Bải giảng đại số tuyến tính doc

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 1 TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo 1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục. 6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục. 8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. MA TRẬN 1.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận A cấp m n × trên ℝ là 1 hệ thống gồm m.n số ( ) 1, ; 1, ij a i m j n ∈ = =ℝ và ñược sắp xếp thành bảng: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       (gồm m dòng và n cột). • a ij là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j. • Cặp số (m, n) là kích thước của A. • Khi m = 1, A = (a 11 a 12 … a 1n ) là ma trận dòng; n = 1, 11 1 m a A a     =       là ma trận cột; m = n = 1, A = (a 11 ) (1 phần tử). • Tập hợp các ma trận A là , ( ) m n M ℝ , ñể cho gọn ta viết ( ) ij m n A a × = . b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và a ij = b ij . VD 1. 1 1 0 1 0; 1; 2; 2; 3 2 2 3 x y x y z u t z t u −     = ⇔ = = − = = =         . c) Ma trận (0 ) ij m n × Ο = gồm tất cả các phần tử ñều bằng 0 là ma trận không. d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu ( ) ij n A a = . Các ma trận vuông ñặc biệt: • ðường chéo chứa a 11 , a 22 , …, a nn là ñường chéo chính của A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ. • Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo. • Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu I n . VD 2. 2 1 0 0 1 I   =     , 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =       . • Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần tử nằm phía dưới (trên) ñường chéo chính ñều bằng 0. VD 3. 1 0 2 0 1 1 0 0 0 A −     = −       là ma trận tam giác trên; 3 0 0 4 1 0 1 5 2 B     =     −   là ma trận tam giác dưới. • Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng qua ñường chéo chính bằng nhau (a ij = a ji ). • Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (a ij = –a ji ) và tất cả các phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0. VD 4. 3 4 1 4 1 0 1 0 2 A −     =     −   là ma trận ñối xứng; 0 4 1 4 0 0 1 0 0 B −     =     −   là ma trận phản ñối xứng. 1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ Cho ( ) ij m n A a × = , ( ) ij m n B b × = ta có: ( ) ij ij m n A B a b × ± = ± . VD 5. 1 0 2 2 0 2 1 0 4 2 3 4 5 3 1 7 0 3 −       + =       − − −       ; 1 0 2 2 0 2 3 0 0 2 3 4 5 3 1 3 6 5 − −       − =       − − − −       . • Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. b) Nhân vô hướng Cho ( ) ij m n A a × = , λ ∈ ℝ ta có: ( ) ij m n A a λ λ × = . VD 6. 1 1 0 3 3 0 3 2 0 4 6 0 12 − −     − =     − −     ; 2 6 4 1 3 2 2 4 0 8 2 0 4     =     − −     . • Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng ma trận. • Ma trận –A là ma trận ñối của A. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 2 c) Nhân hai ma trận • Cho ( ) ij m n A a × = , ( ) jk n p B b × = ta có: ( ) 1 ( ) , 1, ; 1, n ik m p ik ij jk j AB c c a b i m k p × = = = = = ∑ . VD 7. Tính a) ( ) 1 1 2 3 2 5 −         −   ; b) 1 0 0 0 4 0 3 2       −    ; c) 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 3 1 3 2   −     −     −     − −   . • Phép nhân ma trận có các tính chất: 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) n m AI A I A = = , với , ( ) m n A M∈ ℝ . VD 8. Tính a) 1 1 2 0 1 3 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 1 0 2 1 1 1 4 2 1 3 3 1 0 2 − − −             − − − −             − − − −       ; b) 1 0 1 1 2 1 2 2 0 0 3 1 3 0 3 2 1 0 − − −       − −       − −    và 1 2 1 1 0 1 0 3 1 2 2 0 2 1 0 3 0 3 − − −       − −       − −    . • Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. • ðặc biệt, khi ( ) ij n A a = và * p∈ ℕ ta có: A 0 = I n ; A p = A p–1 A (lũy thừa ma trận). VD 9. a) Cho 1 1 0 1 A −   =     , tính A 2009 ; b) Cho 2 0 1 2 B   =     , tính (I 2 – B) 2009 . VD 10. Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp 100 có các phần tử ở dòng thứ i là (–1) i . Tìm phần tử a 36 của A 2 . d) Phép chuyển vị • Cho ( ) ij m n A a × = , ma trận chuyển vị của A là: ( ) T ji n m A a × = (chuyển tất cả dòng thành cột). • Tính chất: 1) (A + B) T = A T + B T ; 2) (λA) T = λA T ; 3) (A T ) T = A; 4) (AB) T = B T A T ; 5) T A A = ⇔ A ñối xứng; 6) T A A = − ⇔ A phản xứng. 1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho ( ) ij m n A a × = ( 2) m ≥ . Các phép bi ế n ñổ i s ơ c ấ p dòng e trên A là: – (e 1 ): Hoán v ị hai dòng cho nhau i k d d A A ↔ ′ → . – (e 2 ): Nhân 1 dòng v ớ i s ố 0 λ ≠ , i i d d A A λ → ′′ → . – (e 3 ): Thay 1 dòng b ở i t ổ ng c ủ a dòng ñ ó v ớ i tích λ dòng khác i i k d d d A A λ → + ′′′ → . Chú ý 1) Trong th ự c hành ta th ườ ng làm i i k d d d A B µ λ → + → . 2) Sau 1 s ố h ữ u h ạ n các PB ð SC dòng ta ñượ c ma tr ậ n B t ươ ng ñươ ng v ớ i A, ký hi ệ u B A ∼ . 3) T ươ ng t ự , ta c ũ ng có các phép bi ế n ñổ i s ơ c ấ p trên c ộ t c ủ a ma tr ậ n. VD 11. Cho 1 2 3 2 1 1 3 1 2 A −     = −     −   và 1 2 3 0 1 7 /5 0 0 0 B −     = −       . Ch ứ ng t ỏ A B ∼ . b) Ma trận sơ cấp • Ma tr ậ n thu ñượ c t ừ I n b ở i ñ úng 1 phép bi ế n ñổ i s ơ c ấ p dòng (c ộ t) là ma tr ậ n s ơ c ấ p. VD 12. 0 0 1 0 1 0 1 0 0           , 1 0 0 0 5 0 0 0 1     −       và 1 0 0 2 1 0 0 0 1           là các ma tr ậ n s ơ c ấ p. 1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn a) Ma trận bậc thang • Hàng có t ấ t c ả các ph ầ n t ử ñề u b ằ ng 0 ñượ c g ọ i là hàng b ằ ng 0. • Ph ầ n t ử khác 0 ñầ u tiên tính t ừ trái sang c ủ a 1 hàng ñượ c g ọ i là ph ầ n t ử cơ sở c ủ a hàng ñ ó. • Ma tr ậ n b ậ c thang là ma tr ậ n khác 0 c ấ p m n × ( , 2) m n ≥ th ỏ a: 1) Các hàng b ằ ng 0 ở d ướ i các hàng khác 0; 2) Ph ầ n t ử c ơ s ở c ủ a 1 hàng b ấ t k ỳ n ằ m bên ph ả i ph ầ n t ử c ơ s ở c ủ a hàng trên nó. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 3 VD 13. + 1 0 2 0 0 3 0 0 0           , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1           và I n là các ma trận bậc thang; + 0 2 7 0 3 4 0 0 5           và 2 3 5 0 0 0 0 1 3           không là ma trận bậc thang. ðịnh lý • Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn phép biến ñổi sơ cấp trên dòng. b) Ma trận bậc thang rút gọn • Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa nó. VD 14. I n , 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1           và 0 1 0 3 0 0 1 2 0 0 0 0           là các ma trận bậc thang rút gọn. 1.5. Ma trận khả nghịch a) ðịnh nghĩa • Ma trận ( ) n A M∈ ℝ ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại ( ) n B M∈ ℝ sao cho AB = BA = I n . Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của A, ký hiệu A –1 . Khi ñó: A –1 A = AA –1 = I n ; (A –1 ) –1 = A. • Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận nghịch ñảo của B. VD 15. 2 5 1 3 A   =     và 3 5 1 2 B −   =   −   là nghịch ñảo của nhau vì AB = BA = I 2 . Nhận xét 1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì không khả nghịch. 2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp. 3) (AB) –1 = B –1 A –1 . b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp dòng • Cho ( ) n A M∈ ℝ , ta tìm A –1 như sau: Bước 1. Lập ma trận ( ) n A I (ma trận chia khối) bằng cách ghép I n vào bên phải A. Bước 2. Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa ( ) n A I về dạng ( ) A B ′ ( A ′ là ma trận bậc thang dòng rút gọn). 1) Nếu A ′ có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc n A I ′ ≠ thì A không khả nghịch. 