Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Tổ hợp tuyến tính; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Hạng của hệ vectơ; Không gian con; Tọa độ của vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo!
BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Định nghĩa NHẮC LẠI Định nghĩa 4.1 Véc tơ đoạn thẳng có hướng Ví dụ 4.1 Trong khơng gian Oxy y u v x −u Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 80 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Định nghĩa Tính chất 4.1 Cho x = (x1 , x2 ) y = (y1 , y2 ) hai véc tơ R2 k số thực Ta có kx = (kx1 , kx2 ); x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ); x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 ); Độ dài véc tơ : |x| = x12 + x22 Tính chất 4.2 Cho x = (x1 , x2 , x3 ) y = (y1 , y2 , y3 ) hai véc tơ R3 k số thực Ta có kx = (kx1 , kx2 , kx3 ); x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ); x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 ); Độ dài véc tơ : |x| = Nguyễn Phương (BUH) x12 + x22 + x32 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 81 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Định nghĩa Định nghĩa 4.2 Khơng gian véc tơ V tập V khác rỗng trang bị hai phép toán x + y ∈ V với x, y ∈ V ; αx ∈ V với x ∈ V α ∈ R; Tiên đề x + y = y + x; (x + y) + z = x + (y + z); Tồn véc tơ không, ký hiệu cho x + = x; Mọi x thuộc V , tồn véc tơ −x cho x + (−x) = 0; Với α, β ∈ K véc tơ x ∈ V : (α + β)x = αx + βx; Với α ∈ K véc tơ x ∈; V : (x + y)α = αx + αy; (αβ)x = α(βx) 1.x = x Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 82 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa 4.3 Cho S = {a1 , a2 , , am } tập hợp véc tơ không gian véc tơ V Véc tơ b ∈ V gọi tổ hợp tuyến tính véc tơ S tồn số thực x1 , x2 , , xm cho b = x1 a + x2 a + + xm a m Nói cách khác, véc tơ b biểu diễn véc tơ S Ví dụ 4.2 Hãy biễu diễn véc tơ x = (2, 3, 5) ∈ R3 qua véc tơ S = {v1 = (−2, −3, 4), v2 = (2, 3, 2)} ⊂ R3 Lời giải: ➤ Cho c1 , c2 ∈ R Ta xét biểu thức sau: x = c1 v1 + c2 v2 ⇐⇒ (2, 3, 5) = c1 (−2, −3, 4) + c2 (2, 3, 2) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 83 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tổ hợp tuyến tính ➤ Ta có hpt sau: −2c + 2c = c1 = −3c1 + 3c2 = ⇐⇒ c2 = 4c1 + 2c2 = Vậy ta có x = v1 + v2 2 z v = (2, 3, 5) v1 = (−2, −3, 4) v2 = (2, 3, 2) y x Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 84 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Tổ hợp tuyến tính LIÊN HỆ GIỮA TỔ HỢP TUYẾN TÍNH VÀ HPT Giả sử aj = (a1j , a2j , , anj ), b = (b1 , b2 , , bn ) b1 a1j b2 a2j Ta kí hiệu: Aj = , B = X = x1 x2 bn xm anj Khi đó, b tổ hợp tuyến tính hệ S ⇔ x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = b có nghiệm ⇔ x1 A1 + x2 A2 + · · · + xm Am = B có nghiệm ⇔ AX = B có nghiệm, với A = A1 A2 · · · Am Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 85 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tổ hợp tuyến tính Ví dụ 4.3 Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4) Cho biết x = (1, −3, 5) có phải tổ hợp tuyến tính {u, v, w} khơng? Nếu có, cách biểu diễn x theo u, v, w Lời giải: Giả sử x = au + bv + cw với a, b, c ∈ R ⇔ (1, −3, 5) = (a, −a, 2a) + (b, b, −b) + (−c, −3c, 