Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 1 - Nguyễn Phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới thiệu; Định nghĩa; Một vài dạng ma trận đặc biệt; Các toán tử ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NGUYỄN PHƯƠNG Bộ mơn Tốn Kinh tế Trường Đại học Ngân hàng TP HCM Email liên lạc : nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 MỤC LỤC I BÀI MA TRẬN Giới thiệu Định nghĩa Một vài dạng ma trận đặc biệt Các toán tử ma trận BÀI ĐỊNH THỨC Định nghĩa Các phương pháp tính định thức Các tính chất định thức Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Phương trình ma trận BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Định lý Kronecker–Capelli Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 MỤC LỤC II Hệ phương trình Cramer Hpt tuyến tính BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Định nghĩa Tổ hợp tuyến tính Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vectơ Không gian Tọa độ vectơ BÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân thị trường Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ Mơ hình IS−LM Mơ hình input−output Leontief Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Giới thiệu Công ty điện tử ABC sản xuất mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD quạt máy Cơng ty có đại lý bán hàng Bảng sau cho biết số lượng mặt hàng bán đại lý tháng vừa qua: Đại lý Đại lý Đại lý TV 120 140 150 radio 150 180 120 đầu máy VCD 80 120 180 quạt máy 210 220 250 Ta viết lại bảng sau:   120 150 80 210 q = 140 180 120 220 150 120 180 250 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ma trận cấp (cịn gọi cỡ) m × n bảng số (thực phức) hình chữ nhật có kích thước m hàng n cột  a11 a1j     A =  ai1 aij   am1 amj ↑ cột thứ  a1n    ain  ← hàng thứ i    amn m×n j Ký hiệu A = (aij )m×n Nguyễn Phương (BUH) với i = 1, m, j = 1, n ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Định nghĩa Ví dụ 1.1    ma trận cấp × A= −1 B= ma trận cấp ×  √  3.1 −2 C=  ma trận cấp × π D = (4) ma trận cấp ×   E =   ma trận cấp × Ví dụ 1.2 Các phần tử A Ví dụ 1.1: a11 = 1; a22 = 4; Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Một vài dạng ma trận đặc biệt Định nghĩa 1.2 Ma trận dịng ma trận có dịng Ma trận cột ma trận có cột Ví dụ 1.3 Trong Ví dụ 1.1, ta thấy B ma trận dòng; E ma trận cột Định nghĩa 1.3 Ma trận vng ma trận có số hàng m số cột n Ký hiệu A = (aij )n×n với ∀i, j = 1, n Ma trận vng có n dịng gọi ma trận vng cấp n Ví dụ 1.4  A= ; Nguyễn Phương (BUH)   −1  ; B= 0 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH   C=  −2 3  −1   0  Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Một vài dạng ma trận đặc biệt Định nghĩa 1.4 Ma trận chéo ma trận vng có phần tử ngồi đường chéo phần tử đường chéo khác Ký hiệu A = diag(a1 , a2 , , an ) Ví dụ 1.5  A= 0 ;  0 B =  ; 0   C=  0 0 0 0  0    Định nghĩa 1.5 Ma trận đơn vị cấp n ma trận chéo cấp n, có tất phần tử đường chéo Ký hiệu A = In Ví dụ 1.6  I2 = 0 , Nguyễn Phương (BUH)  0 I3 =   , 0 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH   I4 =   0 0 0  0    Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Một vài dạng ma trận đặc biệt Định nghĩa 1.6 Ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo gọi ma trận tam giác Ngược lại, gọi ma trận tam giác Ví dụ 1.7  A= ;  −1 ; B= 0   C=  −2 −1 0 0  0    Định nghĩa 1.7 Ma trận không ma trận mà phần tử Ký hiệu A = Ví dụ 1.8  01×1 = (0); 02×4 = Nguyễn Phương (BUH) 0 0 0 0 ; ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 04×3  =  0 0 0  0    Ngày 24 tháng 10 năm 2022 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Định nghĩa 1.8 Hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n A, B cỡ phần tử vị trí tương ứng aij = bij với ∀i, j Ví dụ 1.9 x −1 ,B = 4 x số Thì A = B x = −1 A ̸= C với