Nội dung chính của bài viết trình bày về xấp xỉ diophantine trên Rn - Véc tơ xấp xỉ kém và trò chơi siêu phẳng tuyệt đối. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn- VÉC TƠ XẤP XỈ KÉM VÀ TRÒ CHƠI SIÊU PHẲNG TUYỆT ĐỐI Lý Ngọc Tuệ (Đại học Brandeis, Massachusetts, Mỹ) Giới thiệu Trong phần phần loạt xấp xỉ Diophantine [16, 17] chứng minh Định lý Dirichlet Rn sau: pE Định lý (Dirichlet) Với véc tơ vô tỉ xE Rn X Qn , tồn vô số véc tơ hữu tỉ D q  à p1 pn ; :::; Qn vi pE Zn v q Z, q Ô cho: q q xE pE < : q jqj1C n Tổng quát tí, gọi hàm số liên tục không tăng W R>0 ! R>0 hàm xấp xỉ, gọi véc tơ xE Rn -xấp xỉ được1 tồn vô số pE Zn , q Z, q Ô cho: jqj/ pE Ä : xE q jqj Tập véc tơ -xấp xỉ Rn ký hiệu WAn / Nếu ta sử dụng ký hiệu: ˛ , Định lý Dirichlet phát biểu lại thành: ˛ W k 7! k Á WAn D Rn : n Hàm số gọi hàm Dirichlet (trên Rn ) WAn / D Rn Câu hỏi hàm số Dirichlet tối ưu cho Rn trả lời phần Định luật 0-1 sau Khintchine: Định lý (Khintchine 1926) Ký hiệu (i) Nếu chuỗi X độ đo Lebesgue Rn : k/n hội tụ WAn // D kD1 (ii) Nếu chuỗi X k/n phân kỳ Rn X WAn // D kD1 -approximable Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 ÁÁ > bất kỳ, theo Định lý 2, WA C D Vì vậy, C hàm n n  à Dirichlet, số mũ C Định lý tối ưu Tuy nhiên, với hàm số tiến n Á Á 1 nhanh tí k 7! k n log k/ n hay k 7! k n log log k/ , Định lý Với cho ta biết có phải hàm Dirichlet hay khơng Thật hàm hàm Dirichlet được, hay tổng quát nữa, hàm số thỏa mãn: lim k n k/ D 0; k!1 hàm Dirichlet Rn : WAn / Ô Rn iu ny cú th c chứng minh cách tồn véc tơ xấp xỉ định nghĩa sau: xE Rn gọi xấp xỉ tồn số c > (tùy thuộc vào x) E cho với pE Zn , q Z, q Ô 0: xE pE c > : q jqj1C n (1.1) Tập véc tơ xấp xỉ Rn ký hiệu BAn Khi n D 1, số xấp xỉ tương ứng với liên phân số đơn bị chặn, BA1 khơng rỗng Theo Định lý Lagrange, số thực ˛ số đại số bậc mở rộng liên phân số ˛ tuần hồn, số thực đại số bậc vơ tỉ xấp xỉ Tuy khơng có cơng cụ liên phân số n 2, chứng minh trực tiếp mở rộng quan sát cho Rn sau: Định lý Nếu f1; ˛1 ; :::; ˛n g sở trường số đại số thực2 bậc n C 1/, ˛E D ˛1 ; :::; ˛n / BAn Bài tập Chứng minh Định lý Ví dụ có vơ hạn đếm véc tơ xấp xỉ Rn Mãi đến năm 1954, Davenport [5] chứng minh BA2 tập không đếm được, năm sau đấy, Cassels [4] chứng minh BAn không đếm với n Vậy tập BAn lớn nào? Phân tích BAn thành sau: ÁÁ [ n BAn D R X WA c n D c>0 [ n R X WA k ÁÁ ; n kD1 áp dụng Định lý 2, ta có .BAn / D 0: Nói cách khác, theo độ đo Lebesgue BAn tập nhỏ không đáng kể Hơn nữa, cách phân tích cịn BAn thuộc phạm trù thứ theo Baire, hội đếm tập không đâu trù mật Một cơng cụ phổ biến