2) Nếu n A I ′ = thì A khả nghịch và A –1 = B. VD 16. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 A −     −   =       và 1 1 1 1 0 1 2 1 0 B −     =       . §2. ðỊNH THỨC 2.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận con cấp k • Cho ma trận vuông ( ) ( ) ij n n A a M= ∈ ℝ . Ma trận vuông cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận M ij cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử a ij . b) ðịnh thức • ðịnh thức cấp n của ma trận vuông ( ) ( ) ij n n A a M= ∈ ℝ , ký hiệu detA hay A , là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa: 1) A cấp 1: 11 11 ( ) det A a A a = ⇒ = ; 2) A cấp 2: 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a   = ⇒ = −     ; 3) A cấp n: det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + … + a 1n A 1n , trong ñó A ij = (–1) i+j det(M ij ) là phần bù ñại số của phần tử a ij . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 4 Chú ý • 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 31 22 13 12 21 33 23 32 11 a a a a a a a a a − − − (quy tắc 6 ñường chéo). ðặc biệt. det I n = 1, det 0 n = 0. VD 1. Tính các ñịnh thức của: 3 2 1 4 A −   =     , 1 2 1 3 2 1 2 1 1 B −     = −       và 1 0 2 0 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 C     −   =       . 2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức • Cho ma trận vuông ( ) ( ) ij n n A a M= ∈ ℝ , ta có các tính chất cơ bản sau: Tính chất 1 ( ) det det T A A = . VD 2. 1 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 − − = − − ; 1 3 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 0 1 2 1 1 − = − . Tính chất 2. Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu. VD 3. 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 − − − = − − = − − . Hệ quả • ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0. VD 4. 3 3 1 2 2 1 0 1 1 7 = ; 2 3 2 5 2 5 1 0 1 x x x y y y y = ; 2 5 2 5 2 5 1 1 0 1 y y y y y y = . Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức tăng lên λ lần. VD 5. 3 0 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 7 3 1 7 − − − = − ; 3 3 3 3 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x y y x y y z z x z z + + = + + . Hệ quả 1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0. 2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức bằng 0. Tính chất 4 • Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức. VD 6. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x y y x y y y y x z z x z z z z + + = + − − . Tính chất 5 • ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ lần dòng (cột) khác. VD 7. Tính các ñịnh thức: 1 2 3 1 2 1 2 3 4 − − ; 1 1 1 1 1 1 x x x . Chú ý • Phép biến ñổi 1 2 1 2 1 5 0 7 2 3 1 3 d d d→ − − = là sai do dòng 1 ñã nhân với số –2. 2.3. ðịnh lý Laplace • Cho ma trận vuông ( ) ( ) ij n n A a M= ∈ ℝ , ta có các khai triển det A sau: a) Khai triển theo dòng thứ i 1 1 2 2 1 det , ( 1) det( ) i i i i in in n i j ij ij ij ij j A a A a A a A a A A M + = = + + + = = − ∑ . b) Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 2 1 det , ( 1) det( ) j j j j nj nj n i j ij ij ij ij i A a A a A a A a A A M + = = + + + = = − ∑ . VD 8. Tính ñịnh thức 1 0 0 2 2 1 1 2 1 2 2 3 3 0 2 1 bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2. VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức: 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 − − . Các kết quả ñặc biệt: 1) 11 12 1 11 22 2 21 22 11 22 1 2 0 0 0 0 0 0 n n nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a = = (dạng tam giác). ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 5 2) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận). 