Trong R4 cho không gian con U =< (1, 1, 2, 2),(2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1). a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U. b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥. c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.Trong R4 cho không gian con U =< (1, 1, 2, 2),(2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1). a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U. b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥. c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.Trong R4 cho không gian con U =< (1, 1, 2, 2),(2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1). a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U. b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥. c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.
ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu 2 Cho hai ma trận A = B = −1 Tìm ma trận X thỏa AX − X = B T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 AX − X = B T ⇔ (A − I )X = B T Vậy X 20 −6 −5 ⇔ X = (A − I )−1.B T −1 T = −1 = −9 −10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1) a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U b) Tìm sở số chiều U ⊥ c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 a) Để v ∈ U ∃α, β ∈ R : v = (1, 2, −1, m) = α(1, 1, 2, 2) + β(2, −1, 1, 0) α + 2β = α−β = 2α + β = −1 2α = m Hệ vô nghiệm nên m cho v ∈ U TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 b) Tìm sở số chiều U ⊥ Véctơ x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ⊥ nên x ⊥ (1, 1, 2, 2) x ⊥ (2, −1, 1, 0) x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 2x1 − x2 + x3 = Cơ sở U ⊥ : e1 = (−1, −1, 1, 0) e2 = (−2, −4, 0, 3) Số chiều dim(U ⊥) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ z = αe1 + βe2 + g , với g ∈ (U ⊥)⊥ < z, e1 >= α < e1, e1 > +β < e1, e2 > < z, e2 >= α < e1, e2 > +β < e2, e2 > 14 3α + 6β = ⇔ ⇔ α = , β = − Vậy 6α + 29β = −7 17 17 hình chiếu z xuống U ⊥ 14 f = (−1, −1, 1, 0) − (−2, −4, 0, 3) = 17 17 14 14 21 (0, , , − ) 17 17 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Câu Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) > V : x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 2x1 − x2 + 2x3 + x4 = a) Tìm sở số chiều U ∩ V b) Tìm sở số chiều U + V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 a) Tìm sở số chiều U ∩ V x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ∩ V ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ V x ∈ U ⇔ (x1, x2, x3, x4) = α(1, 1, −2, 1) + β(1, 2, 1, 0) = (α + β, α + 2β, −2α + β, α) −8α + 8β = x ∈V ⇔ ⇔ α = β −2α + 2β = Vậy x = α(2, 3, −1, 1) Từ suy (2, 3, −1, 1) tập sinh U ∩ V Véctơ (2, 3, −1, 1) độc lập tuyến tính nên sở U ∩ V (2, 3, −1, 1) Dim(U ∩ V ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 Tìm sở V −5 −5 → −1 −5 −4 11 Cơ sở V (−7, −4, 5, 0) (3, 11, 0, 5) U +V = < 11, 0, 5) > (1, 1, −2, 1), (1, 2,1, 0),(−7, −4, 5, 0), (3, 1 −2 1 −2 0 → −1 −7 −4 0 −18 10 11 0 0 Cơ sở U + V (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0), (−7, −4, 5, 0) Dim(U + V ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 26 [f (4, 3, 6)]B = A[(4, B = 3, 6)] −2 −2 = −4 −1 25 Vậy f (4, 3, 6) = 1(1, 1, 0) − 4(1, 0, 1) + 25(1, 1, 1) = (22, 26, 21) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 13 / 26 Câu Cho ma trận cấp 2 A = −1 −3 −2 Tìm ma trận B ∈ M3(R) cho B = A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 14 / 26 Xét −λ 2 χA(λ) = |A − λI | = −1 −3 − λ −2 = 4−λ ⇔ −λ(λ + 1)(λ − 2) = ⇔ λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 15 / 26 Ứng với λ1 = −1 ta xét hệ x1 + 2x2 + 2x3 = −x − 2x2 − 2x3 = x1 + 5x2 + 5x3 = ⇒ X1 = α −1 , α = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 16 / 26 Ứng với λ2 = ta xét hệ 0x1 + 2x2 + 2x3 = −x − 3x2 − 2x3 = x1 + 5x2 + 4x3 = ⇒ X2 = β −1 , β = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 17 / 26 Ứng với λ3 = ta xét hệ −2x1 + 2x2 + 2x3 = −x1 − 5x2 − 2x3 = x1 + 5x2 + 2x3 = ⇒ X3 = γ −1 , γ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 18 / 26 Vậy ta có ma trận làm chéo hóa 1 S = −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 0 ⇒ S −1 = −1 −1 D = 0 1 0 Do A = SDS −1 = B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 19 / 26 Vậy ma trận B cần tìm (−1)1/3 0 1 −1 −1 −1 −1 −1 01/3 −1 −1 = 1 1 0 21/3 1/3 1/3 2 −1 −21/3 − −21/3 24/3 + 24/3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 20 / 26 Câu Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao, nêu rõ phép biến đổi f (x1, x2, x3) = x12 −2x22 −2x32 −4x1x2 +4x1x3 +8x2x3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 26 Ma trận dạng toàn phương −2 A = −2 −2 −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 22 / 26 χA(λ) = det(A − λI ) = − λ −2 =0 −2 −2 − λ 4 −2 − λ ⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 23 / 26 χA(λ) = det(A − λI ) = − λ −2 =0 −2 −2 − λ 4 −2 − λ ⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = Xác định ma1 trận trực giao Với λ1 = −2, ta có −3 P∗1 = − 23 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 23 / 26 Với λ2 = λ3 = 2, ta có P∗2 = − √25 √1 , P∗3 = − 3√2 √ 5 √ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 24 / 26 Do đóma trận trực giao − 31 − √25 − 3√2 P = − 23 √15 3√4 √ 3 Phép biến đổi (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T đưa dạng tồn phương f dạng tắc f = −7y12 + 2y22 + 2y32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 25 / 26 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 26 / 26 ... Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 13 / 26 Câu Cho ma trận cấp 2 A = −1 −3 −2 Tìm ma trận B ∈ M3(R) cho B = A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 26 Ma trận dạng toàn phương −2 A = −2 −2 −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 25 / 26 CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM