường sử dụng phiên từ 2010-1013 Các phiên cài đặt giống nhau, gồm bước sau: Nên chép phần mềm vào máy để lưu trữ lại cài đặt Chú ý cấu hình máy tính phải tương thích với phần mềm: máy tính bạn xài win 32bit (hoặc 64 bit) bạn phải chọn phiên matlab 32bit(hoặc 64 bit) tương ứng Để kiểm tra cấu hình máy, bạn nhấn tổ hợp phiếm "lá cờ window + R" gõ vào chữ "dxdiag" -> OK, bảng cấu hình máy bạn Vào thư mục chứa matlab, click vào flie setup Chương trình thực thi bảng sau Chỗ quan trọng, bạn phải chọn dòng "Install without using the internet" Click vào next 191 10.1 CÀI ĐẶT CHƯƠNG 10 MATLAB Tới đây, ban click vào next OK, bảng sau Bước bước crack, bạn chọn dòng đầu "I have the File installation Key for my license " Tiếp theo, bạn vào thư mục matlab chép vào máy: matlab/crack/install Trong có phần, phần đầu có dòng 1) choose "install manually without using the internet" 2) enter the "file installation key" 55013-56979-18948-50009-49060 3) use "license_standalone.dat" when asked for license file Copy phần số trên, paste vào "installation Key" click "next" Đại học Bách khoa TPHCM Trang 192 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 10 MATLAB 10.1 CÀI ĐẶT Click "next" "OK" liên tục bảng sau Đại học Bách khoa TPHCM Trang 193 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 10.1 CÀI ĐẶT Đại học Bách khoa TPHCM CHƯƠNG 10 MATLAB Trang 194 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 10 MATLAB 10.1 CÀI ĐẶT Click "install", trình cài đặt bắt đầu: khoảng 20 phút Click next Đại học Bách khoa TPHCM Trang 195 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 10.1 CÀI ĐẶT CHƯƠNG 10 MATLAB Bước quan trọng Bạn cần click vào Browse, dẫn tới thư mục matlab theo đường dẫn đến file "crack", chọn file " lic_standalone.dat" Click "next", "OK" xong Cài đặt xong, bạn nên restart lại máy Đại học Bách khoa TPHCM Trang 196 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 10 MATLAB 10.2 10.2 GIỚI THIỆU Giới thiệu matlab Matlab phần mềm cao cấp dùng để giải toán Để khởi động MATLAB ta bấm đúp vào icon Các file MATLAB có dạng *.m chạy môi trường MATLAB MATLAB xử lí số liệu ma trận Khi ta đánh lệnh vào cửa sổ lệnh, thi hành kết lên hình Nếu ta không muốn cho kết lên hình sau lệnh ta đặt thêm dấu “;” Cửa sổ thực thi lệnh gọi Command window Để lập trình bài, ta phải thực cửa sổ editor Mở editor cách nhấn tổ hợp phím Ctrl + N Đại học Bách khoa TPHCM Trang 197 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 10.3 CÁC LỆNH CƠ BẢN CỦA MATLAB CHƯƠNG 10 MATLAB Sau lập trình editor, để chạy chương trình, ta nhấp chuột vào biểu tượng tam giác màu xanh công cụ phía editor nhấn "F5" 10.3 Các lệnh matlab Các phép toán matlab + : cộng - : trừ *: nhân /: chia phải \: chia trái ˆ: lũy thừa >=: lớn : lớn 0 disp(’Phuong trinh co nghiem phan biet’) x1=(-b-sqrt(del))/(2*a) x2=(-b+sqrt(del))/(2*a) elseif del==0 disp(’Phuong trinh co nghiem kep’) Đại học Bách khoa TPHCM Trang 201 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp 10.6 CẤU TRÚC ĐIỀU KIỆN VÀ VÒNG LẶP CHƯƠNG 10 MATLAB x0=-b/(2*a) else disp(’Phuong trinh vo nghiem’) end end ezplot(a*xˆ2+b*x+c) Đại học Bách khoa TPHCM Trang 202 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp ... Chương Số phức Nội dung • Dạng đại số số phức • Dạng lượng giác số phức • Dạng mũ số phức • Căn bậc n số phức • Định lý đại số • Quỹ tích mặt phẳng phức 0.1 Dạng đại số số phức Định nghĩa 0.1 i) Số. .. Số phức 0.1 Dạng đại số số phức 0.2 Dạng lượng giác số phức 0.3 Dạng mũ số số phức 0.4 Căn bậc n số phức 0.5 Định lý đại số 0.6 Quỹ tích mặt phẳng phức 0.7 Bài tập... gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z √ Số thực |z| = a2