3) det .det 0 n A B A C C = , với , , ( ) n A B C M∈ ℝ (ñịnh thức chia khối). VD 10. a) 1 2 3 4 0 2 7 19 1 2 3 0 0 0 3 0 0 2 0 1 0 0 0 1 − = − − − ; b) 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 − −       =       − −    ; c) 1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 T − −         =         −     1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 − − = − . 2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo a) ðịnh lý • Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0. b) Thuật toán tìm A –1 • Bước 1 Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch, ngược lại làm tiếp bước 2. • Bước 2 Lập ma trận ( ) ( ) T T ij ij n n A A A ⇒ = (ma trận phụ hợp của A). • Bước 3. Ma trận nghịch ñảo là: 1 1 . det T A A A − = . VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của: 1 2 1 1 1 2 3 5 4 A     =       và 1 2 1 0 1 1 1 2 3 B     =       . Nhận xét • Nếu 0 ac bd − ≠ thì: 1 1 a b c b d c d a ac bd − −     =     − −     . 2.5. Hạng của ma trận a) ðịnh thức con cấp k • Cho ma trận ( ) ij m n A a × = . ðịnh thức của ma trận con cấp k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A. ðịnh lý • Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0. b) Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có: 1 ( ) min{ , } r A m n ≤ ≤ . • Nế u A là ma tr ậ n không thì ta quy ướ c r(A) = 0. c) Phương pháp tìm hạng của ma trận ðịnh lý • H ạ ng c ủ a ma tr ậ n b ậ c thang (dòng) b ằ ng s ố dòng khác 0 c ủ a ma tr ậ n ñ ó. • Cho A là ma vuông c ấ p n, ( ) det 0 r A n A = ⇔ ≠ . Phương pháp • B ướ c 1. Dùng PB ð SC dòng ñư a ma tr ậ n A v ề b ậ c thang. • B ướ c 2. S ố dòng khác 0 c ủ a A sau bi ế n ñổ i là r(A). VD 12. Tìm h ạ ng c ủ a ma tr ậ n 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 4 A −     −   =     − −   . VD 13. Tìm h ạ ng c ủ a ma tr ậ n 1 3 4 2 2 5 1 4 3 8 5 6 A −     = −     −   . VD 14. Tùy theo giá tr ị m, tìm h ạ ng c ủ a ma tr ậ n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 m A m − −     − − −   =     −   . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 6 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. ðịnh nghĩa • Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình có dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =   + + + =     + + + =  (1). ðặt ( ) 11 1 1 n ij m n m mn a a A a a a ×     = =       (ma trận hệ số), ( ) 1 1 T m m b B b b b     = =       (ma trận cột tự do) và ( ) 1 1 T n n x X x x x     = =       là ma trận cột ẩn. Khi ñó, hệ (1) trở thành AX B = . • Bộ số ( ) 1 T n α α α = ñược gọi là nghiệm của (1) nếu A B α = . VD 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5 x x x x x x x x x − + + =   + + = −   − =  ðưa hệ về dạng ma trận: 1 2 3 4 1 1 2 4 4 2 1 4 0 3 0 2 7 0 5 x x x x   −             = −           −         . Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ. 3.2. ðịnh lý Crocneker – Capelli • Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở rộng ( ) 11 12 1 1 1 2 n m m mn m a a a b A A B a a a b     = =       . Hệ có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) r A r A r = = . Khi ñó: 1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số. 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận nghịch ñảo • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có 1 AX B X A B − = ⇔ = . VD 2. Giải hệ phương trình 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =   + =   + + = −  . b) Phương pháp ñịnh thức (Cramer) • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n. ðặt 11 1 1 1 det j n n nj nn a a a A a a a ∆ = = , 11 1 1 , 1, j n j n j nn a b a j n a b a ∆ = = (thay cột j trong A bởi cột tự do). Khi ñó, ta có các trường hợp: 1) Nếu 0 ∆ ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất , 1, j j x j n ∆ = ∀ = ∆ . 