để đo kích cỡ tập nhỏ chiều Hausdorff, ký hiệu dim (xem thêm chi tiết 2) Sử dụng cách biểu diễn số xấp xỉ dạng liên phân số bị chặn, Jarník [11] chứng minh tập số xấp xỉ BA1 có chiều Hausdorff Đến 1966, Schmidt [21] mở rộng kết cho véc tơ xấp xỉ kém: real algebraic number field of degree n C 1/ Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Định lý (Schmidt 1966) dim BAn D n Schmidt chứng minh kết dựa vào phương pháp hồn tồn mà ơng nghĩ ra: sử dụng trị chơi vơ hạn với thơng tin hồn hảo mà sau gọi trị chơi Schmidt (xem [19, Phần 4]) Áp dụng trò chơi này, Schmidt chứng minh yE1 ; yE2 ; ::: dãy véc tơ Rn , giao tịnh tiến BAn yE1 ; yE2 ; ::: có chiều Hausdorff n: ! \ dimH BAn CyEk D n: kD1 Tổng quát hơn, Schmidt chứng minh rằng: Định lý (Schmidt 1966) Gọi U tập mở Rn , ffi W U ! Vi g1 i D1 họ n đếm hàm từ U vào tập mở Vi  R ! \ dim fi / BAn / D n: i D1 Dựa ý tưởng Schmidt, McMullen [20] giới thiệu biến thể trò chơi Schmidt, gọi trò chơi tuyệt đối4 , chứng minh tập BA1 tập thắng trò chơi (thắng tuyệt đối5 ) Tuy nhiên, n 2, BAn tập thắng tuyệt đối Vì Broderick, Fishman, Kleinbock, Reich, Weiss [1] mở rộng ý tưởng McMullen giới thiệu trò chơi siêu phẳng tuyệt đối, tập thắng gọi thắng siêu phẳng tuyệt đối6 , viết tắt HAW Áp dụng trò chơi này, BFKRW làm mạnh Định lý Schmidt sau: Định lý (BFKRW 2012) Gọi U tập mở Rn , ffi W U ! Vi g1 i D1 họ n đếm vi phôi C từ U vào tập mở Vi  R ! \ dim fi / BAn / D n: i D1 Định lý Định lý hệ Định lý sau: Định lý (BFKRW 2012) BAn tập thắng siêu phẳng tuyệt đối Trong phần lại này, giới thiệu chi tiết chiều Hausdorff, trò chơi siêu phẳng tuyệt đối, chứng minh Định lý Chiều Hausdorff Một số tài liệu tham khảo cho chiều độ đo Hausdorff: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications [6] The Geometry of Fractal Sets [7] K J Falconer uniformly bi-Lipschitz absolute game absolute winning hyperplane absolute winning C diffeomorphism Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Với tập không rỗng U  Rn , đường kính U định nghĩa khoảng cách lớn điểm U : ˚ « E yE U : diam U WD sup xE yE W x; Nếu fUi g họ đếm tập có đường kính khơng q ı E  [ Ui , ta gọi iD1 fUi g ı-phủ8 E Với tập E  Rn , với s; ı > 0, độ đo ı; s/ Hausdorff E định nghĩa là: (1 ) X diam Ui /s W fUi g ı-phủ E : Hıs E/ WD inf i D1 Bài tập Chứng minh Hıs độ đo ngồi, nghĩa thỏa mãn tính chất sau: (i) Hıs ;/ D (ii) A  B H) Hıs A/ Ä Hıs B/ ! 