x Cho A = C = −1 Định nghĩa 1.9 Cho A = aij m×n , B = bij m×n c số Ta định nghĩa A + B, A − B cA sau: Cộng ma trận: A + B = a + b ij ij m×m Trừ ma trận: A − B = a − b ij ij m×n Nhân vơ hướng: cA = ca ij m×n Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 10 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Ví dụ 1.10 Cho A = 4 B = −1 −1 −1 Ta có 2+1 + (−1) 2−1 A−B = − (−1) 4·2 4·3 4A = 4·4 4·5 A+B = 3+2 4+3 = + (−1) + (−1) 3−2 4−3 = − (−1) − (−1) 4·4 12 16 = 4·6 16 20 24 3 5 7 Tính chất 1.1 Cho ma trận A, B, C cỡ c, d số Thì A + B = B + A, c(dA) = (cd)A = d(cA) A + (B + C) = (A + B) + C A+0=0+A =A c(A + B) = cA + cB A − A = (c + d)A = cA + dA 0A = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 11 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Định nghĩa 1.10 Nhân ma trận A = (aij )m×p với B = (bij )p×n ma trận C = AB = (cij )n×m với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aip bpj hay    b1j ∗ ∗ b2j ∗      aip    =  cij     ∗ bpj   AB = ai1 ai2  Lưu ý: AB ̸= BA hầu chắn; AB = CB A chưa C; A.B = không suy A = B = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 12 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Ví dụ 1.11  AB =  1   −1 −2 · + · + · (−1) · + · + · (−2) · + · + · (−1) · + · + · (−2) =  =  1 3  BA =  −1 −2   1·1+1·4 1·2+1·5 1·3+1·6 2·1+3·4 2·2+3·5 2·3+3·6  = (−1) · + (−2) · (−1) · + (−2) · (−1) · + (−2) ·   19 24  =  14 −9 −12 −15 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13 / 141 (1) BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Ví dụ 1.12 1 B = Ta có A ̸= B ̸= 0, 0 1 0 AB = = =0 0 0 Cho A = Định nghĩa 1.11 Cho A ma trận vuông cấp n k số nguyên dương Ta định nghĩa Ak sau:   k = In k A = AA · · · A k ≥   k lần Ví dụ 1.13 Cho A = A3 = Thì Nguyễn Phương (BUH) 3 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH = 11 30 15Ngày41 24 tháng 10 năm 2022 14 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Cho toán sau: Cho A = (aij )n×n f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 Tính f (A) f (A) = an An + an−1 An−1 + + a1 A + a0 In Ví dụ 1.14   Cho A = 0 Lời giải: Ta có  f (A) = 1 0 Nguyễn Phương (BUH)  1 f (x) = x + Tính f (A)       1 0 4 1 1 1 + 0 0 = 4 4 0 0 0 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 15 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Định nghĩa 1.12 Cho A = aij ma trận cỡ m × n Ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT (hoặc At , ma trận n × m aij trở thành aji Ví dụ 1.15  Cho A =  Ta có AT =       Tính chất 1.2 Cho A ma trận cỡ m × n AT T = A Nếu B ma trận m × n (A + B)T = AT + BT Nếu c số (cA)T = cAT Nếu B ma trận cỡ n × p (AB)T = BT AT Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 16 / 141 BÀI MA TRẬN Các toán tử ma trận Định nghĩa 1.13 Ma trận bậc thang theo dòng ma trận thỏa điều kiện: Các dòng khơng (nếu có) phải nằm Phần tử khác khơng dịng (nếu có) phải nằm cột bên trái phần tử khác không dịng (nếu có) Ví dụ 1.16 Cho biết ma trận sau có phải ma trận bậc thang theo dịng hay khơng?      −1   A =  −1  ; B =   0 0 ; 0 0 1     2 −1  −1   −1     C=  −1  ;D =  0  0 1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 17 / 141 ...  1 3  BA =  ? ?1 −2   1? ?1+ 1·4 1? ?2 +1? ?5 1? ?3 +1? ?6 2? ?1+ 3·4 2·2+3·5 2·3+3·6  = (? ?1) · + (−2) · (? ?1) · + (−2) · (? ?1) · + (−2) ·   19 24  =  14 −9 ? ?12 ? ?15 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương. .. ca ij m×n Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 10 / 14 1 BÀI MA TRẬN Các tốn tử ma trận Ví dụ 1. 10 Cho A = 4 B = ? ?1 ? ?1 ? ?1 Ta có 2 +1 + (? ?1) 2? ?1 A−B = − (? ?1) 4·2 4·3... biết số lượng mặt hàng bán đại lý tháng vừa qua: Đại lý Đại lý Đại lý TV 12 0 14 0 15 0 radio 15 0 18 0 12 0 đầu máy VCD 80 12 0 18 0 quạt máy 210 220 250 Ta viết lại bảng sau:   12 0 15 0 80 210 q = ? ?14 0