Phép trừ ma trận ....................................................................... 24 2.3.5. Phép nhân ma trận với ma trận....................................... 24 2.4. Phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận ......................... 30 2.5. Ma trận rút gọn bậc thang (theo hàng).................................. 31 2.6. Định thức............................................................................... 34 2.6.1. Định nghĩa định thức cấp n............................................. 34 2.6.2. Định lý Laplace khai triển định thức .............................. 37 2.6.3. Các tính chất cơ bản của định thức................................. 39 2.6.4. Các phương pháp tính định thức .................................... 44 2.7. Hạng của ma trận .................................................................. 47 2.7.1. Định nghĩa (Định thức con)............................................ 47 2.7.2. Định nghĩa (Hạng của ma trận) ...................................... 48 2.7.3. Tính hạng ma trận........................................................... 48 2.8. Ma trận nghịch đảo................................................................ 52 2.8.1. Định nghĩa ...................................................................... 52 2.8.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo và cách tìm.......... 5
Trường Đại học Công Nghệ thông tin Bài giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Tài liệu nội bộ-chỉ dùng hk1 2015) Bộ mơn Tốn-Lý 8/10/2015 ii Mục lục Mục lục Chương Số phức 1.1 Khái niệm 1.2 Các dạng biểu diễn số phức 1.2.1 Dạng hình học số phức 1.2.2 Môđun, argumen, dạng lượng giác số phức 1.2.3 Dạng mũ số phức 1.3 Phép toán tập số phức 1.3.1 Phép cộng 1.3.2 Phép trừ 1.3.3 Phép nhân 1.3.4 Phép chia 1.3.5 Lũy thừa 1.3.6 Khai bậc n (nguyên dương) 1.4 Giải phương trình bậc tập số phức 11 Chương Ma trận- Định thức 2.1 Khái niệm ma trận 16 2.1.1 Định nghĩa 16 2.2 Các dạng ma trận 18 2.2.1 Ma trận không 18 2.2.2 Ma trận tam giác 19 2.2.3 Ma trận chéo 19 Mục lục iii 2.2.4 Ma trận đơn vị 20 2.2.5 Ma trận đối xứng 20 2.3 Phép toán ma trận 21 2.3.1 Hai ma trận 21 2.3.2 Phép chuyển vị ma trận 21 2.3.3 Phép cộng ma trận 22 2.3.4 Phép nhân ma trận với số 23 Phép trừ ma trận 24 2.3.5 Phép nhân ma trận với ma trận 24 2.4 Phép biến đổi sơ cấp theo hàng ma trận 30 2.5 Ma trận rút gọn bậc thang (theo hàng) 31 2.6 Định thức 34 2.6.1 Định nghĩa định thức cấp n 34 2.6.2 Định lý Laplace khai triển định thức 37 2.6.3 Các tính chất định thức 39 2.6.4 Các phương pháp tính định thức 44 2.7 Hạng ma trận 47 2.7.1 Định nghĩa (Định thức con) 47 2.7.2 Định nghĩa (Hạng ma trận) 48 2.7.3 Tính hạng ma trận 48 2.8 Ma trận nghịch đảo 52 2.8.1 Định nghĩa 52 2.8.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo cách tìm 52 iv Mục lục 2.8.3 Tính chất ma trận nghịch đảo 56 Chương Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Khái niệm 69 3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 73 3.2.1 Phương pháp Gauss Jordan 73 3.2.2 Phương pháp Cramer 79 a Hệ Cramer: 79 b Quy tắc Cramer 80 3.3 Hệ phương trình tuyến tính 84 3.3.1 Định lý 85 3.3.2 Hệ nghiệm 86 Chương Không gian véc tơ 4.1 Định nghĩa không gian véctơ 93 4.2 Một số không gian véctơ thường gặp 94 4.2.1 Không gian n 94 4.2.2 Không gian n x 95 4.2.3 Không gian Mmn( ) 96 4.3 Các tính chất không gian véctơ 96 4.4 Không gian 97 4.5 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ 99 4.5.1 Tổ hợp tuyến tính 99 4.5.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 102 4.6 Hạng hệ véctơ 104 Mục lục v 4.6.1 Định nghĩa 104 4.6.2 Định lý không gian véctơ n 105 4.7 Cơ sở 106 4.7.1 Định nghĩa: Hệ véctơ 106 4.7.2 Tính chất sở, số chiều 108 4.8 Tọa độ - Ma trận chuyển sở 110 4.8.1 Tọa độ 110 4.8.2 Ma trận chuyển sở 111 4.8.3 Các tính chất ma trận chuyển sở 114 4.9 Không gian Euclide 115 4.9.1 Tích vơ hướng 115 4.9.2 Độ dài véctơ 116 4.9.3 Sự trực giao 117 4.10 Cơ sở trực chuẩn 118 Đọc thêm: Các mặt bậc tắc 123 Chương Chéo hoá ma trận Dạng tồn phương 5.1 Chéo hố ma trận 136 5.1.1 Trị riêng véctơ riêng ma trận 136 5.1.2 Cách tìm véctơ riêng: 137 5.1.3 Chéo hoá ma trận 140 5.1.4 Thuật toán chéo hoá 141 5.1.5 Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng thực 146 a Ma trận trực giao 146 vi Mục lục b Thuật toán chéo hoá trực giao 149 5.2 Dạng toàn phương 151 5.2.1 Định nghĩa 151 5.2.2 Hạng dạng toàn phương 153 5.2.3 Dạng tồn phương tắc 154 5.2.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 155 a Phương pháp phép biến đổi trực giao 155 b Phương pháp Lagrange 158 c Định luật quán tính 160 5.2.5 Phân loại dạng toàn phương 161 a Định nghĩa: 161 b Phân loại dạng tồn phương qua dạng tắc 162 5.2.6 Tiêu chuẩn Sylvester 163 a Định thức ma trận vng 163 b Định lý Sylvester 164 Đáp án 170 Đề mẫu 186 Tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Vào kỷ 16, G Cardano (1501-1576) nói đến số “ảo” số âm Sau đó, khái niệm số ảo xuất nghiên cứu nhà toán học kỷ 18 Khái niệm số “ảo” tưởng chừng không gặp thực tế trở thành tảng để phát triển ngành tốn học có nhiều ứng dụng ngành vật lý kỹ thuật khác 1.1 Khái niệm - Số phức z biểu thức có dạng: z x iy x, y số thực, ký hiệu i gọi đơn vị ảo thỏa i 1 , Im z phần thực - Ta gọi x Re z , y phần ảo số phức z - Khi z x i.0 , ta nói z số thực - Khi z iy , ta nói z số ảo Ví dụ 1 Số phức z 3i có phần thực Re z , phần ảo Im z 3 - Người ta thường ký hiệu tập hợp số phức z x iy / x , y ( tập số thực) - Số phức z x iy gọi số phức liên hợp số phức z x iy Số phức Thấy z z Ví dụ Số phức z i có số phức liên hợp với z i - Hai số phức gọi phần thực phần ảo chúng x1 x x1 iy1 x iy2 y y Ví dụ Tìm x , y cho hai số phức sau (1.1) z1 x iy; z y i(x 1) Giải: x iy y i(x 1) x x y y x 1 y 1.2 Các dạng biểu diễn số phức Người gọi biểu diễn z x iy dạng đại số số phức z 1.2.1 Dạng hình học số phức Cho số phức z x iy tương ứng với điểm M có tọa độ x , y mặt phẳng tọa độ Đềcác Đây tương ứng – nên ta đồng điểm M x , y mặt phẳng tọa độ với số phức Số phức z x iy Điểm M x , y gọi biểu diễn hình học số phức z x iy Ghi chú: Vì lý trên, đơi người ta gọi mặt phẳng tọa độ Đềcác mặt phẳng phức 1.2.2 Môđun, argumen, dạng lượng giác số phức Trong hệ toạ độ cực, điểm M ứng với số phức xác định độ dài đoạn OM góc tia Ox tia OM - Mođun z: độ dài đoạn OM gọi môđun số phức z, ký hiệu mod(z ) z r Thấy z M x y2 r - Argumen z: Góc lượng giác tia Ox tia OM gọi argumen số phức z ký hiệu Arg(z) - Nếu giá trị góc tia Ox tia OM Arg(z) Arg (z ) k 2 (k Z ) - Để dễ xác định, người ta