4c) ⇔ (1, −3, 5) = (a + b − c, −a + b − 3c, 2a − b + 4c) a+b−c =1 −a + b − 3c = −3 ⇔ 2a − b + 4c = 1 −1 1 −1 1 d2 → d2 + d1 −−−−−−−−−−→ −4 −2 (A |B ) = −1 −3 −3 d3 → d3 − 2d1 −3 −1 d2 → 21 d2 −−−−−− −→ Hpt ⇔ 1 −1 −2 −1 a+b−c =1 Chọn c = ta b = −1, a = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 b − 2c = −1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 86 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 4.4 Hệ S = {a1 , a2 , , am } hệ phụ thuộc tuyến tính ⇔ Tồn vectơ aj ∈ S tổ hợp tuyến tính vectơ lại ⇔ Tồn số x1 , x2 , , xm với xj ̸= cho x1 a + x2 a + · · · + xm a m = ⇔ AX = có nghiệm khơng tầm thường với A định nghĩa Ngược lại S hệ độc lập tuyến tính y y v2 y v2 v1 v1 v1 x v , v đltt Phương Nguyễn (BUH) x vĐẠI ptttTÍNH 1, v 2TUYẾN SỐ x v2 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 87 / 1411 v , v pttt BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 4.4 Cho S = {(1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0), (1, −1, 1, 1)} ⊂ R4 CMR S độc lập tuyến tính Lời giải: Cách Lấy c1 , c2 , c3 ∈ R Xét hệ thức sau: c1 (1, 0, 0, 1) + c2 (0, 2, 1, 0) + c3 (1, −1, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) c1 + c3 = 2c2 − c3 = ⇐⇒ ⇐⇒ c1 = c2 = c3 = c2 + c3 = c + c3 = =⇒ S độc lập tuyến tính Cách Ta xét 0 1 0 ∼ A= −1 1 0 Do r(A) = = n =⇒ S độc lập tuyến tính Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 88 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Nhận xét: Trong trường hợp S gồm n vectơ n−chiều Khi S độc lập tuyến tính ⇐⇒ AX = có nghiệm X =0 ⇐⇒ det(A) ̸= r(A) = n S phụ thuộc tuyến tính ⇐⇒ Ax = có vơ số nghiệm hay ⇐⇒ det(A) = r(A) < n A = A1 A2 An A1 , , An chuyển vị a1 , , an Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 89 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Định nghĩa 4.9 Cho S = {a1 , a2 , , am } ⊂ V Bao tuyến tính S, ký hiệu Span(S), định nghĩa sau: Span(S) = {v = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αm am ; αi ∈ R} Ví dụ 4.19 Trong R3 , cho hệ S = {u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1)} Hãy xác định Span(S) Lời giải: Lấy v ∈ Span(S), với v = (x; y; z), ta có: v = αu1 +βu2 = α(1; 0; −1)+β(0; 1; −1) = (α; β; −α−β) (α, β ∈ R) Vậy Span(S) = {(α; β; −α − β) (α, β ∈ R)} ⊂ R3 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 103 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4.20 Cho S = (2, −1, 0), (1, 3, −2), (1, 1, 4) ⊂ R3 Chứng tỏ x = (−4, 4, 6) ∈ R3 thuộc Span(S) Lời giải: ➤ Cho c1 , c2 , c3 ∈ R Ta xét biểu thức sau: x = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ⇐⇒ (−4, 4, −6) = c1 (2, −1, 0) + c2 (1, 3, −2) + c3 (1, 1, 4) 2c1 + c2 + c3 = −4 c1 = −2 ⇐⇒ −c1 + 3c2 + c3 = ⇐⇒ c2 = c3 = −1 − 2c2 + 4c3 = −6 =⇒ x tổ hợp tuyến tính S hay x ∈ Span(S) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 104 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Định lý 4.5 Span(S) không gian Rn Span(S) cịn gọi khơng gian sinh S dim(Span(S)) = rank(S) Bài toán Trong Rn , cho hệ S = {a1 , a2 , , am } Hãy tìm sở số chiều Span(S) Phương pháp giải: Lập ma trận A có hệ vectơ dịng S Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến đổi A dạng bậc thang theo dòng B Hệ vectơ dịng khác khơng B sở