2) Nếu 0, 1, j j n ∆ = ∆ = ∀ = thì hệ có vô số nghiệm (thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). 3) Nếu 0 ∆ = và 0, 1, j j n ∃∆ ≠ = thì hệ vô nghiệm. VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =   + =   + + = −  . VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương trình: 2 1 mx y z x my z m x y mz m  + + =  + + =   + + =  . c) Phương pháp Gauss • B ướ c 1. ðưa ma trận mở rộng ( ) A B về dạng bậc thang bởi PBðSC trên dòng. • B ướ c 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 1) Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa ñi 1 dòng; 2) Có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng ñó; 3) Có 1 dòng dạng ( ) 0 0 , 0 b b ≠ thì kết luận hệ vô nghiệm. 4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa ( ) A B về bậc thang. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 7 VD 5. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − = −   + + − − = −   + + − − = −  . VD 6. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x − + − =   + + − =   + − −  . 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a) ðịnh nghĩa • Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x AX a x a x a x θ + + + =   + + + =  ⇔ =    + + + =  (2). Nhận xét • Do ( ) ( ) r A r A = nên hệ pttt thuần nhất luôn có nghiệm. Nghiệm (0; 0;…; 0) ñược gọi là nghiệm tầm thường. b) ðịnh lý • Hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường ( ) det 0 r A n A ⇔ = ⇔ ≠ . c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát ðịnh lý • Xét h ệ pttt t ổ ng quát AX = B (1) và h ệ pttt thu ầ n nh ấ t AX θ = (2). Khi ñ ó: 1) Hi ệ u hai nghi ệ m b ấ t k ỳ c ủ a (1) là nghi ệ m c ủ a (2); 2) T ổ ng 1 nghi ệ m b ấ t k ỳ c ủ a (1) và 1 nghi ệ m b ấ t k ỳ c ủ a (2) là nghi ệ m c ủ a (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR 1.1. ðịnh nghĩa • Không gian vector V trên ℝ là c ặ p (V, ℝ ) trang b ị hai phép toán ( , ) ( , ) V V V V V x y x y y x λ λ × → × → + ℝ ֏ ֏ th ỏ a 8 tính ch ấ t sau: 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) ! : V x x x θ θ θ ∃ ∈ + = + = ; 4) ( ) :( ) ( )x V x x x x θ ∃ − ∈ − + = + − = ; 5) 1 2 1 2 ( ) ( ) x x λ λ λ λ = ; 6) ( ) x y x y λ λ λ + = + ; 7) 1 2 1 2 ( ) x x x λ λ λ λ + = + ; 8) 1.x = x. VD 1. T ậ p nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình tuy ế n tính thu ầ n nh ấ t là không gian vector. T ậ p { } ( ) n V A M= ∈ ℝ các ma tr ậ n vuông c ấ p n là kgvt. { } 1 2 ( , , , ) , 1, n i V u x x x x i n = = ∈ ∀ ∈ℝ là kgvt Euclide n ℝ . 1.2. Không gian con của kgvt • Cho kgvt V, t ậ p W V ⊂ là kgvt con c ủ a V n ế u (W, ℝ ) c ũ ng là m ộ t kgvt. • Cho kgvt V, t ậ p W V ⊂ là kgvt con c ủ a V n ế u: ( ) , , , x y W x y W λ λ + ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ . VD 2. T ậ p { } W θ = là kgvt con c ủ a m ọ i kgvt V. Trong n ℝ , t ậ p { } 1 1 ( ,0, ,0)W u x x= = ∈ ℝ là kgvt con. §2. SỰ ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. ðịnh nghĩa Trong kgvt V, cho n vector u i (i = 1, 2,…, n). • T ổ ng 1 , n i i i i u λ λ = ∈ ∑ ℝ ñượ c g ọ i là m ộ t t ổ h ợ p tuy ế n tính c ủ a n vector u i . • H ệ n vector {u 1 , u 2 ,…, u n } ñượ c g ọ i là ñộ c l ậ p tuy ế n tính n ế u có 1 n i i i u λ θ = = ∑ thì 0, 1, i i n λ = ∀ = . • H ệ n vector {u 1 , u 2 ,…, u n } không là ñộ c l ậ p tuy ế n tính thì ñượ c g ọ i là ph ụ thu ộ c tuy ế n tính. VD 1. Trong 2 ℝ , h ệ {u 1 = (1;–1), u 2 = (2; 3)} là ñ ltt. Trong n ℝ , h ệ {u i = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v ị trí th ứ i là 1) là ñ ltt. Trong 3 ℝ , h ệ {u 1 =(–1;3;2), u 2 =(2;0;1), u 3 =(0;6;5)} là pttt. ðịnh lý • H ệ n vector ph ụ thu ộ c tuy ế n tính ⇔ ∃ 1 vector là t ổ h ợ p tuy ế n tính c ủ a n – 1 vector còn l ạ i. VD 2. N ế u x 1 = 2x 2 – 3x 3 thì h ệ {x 1 , x 2 , x 3 } là ph ụ thu ộ c tuy ế n tính. Hệ quả • H ệ có 1 vector không thì ph ụ thu ộ c tuy ế n tính. • N ế u có 1 b ộ ph ậ n c ủ a h ệ ph ụ thu ộ c tuy ế n tính thì h ệ ph ụ thu ộ c tuy ế n tính. 2.2. Hệ vector trong n ℝ ðịnh nghĩa • Trong n ℝ cho m vector 1 2 ( , , , ), 1, i i i in u a a a i m = = . Ta g ọ i ( ) ij m n A a × = là ma tr ậ n dòng c ủ a m vector u i . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 8 §3. CƠ SỞ – SỐ CHIỀU – TỌA ðỘ ðịnh lý • Trong n ℝ , hệ { } 1 2 , , , m u u u ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ). • Trong n ℝ , hệ { } 1 2 , , , m u u u phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r(A) < m. VD 3. Xét sự ñltt hay pttt của các hệ: B 1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B 2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. Hệ quả • Trong n ℝ , hệ có nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến tính. • Trong n ℝ , hệ n vector ñộc lập tuyến tính det 0 A ⇔ ≠ . 3.1. Cơ sở của kgvt ðịnh nghĩa • Trong kgvt V, hệ B = {u 1 , u 2 ,…, u n } ñược gọi là một cơ sở của V nếu hệ B ñltt và mọi vector của V ñều biểu diễn tuyến tính qua B. VD 1. – Trong n ℝ , hệ E = {e 1 = (1; 0;…; 0), e 2 = (0; 1;…; 0), …, e n = (0;…; 0; 1)} là cơ sở chính tắc. – Trong 2 ℝ , hệ B = {u 1 = (1;–1), u 2 = (2; 3)} là cơ sở. 3.2. Số chiều của kgvt ðịnh nghĩa • Kgvt V ñược gọi là có n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu trong V có ít nhất 1 hệ gồm n vector ñltt và mọi hệ gồm n+1 vector ñều pttt. ðịnh lý • dimV = n khi và chỉ khi trong V tồn tại 1 cơ sở gồm n vector. Hệ quả • Trong n ℝ , mọi hệ gồm n vector ñltt ñều là cơ sở. 3.3. Tọa ñộ a) ðịnh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ sở B = {u 1 , u 2 ,…, u n }. Khi ñó, mỗi x V ∈ có biểu diễn tuyến tính duy nhất x = x 1 u 1 +…+x n u n . Ta nói x có tọa ñộ ñối với B là (x 1 ,…, x n ). Ký hiệu [ ] 1 B n x x x     =       . • ðặc biệt, tọa ñộ của vector x ñối với cơ sở chính tắc E là [x] E = [x] (tọa ñộ cột thông thường của x). VD 2. Trong 2 ℝ cho cơ sở B = {u 1 = (2;–1), u 2 = (1; 1)} và x = (3;–5). Tìm [x] B . b) ðổi cơ sở • Ma trận chuyển cơ sở – Trong kgvt V cho 2 cơ sở B 1 = {u 1 , u 2 ,…, u n } và B 2 = {v 1 , v 2 ,…, v n }. Ma trận [ ] [ ] [ ] ( ) 1 1 1 1 2 n B B B v v v ñược gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B 1 sang B 2 . Ký hiệu 1 2 B B P → . – ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì: [ ] [ ] [ ] ( ) 1 1 2 E B n P u u u → = . • Công thức ñổi tọa ñộ [ ] [ ] 1 2 1 2 B B B B x P x → = . VD 3. Trong 2 ℝ cho 2 cơ sở B 1 = {u 1 = (1; 0), u 2 = (0;–1)}, B 2 = {v 1 = (2;–1), v 2 = (1; 1)} và [ ] 2 1 2 B x   =     . a) Tìm 1 2 B B P → ; b) Tìm [ ] 1 B x . ðịnh lý Trong kgvt n ℝ cho 3 cơ sở B 1 , B 2 và B 3 . Khi ñó: 1) i i B B n P I → = (i = 1, 2, 3); 2) 1 3 1 2 2 3 . B B B B B B P P P → → → = ; 3) ( ) 1 2 2 1 1 B B B B P P − → → = . Hệ quả ( ) 1 2 1 2 1 2 1 B B B E E B E B E B P P P P P − → → → → → = = . VD 4. Giải lại VD 3. 3.4. Không gian con sinh bởi 1 hệ vector • Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u 1 ,…, u m }. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S ñược gọi là không gian con sinh bởi S trên ℝ . Ký hiệu spanS hoặc <S>. • Trong kgvt n ℝ , ta có: { } 1 2 1 1 2 2 , , , : , n m m m i u u u x x u u u λ λ λ λ = ∈ = + + + ∈ ℝ ℝ . Khi ñó: 1) dim<S> = r(S) (hạng ma trận dòng m vector của S); 2) Nếu dim<S> = r thì mọi hệ con gồm r vector ñltt của S ñều là cơ sở của spanS. VD 5. Trong 4 ℝ cho hệ vector S = {u 1 =(–2; 4;–2;–4), u 2 = (2;–5;–3; 1), u 3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ sở và dimspanS. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 9 §4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1. ðịnh nghĩa • Ánh xạ : n m f → ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) n f x y f x f y x y f x f x λ λ λ + = +  ∀ ∈ ∀ ∈  =  ℝ ℝ ñược gọi là ánh xạ tuyến tính. • Ánh xạ : n n f → ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) n f x y f x f y x y f x f x λ λ λ + = +  ∀ ∈ ∀ ∈  =  ℝ ℝ ñược gọi là phép biến ñổi tuyến tính. VD 1. f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (x 1 –x 2 +x 3 ; 2x 1 +3x 2 ) là AXTT từ 3 2 → ℝ ℝ . f(x 1 ; x 2 ) = (x 1 – x 2 ; 2x 1 + 3x 2 ) là PBðTT từ 2 2 → ℝ ℝ . f(x 1 ; x 2 ) = (x 1 – x 2 ; 2 + 3x 2 ) không là PBðTT từ 2 2 → ℝ ℝ . Chú ý ðiều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f x f x λ λ + = +   =  ( ) ( ) ( ) , , n f x y f x f y x y λ λ λ ⇔ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ℝ . VD 2. Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng: 1) Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox, Oy: f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). 2) Phép ñối xứng qua Ox, Oy: f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). 3) Phép quay góc φ quanh gốc tọa ñộ O: f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ). 4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) ðịnh nghĩa • Cho AXTT : n m f → ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B 1 = {u 1 , u 2 ,…, u n } và B 2 = {v 1 , v 2 ,…, v m }. Ma trận cấp m n × [ ] [ ] [ ] ( ) 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n B B B f u f u f u ñược gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B 1 , B 2 . Ký hiệu 2 1 [ ] B B f hoặc A. Cụ thể, nếu ( ) ( ) ( ) 1 11 1 21 2 31 3 1 2 12 1 22 2 32 3 2 1 1 2 2 3 3 m m m m n n n n mn m f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v = + + + +  = + + + +     = + + + +  thì 2 1 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] n n B B m m mn a a a a a a f a a a       =       . • Cho PBðTT : n n f → ℝ ℝ và cơ sở B = {u 1 , u 2 ,…, u n }. Ma trận vuông cấp n [ ] [ ] [ ] ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) n B B B f u f u f u ñược gọi là ma trận của PBðTT f trong cơ sở B. Ký hiệu [ ] B f hoặc [f] hoặc A. Chú ý • Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B 1 , B 2 thì 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) T n n f x x x A x x x = . VD 3. a) Cho AXTT f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). Tìm 3 4 [ ] E E f . b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm 3 2 [ ] E E f . c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). Tìm 3 [ ] E f . VD 4. Cho AXTT 2 3 :f → ℝ ℝ có ma trận của f trong hai cơ sở chính tắc E 2 và E 3 là 1 3 0 2 4 3 A −     =       . Tìm ma trận f trong hai cơ sở B 1 = {u 1 = (1; 1), u 2 = (1; 2)} và B 2 = {v 1 = (1; 0; 1), v 2 = (1; 1; 1), v 3 = (1; 0; 0)}. b) Ma trận ñồng dạng ðịnh nghĩa • Hai ma trận vuông A, B cấp n ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P –1 AP. ðịnh lý • Nếu AXTT : n m f → ℝ ℝ có ma trận trong các cặp cơ sở ( ) / 1 1 , B B , ( ) / 2 2 , B B tương ứng là A 1 , A 2 và 1 2 B B P P → = , / / 1 2 B B P P → ′ = thì ( ) 1 2 1 A P A P − ′ = . • ðặc biệt, nếu PBðTT : n n f → ℝ ℝ có ma trận trong hai cơ sở B 1 , B 2 lần lượt là A, B và 1 2 B B P P → = thì B = P –1 AP. VD 5. Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và trong B={u 1 =(2;1),u 2 =(1;–1)}. VD 6. Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: 1 2 3 { (1;1;0), (0;1;1), (1;0;1)} B u u u= = = = và / / 1 2 { (2;1), (1;1)} B u u ′ = = = . c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT • Cho AXTT : n m f → ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B 1 = {u 1 , u 2 ,…, u n } và B 2 = {v 1 , v 2 ,…, v m }. – Ký hiệu: [ ] [ ] [ ] ( ) 1 2 m S v v v = (ma trận cột các vector của B 2 ), [ ] [ ] [ ] ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) n Q f u f u f u= . – Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận ( ) [ ] ( ) 2 1 B B S Q I f→ . VD 7. Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 10 §5. CHÉO HÓA MA TRẬN 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT a) ðịnh nghĩa Cho PBðTT : n n f → ℝ ℝ có ma trận trong cơ sở B = {u 1 , u 2 ,…, u n } là A. • Số λ ∈ ℝ ñược gọi là giá trị riêng của A (hay f) nếu: , : n x x Ax x θ λ ∃ ∈ ≠ = ℝ . • Vector x ñược gọi là vector riêng của A (hay f) ứng với giá trị riêng λ . • ða thức P A (λ) = det(A – λI) ñược gọi là ña thức ñặc trưng của A (hay f) và λ là nghiệm của pt ñặc trưng P A (λ) = 0. Cách tìm giá trị riêng và vector riêng: • Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng 0 A I λ − = ñể tìm giá trị riêng λ. • Bước 2. Giải hệ phương trình ( ) A I x λ θ − = , nghiệm không tầm thường là vector riêng. VD 1. Cho 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A     =       . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. VD 2. Cho 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −       . Tìm giá trị riêng và vector riêng của B. b) Tính chất • Các vector riêng ứng với giá trị riêng λ cùng với vector không tạo thành 1 không gian vector con riêng E(λ) của n ℝ . • Các vector riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì ñộc lập tuyến tính. 5.2. Chéo hóa ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho PBðTT : n n f → ℝ ℝ , nếu có một cơ sở sao cho ma trận của f là ma trận ñường chéo thì ta nói f chéo hóa ñược. • Ma trận vuông A là chéo hóa ñược nếu nó ñồng dạng với ma trận ñường chéo D, nghĩa là P –1 AP = D. Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. VD 3. Cho 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , xét ma trận: 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 P P −         = ⇒ =         −     . Khi ñó: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 P AP A P P − −         = ⇒ =             . b) ðiều kiện chéo hóa ñược ðịnh lý • Nếu A có n giá trị riêng ñôi phân biệt thì A chéo hóa ñược. • A chéo hóa ñược khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và số chiều của tất cả không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng. c) Thuật toán chéo hóa ma trận • Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng ñể tìm các giá trị riêng của A. 1) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa ñược. 2) Giả sử A có k giá trị riêng phân biệt λ 1 , λ 2 ,…, λ k với số bội tương ứng n 1 , n 2 ,…, n k . Khi ñó: a) n 1 + n 2 +…+ n k < n thì A không chéo hóa ñược. b) n 1 + n 2 +…+ n k = n thì ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Với mỗi λ i tính r(A – λ i I) = r i . Khi ñó dimE(λ i ) = n – r i . 1) Nếu có một λ i mà dimE(λ i ) < n i thì A không chéo hóa ñược. 2) Nếu dimE(λ i ) = n i với mọi λ i thì kết luận A chéo hóa ñược. Ta làm tiếp bước 3. • Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λ i ). Khi ñó, P –1 AP = D với D là ma trận ñường chéo có các phần tử trên ñường chéo chính lần lượt là λ i (xuất hiện liên tiếp n i lần). VD 4. Chéo hóa các ma trận: 3 0 8 1 A   =   −   , 1 0 6 1 B   =   −   . VD 5. Chéo hóa các ma trận : 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −       . . Giáo dục. 6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục. 8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên). phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số. 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 6 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. ðịnh nghĩa • Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình có dạng: 11