1 [ X s Ai Ä (iii) Hı Hıs Ai / i D1 i D1 Khi ı giảm dần 0, lớp ı-phủ E nhỏ đi, nên Hıs E/ tăng dần giới hạn Hıs E/ ı ! tồn (có thể C1) Ta gọi giới hạn độ đo Hausdorff với chiều s E: H s E/ WD lim Hıs E/: ı&0 Theo lý thuyết độ đo tổng quát, ta giới hạn vào tập H s -đo được, H s trở thành độ đo Hơn nữa, tập Borel Rn H s -đo với s > Độ đo Hausdorff có số tính chất sau: Bổ đề 10 Cho E  Rn (i) Khi s D n, độ đo Hausdorff với chiều n tương đương với độ đo Lebesgue Rn : Tồn số c > cho với tập Borel E, H n E/ D c E/: ˚ « (ii) Với ˛ > 0, ký hiệu ˛E D ˛ xE W xE E Độ đo Hausdorff với chiều s ˛E thỏa mãn: H s ˛E/ D ˛ s H s E/: (iii) Tổng quát hơn, f W E ! Rm hàm cho tồn số c; ˛ > để với x; E yE E: ˛ f x/ E f y/ E Ä c xE yE ; với s > 0: H s=˛ f E// Ä c s=˛ H s E/: ı-cover s-dimensional Hausdorff outer measure 10 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 (iv) Nếu H s E/ < 1, với t > s, H t E/ D (v) Nếu H s E/ > 0, với < t < s, H t E/ D Bài tập 11 Chứng minh Bổ đề 10 Tính chất (iv) (v) Bổ đề 10 cho thấy có thời điểm s D s0 mà H s E/ nhảy từ xuống 0, gọi chiều Hausdorff E: dimH E/ WD supfs > W H s E/ D 1g D inffs > W H s E/ D 0g: Một số tính chất chiều Hausdorff sau: Bổ đề 12 Cho E  Rn (i) Nếu < H s E/ < 1, dimH E/ D s (ii) Nếu E tập mở Rn dimH E/ D n (iii) Nếu E  F dimH E/ Ä dimH F / (iv) Nếu E đa tạp m-chiều Rn dimH E/ D m (v) Với dãy fEi g: dimH [ ! Ei D sup dimH Ei /: i i D1 Bài tập 13 Chứng minh Bổ đề 12 Chúng ta thấy chiều Hausdorff công cụ quan trọng để mơ tả tập có độ đo Lebesgue khơng đáng kể thơng qua ví dụ tiếng tập Cantor Ví dụ 14 Tập Cantor10 C [ định nghĩa theo bước sau Đặt C0 D Œ0; 1 Ở bước thứ k 1, tập Ck D Ik;i hợp đoạn khơng giao cặp, i CkC1 cách bỏ đoạn mở Ik;i có độ dài dúng 1/3 độ dài Ik;i Cụ thể hơn, ta có được: C0 D Œ0; 1 Ä Ä C1 D 0; [ ;1 3 Ä Ä Ä Ä 2 [ ; [ ; [ ;1 C2 D 0; 9 3 :: : Tập Cantor C giao tất tập Ck CD \ kD0 10 Cantor middle third set 11 Ck : Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 C0 C1 C2 1=3 1=9 2=9 1=3 2=3 2=3 7=9 8=9 Có thể thấy Ck bao gồm 2k đoạn thẳng có độ dài C0 à C1 à C2 à Với k k , à C: 0:  Ãk : C/ Ä Ck / D Từ ta suy C có độ dài (độ đo Lebesgue R) Vì Ck tập compact, C tập compact khơng rỗng Ta mơ tả phần tử C sau Với số thực Ä x Ä 1, viết x hệ số 3: x D 0:a1 a2 :::/3 D X i ; a1 ; a2 ; ::: f0; 1; 2g: i D1 Khi đấy: x C () a1 ; a2 ; ::: f0; 2g: log Chúng ta chứng minh với s D , H s C/ D Vì tập C có chiều Hausdorff log log log 2k [ Đặt Ck D Ik;i , Ik;i đoạn đóng có độ dài k , với ı > 0, chọn k đủ lớn cho i D1 k Ä ı Khi fIk;i g ı-phủ C, ta có được: k Hıs C/ k 2 X X diam.Ik;i //s D Ä i D1 Lấy giới hạn ı & 0: k log Á log D 1: i D1 H s C/ D lim Hıs C/ Ä 1: ı&0 Để chứng minh chiều ngược lại, gọi fU˛ g phủ C Khơng tính tổng quát, giả sử U˛ ˚là « đoạn thẳng