Span(S) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 105 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4.21 Trong R4 , cho hệ H = {a1 = (−2, 4, −2, −4), a2 = (2, −5, −3, 1), a3 = (−1, 3, 4, 1)} Hãy tìm sở số chiều Span(H) Lời giải: a3 −1 −1 A = a2 = −5 −3 −→ −5 −3 a −2 −2 −4 −1 −5 −3 −1 −1 1 −→ −→ 0 −1 −5 −3 0 0 Vậy: Một sở Span(H) {(−1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3)} dim(Span Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 106 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Bài tốn 2.Trong Rn m cho hệ H = {a1 , a2 , , am } Tìm điều kiện để x ∈ Span(H) Phương pháp giải x ∈ Span(H) ⇔ x tổ hợp tuyến tính H Nếu ta có F = {b , b , , b } sở Span(H), k đó: x ∈ Span(H) ⇔ x tổ hợp tuyến tính F Ví dụ 4.22 Trong R3 , cho hệ H = {a1 = (1, 2, −4), a2 = (2, −1, 1), a3 = (−3, −1, 3)} Hãy tìm m để b = (−1, 3, m) ∈ Span(H) −3 −1 Xét A = a1 a2 a3 b = −1 −1 −→ −5 −4 m −3 −1 −3 −1 −1 −→ −1 1 −9 m − 0 m +5 Ta có rank(A) = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 b ∈ Span(H) ⇔ rank(A) = ⇔ m + = ⇔ m = −5 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 107 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Không gian Định nghĩa 4.10 Cho hpttt AX = Không gian nghiệm hệ L = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : AX = 0} Định lý 4.6 rank(A) + dim(L) = n dim(L) = n − rank(A) Định nghĩa 4.11 Mỗi sở không gian nghiệm L gọi hệ nghiệm hệ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 108 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4.23 Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm HPT sau: x1 + 3x2 + 3x3 = 2x1 + 6x2 + 9x3 = −x1 − 3x2 + 3x3 = Lời giải: ➤ Ta có 3 3 ∼ 0 (A|0) = −1 −3 0 0 0 ➤ Nghiệm HPT là: (x1 , x2 , x3 ) = (−3a, a, 0) = a(−3, 1, 0) với a ∈ R ➤ Do L = {(−3, 1, 0)} độc lập tuyến tính Span(L) khơng gian nghiệm nên L sở không gian nghiệm dim(L) = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 109 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4.24 Tìm sở số chiều không gian nghiệm HPT sau: x1 + x2 − x3 + x4 = −x1 + x2 − x3 − 2x4 = Lời giải: ➤ Ta xét (A|0) = 1 −1 −1 −1 −2 ∼ 1 −1 0 −2 −1 ➤ Nghiệm HPT (x1 , x2 , x3 , x4 ) = − 3a + 3b, a, b, 2a − 2b = − 3a, a, 0, 2a + 3b, 0, b, −2b = a(−3, 1, 0, 2) + b(3, 0, 1, −2), a, b ∈ R ➤ Do L = {(−3, 1, 0, 2), (3, 0, 1, −2)} độc lập tuyến tính Span(L) không gian nghiệm nên L sở không gian nghiệm dim(L) = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 110 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4.25 Tìm nghiệm tổng qt hệ nghiệm hệ x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2x1 + 4x2 − 3x3 = x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = −1 1 −1 Lời giải: Ta có A = −3 −→ 0 −1 −2 0 −1 1 −→ −→ 0 0 x1 + 2x2 + 3x4 = x1 = −2x2 − 3x4 Hệ ⇔ ⇔ x3 + 2x4 = x3 = −2x4 Nghiệm tổng quát hệ (−2a − 3b, a, −2b, b), a, b ∈ R Không gian nghiệm L = {x = (−2a − 3b, a, −2b, b), a, b ∈ R} = {x = a(−2, 1, 0, 0) + b(−3, 0, −2, 1), a, b ∈ R} ⇒ L = Span{(−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −2, 1)} Vậy hệ nghiệm hệ {(−2, 1, 0, 0), (−3, −2, 1)} Ngày 240, tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 111 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ Định nghĩa 4.12 Trong không gian vectơ n chiều X , cho sở thứ tự H = {a1 , a2 , , an } Khi đó, vectơ x X biểu diễn cách dạng tổ hợp tuyến tính vectơ H x = x1 a1 + x2 a2 + + xn an tọa độ vectơ x sở H kí hiệu x|H = (x1 , x2 , , xn ) x1 x2 Ta kí hiệu (x |H ) = x1 x2 xn , [x]H = xn Ví dụ 4.26 Trong R3 , cho sở B = {(1; 1; 0), (2; 1; 3), (1; 0; 2)} x = (6; 5; 4) Tìm [x]B x = (x1 , x2 , , xn ) = x1 e1 +x2 e2 +· · ·+xn en ⇒ x|En = (x1 , x2 , , xn ) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 112 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ Định lý 4.7 Cho A = {a1 , a2 , , an } B = {b1 , b2 , , bn } hai sở khơng gian n chiều X Khi đó, tồn ma trận vuông cấp n khả nghịch P cho [x]A = P[x]B , ∀x ∈ Rn P gọi ma trận chuyển sở từ A sang B, kí hiệu PAB Cột thứ i ma trận PAB tọa độ vectơ bi theo sở A PAB = ([b1 ]A [b2 ]A [bn ]A ) PAA = In PAB = PBA −1 Ví dụ 4.27 Tìm tọa độ vectơ x = (6; 5; 4) theo sở B R3 B = {b1 = (1; 1; 0), b2 = (2; 1; 3), b3 = (1; 0; 2)} Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 113 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ Định lý 4.8 Trong không gian vectơ n chiều X cho sở A, B C, đó: PAC = PAB PBC Hệ 4.2 Trong Rn , ta có PAB = PAEn PEBn = PEAn −1 PEBn Ví dụ 4.28 Trong khơng gian R2 , cho sở B = {b1 = (9; −1), b2 = (5; 1)} C = {c1 = (−1; 4), c2 = (−3; 5)} Hãy tìm ma trận chuyển sở từ B sang C Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 114 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ Ví dụ 4.29 Cho E3 , A = {a1 = (1, 1, −1), a2 = (0, 1, 2), a3 = (0, 0, 1)} B = {b1 = (1, −1, 1), b2 = (2, 3, 1), b3 = (1, 2, 1)} sở R3 a Tìm ma trận chuyển sở từ E3 sang A ngược lại b Tìm ma trận chuyển sở từ A sang B c Cho biết x|B = (−2, 1, 3) Hãy xác định x|A x|E3 Lời giải: a Ta có a1 |E3 = (1, 1, −1), a2 |E3 = (0, 1, 2), a3 |E3 = (0, 0, 1) 0 Nên PEA3 = 1 = P −1 0 Từ ta PAE3 = P −1 = −1 −2 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 115 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ PEAn = ([a1 ]En [a2 ]En [an ]En ) = (a1T a2T anT ) x1 = x1 + x2 = −1 b Giả sử b1 = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 ⇔ −x1 + 2x2 + x3 = x1 = x = −2 ⇒ b1 |A = (1, −2, 6) ⇔ x3 = Tương tự, ta b2 |A = (2, 1, 1), b3 |A = (1, 1, 0) Vậy ma trận chuyển sở từ A sang B PAB = −2 1 c Ta có x|B = (−2, 1, 3) −2 [x]A = PAB [x]B = −2 1 = −11 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 116 / 141 BÀI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Tọa độ vectơ Vậy x|A = (3, 8, −11) 0 3 Tương tự [x]E3 = PEA3 [x]A = 1 = 11 −1 −11 Vậy x|E3 = (3, 11, 2) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 117 / 141 ... ta b = −1, a = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 b − 2c = −1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 86 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 4. 4 Hệ S = {a1 , a2 ,... ⊂ R3 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 103 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4. 20 Cho S = (2, −1, 0), (1, 3, −2), (1, 1, 4) ⊂ R3 Chứng tỏ x = (? ?4, 4, 6)... khơng B sở Span(S) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 105 / 141 BÀI KHƠNG GIAN VÉCTƠ Khơng gian Ví dụ 4. 21 Trong R4 , cho hệ H = {a1 = (−2, 4, −2, ? ?4) , a2 = (2, −5,