thường lấy góc , ký hiệu arg(z): arg(z ) Ví dụ Số phức z i có mơdun argument sau: z ; Arg z k 2 Thấy ngay, mối liên hệ x , y, r, cho hệ thức: Số phức góc cho x r cos y r sin y tg , x x (1.2) Vậy z x iy r cos ir sin z r cos i sin Hay (1.3) Dạng gọi dạng lượng giác số phức Ví dụ Theo ví dụ 1.4 số phức z i có z ; Arg z k 2 nên có dạng lượng giác z cos k 2 i sin k 2 4 Theo biểu diễn hình học, ta thấy rằng: Hai số phức dạng lượng giác mô đun chúng argument chúng sai khác bội 2 Nghĩa z1 r1 cos 1 i sin 1 z r2 cos 2 i sin 2 r1 r2 z1 z k 2 (1.4) 177 Bài 3.4: Ký hiệu f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a) b) (a, b, c, d) = (2, -3, 1, 2) (a, b, c, d) = (1, 1, -3, 5) 29 11 -1 Bài 3.5: A = 18 3 a) (x, y, z) = (47 - 8m, 5m- 29, m-5) b) (x, y, z) = (1, 2, -1) c) (x, y, z) = (5m +1, m + 1, - m) d) (x, y, z) =(-3-2m,-11-6m,-m-2) Bài 3.6: a) Hệ nghiệm : (1, 1, 2) b) Hệ nghiệm : (2,10,7,0); (-5,-4, 0, 7) CHƯƠNG Bài 4.1: a) Không không gian véctơ b) Là không gian c) Không không gian véctơ Bài 4.2: a) m 2 0 HD: A ~ 0 -4 -4 m6 1 17 178 b) m R 1 0 c) m = -8 , HD A ~ 0 d) m = , HD A ~ 1 0 0 0 5 0 -7 0 m3 24 m 5 16 -23 -2 m 42 m 11 m 7 21 21 m 2 Bài 4.3: a) Độc lập tuyến tính b) Nếu m = phụ thuộc tuyến tính Nếu m độc lập tuyến tính c) Phụ thuộc tuyến tính Bài 4.4: a) r = 2, hệ phụ thuộc tuyến tính b) r = 3, hệ độc lập tuyến tính b) r = 2, hệ phụ thuộc tuyến tính d) r=3, hệ phụ thuộc tuyến tính Bài 4.5: a) Khơng sở b) Không sở 179 c) Không sở d) Là sở Bài 4.6: a) m b) m = -2 c) m= -1 v m = v m =1 Bài 4.7: {u1 = (1, 1, 1, 0) , v1 = (1, -1, 0, 1)} sở W1 {u2 = (1, 1, 1, 0) , v2 = (1, -1, 0, 1)} sở W2 0 2 Bài 4.8: [x]B = 1 2 Bài 4.9: a) m m m b) P(B E) = 1 3 1 Bài 4.10: a) m 10 b) Ma trận chuyển sở từ B sang E : 1 1 P(BE) = m 10 m 180 Bài 4.11: a) Cơ sở {(1, 1, 1) } , dim = b) Cơ sở {(1, -2, 1)} , dim = c) Cơ sở ( 5, 4, 0, -7) , (-3, 0, 2, 5) , dim = Bài 4.12: a) Cơ sở trực chuẩn 1 (1,1,1), v (1,1,0), v (1,1,2) v b) Cơ sở trực chuẩn 1 (0,1,2), v (0,6,3) v1 (1,0,0), v 5 CHƯƠNG Bài 5.1: a) Trị riêng vectơ riêng sở tương ứng A 1 vec tô riêng sở = X1 = 2 0 vec tô riêng sở = -1 X2 = b) A-I= 2 -4 +5 = (1) Xét trêng trường số thực : Vì phương trình (1) vơ nghiệm trêng trường số thực nên A khơng có trị riêng vectơ riêng 181 Xét trêng trường số phức : Pt (1) = i 1 vec tơ riêng sở = 2+ i X1 = i 1 i vec tơ riêng sở = 2- i X2 = 0 c) Trị riêng = X1 = , 1 vec tơ riêng sở 1 X2 = 0 1 d) = X1 = 0 vec tơ riêng sở 1 = -1 X2 = 1 2 vec tơ riêng sở 1 = X3 = 1 vec tơ riêng sở Bài 5.2: 182 1 1 1 0 a) Đặt P = 2 P-1AP = = D 1 2 0 3 b) Khơng chéo hóa 1 0 c) Đặt P = 1 P-1AP = = D 1 0 0 1 4 1 e) Đặt P P-1AP = 2 0 0 0 0 = D 0 3 0 1 0 -1 f) Đặt P = P AP = = D 0 0 2 Bài 5.3: a) P = 1 1 b) P = , P-1 A P = PTAP = 0 4 2 3 0 1 -1 T , P A P = P AP = 3 0 0 1 3 183 1 6 0 -1 T c) P = , P A P = P AP = 6 0 0 1 6 1 3 1 0 -1 1 T d) P = , P A P = P AP = 2 0 5 1 3 1 3 0 -1 1 T P= , P A P = P AP = 3 1 3 Bài 5.4: x1 y1 5 , phép đổi biến a) Với X = ,Y= , P = x y 2 2 5 trực giao X = PY đưa dạng tắc fCT(Y) = 4y 12 + 9y 22 Hạng r(f) = , f xác định dương 184 x1 y1 Với X = x , Y = y , phép đổi biến trực giao X = PY đưa x y 3 3 dạng tồn phương f dạng tắc fCT(y) 1 3 1 b) fCT(Y) = 2y 12 +2y 22 - y 32 , P = , 1 3 r(f) = , f không xác định dấu 