đóng Vì C tập compact, ta tìm số hữu hạn đoạn Uj 1Äj Äm phủ C Gọi k số nguyên dương nhỏ cho với Ä i Ä 2k với Ä j Ä m, phần Ik;i giao với Uj Ik;i  Uj Gọi Ij tập đoạn Ik;i nằm Uj : ˚ « Ij WD Ik;i W Ik;i  Uj ; 12 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Uj0 đoạn đóng nhỏ chứa đoạn Ik;i Ij ˚ « Ta dễ dàng kiểm tra Uj0 1Äj Äm phủ C, và: m X diam Uj m X s j D1 s diam Uj0 : j D1 Nếu Uj0 chứa đoạn Ik;i hiển nhiên: Uj0 D Ik;i Cịn khi: 2l < #Ij Ä 2lC1 ; ta tìm đoạn đóng K  Uj0 cho: (i) K o \ Ck D ;, (ii) diam K diam Uj0 , (iii) Uj0 X K o bao gồm đoạn đóng J J , đoạn chứa nhiều 2l đoạn Ik;i Ij Từ ta có được: diam Uj0 s s D diam J C diam K C diam J  Ãs diam J C diam J  Ãs 1 D2 diam J C diam J 2  à 1 s s diam J / C diam J 2 s s D diam J / C diam J  log sD log < s < 1/ Quy nạp theo l, ta có được: diam Uj0 s X diam Ik;i /s : Ik;i 2Ij ˚ « Vì Uj0 phủ C: X s diam.Ui // i D1 Vậy H s C/ D dimH C/ D m X k diam Uij j D1 s X diam Ik;i /s D 1: i D1 log log 13 à Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Trị chơi siêu phẳng tuyệt đối Trong phần này, ký hiệu B.x; E r/ ‘quả bóng’11 đóng Rn với tâm xE bán kính r: ˚ « B.x; E r/ WD yE Rn W xE yE Ä r : Một siêu phẳng12 L Rn tập hợp nghiệm hàm tuyến tính n ẩn khác Khoảng cách từ điểm xE đến L định nghĩa là: ˚ « dist x; E L WD inf xE yE W yE L : Tập hợp điểm có khoảng cách đến L khơng q r gọi r-lân cận L, ký hiệu là: ˚ « L.r/ WD xE W dist x; E L Är : tập đối S  Rn , trò chơi ˇ-siêu phẳng tuyệt đối An Bình diễn sau: Cho trước số < ˇ < An Bình thay phiên đi, Bình người trước Đầu tiên Bình chọn bóng B1 D B.xE1 ; r1 / với bán kính r1 > Ở bước thứ i 1, An chọn si -lân cận siêu phẳng Li cho < si Ä ˇri Ở bước thứ i C 1, Bình chọn bóng Bi C1 D B.xEi C1 ; ri C1 / cho ri C1 i/ B.xEi C1 ; ri C1 /  B.xEi ; ri / X L.s i : B1 xE2 L1.s1 / B2 r2 xE1 r1 An thắng như: S\ \ B.xEi ; ri / Ô ;; i D1 11 12 vỡ chỳng ta dùng sup-norm, nên thật B.x; E r/ hình hộp vng Rn hyperplane 14 ˇri và: Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 cịn khơng Bình thắng Tập S gọi tập ˇ-thắng siêu phẳng tuyệt đối An có chiến lược để ln ln thắng trị chơi ˇ-siêu phẳng tuyệt đối (viết tắt ˇ-HAW) Bình có S gọi thắng siêu phẳng tuyệt đối (viết tắt HAW) S ˇ-thắng siêu phẳng tuyệt < ˇ < Lưu ý 15 Khi n D 1, ‘siêu phẳng’ L R đơn giản điểm Khi đấy, trò chơi siêu phẳng tuyệt đối gọi trò chơi tuyệt đối giới thiệu McMullen [20] Lưu ý 16 Trị chơi siêu phẳng tuyệt đối chơi không gian metric tổng quát X; dist/ mà siêu phẳng L thay tập đóng cho trước X Trò chơi tổng quát gọi trò chơi H-tuyệt đối13 giới thiệu Fishman, Simmons, Urbanski [9], phát triển áp dụng [14] Lưu ý 17 Điều kiện ˇ < 1=3 để An có chọn nữa, Bình ln có lựa chọn hợp lệ cho bước Ta chơi trị chơi siêu phẳng tuyệt đối tập X  Rn với lựa chọn Bình có tâm nằm X điều kiện sau thỏa mãn: Tồn ; r0 > đủ nhỏ cho với bóng B.x; E r/ có tâm xE X bán kính < r < r0 với siêu phẳng L, Á X \ B.x; E r/ X L r/ Ô ;: iu kin trờn m bảo ˇ đủ nhỏ, trò chơi ˇ-siêu phẳng tuyệt đối X kéo dài vô hạn Những tập X thỏa mãn điều kiện gọi -siêu phẳng phân tán14 X gọi siêu phẳng phân tán tồn > cho X -siêu phẳng phân tán Ví dụ: tập Rn -siêu phẳng phân tán, đường thẳng không gian chiều R3 tập siêu phẳng phân tán Lưu ý 18 Nếu X  R tập siêu phẳng phân tán, ta chơi trò chơi siêu phẳng tuyệt đối X cách bắt Bình phải chọn bóng có tâm nằm X Khi tập thắng gọi HAW X Một số tính chất quan trọng tập thắng trò chơi siêu phẳng tuyệt đối sau: Định lý 19 ([1]) Giả sử X  R tập siêu phẳng phân tán (i) Nếu S  R tập HAW dimH S/ D n (ii) Nếu S tập HAW X , Y  X tập siêu phẳng phân tán, S HAW Y (iii) Nếu S1 ; S2 ; ::: tập HAW X \ Si tập HAW X i D1 (iv) Giả sử f W Rn ! Rn vi phôi C , S tập HAW, f S/ tập HAW 13 14 H-absolute game -hyperplane diffuse 15 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Ý tưởng chứng minh phần (i) Định lý 19 xây dựng S tập giống tập Cantor15 sau: bước, ta chia nhỏ ‘quả bóng’ B.xEi ; ri / thành bóng có phần đơi khơng giao với bán kính ˇri bỏ bóng giao với ˇri /-lân cận siêu phẳng Li chiến lược thắng An Tập giống Cantor nằm tập HAW S cho chặn chiều Hausdorff S, chặn tiến n ˇ tiến Bạn đọc xem thêm chứng minh đầy đủ [3, Định lý 2.2] Bài tập 20 (a) Chứng minh tập Cantor R -siêu phẳng phân tán (b) Có thể thay số số khác lớn hay k0? Véc tơ xấp xỉ Áp dụng Định lý 19, ta dễ dàng có Định lý suy Định lý Để chứng minh Định lý 8, dùng Bổ đề Đơn hình16 p p0 Bổ đề Đơn hình mở rộng quan sát sau R: Cho k > 1, số hữu tỉ q q i i C1 khác với mẫu số k Ä q; q < k , thì: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ p p ˇ ˇ pq p q ˇ ˇ ˇDˇ ˇ > k 2i : ˇq ˇ ˇ ˇ q0 qq qq Như đoạn thẳng R có bán kính < r < k 2i có chứa nhiều số hữu tỉ p với k i Ä q; q < k i C1 q Cho n C 1/ điểm xE0 ; xE1 ; xE2 ; :::; xEn˚, cho n véc « tơ xE1 xE0 /; xE2 xE0 /; :::; xEn xE0 / độc lập tuyến tính Đơn hình với đỉnh xE0 ; xE1 ; :::; xEn định nghĩa là: ˚ « .xE0 ; :::; xEn / WD xE0 C a1 xE1 xE0 / C ::: C an xEn xE0 / W a1 ; :::; an 0; a1 C ::: C an Ä : Khi n D 1, .x0 ; x1 / đoạn thẳng nối x0 x1 Khi n D 2, .xE0 ; xE1 ; xE2 / hình tam giác với đỉnh xE0 ; xE1 ; xE2 Khi n D 3, .xE0 ; :::; xE3 / tứ diện với đỉnh xE0 ; :::; xE3 Thể tích đơn hình tính đơn