Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 3cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Định lý Kronecker–Capelli; Hệ phương trình Cramer; Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH × Ví dụ 3.1 Giải hệ phương trình sau: x − y = −1 x −y=1 y y=x +1 x y=x −1 Nhận xét: Hai đường thẳng điểm chung =⇒ HPT vơ nghiệm Ngày 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 48 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.2 Giải hệ phương trình sau: x − y = −1 x +y=2 y y=x +1 x y = −x + Nhận xét: Hai đường thẳng có điểm chung =⇒ HPT có nghiệm Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 49 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.3 Giải hệ phương trình sau: −x + y = −x + y = y y=x +1 x Nhận xét: Hai đường thẳng có vơ số điểm chung =⇒ HPT có vơ số nghiệm Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 50 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH × Ví dụ 3.4 3x + 0y + 2z = Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = 0x + 0y + z = z Nghiệm HPT Nghiệm x Nguyễn Phương (BUH) y ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 51 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.5 0x + y + z = Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = 0x + 0y + z = z Nghiệm HPT Vô số nghiệm x Nguyễn Phương (BUH) y ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 52 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Ví dụ 3.6 0x + 3y + 2z = Xét hệ phương trình sau: 0x + y + 0z = −1 0x + 0y + z = z HPT Vô nghiệm y x Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 53 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH n × m Định nghĩa 3.1 Hệ phương trình tuyến tính (HPT-TT) gồm m phương trình, n ẩn có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (2) am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm a1 , , amn b1 , , bm số thực Nếu b1 = = bm = gọi HPT-TT Nếu tồn bi ̸= với i = 1, , m gọi HPT-TT khơng Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 54 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa 3.2 Hệ phương trình (2) có a11 a12 a21 a22 am1 am2 Định nghĩa thể viết dạng sau: · · · a1n x1 b1 · · · a2n x2 b2 = · · · amn A xn bm X B dạng ma trận mở rộng sau: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A|B = am1 am2 · · · amn Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b1 b2 bm Ngày 24 tháng 10 năm 2022 55 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Định nghĩa 3.3 Bộ α = (α1 , α2 , , αn ), tức x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn , gọi nghiệm HPT-TT (2) thoả mãn tất phương trình HPT (2) Ví dụ 3.7 x1 + x2 + 3x3 = 11 ,− ,− x= nghiệm HPT sau: 2x1 − 2x2 + 2x3 = 5 3x1 + 9x2 =3 Định nghĩa 3.4 Hai HPT-TT gọi tương đương có tập nghiệm Ví dụ 3.8 Hệ HPT sau tương đương x1 + 2x2 = 4x1 + x2 = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4x1 + x2 = x1 + 2x2 = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 56 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli ĐỊNH LÝ KRONECKER–CAPELLI Định lý 3.1 Cho r(A) r(A|B) hạng ma trận hệ số ma trận mở rộng HPT Ax = B Ta có, r(A) ̸= r(A|B) ⇐⇒ HPT (2) vô nghiệm r(A) = r(A|B) ⇐⇒ HPT (2) có nghiệm r(A) = r(A|B) = n ⇐⇒ HPT (2) có nghiệm r(A) = r(A|B) < n ⇐⇒ HPT (2) có vơ số nghiệm Phương pháp khử Gauss giải HPT Ax = b Lập ma trận mở rộng (A|B); Dùng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận mở rộng dạng bậc thang Sử dụng Định lý trên, xác định số