1 3 1 c) fCT(Y) = y 12 +y 22 + y 32 , P = , 3 r(f) = 3, f xác định dương 1 3 1 d) fCT(Y) = 2y 12 +2y 22 +8 y 32 , P = 3 3 r(f) = 3, f xác định dương 185 e) fCT(Y) = 2y 12 - y 22 + y 32 , P = 3 r(f) = , f không xác định dấu 2 f) fCT(Y) = 2y +y +4 y , P = r(f) = 3, f xác định dương g) fCT(Y) = -y 12 - y 22 -10 y 32 , P = 2 2 , 3 2 5 6 6 2 6 2 r(f) = 3, f xác định âm h) fCT(Y) = y 12 + y 22 +10 y 32 , P = r(f) = 3, f xác định dương 2 5 5 2 186 i) fCT(Y) = y 12 +y 22 +7 y 32 , P = r(f) = 3, f xác định dương Bài 5.6: a) -2 < m < b) - 3 6 6 6 < m < Bài 5.7: 12 x u v a) Thực phép biến đổi : 11 ta PT tương y v đương u2 v2 = 15 33 20 11 Đồ thị đường Hypebol x u v b) Thực phép biến đổi : ta PT tương y v đương v2 u2 + = 36 5 Đồ thị đường Elip 187 x u v c) Thực phép biến đổi : ta PT tương y v đương u2 v2 = Đồ thị đường Hypebol x u v d) Thực phép biến đổi : ta PT tương y v đương u2 v2 + = 15 Đồ thị đường Elip Bài 5.8: a) Mặt bậc hai cho mặt Elipxôit b) Mặt bậc hai cho mặt Elipxôit c) Mặt bậc hai cho mặt Hyperboloit tầng Đề mẫu Đề số Câu (2 điểm) Trên không gian R , cho tập hợp: 188 A { X (2a b c, b a c,5a 4c 2b) | a, b, c R} B { X ( x, y , z ) | z y x} a/ Chứng minh A B không gian vector R b/ Hãy tìm tập sinh, sở, số chiều cho A B Câu (3 điểm) Trên không gian R , cho vector: 1 (15,8, 9), (12, 6, 7), (2, 1,1), (4,3,1), (0, 2, 2), (5,1, 6) tập hợp a { , , } , { , , } a/ Chứng minh a sở R P P( a) b/ Hãy tìm ma trận chuyển sở: , Q P( ) để từ suy S P (a ) , với sở tắc R ( { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ) Câu (3 điểm) 1 3 Cho ma trận thực: A 189 Hãy chéo hóa ma trận A , sau tìm A n , với n số nguyên, n0 Câu (2 điểm) Hãy đưa dạng tồn phương sau dạng tắc: f ( x1 , x , x3 ) x12 x1 x x1 x3 x22 x x3 x32 Đề số Câu (2 điểm) Trên không gian R , cho tập hợp: A { X ( a b c,3b 2a 4c,3a 2c 5b) | a, b, c R} B { X ( x, y , z ) | y z x} a/ Chứng minh A B không gian vector R b/ Hãy tìm tập sinh, sở, số chiều cho A B Câu (3 điểm) Trên không gian R , cho vector: 1 (1,2,2), (2,0,1), (2,3,3), (3,4,2), (2,5,1), (1,2,4) 190 tập hợp a { , , } , { , , } a/ Chứng minh a sở R P P( a) b/ Hãy tìm ma trận chuyển sở: , Q P( ) để từ suy S P (a ) , với sở tắc R ( { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ) Câu (3,5 điểm) 12 0 Cho ma trận thực: A Hãy chéo hóa ma trận A , sau tìm A n , với n số ngun, n Câu (1,5 điểm) Hãy đưa dạng tồn phương sau dạng tắc: f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 x32 x1 x2 x1 x3 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên)-Toán học cao cấp- tập 1- NXB GD-1996 [2] Dỗn Tam Hòe- Tốn học đại cương-Tập 1- NXB GD-1997 [3] Davis, Ernest-Linear Algebra and Probability for Computer Science Applications-CRC Press -2012 ... 4.3 Các tính chất khơng gian véctơ 96 4.4 Không gian 97 4.5 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ 99 4.5.1 Tổ hợp tuyến tính 99 4.5.2 Độc lập tuyến tính phụ... 4 Số phức 1.3 Phép toán tập số phức Sau biểu diễn phép toán số phức dạng đại số Để hiểu phép toán dưới, cần nhớ i 1 Cho hai số phức z x iy1; z x iy 1.3.1 Phép cộng Tổng hai số phức... tập số thực) - Số phức z x iy gọi số phức liên hợp số phức z x iy Số phức Thấy z z Ví dụ Số phức z i có số phức liên hợp với z i - Hai số phức gọi phần thực phần ảo chúng x1