giản sau: .xE0 ; :::; xEn / D ˇˇ det xE1 nŠ xE0 ; xE2 xE0 ; :::; xEn ˇ xE0 ˇ: Bổ đề 21 (Bổ đề Đơn hình [15, Bổ đề 4]) Cho < ˇ < Với k N, gọi Uk tập n n véc tơ hữu tỉ có mẫu nằm ˇ nC1 k 1/ ˇ nC1 k : Uk WD 15 16 pE n W pE Zn ; ˇ nC1 k q Cantor-like set Simplex Lemma 16 1/ n Ä q < ˇ nC1 k : Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Đặt Vn thể tích bóng đơn vị Rn Với mọi: < r < ˇ.nŠVn / n với xE Rn , tồn siêu phẳng Lk cho: Á Uk \ B x; E ˇ k r  Lk :  à pEn pE1 pE0 pE0 pE1 ; ; :::; ; Bài tập 22 Gọi n C 1/ điểm hữu tỉ Uk cho n véc tơ q1 q0Ãà  à Âq0 q1 Ãqn   pE2 pE0 pE2 pE0 pEn pE0 pE1 ; , ; ; :::; độc lập tuyến tính Tìm cận q2 q0 q2 q0 q0 q1 qn Bài tập 23 Chứng minh Bổ đề Đơn hình 21 cố định Xét trò chơi ˇ-siêu phẳng tuyệt đối R với BAn tập đối tượng An Lưu ý BAn trù mật, nên bán kính lựa chọn Bình khơng hội tụ 0, An thắng An bán kính bóng Bình chọn nhỏ ˇ.nŠVn / n Vì ta giả sử B1 D B.xE1 ; r1 / với r1 < ˇ.nŠVn / n , lim ri D Chứng minh Định lý Cho < ˇ < i !1 Đặt c D ˇ r1 Với k N, gọi ik lượt mà: ˇ k r1 rik > ˇ k r1 : Với lượt không nằm dãy fik g1 kD1 , An Ở bước thứ ik , theo Bổ đề Đơn hình 21, tồn siêu phẳng Lk cho: Uk \ B.xEk ; rik /  Lk : Á Bước lượt thứ ik An ˇ kC1 r1 -lân cận Lk Vì ˇ kC1 r1 / Bik C1  Bij X Lk ; với yE Bik C1 với pE Uk : q yE pE q Vì: ˇ kC1 r1 D cˇ k [ c q 1C n : Uk D Qn ; kD1 theo định nghĩa BAn (1.1), \ B.xEi ; ri / D i D1 Vì vậy, An có chiến lược kết \ B.xEik ; rik / BAn : kD1 \ B.xEi ; ri / giao với BAn i D1 17 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Lưu ý 24 Một hệ thú vị kết tập nhỏ tập Cantor C tập số xấp xỉ BA1 giao nhau, phần giao không nhỏ: dimH BA1 \C/ D dimH C/ D log : log Không thế, với dãy số a1 ; a2 ; :::, dịch chuyển BA1 giao với tập Cantor: ! \ log BA1 Cai / D : dimH C \ log i D1 Kết chứng minh Fishman [8] sử dụng trò chơi Schmidt Tài liệu tham khảo [1] R Broderick, L Fishman, D Kleinbock, A Reich, B Weiss, The set of badly approximable vectors is strongly C -incompressible, Math Proc Cambridge Philos Soc 153, no (2012), pp 211–253 [2] R Broderick, L Fishman, D Simmons, Badly approximable systems of affine forms and incompressibiblity on fractals, J Number Theory 133 (2013), pp 2186–2205 [3] R Broderick D Kleinbock, Dimension estimates for sets of uniformly badly approximable systems of linear forms, preprint (2013), arXiv:1311.5474 [4] J W S Cassels, Simultaneous Diophantine approximation II, Proc Lon Math Soc (1955), pp.435–448 [5] H Davenport, Simultaneous Diophantine approximation, Mathematika (1954), pp 51–72 [6] K J Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (1990), John