nghiệm HPT Viết HPT tương ứng với ma trận bậc thang Tìm xn , sau xn−1 , , x1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 57 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.14 x3 = x1 + 2x2 + Cho hệ phương trình sau 2x1 + 5x2 + 3x3 = Xác định m 3x1 + 7x2 + m x3 = để hệ phương trình có nghiệm Lời giải: Ta có 1 1 (A|B) = 5 ∼ 2 m 0 m −4 Nhận xét: HPT có nghiệm, tức HPT có nghiệm vơ số nghiệm Theo ycbt, ta có HPT có nghiệm ⇐⇒ r(A) = r(A|B) ⇐⇒ ∀m Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 65 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định lý Kronecker–Capelli Ví dụ 3.15 x3 = −1 x1 + 3x2 + Cho hệ phương trình sau −2x1 + 6x2 + (m − 1)x3 = 4x1 + 12x2 + (m + 3)x3 = m − Xác định m để hệ phương trình vơ nghiệm Lời giải: Ta có (A|B) = −1 −1 −2 m − ∼ 12 m + 2 12 m + m − 0 m −1 m +1 Theo ycbt, ta có HPT vơ nghiệm ⇐⇒ r(A) ̸= r(A|B) ⇐⇒ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH m2 − = m + ̸= ⇐⇒ m = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 66 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Định nghĩa 3.5 Hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính thỏa điều kiện Số phương trình số ẩn Ma trận hệ số A có định thức khác khơng Hệ Cramer ln có nghiệm Ví dụ 3.16 2x + y − z = y + 3z = Hệ phương trình có hệ Cramer? 2x + y + z = −1 Hpttt (1) ⇔ Ax = B Vì |A| = ̸ nên A khả nghịch Do đó, X = A−1 B Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 67 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer QUY TẮC CRAMER GIẢI HỆ CRAMER Ax = b I Gọi D = det(A) Dj = det(Aj ) định thức ma trận Aj có cách thay đổi cột i A cột B Dj Khi đó, nghiệm xj = , j = 1, , n D Ví dụ 3.17 Giải hệ phương trình Ta có D = |A| = 2 2x + y − z = y + 3z = 2x + y + z = −1 −1 = ̸= nên hệ cho hệ 1 Cramer Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 68 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer QUY TẮC CRAMER GIẢI HỆ CRAMER Ax = b II D1 = D3 = 1 −1 3 = − 12 −1 1 1 = −4 −1 D2 = −1 3 −1 Vậy: Hpttt có nghiệm (x, y, z) = ( Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH = 24 D1 D2 D3 , , ) = (−3; 6; −1) D D D Ngày 24 tháng 10 năm 2022 69 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Cho HPT tuyến tính AX = B với A ma trận vuông cấp n Nếu det(A) ̸= HPT có nghiệm xi = det(Ai ) , det(A) i ∈ 1, n Nếu det(A) = det(Ai ) ̸= với i thì HPT vơ nghiệm Vì sao? Nếu det(A) = det(Ai ) = 0, i ∈ 1, n thì HPT vơ nghiệm vơ số nghiệm Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 70 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Ví dụ 3.18 x1 + 2x2 − x3 = Giải hpt sau 3x1 + x3 = −1 quy tắc Cramer 2x1 − 2x2 =3 Lời giải: Ta có det(A) = det(A2 ) = −1 −2 −1 −1 2 −1 −1 −2 = 12, det(A1 ) = = −10, det(A3 ) = 2 −1 −2 =8 = −36 Do det(A) = 10 ̸= ⇐⇒ HPT có nghiệm x = (x1 , x2 , x3 ) = Nguyễn Phương (BUH) det(A1 ) det(A2 ) det(A3 ) , , det(A) det(A) det(A) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH = , − , −3 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 71 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Ví dụ 3.19 x1 + x2 + mx3 = Cho hpt sau: x1 + mx2 + x3 = m Xác định m để hpt có mx1 + x2 + x3 = m nghiệm Lời giải: Ta có det(A) = 1 m m m 1 = −m + 3m − HPT có nghiệm ⇐⇒ det(A) ̸= ⇐⇒ m ̸= −2 ∧ m ̸= Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 72 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Ví dụ 3.20 Cho hpt sau: x1 + 2x3 = x2 + mx3 = Xác định m để hpt có vơ số 2x1 + x2 − mx3 = m nghiệm