Wiley & Sons [7] K J Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Math 85 (1986), Cambridge Univ Press [8] L Fishman, Schmidt’s game on fractals, Israel J Math 171 (2009), pp 77–92 [9] L Fishman, D Simmons, M Urbanski, Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces, đăng Mem Amer Math Soc., arXiv:1301.5630 [10] D Gale F M Stewart, Infinite games with perfect information, in: Contribution to the theory of games, Vol II, Annals of Math Studies 28 (1953), pp 245–266 [11] V Jarník, Diophantische approximationen und hausdorffsches mass, Recueil Math Moscow 36 (1929), pp 371–382 [12] A Y Khintchine, Einige Săatze uă ber Kettenbrăuche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen, Math Ann 92 (1924), pp 115–125 18 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 [13] A Y Khintchine, Zur metrischen Theorie der Diophantischen Approximationen, Math Zeitschrift 24 (1926), pp 706–713 [14] D Kleinbock T Ly, Badly approximable S -numbers and absolute Schmidt games, J Number Theory 164 (2016), pp 13–42 [15] S Kristensen, R Thorn, S Velani, Diophantine approximation and badly approximable sets, Advances in Math 203 (2006), pp.132–169 [16] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine R Liên phân số, Epsilon (2015) [17] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine Rn - Quy tắc Dirichlet Hình học số, Epsilon (2015) [18] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine với độ đo - Định lý Khintchine, Epsilon (2015) [19] Lý Ngọc Tuệ, Trị chơi vơ hạn với thơng tin hồn hảo, Epsilon (2016) [20] C McMullen, Winning sets, quasiconformal maps and Diophantine approximation, Geom Funct Anal 20, no 3, (2010), pp 726–740 [21] W M Schmidt, On badly approximable numbers and certain games, Trans Amer Math Soc 123 (1966), pp 178–199 [22] W M Schmidt, Badly approximable systems of linear forms, J Number Theory (1969), pp 139–154 19 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 20 ... điểm Khi đấy, trò chơi siêu phẳng tuyệt đối gọi trò chơi tuyệt đối giới thiệu McMullen [20] Lưu ý 16 Trò chơi siêu phẳng tuyệt đối chơi khơng gian metric tổng quát X; dist/ mà siêu phẳng L thay... nhỏ, trò chơi ˇ -siêu phẳng tuyệt đối X kéo dài vô hạn Những tập X thỏa mãn điều kiện gọi -siêu phẳng phân tán14 X gọi siêu phẳng phân tán tồn > cho X -siêu phẳng phân tán Ví dụ: tập Rn -siêu phẳng. .. ln ln thắng trị chơi ˇ -siêu phẳng tuyệt đối (viết tắt ˇ-HAW) Bình có S gọi thắng siêu phẳng tuyệt đối (viết tắt HAW) S ˇ-thắng siêu phẳng tuyệt < ˇ < Lưu ý 15 Khi n D 1, ? ?siêu phẳng? ?? L R đơn