m = −2m − −m Xét det(A) = ⇐⇒ −2m − = ⇐⇒ m = −2 Thay m = −2 vào hpt ban đầu, ta + 2x3 = x1 x2 − 2x3 = ⇐⇒ (A|B) ∼ −2 0 −6 2x1 + x2 + 2x3 = −2 Lời giải: Ta có det(A) = Do r(A) = ̸= r(A|B) = =⇒ HPT vơ nghiệm Vậy khơng tồn m để hpt có vơ số nghiệm Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 73 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình Cramer Ví dụ 3.21 Cho hpt sau: (m − 1)x1 + 2x2 =m x1 + mx2 =1 Xác định m để hpt vơ nghiệm Lời giải: Ta có det(A) = m −1 m = m2 − m − Xét det(A) = ⇐⇒ m = ∨ m = Thay giá trị m vào hpt ban đầu, ta có m = =⇒ m = =⇒ 0x1 + 2x2 = x1 + 0x2 = x1 + 2x2 = x1 + 2x2 = =⇒ hpt có nghiệm =⇒ hpt vô nghiệm Vậy m = thoả mãn ycbt Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 74 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hpt tuyến tính Định nghĩa 3.6 Hpttt có ma trận hệ số tự không gọi hpttt a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = Ví dụ 3.22 x − 2y − z −x + y − z 3x − 5y − z 2x − 3y + 5z Nguyễn Phương (BUH) =0 =0 =0 =0 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 75 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hpt tuyến tính Hpttt ln có nghiệm tầm thường (x1 , , xn ) = (0, , 0) Do ta ln có r(A) = r(A) nên theo Kroneker-Capelli Nếu r(A) = n hpttt có nghiệm tầm thường Nếu r(A) < n hpttt có vơ số nghiệm Trong trường hợp hpttt có số phương trình số ẩn Nếu det(A) ̸= hpttt có nghiệm tầm thường Nếu det(A) = hpttt có vơ số nghiệm Lưu ý: Khi giải hpttt phương pháp Gauss Gauss-Jordan cần biến đổi dòng ma trận hệ số ẩn A (do B = 0) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 76 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hpt tuyến tính Ví dụ 3.23 Tìm m để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường mx − 3y + z = 2x + y + z = 3x + 2y − 2z = Lời giải: m −3 1 =0 −2 ⇔ − 2m − + − − 12 − 2m = ⇔ − 4m − 20 = ⇔ m = −5 Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 77 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hpt tuyến tính Ví dụ 3.24 Biện luận theo m số nghiệm hệ sau x − 2y − z = −x + y − z = 3x − 5y − z = 2x − 3y + mz = −2 −1 d2 → d2 + d1 −1 −1 −− −−−−−−−−→ A = d3 → d3 − 3d1 −5 −1 d → d − 2d 4 −3 m −2 −1 d3 → d3 − d2 −−−−−−→ −−−−−−−−−−→ m +2 −2 −1 −1 −2 m +2 −2 −1 0 m Vậy: Nếu m = 0: r(A) = < ⇒ Hệ có vơ số nghiệm Nếu m = ̸ 0: r(A) = ⇒ Hệ có nghiệm tầmNgày thường 24 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 78 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hpt tuyến tính Ví dụ 3.25 Giải hpttt sau x −y+z−t =0 x + 2z − t = x + y + 3z − t = Ta có: −1 −1 −1 −1 d2 → d2 − d1 A = −1 −−−−−−−−−−→ 1 d3 → d3 − d1 1 −1 2 −−−−−−→ −1 −1 1 d1 → d1 + d2 −− −−−−−−−−→ −1 1 x + 2z − t = x = −2z + t y+z =0 y = −z Vậy nghiệm tổng quát hệ (−2a + b, −a, a, b), a, b ∈ R Hpttt ⇔ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 79 / 141 ... y x Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 53 / 141 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa HỆ PHƯƠNG TRÌNH n × m Định nghĩa 3. 1 Hệ phương trình tuyến tính (HPT-TT) gồm m phương. .. −7/4 − 3x2 − 2x3 = ⇐⇒ x2 = ? ?3/ 2 x3 = 3/ 4 − 8x3 = −6 Vậy nghiệm HPT x = − 7/4, ? ?3/ 2, 3/ 4 Ví dụ 3. 10 x1 + 2x2 − x3 = Giải hệ phương trình sau: 2x1 − x2 + x3 = −x1 − 7x2 + 4x3 =... + 2x2 − x3 = ⇐⇒ x2 − 5x2 + 3x3 = x1 ⇐⇒ x2 Vậy nghiệm HPT x = − Nguyễn Phương (BUH) có vơ số nghiệm = − 2x2 + x3 = − + x3 5 = − x3 = − + x3 5 1 a, − + a, a , ∀a ∈ R 5 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH